馮 雪, 鞏增泰

(1. 青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 青海 西寧 810007; 2. 西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730000)

本文基于模函數(shù)f將統(tǒng)計(jì)收斂和強(qiáng)收斂置于理想的框架下,提出和研究了模糊數(shù)列關(guān)于序β的f-理想統(tǒng)計(jì)收斂和強(qiáng)f-理想收斂,推廣了前人的工作.

1 定義及說明

實(shí)數(shù)R上的模糊集u稱為模糊數(shù),是指：u是正規(guī)的、凸模糊集、隸屬度函數(shù)u(x)上半連續(xù)、支撐集[u]0=cl{x∈R:u(x)>0}為緊集.記所有模糊數(shù)所組成的集合為E1.對(duì)任意的0≤r≤1,水平截集[u]r={x:u(x)≥r}是一個(gè)閉區(qū)間.對(duì)u,v∈E1,k∈R,加法和數(shù)乘為：

[u+v]r=[u]r+[v]r，

[ku]r=k[u]r.

模糊數(shù)u,v∈E1之間的距離為

其中D表示Hausdorff距離,分別是[u]r和[v]r的左右端點(diǎn).表示零模糊數(shù).

記N是全體自然數(shù)組成的集合,集合A?N的自然密度定義為

設(shè)f是無界模函數(shù),β∈(0,1],設(shè)N是全體自然數(shù)組成的集合,集合A?N的fβ-密度定義為

δf

當(dāng)f(x)=x且β=1時(shí),

δf

若函數(shù)f:[0,∞)→[0,∞)是連續(xù)的遞增函數(shù),且f(0)=0,對(duì)x,y≥0,有

f(x+y)≤f(x)+f(y),

則稱函數(shù)f是模函數(shù)[9].

定義 1設(shè)x={xk}為模糊數(shù)列,x0為模糊數(shù),f為無界模函數(shù),β∈(0,1],若對(duì)任意的ε>0,δ>0,有

D(xk,x0)≥ε}|)≥δ}∈I,

注 1若對(duì)所有的n∈N,當(dāng)f(x)=x且β=1時(shí),退化為其中,

例 1設(shè)I是自然密度為0的自然數(shù)集N的理想,A={12,22,…},定義模糊數(shù)列

x

即模糊數(shù)

即

δ}?A∪{2,3,…,M}∈I.

由以上討論可知,當(dāng)n∈A且n→∞時(shí),

定義 2設(shè)x={xk}為模糊數(shù)列,f為無界模函數(shù),β∈(0,1],對(duì)任意的δ>0,定義下列強(qiáng)f-理想收斂的模糊數(shù)列空間：

其中

注 2若稱模糊數(shù)列x={xk}關(guān)于序β強(qiáng)f-理想收斂于模糊數(shù)x0;若稱模糊數(shù)列x={xk}關(guān)于序β強(qiáng)f-理想收斂于模糊數(shù)列若稱模糊數(shù)列x={xk}關(guān)于序β強(qiáng)f-理想有界.

注 3若對(duì)所有的n∈N,當(dāng)f(x)=x且β=1時(shí),模糊數(shù)列空間退化為其中

2 模糊數(shù)列關(guān)于序β的f-理想統(tǒng)計(jì)收斂的相關(guān)性質(zhì)

定理 1設(shè)x={xk},y={yk}是兩個(gè)模糊數(shù)列,則以下成立：

1) 對(duì)任意實(shí)數(shù)C,若x則

2) 若x且y則xk+y

證明1) 當(dāng)C=0時(shí),結(jié)論顯然成立.

設(shè)C≠0,有

因?yàn)?/p>

D(Cxk,Cx0)≥ε}|)≥δ}?

D(x

壓力注漿孔的布置就是超前探水孔的布置位置，根據(jù)該掘進(jìn)段實(shí)際情況，如滲涌水量較大，可在適當(dāng)位置增加注漿孔的數(shù)量，以確保防治水效果。

D(xk,x0)≥ε}|)≥δ}∈I,

D(yk,y0)≥ε}|)≥δ}∈I.

因?yàn)?/p>

D(xk+yk,x0+y0)≤

D(xk+yk,x0+yk)+D(x0+yk,x0+y0)=

D(xk,x0)+D(yk,y0),

對(duì)任意ε>0,有

由

D(xk+x0,yk+y0)≥ε}|)≥δ}?

可得

xk+y

定理 2設(shè)模糊數(shù)列x={xk}與關(guān)于序βf-理想統(tǒng)計(jì)收斂的模糊數(shù)列y={yk}幾乎處處相等(即集合{k∈N:xk≠yk}為有限數(shù)集),則x={xk}關(guān)于序βf-理想統(tǒng)計(jì)收斂,且與y={yk}收斂于同一模糊數(shù).

證明對(duì)幾乎所有k,有xk=yk且y對(duì)于任意ε>0,有

{k∈N:xk≠yk},

所以

定理 3設(shè)β、γ是兩實(shí)數(shù),且滿足0<β≤γ≤1,那么

證明設(shè)x={x則

由上式可知

D(xk,x0)≥ε}|)≥δ}?

D(xk,x0)≥ε}|)≥δ}∈I,

推論 1設(shè)x={xk}為一模糊數(shù)列,β∈(0,1],那么其中

3 模糊數(shù)列關(guān)于序β強(qiáng)f-理想收斂的相關(guān)性質(zhì)

定理 4強(qiáng)f-理想收斂的模糊數(shù)列空間有如下包含關(guān)系成立

證明顯然成立.

設(shè)x={x則

定理 5設(shè)f1,f2是模函數(shù),則以下結(jié)論成立：

證明設(shè)則因此,對(duì)任意的δ>0,β∈(0,1],有

那么

因此可以得到

f2(D(x

故

2)和3)的證明與1)相似.

證明設(shè)x={x記那么f(t)≥lt,t≤l-1f(t),所以,

由

可以得到

定理 7設(shè)β,γ是兩實(shí)數(shù),且滿足0<β≤γ≤1,那么

證明設(shè)x={x則

于是可知

4 模糊數(shù)列關(guān)于序β的f-理想統(tǒng)計(jì)收斂和強(qiáng)f-理想收斂的關(guān)系

定理 8設(shè)f為模函數(shù)，若存在正數(shù)C,使得對(duì)所有的x≥0,y≥0,有f(xy)≥Cf(x)f(y),并且0,則

證明因?yàn)?/p>

f(|{k≤n:D(xk,x0)≥ε}|ε)≥

Cf(|{k≤n:D(xk,x0)≥ε}|)f(ε),

那么

所以

因此x={x故

5 結(jié)論

致謝青海民族大學(xué)2021年校級(jí)青年項(xiàng)目(2021XJGH24)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.