李一凡，曹榮敏，侯忠生，周惠興

(1.北京信息科技大學 自動化學院，北京100192；2.青島大學 自動化學院，青島 266071；3.北京金鐸科技發(fā)展有限公司，北京 100081)

0 引言

高速高精度直線超聲電機運動平臺是精密加工的核心部件，是目前精密加工領域的研究熱點。高精度加工技術的發(fā)展對進給系統(tǒng)的要求越來越高，因此連續(xù)的微進給運動對于實現(xiàn)產(chǎn)品的最佳性能非常重要。直線超聲電機作為一種新型的微特電機，具有定位精度高、斷電自鎖、運行響應速度快和結構簡單的優(yōu)點[1]。

由于直線超聲電機在運行過程中表現(xiàn)出的非線性和時變特性，會給建立精確的數(shù)學模型帶來很大的困難[2],所以在直線電機運動控制研究中通常使用一些無模型的控制方法，包括比例積分(proportional-integral,PI)控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡控制、自適應控制等。文獻[3]建立了直線超聲電機的非線性模型，提出非線性補償比例積分微分(proportional-integral-derivative,PID)算法對直線超聲電機進行定位控制；文獻[4]提出一種PI控制加迭代學習控制的復合控制算法，基于直線超聲電機平臺模型進行設計，實驗控制精度可達3.8 μm；文獻[5]介紹了一種應用于非線性超聲電機納米位置控制的輸出反饋自抗擾控制方案，利用自抗擾控制方法對直線超聲電機進行位置控制。

針對直線超聲電機位置控制的問題，本文基于無模型自適應預測控制(model-free adaptive predictive control,MFAPC)[6]理論，提出了無模型自適應控制和多步預測控制相結合的無模型自適應多步預測控制(model-free adaptive multi-step predictive control,MFAMPC)方法。無模型自適應控制僅需要使用受控系統(tǒng)的輸入/輸出(input/output,I/O)數(shù)據(jù)，避免了非線性系統(tǒng)控制需要建模的問題，從而防止模型誤差對控制效果的影響。而多步預測控制算法可以提高直線超聲電機的位置控制精度，相關研究較多，比如文獻[7]利用漢默斯坦模型和實驗測量方法對超聲波電機進行了建模,設計多步模型預測控制器對電機進行位置控制；文獻[8]基于超聲電機動力響應的實驗數(shù)據(jù)，利用粒子群優(yōu)化方法得到了超聲電機驅動系統(tǒng)的非線性漢默斯坦模型，提出了超聲波電機的非線性廣義多步預測速度控制策略；文獻[9]提出一種將多步預測、滾動優(yōu)化與迭代學習控制律相結合的迭代學習控制律設計方法，通過設計超聲電機的非線性漢默斯坦模型，提出了一種電機的逆補償方法，對直線超聲電機進行位置控制。

本文所提方案結合了無模型自適應控制和多步預測控制的優(yōu)點，設計并給出穩(wěn)定性和收斂性證明，將該算法與其他數(shù)據(jù)驅動控制算法進行仿真結果對比，驗證了無模型自適應多步預測控制方法在保證直線超聲電機系統(tǒng)穩(wěn)定和精度方面的有效性。

1 無模型自適應多步預測控制方法

1.1 動態(tài)線性化方法和多步預測方程

一般離散時間非線性非仿射系統(tǒng)可用式(1)描述[6]：

y(t+1)=f(y(t),y(t-1),…,y(t-ny),

u(t),u(t-1),…,u(t-nu))

(1)

式中：u(t)∈R、y(t)∈R分別為t時刻系統(tǒng)的輸入和輸出；ny、nu為系統(tǒng)的未知階數(shù)；f(…)為未知的非線性函數(shù)。

無模型自適應多步預測方案與無模型自適應單步預測不同，需要對未來多個預測周期進行優(yōu)化控制，存在多個輸入輸出反饋。系統(tǒng)(1)緊格式動態(tài)線性化的轉換需要滿足下面兩個假設條件[6](為簡化控制系統(tǒng)設計方案，減少控制器解算時間，對假設2進行了矩陣化改進)。

假設1除有限時刻點外，f(…)對控制輸入u(t)有連續(xù)的偏導數(shù)。

式中

其中：C是一個常數(shù)；L是一個正整數(shù)，稱為線性化的控制輸入長度常數(shù)。

定理1對于系統(tǒng)(1)，當假設1和2成立時，對于給定的L，當‖ΔU(t)‖≠0時，一定存在偽偏導數(shù)φ(t)∈R使得系統(tǒng)(1)可以轉化為緊格式動態(tài)線性化方法表達式(2)：

(2)

式中

(3)

為進行無模型自適應多步預測控制，對式(3)矩陣化，令

式(3)可以改寫為

x(t+1)=Ax(t)+BΔu(t)

(4)

Δy(t)=cT(t)x(t)

(5)

式中

將緊格式動態(tài)線性化表達式(4)、(5)寫成一步預測方程的形式：

(6)

可以類似推出向前P步的預測方程如下：

(7)

將上述P步預測方程式(7)改寫成如下矩陣形式：

Y(t+1)=[y(t+1)…y(t+P)]T

E=[1 1 … 1]T

x(t+1)=[Δu(t)…Δu(t+j-1)]T

控制系統(tǒng)輸入和輸出多步預測方程可簡寫為以下形式：

Ψ2(t)x(t)

(8)

1.2 控制律設計

在控制算法的設計中，考慮如下二次型控制輸入準則函數(shù)：

(9)

根據(jù)參考文獻[10]，可得：

(10)

根據(jù)式(10)，式(9)可寫為

(11)

將式(8)代入式(11)，利用性能指標(9)最優(yōu)化條件?J/?Δu(t)=0,可得控制律為

[Y(t+1)-Ey(t)-Ψ2(t)x(t)]

(12)

根據(jù)預測控制求解控制量的基本方法，即所求得控制序列的第一個元素作為受控對象的實際控制量[11]，則可以得到該時刻的控制量如下：

u(t)=u(t-1)+gTx(t+1)

(13)

式中gT=[1 0 … 0]。

1.3 參數(shù)估計和預報算法

由于式(5)中參數(shù)向量c(t)未知，傳統(tǒng)最小二乘法不能對未知參數(shù)進行估計。針對待估參數(shù)未知和提高控制算法的魯棒性問題，本文引入兩個干擾項?、υ，同時對待估計參數(shù)進行了約束，利用遞歸最小二乘法確保所有信號在待估計參數(shù)具有不確定性時有界。參數(shù)向量c(t)通過如下改進的遞歸最小二乘法在線估計：

(14)

根據(jù)式(12)對未知參數(shù)向量的估計，在上述控制器設計過程中，需要基于當前時刻已知參數(shù)φ1、φ2、…、φj對未來時刻φj+1、φj+2、…、φL的近似估計值進行預報。本文使用一種多層梯度算法[12]來實現(xiàn)待估參數(shù)的預報。

首先建立參數(shù)預報自回歸模型：

(15)

令

式(14)可以簡化為

(16)

式中

(17)

式中：j=1，2，…，L-1。

綜上所述，根據(jù)控制律公式(12)、參數(shù)估計式(14)及預報算法式(17)可以進行無模型自適應多步預測控制器的設計和應用。

1.4 穩(wěn)定性和收斂性分析

針對離散時間非線性非仿射系統(tǒng)(1)，當yr(t+1)=yr且yr為一個常數(shù)時，存在一個正數(shù)λmin>0使得λ>λmin。根據(jù)1.1-1.3節(jié)設計的無模型自適應多步預測控制方案，有如下性質：

2)輸出和輸入序列{y(t)}和{u(t)}有界。

下面分兩步進行證明。

Δc(t)

(18)

由定理1可得|c(t)|≤C，因此Δc(t)≤2C，在式(18)兩邊取絕對值得式(19)如下：

(19)

因為υ>0,μ1>0,μ2>0，且存在常數(shù)D，使得

(20)

由此可得：

(21)

步驟2證明無模型自適應多步預測控制系統(tǒng)跟蹤誤差序列的收斂性以及系統(tǒng)的有界輸入輸出(bounded input bounded output，BIBO)穩(wěn)定。

定義系統(tǒng)跟蹤誤差為e(t+1)=yr-y(t+1)，將式(6)代入誤差方程，結合式(12)和式(13)整理可得：

e(t+1)=

(22)

式(22)兩端取絕對值：

|e(t+1)|=

(23)

(24)

因為Q是一個正定矩陣，det(Q)是λ的首項系數(shù)為1的j階多項式，Q11>0是λ的首項系數(shù)為1的(j-1)階多項式，而其余的Qij(i=2，3，…，j)是λ的首項系數(shù)為1的(j-2)階多項式。故存在λmin>0，使得當λ>λmin時，式(24)的符號與Q11/det(Q)相同。因此存在正常數(shù)b使得：

(25)

由式(12)和(13)得：

|e(t+1)|≤b|e(t)|≤…≤bt|e(1)|

(26)

因為yr(t)是有界常數(shù)，所以{y(t)}有界。結合式(12) 和式(13)可得：

|Δu(t)|≤

κ|e(t)|

(27)

式中κ是有界常數(shù)。

由式(27)推導可得：

|Δu(t)|≤

|Δu(t)|+|Δu(t-1)|+…+|Δu(2)|+|Δu(1)|≤

κ(|e(t)|+|e(t-1)|+…+|e(2)|)+|u(1)|≤

κ(bt|e(1)|+…+b|e(1)|)+|u(1)|≤

κb|e(1)|/(1-b)+|u(1)|

(28)

因此，序列{u(t)}是有界的。

2 直線超聲電機建模

電機控制過程中的建模方式包括有限元建模法[13-14]、解析法[15]和等效電路參數(shù)辨識法[16-18]。其中，等效電路參數(shù)辨識法將直線超聲電機的定子、阻尼等器件等效為合適的電子元件，利用機電耦合關系把機械模型等效為電學模型，同時利用成熟的電學理論對超聲電機進行工作特性分析。該方法模型結構簡單、參數(shù)少，是一種研究超聲電機控制策略的有效方法。故本文選用等效電路法[19]對直線超聲電機的驅動部分和運動部分進行建模分析。

2.1 一維直線超聲電機運動平臺組成

本文利用實驗室直線超聲電機平臺進行仿真實驗。圖1為一維直線超聲電機系統(tǒng)組成結構。該系統(tǒng)配以LINKS-RT仿真器、一維直線超聲電機驅動控制裝置、計算機控制模塊和上位機，構成一套完整的直線超聲電機控制系統(tǒng)開發(fā)驗證環(huán)境。首先利用上位機中Matlab仿真軟件對直線超聲電機系統(tǒng)進行仿真建模和控制算法編寫，編碼器生成整個控制算法文件，進行編譯后生成可識別代碼?？勺R別代碼由RT-Sim仿真器讀取并配置，將其通過以太網(wǎng)下載到LINKS-RT仿真器中。LINKS-RT仿真器可以實時監(jiān)控直線超聲電機的運動軌跡以及跟蹤誤差的變化。計算機運動控制模塊將數(shù)字信號轉換成模擬信號，為直線超聲電機驅動控制裝置供給輸入。光柵傳感器和霍爾傳感器測量直線超聲電機實際位置輸出。最后通過一維直線超聲電機驅動器控制裝置控制電機運動。

圖1 一維直線超聲電機系統(tǒng)組成結構

實驗室直線超聲電機具體性能參數(shù)指標如表1所示。本文基于此一維直線超聲電機系統(tǒng)進行數(shù)學建模和仿真分析研究。

表1 電機相關參數(shù)

2.2 直線超聲電機驅動部分建模

直線超聲電機驅動部分模型如圖3所示。

圖2 直線超聲電機驅動部分建模

因直線超聲電機符合電流超前電壓的特性，即可視為容性負載[18]，故可將直線超聲電機等效為電容來進行后續(xù)的建模分析，其中RP、CP為等效電阻和電容；驅動部分uc(t)為控制電壓；uf(t)為驅動器放大電壓；Rc是驅動器等效電阻；up(t)為施加在直線超聲電機上的電壓。

本文使用編碼型LUSM驅動器進行建模，電壓經(jīng)過驅動器放大，可以看作一個比例環(huán)節(jié)，比例系數(shù)K1=50。該環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)可表示為

(29)

根據(jù)圖2，由歐姆定律可得

uf(t)=Rc·i(t)+up(t)

(30)

式(30)可簡化為

(31)

對式(31)進行拉氏變換，可得

(32)

根據(jù)圖2，直線超聲電機輸出位移x(t)和輸入電壓up(t)可看作比例環(huán)節(jié)的輸出和輸入，該環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)如下：

(33)

其中K3為超聲電機壓電材料輸出位移和輸入電壓的轉換比，由表1數(shù)據(jù)可得，K3=0.5 μm/V。

根據(jù)式(29)、(32)、(33)可以得到直線超聲電機驅動部分傳遞函數(shù)：

(34)

2.3 直線超聲電機運動部分建模

直線超聲電機的壓電材料的運動和能量轉換具有非常明顯的非線性，建模非常困難。為了簡化建模難度，將直線超聲電機運動過程進行簡化。因為電機運動平臺會受到定子在其運動方向上的推力Ft和垂直于運動方向的位移x(t)，假定這兩個量成正比，可得

Ft=K4·x(t)

(35)

式中K4為定子相對平臺運動的摩擦系數(shù)。

根據(jù)簡化后的一維直線超聲電機的法向接觸模型[18]，可得

(36)

式中：M為運動平臺質量；Ff為軸向負載。

式(35)代入式(36)并進行拉氏變換，可得

(Ms2+Ff)·V(s)=X(s)·K4

(37)

可以得到運動部分傳遞函數(shù)為

(38)

因為直線超聲電機的運動特性，其系統(tǒng)開始運動的瞬時與定子發(fā)生振動存在一定的滯后關系，結合驅動部分傳遞函數(shù)式(34)，可以得到整個直線超聲電機輸入輸出傳遞函數(shù)為

(39)

3 仿真研究

3.1 仿真環(huán)境及模型參數(shù)

基于LUSM-100型直線超聲電機運行特性，該系統(tǒng)的輸入為電壓信號，輸出為位置信號。直線超聲電機及驅動器的傳遞函數(shù)各項參數(shù)如表1所示。通過Simulink仿真軟件建立一維直線超聲電機的等效電路模型如圖3所示。

圖3 無模型自適應多步預測控制方法仿真

圖3中期望跟蹤軌線Sine Wave設置成幅值為0.5 mm、頻率為1 Hz的正弦信號，模擬直線超聲電機位置運動；Saturation模塊用于將輸入信號限制在設定范圍內；MFAPC封裝模塊為本文所設計的無模型自適應多步預測控制器，內含參數(shù)估計、參數(shù)預報及多步預測控制等部分。MFAPC控制器的參數(shù)依據(jù)仿真實驗結果進行最優(yōu)選取，具體如表2所示；LUSM模塊為第2節(jié)建立的直線超聲電機模型；Scope模塊為示波器，顯示最終仿真結果。

表2 算法參數(shù)

3.2 仿真結果

將傳統(tǒng)PID算法、無模型自適應單步預測控制和無模型自適應多步預測控制分別應用到一維直線超聲電機進行位置控制，并進行仿真結果對比。

PID和無模型自適應單步預測控制的仿真結果如圖4所示。

圖4 PID和無模型自適應單步預測輸出跟蹤軌跡

PID和無模型自適應單步預測控制算法的位置誤差如圖5和圖6所示。

圖5 PID跟蹤誤差

圖6 無模型自適應單步預測控制跟蹤誤差

無模型自適應多步預測控制算法的仿真結果和位置誤差如圖7和圖8所示。

圖7 無模型自適應多步預測控制跟蹤軌跡

圖8 無模型自適應多步預測控制跟蹤誤差

3種算法在相同條件下的位置誤差對比如表3所示。

表3 誤差對比 mm

對以上仿真結果分析可知，針對一維直線超聲電機這種非線性特征較強的系統(tǒng)時，PID控制器在跟蹤性能上不如無模型自適應單步預測控制和無模型自適應多步預測控制，其誤差變化較大，實際運行過程中電機會產(chǎn)生抖振，進而嚴重影響直線超聲電機的使用壽命。無模型自適應單步預測控制也存在明顯抖振，會對設備使用壽命造成一定影響。而本文提出的無模型自適應多步預測控制算法對直線超聲電機的控制誤差更小，且誤差曲線更加平滑，在直線超聲電機系統(tǒng)的實際操作過程中產(chǎn)生的抖振更小。

4 結束語

本文設計實現(xiàn)了基于一維直線超聲電機的無模型自適應多步預測控制器，對無模型自適應多步預測控制方法進行了穩(wěn)定性和收斂性證明分析，該控制器不依賴于直線超聲電機系統(tǒng)的精確數(shù)學模型，能夠及時彌補直線超聲電機不確定性及各種擾動對控制性能的影響，從而保證直線超聲電機系統(tǒng)能穩(wěn)定運行且具有較高的控制精度。仿真分析對比了該控制方法和傳統(tǒng)的PID控制方法及無模型自適應單步預測控制方法對直線超聲電機的位置控制效果，結果表明無模型自適應多步預測控制算法融合了無模型自適應控制和多步預測控制的優(yōu)點，可有效實現(xiàn)直線超聲電機的精確位置控制，進一步減小位置誤差，提高跟蹤精度，從而提高系統(tǒng)的整體控制性能。