白奕杰，孫瑞勝，陳 偉，朱 斌

（南京理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，南京 210094）

1 引 言

姿態(tài)控制系統(tǒng)作為飛行器系統(tǒng)的核心之一，決定了飛行器是否可以成功完成預(yù)定的飛行任務(wù)。現(xiàn)有飛行器已演變出如四旋翼飛行器、高超聲速飛行器、無人巡飛器、變形翼等諸多種類。它們大多具有非線性強(qiáng)、動力學(xué)系統(tǒng)復(fù)雜與難以精確建模的特性。此外，各類飛行器執(zhí)行飛行任務(wù)的空域更廣闊、飛行條件更加復(fù)雜，也使得相關(guān)問題更加突出。面對這種情況，國內(nèi)外學(xué)者也逐漸探索出多種先進(jìn)的非線性控制理論，如反饋線性化[1]、反演控制[2]、滑?？刂芠3]、自抗擾控制[4-5]以及自適應(yīng)控制[6]方法等。它們可以使所設(shè)計(jì)的控制器容許甚至補(bǔ)償系統(tǒng)難以建模的部分和飛行過程中的外部干擾，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤響應(yīng)。

一般來說，上述非線性控制理論大多可以通過合理的設(shè)計(jì)使控制器擁有良好的穩(wěn)態(tài)性能，但卻難以對系統(tǒng)的瞬態(tài)性能進(jìn)行直接約束。但若系統(tǒng)的瞬態(tài)跟蹤性能未能被約束在允許的范圍內(nèi)，可能會使飛行器控制系統(tǒng)在達(dá)到穩(wěn)態(tài)之前被破壞，而飛行器本身的靈活、機(jī)動性一定程度上依賴控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度。為了解決這個問題，希臘學(xué)者Bechlioulis 和Rovithakis 于2008年提出了一種新的控制方法，名為預(yù)設(shè)性能控制（Prescried Performanle lontrol，PPC）方法。該方法通過引入預(yù)設(shè)性能函數(shù)（Prescried Performanle Function，PPF）和誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)來約束系統(tǒng)的瞬態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能[7-8]，并在文獻(xiàn)[9]中首次運(yùn)用這種控制方法設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了對單輸入單輸出系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)。根據(jù)這種新的控制思想，很多學(xué)者進(jìn)行了深入的研究，推進(jìn)了預(yù)設(shè)性能控制的發(fā)展。現(xiàn)已有將PPC 方案運(yùn)用于嚴(yán)格反饋系統(tǒng)[10]、伺服機(jī)構(gòu)][11]、懸架系統(tǒng)[12]等的控制器設(shè)計(jì)中的研究。此外，文獻(xiàn)[13]構(gòu)建了一種新的切換預(yù)設(shè)性能函數(shù)，改善了單一性能函數(shù)在約束特性復(fù)雜的對象時面臨的局限性問題。

為了解決難以精確建模的問題，前述經(jīng)典的控制方法通常會使用函數(shù)逼近器來對系統(tǒng)未建模部分進(jìn)行補(bǔ)償和估計(jì)。然而，這在實(shí)踐中會大大增加計(jì)算的復(fù)雜度。為此，Bechlioulis 等[14-15]提出了一種無需使用任何函數(shù)逼近器的PPC 方案。在此基礎(chǔ)上，Sun 等[16]進(jìn)行了導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，降低了系統(tǒng)的復(fù)雜度和計(jì)算量。

由于PPC 方案中誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)中對數(shù)函數(shù)的計(jì)算有嚴(yán)格的非負(fù)性要求。但是，在傳統(tǒng)PPC 方案的實(shí)際運(yùn)用中，當(dāng)預(yù)設(shè)性能函數(shù)收斂至趨近穩(wěn)態(tài)誤差邊界時，存在潛在的誤差越界風(fēng)險(xiǎn)。這種情況下，該條件顯然不能被滿足。一旦在控制計(jì)算中出現(xiàn)負(fù)值，所采用的對數(shù)函數(shù)將不能得到實(shí)數(shù)，從而引發(fā)在奇異性問題，繼而導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定[17]。對此，Zhu 等[18]研究了PPC 方法存在的穩(wěn)態(tài)振蕩，并提出了一種自適應(yīng)衰減增益控制方案。此外，難以預(yù)測的大擾動易帶來短時間內(nèi)跟蹤誤差的增大也容易造成誤差越界現(xiàn)象。

為了解決上述問題，本文提出一種自適應(yīng)PPF 的改進(jìn)方案：跟蹤誤差越界可以促使PPF 自動地放寬邊界，使測量跟蹤誤差一直被包覆，保證對數(shù)函數(shù)輸入的非負(fù)性，控制系統(tǒng)計(jì)算過程中的所有結(jié)果落在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)，避免奇異發(fā)生。對于提出的改進(jìn)方案，通過在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后施加大的干擾進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證，以驗(yàn)證方法的正確性與有效性。

2 問題描述

2.1 姿態(tài)動力學(xué)模型

本文面向一類具有面對稱外形的飛行器系統(tǒng)進(jìn)行姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)，其空間姿態(tài)動力學(xué)模型為：

式中，?、ψ、γ為飛行器姿態(tài)角；ωz、ωy、ω x為角速率；慣性矩Jz、Jy、Jz為常數(shù)；空氣動力矩Mz、My、Mx可表示為以下非線性函數(shù)

由于飛行器姿態(tài)角的變化會引起其飛行速度、高度的變化，但相較于姿態(tài)運(yùn)動，速度與高度的改變是一個較長的過程。我們可以將這些變化視作一種擾動，再綜合建模時未考慮的彈性形變、系統(tǒng)存在的未知動力學(xué)部分，以及飛行器飛行過程中受到的外界的干擾。將它們統(tǒng)一等效為外部擾動d。最后，我們得到飛行器姿態(tài)動力學(xué)系統(tǒng)的一般形式

式中，狀態(tài)向量定義為：x1=[?,ψ,γ]T，x2=而向量

為方便控制器設(shè)計(jì)，對所研究的動力學(xué)系統(tǒng)做出如下公認(rèn)假設(shè)：

非線性函數(shù)fi(·),i=1,2是連續(xù)的，且存在未知常數(shù)G1,G2＞0，使函數(shù)滿足不等式此外，認(rèn)為為嚴(yán)格的正或負(fù)。該假設(shè)是非線性控制設(shè)計(jì)中公認(rèn)的可控條件，為使該假設(shè)成立，則對于t＞0 時的控制輸入增益必須非零。在不失一般性的前提下，本文假設(shè)它們是嚴(yán)格為正的。

2.2 PPC 控制方案

與其他經(jīng)典的非線性控制方案相比，PPC 的優(yōu)越性體現(xiàn)在可以同時約束系統(tǒng)的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能，這得益于設(shè)計(jì)的PPF 與誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)。圖1為無逼近PPC 方法的基本控制結(jié)構(gòu)。

圖1 PPC 控制框圖Fig.1 Block diagram of the PPC scheme

從圖可1 知，PPC 控制器設(shè)計(jì)的核心主要為以下三點(diǎn)。

（1）為了同時約束跟蹤誤差的收斂速度、最大超調(diào)和穩(wěn)態(tài)誤差，引入一個始終為正且隨時間衰減的連續(xù)函數(shù)作為 PPF 規(guī)定誤差邊界：ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-lt+ρ∞[7]。式中ρ0，ρ∞，l均為正常數(shù)，分別決定了初始誤差邊界、最終誤差邊界以及跟蹤誤差收斂速度下界。

（2）將跟蹤誤差e轉(zhuǎn)換為歸一化

（3）為使跟蹤響應(yīng)滿足要求，e應(yīng)滿足不等式為常數(shù)。為了避免直接對不等式約束條件進(jìn)行處理，定義一個光滑且嚴(yán)格遞增的函數(shù)S[ε]作為誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)，ε∈?為變換誤差，將不等式約束條件轉(zhuǎn)換為等效的“無約束”條件。對S[ε]求逆可得轉(zhuǎn)換誤差εi

但是按照上述傳統(tǒng)無逼近PPC 方案設(shè)計(jì)的控制器在工程實(shí)踐中存在一定的問題。

（1）在實(shí)際的工程運(yùn)用中，由于飛行器飛行的外部環(huán)境對控制系統(tǒng)的影響的大小與時機(jī)都是我們無法預(yù)測的，并且飛行器執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制能力有限，一些突然的大擾動可能帶來短時間內(nèi)跟蹤誤差的增大。

（2）在理想的仿真情況下，我們可以通過選取合適的控制參數(shù)來保證系統(tǒng)的跟蹤誤差在性能函數(shù)規(guī)定的區(qū)間內(nèi)。但上述情況下，跟蹤誤差e很可能會突然超出邊界，則或?qū)е马?xiàng)不滿足非負(fù)性的條件，進(jìn)而造成誤差轉(zhuǎn)換中的對數(shù)函數(shù)在計(jì)算過程中產(chǎn)生奇異性。這樣，根據(jù)轉(zhuǎn)換誤差計(jì)算得到的控制輸入u不能被有效執(zhí)行，整個系統(tǒng)將會如圖2所示，處于不穩(wěn)定的狀態(tài)，甚至最終崩潰。

圖2 跟蹤誤差越界Fig.2 Tracking error out of bounds

本文主要的貢獻(xiàn)在提出了一種控制改進(jìn)方案，使上述奇異性問題可以得到解決，同時保證系統(tǒng)的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)控制響應(yīng)。

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 自適應(yīng)PPF

針對2.2 節(jié)中提及的跟蹤誤差越出預(yù)定的誤差邊界導(dǎo)致的奇異性問題，本文提出一種自適應(yīng)誤差邊界的方案，對設(shè)計(jì)的PPF 做出一定的改進(jìn)，使得PPF 可以在歸一化誤差λ達(dá)到規(guī)定閾值、存在越界風(fēng)險(xiǎn)時能夠自動重置并刷新初值來適應(yīng)突變的跟蹤誤差，避免λ=e/ρ≥或λ=e/ρ≤-的情況出現(xiàn)。以下為提出的自適應(yīng)PPF 形式

式中，n記錄控制系統(tǒng)運(yùn)行至t時刻，該性能函數(shù)重新收斂的次數(shù)：當(dāng)擾動致使歸一化誤差λ達(dá)到閾值，即μ∈ (0,1)時，PPF 將以ρn0為初值重置，n=n+1；tn對應(yīng)每次PPF 重置的時間點(diǎn)。PPF 第n次重新收斂時的初始邊界ρn0是關(guān)于該時刻跟蹤誤差en的比例函數(shù)

式中，τ＞1，為常數(shù)。

式(8)中，其余控制參數(shù)含義與傳統(tǒng)PPF 相同。顯然，這樣歸一化誤差λ=e/ρn可以保持在邊界內(nèi)。此時，變換誤差滿足

3.2 無逼近控制器設(shè)計(jì)

利用3.1 節(jié)中給出的改進(jìn)預(yù)設(shè)性能函數(shù)，以及文獻(xiàn)[14]中提出的無逼近PPC 控制方案的思想，可以得到飛行器姿態(tài)動力學(xué)系統(tǒng)PPC 制器的設(shè)計(jì)過程。

步驟1：定義姿態(tài)角跟蹤誤差

然后，我們利用誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)將姿態(tài)角誤差轉(zhuǎn)換為無約束形式

通過比例形式得到虛擬中間控制指令（角速率）

式中，k1＞0為控制增益。

步驟2：定義角速率跟蹤誤差

與步驟1 相似，可以得到轉(zhuǎn)換后角速率跟蹤誤差

然后可以得到最終的控制輸入

式中，k2＞0為控制增益。

3.3 穩(wěn)定性分析

本文提出的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性可總結(jié)如下。

定理1：對于非線性系統(tǒng)（3），我們設(shè)計(jì)了無逼近控制（14），其初始條件滿足ei(0)＜δρi(0)，則對于控制系統(tǒng)中的所有信號在每一階段t∈[tn,tn+1),n=0,1,2,...內(nèi)都有界，且輸出跟蹤誤差ei(t)可保持在式(6)規(guī)定的集合內(nèi)。

證明：考慮式(4)、(9)和(12)可定義任一階段t∈[tn,tn+1),n=1,2,...內(nèi)轉(zhuǎn)換誤差λi(t)導(dǎo)數(shù)為

接下來，根據(jù)式(12)、(15)可以計(jì)算得到轉(zhuǎn)換誤差的時間導(dǎo)數(shù)為

定義Lyapunov 函數(shù)Vi=0.5εi2，對其求導(dǎo)

由于fi(·) 連續(xù)，可由中值定理得到

基于式(20)、(21)可得：

4 仿真及分析

4.1 仿真條件

為了驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)PPC 方案，我們將在模型(1)的基礎(chǔ)上進(jìn)行諧波輸入軌跡信號跟蹤的數(shù)值仿真驗(yàn)證。

假設(shè)系統(tǒng)(1)中每組方程均在時刻t=5 s 開始受到階躍形式的外部擾動[19]:d1x=

表1 PPC 控制方案參數(shù)Table 1 PPC control scheme parameters

4.2 仿真結(jié)果

仿真結(jié)果如圖3～14 所示，圖3～5 給出了各姿態(tài)角的響應(yīng)曲線。圖6～8 為姿態(tài)角速率的響應(yīng)曲線，圖9～11 為相應(yīng)的跟蹤誤差曲線及預(yù)設(shè)的誤差邊界。從圖9～11 可以看出，在t=4 s時，性能函數(shù)已逐漸收斂至穩(wěn)態(tài)，但由于在t=5 s 時刻加入的干擾d，造成了誤差超越原始誤差邊界的情況，促使傳統(tǒng)PPC 方案下，控制回路運(yùn)算過程中歸一化誤差λ=e/ρ≥或，對數(shù)函數(shù)計(jì)算得復(fù)數(shù)，控制系統(tǒng)遭到了破壞，姿態(tài)控制系統(tǒng)失效，而提出的改進(jìn)方案中預(yù)設(shè)性能函數(shù)通過重啟的方式擴(kuò)展了邊界，避免了奇異性的發(fā)生，系統(tǒng)可以在保證預(yù)設(shè)性能的前提下正常運(yùn)行。

圖3 俯仰角? 響應(yīng)曲線Fig.3 Tracking response of angle?

圖4 偏航角ψ 響應(yīng)曲線Fig.4 Tracking response of angleψ

圖5 滾轉(zhuǎn)角γ 響應(yīng)曲線Fig.5 Tracking response of angle γ

圖6 ωz 響應(yīng)曲線Fig.6 Tracking response of angular rateωz

圖7 ωy 響應(yīng)曲線Fig.7 Tracking response of angular rate ωy

圖8 ωx 響應(yīng)曲線Fig.8 Tracking response of angular rateωx

同時，在圖9～11 中還可以看出，在誤差越界傳統(tǒng)方法崩潰之前，兩種方案得到的誤差跟蹤曲線完全重合，由圖12～14 展示的舵偏信號也是重合的，這就證明本文提出的改進(jìn)方案在奇異性問題出現(xiàn)之前，可以保證不影響原始的設(shè)計(jì)性能。

圖9 ωz 跟蹤誤差曲線Fig.9 Tracking error ofωz

圖10 ωy 跟蹤誤差曲線Fig.10 Tracking error of ωy

圖11 ωx 跟蹤誤差曲線Fig.11 Tracking error of ωx

圖12 δz 曲線Fig.12 Control inputδz

圖13 δy 曲線Fig.13 Control inputδy

圖14 δx 曲線Fig.14 Control inputδx

5 結(jié) 論

本文通過一種無逼近PPC 控制方法，研究了具有未知動態(tài)和擾動的非線性面對稱飛行器系統(tǒng)的三通道姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)問題。為了解決傳統(tǒng)PPC 方案在工程運(yùn)用中可能存在的因跟蹤誤差越界引起的奇異性問題，提出一種自適應(yīng)預(yù)設(shè)性能函數(shù)改進(jìn)方案。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)PPC 方案的正確性和有效性，該方法可以在跟蹤誤差越界的情況下保持系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，同時滿足初始設(shè)計(jì)的跟蹤性能要求。