白 姍，劉爽英，梁宇飛，李國棟，閆 瑾

(1.中北大學軟件學院，太原 030051；2.惡劣環(huán)境下機器人與智能裝備技術山西省重點實驗室，太原 030051)

0 引言

音圈電機擁有動態(tài)響應速度快、穩(wěn)態(tài)精度高等諸多優(yōu)點，廣泛應用于高精度、高頻率、短距離的重復性定位高的精密制造行業(yè)中，但音圈電機在工作過程中存在參數(shù)變化、非線性摩擦、遲滯特性等不確定因素[1]。

滑?？刂谱鳛橐环N典型的非線性控制方法，具有響應時間快、構造簡單、對系統(tǒng)匹配擾動具有不變性等優(yōu)點，但滑?？刂频淖畲髥栴}在于抖振現(xiàn)象，并且容易受到不確定性因素的擾動影響。因此，抑制抖振現(xiàn)象是現(xiàn)行的主要研究問題[2]。研究人員從滑模面、趨近律等方面提出改進方案，以達到減小抖振的效果?；Ｃ嬖O計的優(yōu)劣性直接影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定精度、穩(wěn)定性及響應時間等各方面性能，是滑模設計的主要內(nèi)容。因此，提出許多改進的滑模面以達到減小抖振的目的。例如終端滑?？刂?TSM)[3-5]、積分滑模控制[6]、全局滑?？刂芠7]、時變滑?？刂芠8]、互補滑模控制(CSMC)[9]等。

HOU等[10]提出用于伺服電機系統(tǒng)的連續(xù)終端滑?？刂扑惴ǎ且环N基于雙極限齊次性質的全階終端滑模面，保證了控制系統(tǒng)的魯棒性。CHEN等[11]提出一種適用于外界擾動的伺服系統(tǒng)位置跟蹤問題，提出自適應滑模擾動觀測器及新型終端滑模函數(shù)，仿真及實驗驗證了所提方法的有效性。CHEGINI 等[12]提出一種基于預定滑動模態(tài)和系統(tǒng)狀態(tài)之間誤差設計的量子滑模面，可用于有界不確定性的滑?？刂葡到y(tǒng)中，仿真結果表明該控制方案在時間和控制幅度上均顯著降低。WANG等[13]提出一種基于滑模擾動觀測器的遞歸終端滑?？刂破鳎婢吡朔瞧娈惤K端滑?？刂坪透唠A滑?？刂频膬?yōu)點，仿真結果達到預期控制性能。XU等[14]針對板球控制系統(tǒng)設計了一種變指數(shù)冪趨近律和互補終端滑模控制相結合的控制方案，提高了收斂速度。

在上述的研究基礎上，為提高滑?？刂七^程中的控制效果以及減小滑模抖振現(xiàn)象，本文設計了基于趨近律的遞歸型互補滑?？刂疲诒ＷC減小抖振的基礎上通過使用趨近律以提高趨近階段中到達滑模面的速度，保證了控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。

1 音圈電機數(shù)學模型

音圈電機數(shù)學模型根據(jù)機械結構的不同可以分為質量-阻尼-彈簧(MKF型)和質量-阻尼型(MK型)。由于MKF型音圈電機需要克服彈簧的形變力，在降低電機輸出功率的同時給電機控制增加了不確定項，而MK型音圈電機無需考慮以上內(nèi)容，可提高較高的輸出功率。MK型音圈電機結構圖如圖1所示[15]。

圖1 音圈電機結構

在研究中不考慮磁路閉合和遲滯特性等情況，根據(jù)音圈電機電壓平衡方程和力平衡方程，建立了音圈電機匹配擾動的二階數(shù)學模型為：

(1)

式中，x是動子位置；va是控制電壓；Ra是線圈電阻；ia是線圈電流；Kb是反電動勢系數(shù)；La是線圈電感；Ft=Ktia是推力；Kt是驅動力系數(shù)；M=mb+mp為總質量；mb是動子的質量；mp是有效載荷的質量；B是黏性阻尼系數(shù)；Ff是擾動及摩擦力等。

音圈電機的電感較小且其工作在高速環(huán)境下，電感La可以被忽略，故可得到音圈電機的動態(tài)方程為：

(2)

式中，f、g為系統(tǒng)參數(shù)；d為系統(tǒng)干擾項；u=va為系統(tǒng)控制輸入。

由于音圈電機為非線性的，故音圈電機的實際動力學模型為：

(3)

式中，Δf、Δg為系統(tǒng)參數(shù)和未建模動態(tài)而引入的不確定性；D=Δf+Δgu+d為系統(tǒng)總和擾動，且|D|≤ρ，ρ為有界正常數(shù)。

將式(3)改寫為音圈電機匹配擾動的二階數(shù)學模型的狀態(tài)方程形式為：

(4)

式中，x=[x1,x2]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量；x1、x2分別表示音圈電機動子位移和速度。

2 遞歸型滑模面設計

2.1 相關工作基礎

文獻[2]的傳統(tǒng)滑模面(SMC)表現(xiàn)為系統(tǒng)狀態(tài)的線性函數(shù)，只適用于精度不高的場合中，其表達式為：

(5)

文獻[16]提出的基于廣義滑模面和互補滑模面結合提出的互補滑?？刂?CSMC)，通過互補廣義誤差變換從理論角度證明比傳統(tǒng)的滑模控制的跟蹤誤差界減小了一半并且提高了到達階段誤差瞬態(tài)響應，其表達式為：

(6)

式中，λ為控制參數(shù)且為正實數(shù)。

文獻[14]提出的互補終端滑?？刂?CTSMC)，采用將互補滑模和終端滑模相結合的控制方案，使系統(tǒng)更快的收斂到平衡點，其表達式為：

(7)

2.2 遞歸型互補滑?？刂?/h3>

基于以上工作基礎，研究基于分層思想提出的遞歸型互補滑?？刂?RCSMC)，表達式為：

第一層滑模面為：

(8)

式中，τ為積分變量；c1、c2>0分別為兩個控制增益；α≥1。

第二層滑模面為：

(9)

式中，λ>0是控制增益系數(shù)。

由于滑模面設計為雙層結構，可以有效的提高控制系統(tǒng)的魯棒性且有較快的收斂速度，具有一定的優(yōu)越性。

3 滑?？刂坡稍O計

3.1 遞歸型互補滑?？刂坡稍O計

遞歸型滑模面第一層設計為積分終端滑?？刂疲诙訛榛パa滑?？刂?，分別具有積分終端滑?？刂坪突パa滑模控制的優(yōu)點，在抑制抖振的基礎上具有較強的魯棒性。

定義系統(tǒng)跟蹤誤差：

e1=y-R

(10)

式中，y為系統(tǒng)輸出狀態(tài)；R為期望信號。

定義系統(tǒng)動態(tài)跟蹤誤差：

(11)

第一層滑模面求導可得：

(12)

再次對式(12)求導可得：

(13)

第二層互補滑模面中的廣義滑模面求導可得：

(14)

對于增益參數(shù)，互補滑模面中的廣義滑模面s和互補滑模面sc相加可得滑模面總和為：

(15)

為提高滑模變量s的收斂速度，在過程中引入新型快速趨近律，即：

(16)

式中，α=1+ε，a=1-ε；0<ε<1；k1、k2>0。

將式(10)、式(12)、式(13)代入式(14)中可得：

(17)

將式(4)的動力學模型代入式(17)中可得：

(18)

所設計的控制律為：

uRCSMC=ueq+uv

(19)

式中，

式中，ueq為等效控制項；uv為切換控制項。

可得到最終的控制律為：

(20)

3.2 穩(wěn)定性證明

針對音圈電機匹配擾動的二階數(shù)字模型控制系統(tǒng)建立李雅普諾夫函數(shù)：

(21)

對Lyapunov函數(shù)求導得：

(22)

根據(jù)上式可繼續(xù)推導得：

即：

(23)

式中，當s+sc>0時，當s+sc<0時，uv<0。

因此，該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義上是穩(wěn)定的，可以保證音圈電機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 仿真結果及分析

基于MATLAB/Simulink建立音圈電機匹配擾動的控制仿真模型，并對仿真結果進行詳細對比分析。

仿真所需電機模型參數(shù)如表1所示。根據(jù)音圈電機模型多次調節(jié)系統(tǒng)控制參數(shù)，選取最優(yōu)控制效果參數(shù)。傳統(tǒng)滑模控制參數(shù)如表2所示，互補滑?？刂茀?shù)如表3所示，互補終端滑?？刂茀?shù)如表4所示，遞歸型互補滑?？刂茀?shù)如表5所示。

表1 電機模型參數(shù)

表2 傳統(tǒng)滑?？刂茀?shù)

表3 互補滑?？刂茀?shù)

表4 互補終端滑?？刂茀?shù)

表5 遞歸型互補滑模控制參數(shù)

跟蹤正弦信號 ，初始位置設為 ，仿真結果如圖2所示，具體性能如表6所示。

對正弦信號進行跟蹤，仿真結果如圖2所示，具體性能如表6所示。從仿真結果得知此次研究所設計的控制策略RCSMC相較于SMC和CSMC擁有更快的響應速度，響應速度略小于CTSMC，但在0.033即可達到穩(wěn)態(tài)時間，是最早達到穩(wěn)態(tài)時間的控制策略，并且無超調量；穩(wěn)態(tài)誤差方面而言，SMC的穩(wěn)態(tài)誤差最大，CSMC的穩(wěn)態(tài)誤差最小但產(chǎn)生了超調現(xiàn)象，CTSMC產(chǎn)生了抖振現(xiàn)象而無研究價值，RCSMC的穩(wěn)態(tài)誤差較小且無抖振和超調。

(a) 位置跟蹤曲線(b) 位置誤差曲線

表6 跟蹤sin(10t)指令的性能對比

在控制系統(tǒng)初始信號和參數(shù)不變的情況下，改變期望信號為三角波信號進行跟蹤。仿真結果如圖3所示，具體性能如表7所示。從仿真結果可知，在三角波的突變狀態(tài)時，RCSMC最快達到穩(wěn)定狀態(tài)且無超調和抖振，擁有較好的控制效果；CTSMC是第二個達到穩(wěn)定狀態(tài)且產(chǎn)生了超調和抖振；CSMC次之，但擁有較好的穩(wěn)態(tài)精度；而SMC最后到達穩(wěn)定狀態(tài)。

(a) 位置跟蹤曲線(b) 位置誤差曲線

表7 跟蹤三角波指令的性能對比

綜上所述，所提的RCSMC控制策略雖不是全面優(yōu)秀的，但擁有較為均衡的控制效果。在改變期望信號后依舊可以保持較為優(yōu)良的跟蹤性能，證明所提控制算法的有效性。

5 結束語

針對音圈電機位置控制研究問題，在建立音圈電機匹配擾動的二階模型的基礎上，分別采用傳統(tǒng)滑?？刂?、互補滑?？刂?、互補終端滑?？刂坪徒K端滑?？刂七@4種控制方案進行仿真分析，得出以下結論：

(1)遞歸互補滑?？刂圃诜€(wěn)態(tài)誤差和響應速度方面雖不是絕對優(yōu)良的，但其沒有超調和抖振現(xiàn)象；

(2)互補終端滑?？刂频捻憫獣r間是最快的，但其產(chǎn)生了抖振和超調；互補滑模控制的穩(wěn)態(tài)誤差是最小的，但其響應速度過慢，并且會產(chǎn)生超調；

(3)遞歸互補滑模的控制性能是均衡的，可以滿足音圈電機的工作性能。