楊曉梅，李文匯，張宇瓊，官 開

(1.太原科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，山西 030024；2.山西省人文社科重點基地裝備制造業(yè)創(chuàng)新發(fā)展研究中心，山西 030024)

0 引言

隨著市場競爭的日趨激烈，如何合理利用現(xiàn)有資源制定生產(chǎn)計劃和維修方案成為目前企業(yè)管理者所關(guān)注的問題。實際生產(chǎn)中，設(shè)備的可靠性會直接影響生產(chǎn)計劃的按期完成，為避免設(shè)備在運行中出現(xiàn)突發(fā)故障，需要對其進(jìn)行維修來提高設(shè)備性能，降低經(jīng)濟(jì)損失。因此，有必要研究生產(chǎn)計劃和設(shè)備維修的聯(lián)合決策。

考慮到生產(chǎn)和維修之間存在的相關(guān)性，學(xué)者們針對二者的集成策略展開了研究。如WANG[1]設(shè)計了非完美周期性預(yù)防性維修與定期大修相結(jié)合的集成策略。劉學(xué)娟等[2]引入延遲時間理論，建立了生產(chǎn)計劃和設(shè)備維修的集成優(yōu)化模型。劉勤明等[3]結(jié)合產(chǎn)品墮化效應(yīng)，在設(shè)計聯(lián)合策略時采用不定周期預(yù)防性維修與故障后小修相結(jié)合的維修方法。BEHESHTI等[4]設(shè)計了一個生產(chǎn)計劃、非完美維修和過程檢測相集成的策略。這些研究大多采用定期維修方法，該方法忽略了設(shè)備間的個體差異，容易造成過維修或欠維修。

隨著傳感技術(shù)的成熟，視情維修應(yīng)用于設(shè)備管理成為可能。它是依據(jù)設(shè)備劣化狀態(tài)安排相應(yīng)維修活動的策略[5]，近年來生產(chǎn)計劃和視情維修的集成研究受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。QIU等[6]通過預(yù)測客戶訂單量，研究了生產(chǎn)和維修的聯(lián)合決策問題。湯樂成等[7]提出了多訂單批量生產(chǎn)和基于客戶滿意度的視情維修的聯(lián)合優(yōu)化模型。ZHENG等[8]基于比例風(fēng)險模型提出了批量生產(chǎn)和視情維修的聯(lián)合策略。PENG等[9]將基于控制限的維修方法應(yīng)用于生產(chǎn)和維修的集成。上述研究認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)僅包括運行和故障兩種，但是，隨著設(shè)備運行時間的增加，系統(tǒng)性能可表征為多個不同的狀態(tài)[10-11]，這類系統(tǒng)被稱為多狀態(tài)系統(tǒng)。雖然已有部分學(xué)者開始嘗試針對多狀態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行生產(chǎn)計劃與設(shè)備維修的集成研究[12-13]，但在其研究中并未考慮次品損失費用對總成本的影響。本文通過分析生產(chǎn)和維修的相關(guān)性，針對多狀態(tài)系統(tǒng)，結(jié)合有限產(chǎn)能批量生產(chǎn)問題，構(gòu)建生產(chǎn)計劃與設(shè)備維修的聯(lián)合決策模型并加以求解。

1 問題描述

本文研究的是在單臺設(shè)備上只生產(chǎn)一種產(chǎn)品的生產(chǎn)系統(tǒng)。隨著設(shè)備運行時間的延長，其性能從初始時刻的全新狀態(tài)逐漸劣化至故障，劣化過程為馬爾可夫過程。根據(jù)設(shè)備的實際運行狀況，可以將設(shè)備在任意時刻的劣化狀態(tài)表示為Sn(t)，且狀態(tài)Sn(t)∈{S0,S1,S2}。

令生產(chǎn)計劃期為H，該生產(chǎn)計劃期H包含T個生產(chǎn)周期，每一個生產(chǎn)周期的時長是L。每個生產(chǎn)周期又被細(xì)分為M個相等的子周期，各子周期的時長是τ。每個生產(chǎn)周期會完成一個批量產(chǎn)品的生產(chǎn)，且每個生產(chǎn)周期內(nèi)的最大產(chǎn)能為Kmax。

計劃期內(nèi)的設(shè)備維修活動包括預(yù)防性維修和故障維修兩類。維修計劃如圖1所示。其中，預(yù)防性維修活動包括兩種類型，即計劃性維修PM1和預(yù)防性維修PM2(后文簡寫為預(yù)防性維修)。計劃性維修是在每個生產(chǎn)周期結(jié)束后進(jìn)行的；預(yù)防性維修則是在生產(chǎn)周期內(nèi)進(jìn)行，即每隔kτ對設(shè)備狀態(tài)進(jìn)行檢測，根據(jù)檢測結(jié)果，對設(shè)備采取相應(yīng)的維修活動。若檢測到設(shè)備的劣化狀態(tài)為S0，則不進(jìn)行維修；若檢測到設(shè)備的劣化狀態(tài)達(dá)到S1，對設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修；若檢測到設(shè)備的劣化狀態(tài)達(dá)到S2，對設(shè)備進(jìn)行故障維修。此外，當(dāng)設(shè)備的劣化狀態(tài)達(dá)到S2時設(shè)備進(jìn)入失控狀態(tài)，會產(chǎn)生一定比例的次品。

圖1 設(shè)備維修計劃

2 聯(lián)合優(yōu)化模型的構(gòu)建

符號定義如表1所示。

表1 主要模型符號及含義

續(xù)表

本文的研究假設(shè)如下：①允許缺貨發(fā)生；②設(shè)備狀態(tài)的檢測時間相比設(shè)備的運行時間很小，可以忽略不計；③設(shè)備只發(fā)生軟故障，在檢測后才能發(fā)現(xiàn)；④計劃性維修、預(yù)防性維修和故障維修均為完美維修，使設(shè)備恢復(fù)到全新狀態(tài)；⑤計劃性維修的維修時間可忽略不計。

根據(jù)上述的問題描述和基本假設(shè)，考慮到生產(chǎn)過程中的產(chǎn)能約束限制，以計劃期H內(nèi)的生產(chǎn)與維修成本之和最小為目標(biāo)，建立如下的聯(lián)合優(yōu)化模型：

(1)

s.t.

xi-Ii+I(i-1)+Bi-B(i-1)-fi=Q

(2)

xi-fi≥Q

(3)

1/p·xi≤Kmax

(4)

PS0+PS1+PS2=1

(5)

xi,Ii,fi,Bi≥0，且均為整數(shù)

(6)

I0=0,f0=0,B0=0

(7)

式(1)對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)，即最小化計劃期H內(nèi)的總成本。總成本由生產(chǎn)相關(guān)費用和維修相關(guān)費用兩部分組成，其中，與生產(chǎn)相關(guān)費用包括生產(chǎn)準(zhǔn)備費用(為了簡單起見，本文假設(shè)每個周期都會生產(chǎn)產(chǎn)品)、生產(chǎn)費用、庫存費用、缺貨損失費用、次品損失費用；維修費用ECM包括狀態(tài)檢測費用、計劃性維修費用、預(yù)防性維修費用和故障維修費用。式(2)表示不同生產(chǎn)周期內(nèi)產(chǎn)品的產(chǎn)量、庫存量、缺貨量、次品數(shù)與批量大小之間的平衡約束，其中，Ii和Bi不能同時大于0。式(3)表示合格品的產(chǎn)量與批量大小之間的關(guān)系，保證了在第i個周期結(jié)束時，合格品數(shù)不小于該周期的批量大小。式(4)表示第i個生產(chǎn)周期內(nèi)的產(chǎn)能限制，其中，1/p可表示為單位產(chǎn)品的生產(chǎn)時間。式(5)表示設(shè)備在不同劣化狀態(tài)下的概率之和為1。式(6)表示模型變量xi,Ii,fi,Bi的非負(fù)性，且它們均為整數(shù)。式(7)表示生產(chǎn)之初該產(chǎn)品的庫存量、次品數(shù)和缺貨量均為0。

為了求解該模型，下面分別對第i個周期的產(chǎn)量、庫存持有成本、平均次品數(shù)以及維修費用等的計算方法進(jìn)行說明。

(1)第i個周期產(chǎn)品的產(chǎn)量。第i個生產(chǎn)周期內(nèi)，生產(chǎn)產(chǎn)品的時長由設(shè)備的可用時間決定，則在第i個周期內(nèi)產(chǎn)品的產(chǎn)量可表示為：

xi=p·Ai·L

(8)

(9)

第i個周期的庫存成本為：

(10)

(3)第i個周期的平均次品數(shù)。當(dāng)設(shè)備的劣化狀態(tài)達(dá)到S2時會產(chǎn)生一定比例的次品，則第i個周期的平均次品數(shù)為：

fi=rpL·PS2

(11)

式中，設(shè)備劣化狀態(tài)處于狀態(tài)S2的穩(wěn)態(tài)概率PS2的計算在式(5)中說明。

(4)維修費用。ECM表示計劃期內(nèi)對設(shè)備采取的所有維修活動的總費用。設(shè)備在一個檢測周期內(nèi)的費用包括：檢測費用、計劃性維修費用、預(yù)防性維修費用和故障維修費用。根據(jù)設(shè)備狀態(tài)檢測結(jié)果，對設(shè)備進(jìn)行相應(yīng)的維修活動，可能會出現(xiàn)以下三種情形：

情形一：一個檢測周期kτ結(jié)束時，若檢測到設(shè)備劣化狀態(tài)為S0，則設(shè)備正常運行。該檢測周期產(chǎn)生的費用只包括狀態(tài)檢測費用，即：

EC1=Cin

(12)

情形二：一個檢測周期kτ結(jié)束時，若檢測到設(shè)備劣化狀態(tài)為S1，則需要對設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修。該檢測周期產(chǎn)生的費用包括狀態(tài)檢測費用和預(yù)防性維修費用，即：

EC2=Cin+CPM2

(13)

情形三：一個檢測周期kτ結(jié)束時，若檢測到設(shè)備劣化狀態(tài)為S2，則需要對設(shè)備進(jìn)行故障維修。該檢測周期產(chǎn)生的費用包括狀態(tài)檢測費用和故障維修費用，即：

EC3=Cin+CCM

(14)

由于在每個生產(chǎn)周期結(jié)束時對設(shè)備進(jìn)行計劃性維修，因此在一個完整的計劃期H內(nèi)，計劃性維修的次數(shù)為T。而是否對設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修和故障維修是根據(jù)狀態(tài)檢測結(jié)果來判定的，設(shè)備在每個生產(chǎn)周期內(nèi)的狀態(tài)檢測次數(shù)m為：

(15)

綜上所述，設(shè)備在計劃期內(nèi)的維修費用可表示為：

ECM=T·[CPM1+m(PS0EC1+PS1EC2+PS2EC3)]

(16)

假設(shè)生產(chǎn)計劃周期H=3L，生產(chǎn)周期L=5τ，預(yù)防性維修的維修周期為2τ。則m=2，其維修點示意圖如圖2所示。計劃期H內(nèi)的維修費用可表示為：

ECM=T·[CPM1+m(PS0EC1+PS1EC2+PS2EC3)]=
3·CPM1+6·(PS0EC1+PS1EC2+PS2EC3)

(17)

圖2 維修計劃示意圖

由上述計算可知，總需求量D、次品率r和子周期數(shù)k的變化會直接影響式(1)中總成本的大小，因此，本文選取這三個變量作為聯(lián)合優(yōu)化模型中的決策變量。其中，D>0，0≤r<1，1≤k

(5)穩(wěn)態(tài)概率的計算。由于設(shè)備被維修后會正常運行，即在運行t個單位時間后，處于各個狀態(tài)的概率會趨于一個定值，此定值與上一個狀態(tài)無關(guān)且不依賴于該設(shè)備在起始時刻所處的狀態(tài)，則表明設(shè)備具有某種意義下的穩(wěn)定性。針對設(shè)備所處狀態(tài)的分析，下面利用馬爾可夫過程[14-15]對設(shè)備處于各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率PSn進(jìn)行推導(dǎo)。具體推導(dǎo)過程如下。

假設(shè)設(shè)備在狀態(tài)Sn的停留時間服從參數(shù)為σ的負(fù)指數(shù)分布，其分布函數(shù)為Fσ(t)=e-σt。該設(shè)備的預(yù)防性維修和故障維修時間分別服從參數(shù)為μp，μf的負(fù)指數(shù)分布，其分布函數(shù)為：Fμp(t)=e-μpt，F(xiàn)μf(t)=e-μft。根據(jù)問題描述，則可以得到設(shè)備的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，如圖3所示。

②大部分醫(yī)療機(jī)構(gòu)仍是人工統(tǒng)計上報，數(shù)據(jù)的收集與上報存在明顯的滯后性［9］。目前癥狀監(jiān)測的一般流程為醫(yī)療機(jī)構(gòu)周一統(tǒng)計上周監(jiān)測信息，最快當(dāng)日中午報告給疾控中心。疾控中心對各醫(yī)療機(jī)構(gòu)報送的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集及核實，周二分析數(shù)據(jù)和撰寫報告，最終周三形成分析報告和預(yù)警建議到?jīng)Q策部門。換言之，對于本周一的監(jiān)測數(shù)據(jù)，決策部門最快需要到下周三才能看到，滯后時間達(dá)10 d，時效性較差。

圖3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

從圖3所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系，可以得到該設(shè)備的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度矩陣Q′：

(18)

由于當(dāng)時間間隔Δt足夠小時，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度之間存在如下關(guān)系：

(19)

因此，根據(jù)式(19)，可求得設(shè)備的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣PSnSo：

(20)

式中，任意元素PSnSo(Δt)表示設(shè)備從狀態(tài)Sn經(jīng)過Δt的時間轉(zhuǎn)向狀態(tài)So的一步轉(zhuǎn)移概率：

PSnSo(Δt)=P{S(t+Δt)=So|S(t)=Sn}

(21)

令PSn(t)表示設(shè)備在被維修后再運行t個單位時間后處于任意狀態(tài)Sn的穩(wěn)態(tài)概率。在Δt很小時，可以得到該馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移概率為：

(22)

式(22)兩邊對Δt=0求導(dǎo)，可得到狀態(tài)微分方程為：

(23)

(24)

PS0(t)+PS1(t)+PS2(t)=1

(25)

因此，將式(25)代入式(24)，可得：

(26)

則由式(26)，可得到設(shè)備處于各狀態(tài)時的穩(wěn)態(tài)概率為：

(27)

3 數(shù)值實驗

假設(shè)計劃期H為12個月。其中，每一個月為一個生產(chǎn)周期，即T=12，L=30天。每個生產(chǎn)周期可分為6個子周期(M=6，τ=5天)，每隔kτ對設(shè)備狀態(tài)進(jìn)行一次檢測。假設(shè)設(shè)備處于各個狀態(tài)的停留時間服從參數(shù)為σ的負(fù)指數(shù)分布，設(shè)備的預(yù)防性維修和故障維修時間分別服從參數(shù)為μp，μf的負(fù)指數(shù)分布，則令σ=0.8，μp=0.25，μf=0.3。費用參數(shù)分別為Cin=150元，CPM1=2500元，CPM2=3000元，CCM=4500元，h=0.5元，b=1元，c=20元，s=50元，z=10元。每個周期內(nèi)的最大產(chǎn)能Kmax=100。

遺傳算法作為智能優(yōu)化算法之一，它具有全局優(yōu)化、隱含并行性等特點，適用于求解各類優(yōu)化問題，因此，本文利用遺傳算法來對所構(gòu)建的模型進(jìn)行求解。與遺傳算法相關(guān)的參數(shù)設(shè)定為：種群規(guī)模=20，交叉概率pc=0.7，變異概率pm=0.15，最大迭代次數(shù)gen=100。采用的是輪盤賭選擇算子、兩點交叉算子和單點變異算子。在進(jìn)行20次仿真試驗后，取其中的最優(yōu)值，可得到?jīng)Q策變量的最優(yōu)組合為D=3404，r=0.019 4，k=3，對應(yīng)最小總成本為TC=2 178 059.530 221 852。

3.1 決策模型的對比分析

為了驗證本文模型的有效性，現(xiàn)將其與以下兩種模型進(jìn)行對比分析。

模型1：在對設(shè)備劣化進(jìn)行連續(xù)狀態(tài)建模的情況下，每隔L對設(shè)備進(jìn)行完美預(yù)防性維修。

模型2：在對設(shè)備劣化進(jìn)行連續(xù)狀態(tài)建模的情況下，每隔kτ對設(shè)備狀態(tài)進(jìn)行檢查，并根據(jù)檢測結(jié)果對設(shè)備采取相應(yīng)的維修活動。

表2顯示了不同策略下所得的優(yōu)化結(jié)果。

表2 不同模型的優(yōu)化結(jié)果比較

由表2可知，在不考慮視情維修(模型1)的情況下，由于沒有視情維修的介入，總成本明顯變大。因為在該策略中，只有在每個周期結(jié)束后才對設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修，在整個維修周期中，產(chǎn)生的故障維修費用遠(yuǎn)比預(yù)防性維修大的多，還會生產(chǎn)出更多的次品。而模型1的總需求量D比本文模型大，這是由于本文模型在每個生產(chǎn)周期內(nèi)都會對設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修，會占用一定的生產(chǎn)時間，但在一定程度上降低了總成本。

而在模型2的優(yōu)化結(jié)果中，總成本介于模型1和本文模型之間。因為在該模型下，狀態(tài)檢測周期變短，預(yù)防性維修次數(shù)增加，預(yù)防性維修產(chǎn)生的費用要比本文模型高。

通過與模型1、模型2的對比，充分體現(xiàn)了本文模型在降低成本方面的優(yōu)勢。

3.2 決策模型的靈敏度分析

為了驗證本文模型的有效性，下面進(jìn)行參數(shù)的靈敏度分析。

依次改變參數(shù)Cin、CPM2、CCM、h、b、s、z中的一個參數(shù)，保持其余參數(shù)不變。通過比較參數(shù)變化前后所達(dá)到的最小總成本以及決策變量來分析決策模型對該參數(shù)的靈敏性。參數(shù)的變化范圍為-10%，+10%。分析結(jié)果如圖4～圖7所示。

圖4 參數(shù)變化對最優(yōu)總需求量的影響 圖5 參數(shù)變化對最優(yōu)次品率的影響

圖6 參數(shù)變化對最優(yōu)子周期數(shù)的影響 圖7 參數(shù)變化對最優(yōu)總成本的影響

(1)對最優(yōu)總需求量的影響。由圖4可知，總需求量D隨生產(chǎn)準(zhǔn)備費用s的增加呈上升趨勢，這是因為在s增加的情況下，為了維持較低的生產(chǎn)成本，就需要增加生產(chǎn)批量大小。相反，D隨著單位次品損失費用z的升高而降低，這是因為z升高時，企業(yè)就會盡可能生產(chǎn)更多的合格品，次品數(shù)會減少，而在次品率不變的情況下，D會降低。

(2)對最優(yōu)次品率的影響。由圖5可知，次品率r受故障維修成本CCM和次品損失費用z的影響最大。這是因為隨著CCM的升高，企業(yè)就會縮短預(yù)防性維修間隔來減少故障維修次數(shù)，通過預(yù)防性維修會提高設(shè)備的可靠性，減少次品數(shù)，使得次品率降低；當(dāng)CCM增加到一定程度，預(yù)防性維修次數(shù)增多，導(dǎo)致生產(chǎn)時長縮短，生產(chǎn)出的產(chǎn)品數(shù)減少，在次品數(shù)變化不明顯的情況下次品率會增加，因此在圖5中r會先降低后增加。而隨著z的升高，企業(yè)有必要降低次品率來減少次品損失費用，從而降低生產(chǎn)成本。

(3)對最優(yōu)子周期數(shù)的影響。由圖6可知，最優(yōu)子周期數(shù)k受故障維修成本CCM的影響最大，相反，受預(yù)防性維修成本CPM2的影響最小。這是因為隨著CCM的升高，為了盡可能降低維修成本，企業(yè)有必要縮短預(yù)防性維修間隔，及早發(fā)現(xiàn)設(shè)備隱患。而最優(yōu)子周期數(shù)在預(yù)防性維修成本的變化下保持不變充分證明了本文模型的有效性。

(4)對最優(yōu)總成本的影響。由圖7可知，總成本受預(yù)防性維修成本CPM2和單位次品損失費用z的影響最大。這是因為在預(yù)防性維修周期不變的情況下，總需求量和次品率的上升使得次品損失費用和生產(chǎn)成本提高。

由以上實驗結(jié)果可知，為了獲得總成本最小的生產(chǎn)和維修的集成優(yōu)化方案，對設(shè)備的維修和生產(chǎn)的相關(guān)參數(shù)的調(diào)整，均會使得產(chǎn)品的總需求量、次品率以及子周期個數(shù)發(fā)生明顯的變化，體現(xiàn)出了所構(gòu)建的聯(lián)合決策模型的有效性。

4 結(jié)論

本文通過分析產(chǎn)品的生產(chǎn)特點和設(shè)備的劣化規(guī)律，基于對生產(chǎn)計劃和設(shè)備維修的相關(guān)性分析，設(shè)計了面向多狀態(tài)系統(tǒng)的生產(chǎn)計劃和設(shè)備維修的聯(lián)合策略。根據(jù)所設(shè)計的策略，建立了以總需求量、次品率以及子周期數(shù)為決策變量的聯(lián)合優(yōu)化模型，利用遺傳算法對該模型進(jìn)行求解，驗證了該模型的正確性和有效性。該研究可以為企業(yè)制定合理的生產(chǎn)和維修方案提供借鑒。在本文研究基礎(chǔ)上，后續(xù)可以進(jìn)一步考慮多產(chǎn)品生產(chǎn)系統(tǒng)以及不同維修效果對聯(lián)合決策的影響。