江葉峰，熊 浩，付 偉

(國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司，江蘇 南京 211100)

電力系統(tǒng)建模是電力系統(tǒng)運(yùn)行分析與控制的基礎(chǔ)和前提，對(duì)電力系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行至關(guān)重要?，F(xiàn)代電網(wǎng)的源、網(wǎng)、荷均發(fā)生了重大的變化，其結(jié)構(gòu)和運(yùn)行方式也愈發(fā)多樣化，這對(duì)電力系統(tǒng)建模提出了新的要求。

傳統(tǒng)電力系統(tǒng)建模一般采用離線方式。而對(duì)于現(xiàn)代電網(wǎng)，由于模型參數(shù)具有時(shí)變性，應(yīng)在線采集數(shù)據(jù)并在線建模。傳統(tǒng)電力系統(tǒng)建模一般采用集中方式，如省、網(wǎng)等各級(jí)調(diào)度中心統(tǒng)一建立全省、全網(wǎng)的模型。面向現(xiàn)代電網(wǎng)建模時(shí)，由于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模巨大，要對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有元件同時(shí)建模幾乎不可能。為此，可以利用電力系統(tǒng)的分層分區(qū)管理特點(diǎn)，采用分層分區(qū)建模方式[1]。分層建模時(shí)，對(duì)于某個(gè)層級(jí)的電網(wǎng)，除了要建立適用于自身需要的詳細(xì)模型以外，還需要建立適用于上層電網(wǎng)的等效模型。如上層電網(wǎng)是220 kV及以上電壓等級(jí)的輸電網(wǎng)，下層電網(wǎng)是110 kV及以下電壓等級(jí)的配電網(wǎng)，從輸電網(wǎng)仿真計(jì)算的角度考慮，需要建立配電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)等效模型，再將其與輸電網(wǎng)模型合并[2]，從而獲得更為準(zhǔn)確的全網(wǎng)模型。分區(qū)建模時(shí)，各級(jí)調(diào)度中心只建立自身的詳細(xì)模型，而其他區(qū)域的電網(wǎng)通常采用等效模型。

現(xiàn)有的動(dòng)態(tài)等效建模大多是基于研究系統(tǒng)內(nèi)部元件機(jī)理模型的等效化簡(jiǎn)[3-5]，相對(duì)復(fù)雜且通用性不強(qiáng)。以負(fù)荷建模為例[6-7]，當(dāng)負(fù)荷群中成分比較單一時(shí)，采用機(jī)理模型是合適的。當(dāng)負(fù)荷群中的動(dòng)態(tài)元件類型不止一種，或者雖然類型單一但特性相差較大時(shí)，就難以用單個(gè)等值機(jī)理去描述。若采用幾種機(jī)理模型的組合，又會(huì)因?yàn)槲粗戎祬?shù)的增多而造成參數(shù)估計(jì)困難。

與此同時(shí)，針對(duì)工程對(duì)象結(jié)構(gòu)復(fù)雜、精確的動(dòng)力學(xué)建模越來(lái)越困難的情況，有學(xué)者在20世紀(jì)90年代提出了特征建模[8-12]的思想，并在航天工程中得到了成功應(yīng)用[13]。特征模型與高階系統(tǒng)的降階模型不同，它將高階模型的相關(guān)信息均壓縮于幾個(gè)特征參量中，但并不丟失信息，且模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工程實(shí)現(xiàn)容易。此外，與以往的電力系統(tǒng)非機(jī)理模型不同，特征模型的特征參數(shù)是慢時(shí)變的，而現(xiàn)代電網(wǎng)的關(guān)鍵特征之一就是參數(shù)的時(shí)變性[14]。因此在進(jìn)行電力系統(tǒng)在線等效建模時(shí)可以考慮采用特征建模方法。

本文針對(duì)現(xiàn)有基于元件機(jī)理進(jìn)行動(dòng)態(tài)等效建?？赡軐?dǎo)致模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜及參數(shù)辨識(shí)難度大的問(wèn)題，引入模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工程實(shí)現(xiàn)容易的特征建模方法，對(duì)下層電網(wǎng)進(jìn)行在線實(shí)時(shí)等效建模，有效平衡等效模型簡(jiǎn)潔度與精確度之間的矛盾。

1 特征建模的原理

對(duì)于滿足一定條件的非線性系統(tǒng)，在滿足一定采樣周期Δt的條件下，其等效特征模型[15]可以用一個(gè)二階時(shí)變差分方程來(lái)描述：

x(k+1)=f1(k)x(k)+f2(k)x(k-1)+g1(k)u(k)+g2(k)u(k-1)

(1)

式中：x為狀態(tài)量；u為控制量；k為時(shí)步；f1、f2、g1、g2分別為慢時(shí)變的系統(tǒng)參數(shù)。

對(duì)于式(1)，若短時(shí)間內(nèi)認(rèn)為特征模型參數(shù)基本不發(fā)生變化，可以采用最小二乘算法辨識(shí)；而對(duì)于參數(shù)時(shí)變的情況，可以采用遞推最小二乘算法在線辨識(shí)時(shí)變參數(shù)[16]。

2 電網(wǎng)的特征建模方法

2.1 特征模型輸入、輸出變量的選擇

當(dāng)對(duì)下層電網(wǎng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)等效建模時(shí)，特征模型的輸入變量可以為母線電壓幅值，或既考慮電壓幅值又考慮電壓相位，而輸出變量為系統(tǒng)吸收的有功功率和無(wú)功功率，或電流實(shí)部和虛部。

2.1.1 特征模型的輸入變量

對(duì)于下層電網(wǎng)特征模型的輸入變量是否考慮電壓相位，可以建立以下3種模型(以二階模型為例)。

a.PQ-U模型。只考慮電壓幅值為輸入變量，不考慮電壓相位，輸出變量為功率：

(2)

b.PQ-Uφ模型。以電壓幅值和相位作為輸入變量，輸出變量為功率：

(3)

c.PQ-uduq模型。以電壓直軸分量ud和電壓交軸分量uq作為輸入變量，輸出變量為功率：

(4)

2.1.2 特征模型的輸出變量

下層電網(wǎng)中主要的動(dòng)態(tài)元件為發(fā)電機(jī)和負(fù)荷。

a.發(fā)電機(jī)元件[17]。設(shè)d、q軸各有一個(gè)等效阻尼繞組，可列出d軸和q軸的運(yùn)算方程式：

ψd=G(s)uf-Xd(s)idψq=-Xq(s)iq

(5)

式中：G(s)為運(yùn)算電導(dǎo)；Xd(s)、Xq(s)分別為d軸及q軸運(yùn)算電抗；ψd、ψq分別為d軸及q軸磁鏈；id、iq分別為d軸及q軸電流；uf為勵(lì)磁電壓；s為拉普拉斯算子。

在穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)附近對(duì)發(fā)電機(jī)Park方程進(jìn)行線性化，忽略較小項(xiàng)，此時(shí)轉(zhuǎn)速接近1，進(jìn)一步忽略定子電阻的影響，可得頻域形式的方程為

ΔUd(s)=-Δψq(s) ΔUq(s)=Δψd(s)

(6)

式中：ΔUd、ΔUq分別為d軸及q軸電壓增量；Δψq、Δψd分別為d軸及q軸磁鏈增量。

當(dāng)維持勵(lì)磁電壓不變時(shí)，ΔUf(s)=0，由式(5)、式(6)可得：

(7)

式中ΔId、ΔIq分別為d軸及q軸電流增量。

b.負(fù)荷元件[17]，主要包含電動(dòng)機(jī)負(fù)荷和靜態(tài)負(fù)荷。電動(dòng)機(jī)負(fù)荷在頻率及轉(zhuǎn)速恒定的近似條件下，電流的狀態(tài)方程本身是線性的，經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換可得輸入電壓和輸出電流的線性關(guān)系式：

(8)

(9)

式中各變量的含義見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。

對(duì)于綜合電動(dòng)機(jī)模型(CLM模型)，還要加上靜態(tài)負(fù)荷，令其導(dǎo)納值為Gs+jBs，則綜合負(fù)荷的總電流與電壓之間的傳遞函數(shù)為

(10)

綜上所述，無(wú)論對(duì)于發(fā)電機(jī)元件還是負(fù)荷元件，以電流分量作為輸出變量的模型在合理假設(shè)之下是線性的，而以功率作為輸出變量的模型是非線性的。本文所用的特征模型為線性的差分方程模型，因此理論上采用電流作為特征模型的輸出變量時(shí)，應(yīng)當(dāng)比功率作為輸出變量更合理。

為了對(duì)比功率和電流分別作為特征模型輸出變量的效果，建立兩種模型進(jìn)行對(duì)比：①PQ-U模型，輸入變量為電壓，輸出變量為功率，見(jiàn)式(2)。②IrIj-U模型，輸入變量為電壓，輸出變量為電流，特征方程為

(11)

2.2 特征模型輸入、輸出變量的對(duì)比

以CEPRI-36節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，對(duì)比確定特征模型的輸入、輸出變量。仿真系統(tǒng)見(jiàn)文獻(xiàn)[18]，假設(shè)下層電網(wǎng)由兩個(gè)負(fù)荷以及一臺(tái)發(fā)電機(jī)組成，BUS18負(fù)荷使用綜合負(fù)荷模型，電動(dòng)機(jī)比例為30%，靜態(tài)負(fù)荷部分采用恒阻抗模型，BUS50負(fù)荷使用感應(yīng)電動(dòng)機(jī)模型，BUS5發(fā)電機(jī)采用5階模型。

2.2.1 特征模型的輸入變量對(duì)比

在外部電網(wǎng)施加擾動(dòng)：1 s時(shí)，BUS16-BUS29線路BUS16一側(cè)設(shè)置單相短路接地故障，接地阻抗為0.3+j3，0.2 s后切除。利用PSASP軟件仿真記錄下層電網(wǎng)的輸入電壓、總的有功功率以及無(wú)功功率。下層電網(wǎng)的輸入電壓幅值和相位變化如圖1所示。

圖1 下層電網(wǎng)的輸入量Fig.1 Inputs of lower-level grid

采用最小二乘算法分別對(duì)PQ-U模型、PQ-Uφ模型和PQ-uduq模型的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，并用辨識(shí)的參數(shù)進(jìn)行功率擬合，參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表1所示，功率擬合結(jié)果如圖2所示。

表1 PQ-U模型、PQ-Uφ模型、PQ-uduq模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

圖2 特征模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.2 Dynamic responses of characteristic model

表2 3種模型的擬合誤差對(duì)比

為了定量分析建模誤差，采用均方根誤差指標(biāo)(RMSE)判斷擬合效果。PQ-U模型、PQ-Uφ模型和PQ-uduq模型的誤差對(duì)比如表2所示。從圖2和表2可以看出，3種模型都能較好擬合下層電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，誤差都較小。PQ-Uφ模型和PQ-uduq模型的誤差基本相當(dāng)，PQ-U模型誤差比PQ-Uφ模型和PQ-uduq模型稍大一點(diǎn)，但也很小。由此可見(jiàn)，忽略相位后的特征模型對(duì)功率擬合影響不是很大。因此，后續(xù)對(duì)于特征模型的分析中不再將電壓相位作為輸入，而只考慮將電壓幅值作為輸入。

圖3 IrIj-U模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.3 Dynamic responses of IrIj-U model

2.2.2 特征模型的輸出變量對(duì)比

根據(jù)算例，對(duì)比PQ-U模型和IrIj-U模型在3%、5%、10%、15%、20%和30%6種不同擾動(dòng)電壓跌落程度下(單相短路接地，調(diào)整短路接地阻抗使得電壓跌落程度不同)模型的適應(yīng)性。

以擾動(dòng)1為例，電壓輸入見(jiàn)圖1(a)，擾動(dòng)1下PQ-U模型的功率擬合見(jiàn)圖2，IrIj-U模型的電流擬合見(jiàn)圖3。

不同擾動(dòng)電壓下PQ-U模型和IrIj-U模型計(jì)算出的有功功率P、無(wú)功功率Q、電流實(shí)部Ir以及電流虛部Ij的擬合誤差對(duì)比見(jiàn)表3。從圖2、圖3和表3可見(jiàn)，PQ-U模型、IrIj-U模型都能較好擬合下層電網(wǎng)的功率和電流，誤差均較小。總體來(lái)說(shuō)，PQ-U模型和IrIj-U模型的擬合誤差基本相當(dāng)，IrIj-U模型擬合誤差小一點(diǎn)。

表3 PQ-U模型和IrIj-U模型的擬合誤差對(duì)比

不同擾動(dòng)下PQ-U模型和IrIj-U模型的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果見(jiàn)表4。以擾動(dòng)1下辨識(shí)的參數(shù)為準(zhǔn)確參數(shù)，計(jì)算其他擾動(dòng)下參數(shù)的誤差百分比，見(jiàn)表5。

表4 PQ-U模型和IrIj-U模型的辨識(shí)參數(shù)

表5 PQ-U模型和IrIj-U模型其他擾動(dòng)下參數(shù)與擾動(dòng)1參數(shù)的誤差百分比

圖4 實(shí)際電網(wǎng)IrIj-U模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.4 Dynamic responses of IrIj-U models in real power grid

由表2～5可以看出：①PQ-U模型和IrIj-U模型發(fā)生擾動(dòng)電壓跌落10%以下時(shí)，參數(shù)均基本保持平穩(wěn)，變化不大，小擾動(dòng)下PQ-U模型和IrIj-U模型都是適合的；②電壓跌落達(dá)到15%及以上時(shí)，PQ-U模型和IrIj-U模型參數(shù)都發(fā)生了較大變化，因?yàn)闄C(jī)理模型是高階系統(tǒng)，大擾動(dòng)下采用低階線性系統(tǒng)擬合，參數(shù)會(huì)發(fā)生較大變化；③總體來(lái)說(shuō)，IrIj-U模型的參數(shù)平穩(wěn)性要明顯優(yōu)于PQ-U模型。

綜合考慮擬合效果、誤差以及參數(shù)平穩(wěn)性，以電壓作為特征模型的輸入量，電流實(shí)部和虛部作為特征模型的輸出量，關(guān)于特征模型的分析都采用IrIj-U模型。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證特征建模的有效性，基于華中電網(wǎng)典型運(yùn)行方式，采用特征模型對(duì)其中某一小區(qū)域進(jìn)行等效建模。1 s時(shí)，節(jié)點(diǎn)A和B之間設(shè)置三相短路故障，接地阻抗0.03+j0.3，0.2 s后故障切除。IrIj-U模型與詳細(xì)模型動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)比如圖4所示，Ir的RMSE誤差為1.499×10-3，Ij的RMSE誤差為2.592×10-3，參數(shù)辨識(shí)結(jié)果為θ1=1.93，θ2=-0.96，θ3=1.77，θ4=-3.57，θ5=1.93，θ6=1.41，θ7=-0.48，θ8=18.60，θ9=-27.24，θ10=9.38。

3 特征模型參數(shù)的慢時(shí)變分析

前文對(duì)模型聚合方法的研究都是基于定常系數(shù)特征模型的分析，實(shí)際電力系統(tǒng)通常是慢時(shí)變的，相應(yīng)特征模型的參數(shù)也應(yīng)當(dāng)是慢時(shí)變的。在電力系統(tǒng)機(jī)理模型參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，研究其等效的非機(jī)理模型參數(shù)的變化情況，對(duì)參數(shù)慢時(shí)變特性進(jìn)行分析。

以CEPRI-36節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，為研究其下層電網(wǎng)機(jī)理模型隨時(shí)間緩慢變化時(shí)，對(duì)應(yīng)特征模型參數(shù)的變化情況，按照如下方法仿真：采用下層電網(wǎng)中負(fù)荷18為綜合負(fù)荷模型，其電動(dòng)機(jī)比例是隨時(shí)間變化的，總的仿真時(shí)間為20 s，以2 s為一個(gè)仿真時(shí)段，共分為10個(gè)仿真時(shí)段，每經(jīng)過(guò)一個(gè)仿真時(shí)段，負(fù)荷的電動(dòng)機(jī)比例增加3%，初始電動(dòng)機(jī)比例為30%，最后一個(gè)仿真時(shí)段電動(dòng)機(jī)比例為57%，具體變化如圖5所示。為了能夠在每個(gè)時(shí)段都能辨識(shí)出下層電網(wǎng)對(duì)應(yīng)的特征模型參數(shù)，需要在每個(gè)時(shí)段開(kāi)始時(shí)設(shè)置擾動(dòng)。在BUS16處有一個(gè)靜止無(wú)功補(bǔ)償器，容量Qc=1 pu。仿真中，第一個(gè)時(shí)段開(kāi)始時(shí)(0 s)切除此靜止無(wú)功補(bǔ)償器，第二個(gè)時(shí)段(2 s)再次投入靜止無(wú)功補(bǔ)償器，第三個(gè)時(shí)段(4 s)再次切除此靜止無(wú)功補(bǔ)償器，依此類推，不斷交替切除或投入靜止無(wú)功補(bǔ)償器。根據(jù)仿真記錄的電壓及電流數(shù)據(jù)，采用遞推最小二乘算法辨識(shí)下層電網(wǎng)特征模型的時(shí)變參數(shù)，參數(shù)初始值根據(jù)最初10個(gè)數(shù)據(jù)按最小二乘算法獲取，具體參數(shù)變化如圖6所示。

圖5 負(fù)荷的電動(dòng)機(jī)比例Fig.5 Motor-rate of load

圖6 特征模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.6 Dynamic responses of characteristic model

由圖6可以看出，由于擾動(dòng)是在每個(gè)時(shí)段開(kāi)始時(shí)施加的，擾動(dòng)后特征模型參數(shù)會(huì)發(fā)生變化，每個(gè)時(shí)段結(jié)束時(shí)，特征模型參數(shù)基本能收斂下來(lái)(見(jiàn)圖中的*點(diǎn))。隨著負(fù)荷的電動(dòng)機(jī)比例發(fā)生變化，每個(gè)時(shí)段特征模型的收斂參數(shù)也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化。電動(dòng)機(jī)比例緩慢上升，θ2、θ3、θ5、θ7及θ8參數(shù)也隨之緩慢上升。其中，θ2變化范圍為[-0.808，-0.687 6]，最大變化率為17.901%，θ3變化范圍為[3.747，4.57]，最大變化率為21.964%，θ5變化范圍為[3.423，3.791]，最大變化率為10.751%，θ7變化范圍為[-0.693 4，-0.346 9]，最大變化率為49.971%，θ8變化范圍為[5.605，8.132]，最大變化率為45.085%?？梢?jiàn)，θ7與θ8變化較大。θ1、θ4、θ6、θ9及θ10隨之緩慢下降。θ1變化范圍為[1.631，1.776]，最大變化率為8.164%，θ4變化范圍為[-7.134， -8.357]，最大變化率為17.143%，θ6變化范圍為[1.66，1.26]，最大變化率為24.096%，θ9變化范圍為[-9.965， -11.26]，最大變化率為12.995%，θ10變化范圍為[4.382，3.142]，最大變化率為28.298%?？梢?jiàn)，θ6與θ10變化較大。由于電動(dòng)機(jī)比例變化比較小，特征模型參數(shù)總體來(lái)說(shuō)變化也比較小，對(duì)于慢時(shí)變的參數(shù)可采用遞推最小二乘算法較好地辨識(shí)出來(lái)。

利用每個(gè)時(shí)段的收斂參數(shù)擬合每個(gè)時(shí)段的電流曲線，與仿真測(cè)量的功率曲線對(duì)比，如圖7所示。

圖7 特征模型的慢時(shí)變參數(shù)Fig.7 Slowly-time-varying parameters of characteristic model

結(jié)合圖6、圖7可以看出，由于機(jī)理模型發(fā)生變化，下層電網(wǎng)的輸出電流實(shí)部和虛部曲線在不同時(shí)段發(fā)生了變化，因此對(duì)應(yīng)的特征模型參數(shù)也逐漸變化。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文引入模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工程實(shí)現(xiàn)容易的特征建模方法，對(duì)下層或區(qū)域電網(wǎng)進(jìn)行在線等效建模，有效平衡等效模型精確度和簡(jiǎn)潔度之間的矛盾。介紹了特征模型的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)辨識(shí)的算法，通過(guò)理論分析和仿真對(duì)比，選擇電壓為特征模型的輸入變量，電流分量作為特征模型的輸出變量，這種模型結(jié)構(gòu)擬合誤差小且參數(shù)平穩(wěn)性高。實(shí)際負(fù)荷算例驗(yàn)證表明，特征模型可以較好地?cái)M合下層電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。對(duì)于參數(shù)的慢時(shí)變進(jìn)行了簡(jiǎn)單的定性分析，分析了負(fù)荷機(jī)理模型發(fā)生的變化，當(dāng)電動(dòng)機(jī)比例改變時(shí)，相應(yīng)的特征模型也會(huì)慢時(shí)變。