李夢(mèng)瑤， 楊國(guó)川， 晏燕雄

1.西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715； 2.208水文地質(zhì)工程地質(zhì)隊(duì)，重慶 400700

本文涉及的群均為有限群．設(shè)G是有限群，

πe(G)={|x|：x∈G}

另外，mi(G)表示群G的第i高階元素的階，

m1(G)=max{|g|：g∈G}

Gp表示群G的一個(gè)Sylowp-子群．pα‖|G|表示pα||G|但pα+1|/|G|，其中α是非負(fù)整數(shù)．其他未說明的符號(hào)和術(shù)語都是標(biāo)準(zhǔn)的(見文獻(xiàn)[1])．

眾所周知，利用群的數(shù)量性質(zhì)研究群結(jié)構(gòu)一直是群論研究的熱點(diǎn)，而如何用盡可能少的數(shù)量關(guān)系來刻畫群的結(jié)構(gòu)是群論研究中非常有意義的課題．群的階和群中元素的階 (簡(jiǎn)稱兩階)是群的兩個(gè)最基本的數(shù)量條件，這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系對(duì)群結(jié)構(gòu)有著非常重要的影響．關(guān)于該問題，施武杰教授在20世紀(jì)80年代提出過如下猜想(這一猜想被列入文獻(xiàn)[2]中)：

猜想設(shè)G為有限群，H為有限非交換單群，則G?H當(dāng)且僅當(dāng)πe(G)=πe(H)且|G|=|H|．

該猜想被文獻(xiàn)[3]最終證明．此后，許多群論學(xué)者嘗試弱化兩階的條件來刻畫群的結(jié)構(gòu)．例如，文獻(xiàn)[4-10]提出用群的階以及最高階元素的階刻畫有限單群，并成功刻畫了散在單群、K3-單群、K4-單群、部分李型單群、部分交錯(cuò)群An(5≤n≤13)及對(duì)稱群Sn(5≤n≤7)．文獻(xiàn)[11]用群的階以及最高階元素的階刻畫了部分K5-單群．文獻(xiàn)[12]證明了群G的同階交換子群的個(gè)數(shù)之集為{1，3}等價(jià)于群G的同階子群的個(gè)數(shù)之集為{1，3}．文獻(xiàn)[13]討論了與最高階元素有關(guān)的幾個(gè)數(shù)量條件對(duì)Conway單群和Fischer單群的結(jié)構(gòu)的影響．文獻(xiàn)[14]討論了最高階元素個(gè)數(shù)為6p2q的有限群．文獻(xiàn)[15]用群的階以及mi(G)(i=1，2，3)刻畫了對(duì)稱群Sn(8≤n≤15)．

本文將繼續(xù)上述相關(guān)問題的研究， 研究群的某些特殊高階元素的階對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響，主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)G是有限群，G?S17當(dāng)且僅當(dāng)

(i) |G|=|S17|；

(ii)mi(G)=mi(S17)(i=1，2，3)．

定理2設(shè)G是有限群，G?S18當(dāng)且僅當(dāng)

(i) |G|=|S18|；

(ii)mi(G)=mi(S18)(i=1,2,3,4)．

定理3設(shè)G是有限群，G?S19當(dāng)且僅當(dāng)

(i) |G|=|S19|；

(ii)mi(G)=mi(S19)(i=1，2)．

定理1的證明

必要性顯然，下面只證充分性．

由文獻(xiàn)[16]得

|G|=215·36·53·72·11·13·17

m1(G)=210m2(G)=140m3(G)=120

步驟1 證明G有一個(gè)正規(guī)群列1?_N?M?G，使得M/N為非交換單群，且11·17||M/N|．

設(shè)

G=G0?_G1?_ …?_Gn-1?_Gn=1

為G的主群列，則存在i，使得

π(Gi)∩{11，17}≠?π(Gi+1)∩{11，17}=?

設(shè)M=Gi，N=Gi+1，則G?_M?N?_ 1為群G的正規(guī)列，且M/N為G/N的極小正規(guī)子群．

斷言{11，17}?π(M)．若否，設(shè)11?π(M)，17∈π(M)，則11∈π(G/M)．令

M17∈Syl17(M)G11∈Syl11(G)

則G11可共軛作用在M上．由文獻(xiàn)[17]的引理8.3.1可知M中存在G11-不變的Sylow 17-子群M17， 則

|G11/CG11(M17)|||Aut(M17)| 11 ∈π(CG11(M17))

故187∈πe(G)，矛盾于m2(G)=140．于是11 ∈π(M)．

同理可證，不存在11 ∈π(M)，且17?π(M)．因此{(lán)11，17}?π(M)．

下證M/N為非交換單群．

因?yàn)?/p>

{11，17}?π(M)π(N)∩{11，17}=?

故

{11，17}?π(M/N)

M/N為G/N的極小正規(guī)子群，且17|||G|，故M/N必為非交換單群，且11·17||M/N|．

步驟2 證明M/N?A17．

由步驟1知M/N為非交換單群，|M/N|||S17|且11·17||M/N|，

|G|=215·36·53·72·11·13·17

由文獻(xiàn)[16]知M/N?A17．

步驟3 證明G?S17．

若M/N?A17，由文獻(xiàn)[15]的引理2知G中存在正規(guī)子群C，使得

若|C|=2，則G/C?A17．故G?2×A17，或G?2·A17，則m3(G)=126．這與m3(G)=120相矛盾．

若|C|=1，則G/C?S17，即G?S17．

綜上所述，定理1得證．

定理2的證明

必要性顯然，下面只證充分性．

由條件知

|G|=216·38·53·72·11·13·17

m1(G)=210m2(G)=180m3(G)=168m4(G)=140

類似于定理1的證明可以得到，G有一個(gè)正規(guī)群列1?_N?M?_G，使得M/N為非交換單群，且11·17||M/N|．由文獻(xiàn)[16]知M/N?A17，A18．

1 charD1charD2char … charDn=C

使得Di/Di-1為初等交換群，其中Di-1為Di的極大正規(guī)子群．從而一定存在i，使得|Di/Di-1|=3，32．于是

則

|G/Di-1/CG/Di-1(Di/Di-1)|||Aut(Di/Di-1)|

由

G/C?G/Di-1/C/Di-1

可得G/Di-1包含A17這個(gè)截?cái)啵葾17有55階元，且

|G/Di-1/CG/Di-1(Di/Di-1)|||Aut(Di/Di-1)|

可得CG/Di-1(Di/Di-1)有55階元．故G有165階元，這與m4(G)=140矛盾．

若M/N?A18，由文獻(xiàn)[15]的引理2知，存在C?_G使得

如果|C|=2，則G/C?A18，從而G?2×A18，2·A18，這時(shí)m4(G)=154，矛盾．

如果|C|=1，則G/C?S18，即G?S18．

綜上所述，定理2得證．

定理3的證明

必要性是顯然的，下面只證充分性．

已知

|G|=216·38·53·72·11·13·17·19

m1(G)=420m2(G)=210

類似于定理1的推理知，G有一個(gè)正規(guī)群列1?_N?M?_G，使得M/N為非交換單群，且17·19||M/N|，其中19=max{p：p∈π(M/N)}，由文獻(xiàn)[16]知，M/N?A19，J3．

若M/N?J3，由文獻(xiàn)[15]的引理2知，存在G的正規(guī)子群C，使得

從而

|C|=29·33·52·72·11·13

或

|C|=28·33·52·72·11·13

令

C13∈Syl13(C)G19∈Syl19(G)

從而G19可共軛作用在C上．由文獻(xiàn)[17]的引理8.3.1可知C中存在G19-不變的Sylow 13-子群C13，則

|G19/CG19(C13)|||Aut(C13)| 19 ∈π(CG19(C13))

故247∈πe(G)，這與m2(G)=210矛盾，故M/NJ3，于是M/N?A19．由文獻(xiàn)[15]的引理2可知，G中存在正規(guī)子群C，使得

如果|C|=2，則G/C?A19．故G?2×A19，2·A19，從而m2(G)=330，這與m2(G)=210相矛盾．

如果|C|=1，則G?S19．

綜上所述，定理3得證．

注定理1中的m3(G)不能缺少，否則G?2×A17，2·A17； 定理2中的m3(G)與m4(G)不能缺少，否則G?2×A18，2·A18．