曲仕齊， 胥 諾， 高昕悅

（西安交通大學電氣工程學院，西安 710049）

0 引 言

采用結(jié)點電壓法和拉普拉斯變換求解復(fù)雜電路時，通常因方程過于復(fù)雜，很難手工完成計算，利用Matlab等數(shù)學軟件，計算機通過編程求解方程，可以大大減少人們的計算量［1-3］，同時利用Matlab等數(shù)學軟件進行GUI界面設(shè)計使得電路中各結(jié)點電壓波形可視化，可方便、直觀地得到電路中各元件的電壓［4-6］。

1 模型原理

1.1 結(jié)點電壓法

結(jié)點電壓是指電路中任意結(jié)點與參考結(jié)點之間的電位差，若電路可分為n個結(jié)點，任選一個結(jié)點作為參考點，令其電位為零，其余結(jié)點對該參考點的電位就是結(jié)點電壓。以電路中結(jié)點電壓為未知量，根據(jù)KCL寫出獨立結(jié)點電流方程，聯(lián)立求解出各結(jié)點電壓的方法為結(jié)點電壓法［7-9］。

1.2 復(fù)頻域分析法

采用經(jīng)典的時域分析法分析計算高階動態(tài)電路時，其初始條件和積分常數(shù)的計算非常復(fù)雜，使用復(fù)頻域分析法則可以簡化分析。其基本方法是將時域電路描述動態(tài)過程的常系數(shù)微分方程經(jīng)拉氏變換轉(zhuǎn)化為復(fù)頻域的代數(shù)方程并求解，得到待求量的復(fù)頻域函數(shù)，再經(jīng)過拉氏反變換得到所求的時域響應(yīng)［10-11］。

拉氏變換公式如下：

式中：t為時域變量；s為其拉氏變換后的復(fù)頻域變量。

當電路為零狀態(tài)響應(yīng)時，有：

式中：uL為電感元件的電壓；iL為電感元件的電流；uC為電容元件的電壓；iC為電容元件的電流；uR為電阻元件的電壓；iR為電阻元件的電流。

電路定理的形式變?yōu)椋?/p>

若電路中電感、電容的初始值為0，則導(dǎo)納Y變?yōu)椋?/p>

1.3 電路結(jié)構(gòu)參數(shù)的存儲

為實現(xiàn)電路的智能分析與計算，需要確定電路的結(jié)構(gòu)、各元件的參數(shù)和初始條件等，列寫對任意結(jié)構(gòu)電路的結(jié)點電壓方程，最后計算輸出。

將不同電路的結(jié)構(gòu)參數(shù)輸入計算機，計算機根據(jù)輸入?yún)?shù)自動列寫結(jié)點電壓方程。仔細研究手動列寫結(jié)點電壓方程的過程發(fā)現(xiàn)，結(jié)點電壓方程與元件的類型、連接的起止結(jié)點及元件參數(shù)相關(guān)。

本程序能夠進行智能分析的電路結(jié)構(gòu)中的元件只涉及電阻、電流源、電壓源、電感和電容5種（見表1）。其中電阻、電感、電容的編程思想類似，可作為一類元件，其參數(shù)有node1、node2、parameter，分別表示元件連接結(jié)點1、連接結(jié)點2、元件有效值，并將其拉氏變換形式存入導(dǎo)納矩陣G（node1，node2）。電壓源的參數(shù)有node1、node2、parameter、b、x，元件連接結(jié)點1、連接結(jié)點2、電壓源幅值、電源頻率、電壓源初相，并將其拉氏變換后存入電壓源矩陣U（node1，node2）。電流源的參數(shù)有node1、node2、parameter、b、x，元件連接結(jié)點1、連接結(jié)點2、電流源幅值、電流源頻率、電流源初相，并將其拉氏變換后存入電流源矩陣I（node1，node2）。

表1 元件參數(shù)表

通過人機交互界面獲取不同元件參數(shù)，并列寫出不同結(jié)點的電路方程。以圖1所示電路圖為例說明過程。

圖1 示例電路圖

各結(jié)點方程可簡記為：

式中：A為系數(shù)矩陣；U為結(jié)點電壓列向量；B為右端列向量。

當a，b兩結(jié)點間為電阻、電感或電容時，有：

當a、b兩結(jié)點是電壓源時，將這兩個結(jié)點合并成一個單獨的“超級結(jié)點”，將流入、流出這兩個結(jié)點的電流按照KCL一起處理，同時加上一個電壓方程，寫出這兩個結(jié)點之間的電壓關(guān)系。核心代碼為：

當a，b兩結(jié)點是電流源時，

通過以上步驟可得：

對于上例中通過人機交互界面輸入得到的矩陣有5個結(jié)點，將結(jié)點1列為參考結(jié)點，刪除矩陣A的首行、首列，矩陣B的首行。并將A、B兩矩陣聯(lián)立，最終解出各結(jié)點電壓U并作出波形圖。

2 求解步驟

分析電路時采用結(jié)點電壓法與復(fù)頻域分析法相結(jié)合，其基本步驟如下：

步驟1確定電路結(jié)構(gòu)、參考結(jié)點，輸入總結(jié)點數(shù)，電源頻率，輸入各結(jié)點的元件參數(shù)，構(gòu)建結(jié)點方程。

步驟2將各結(jié)點及增補的電壓方程組合成矩陣形式，通過Matlab解出相應(yīng)結(jié)點電壓的復(fù)頻域解，再經(jīng)過拉式反變換得到所求時域響應(yīng)。

步驟3輸出所求時域響應(yīng)并繪出圖像。模型流程如圖2所示。

圖2 模型流程圖

界面由3個模板部分組成，如圖3所示。上方的初始量部分需輸入電路的總結(jié)點數(shù)和電源頻率，下方的元件部分可以根據(jù)電路結(jié)構(gòu)進行元件的選擇和輸入相關(guān)物理量的大小，每當選擇一個元件，輸入相關(guān)的物理量大小后，點擊“輸入”按鈕，元件會在右側(cè)的顯示部分出現(xiàn)，當添加完所有電路元件后，點擊“計算”按鈕，則出現(xiàn)各結(jié)點電壓的表達式和圖像。

圖3 輸入界面圖

3 算例分析

3.1 算例求解

利用結(jié)點電壓法給電路中各結(jié)點標序號以方便輸入Matlab程序中，以圖4所示電路為例。

圖4 算例電路原理圖

根據(jù)結(jié)點電壓法可給出各結(jié)點的方程，其中設(shè)結(jié)點1為參考結(jié)點，對結(jié)點2～結(jié)點6利用基爾霍夫電流定律（KCL）和拉氏變換可推導(dǎo)出各結(jié)點的結(jié)點電壓方程。

圖5 輸入界面

畫出各結(jié)點電壓的波形如圖6所示。

圖6 測試電路各結(jié)點電壓示意圖

3.2 Simulink仿真模擬驗證

Matlab中的Simulink具有強大的建模與分析功能，用Simulink建模驗證較為方便［12-15］。本文用Simulink建立檢驗?zāi)Ｐ?，并通過示波器來檢查各結(jié)點電壓的波形，通過對比分別檢驗?zāi)Ｐ偷恼_性，建立的模型如圖4所示，用示波器顯示結(jié)點3的電壓，電壓波形如圖8所示。

圖7 結(jié)點3電壓示意圖

圖8 結(jié)點3電壓波形對比圖

從兩者的對比圖中可以看出，通過模型計算繪出的波形與仿真的結(jié)果基本吻合，可以判斷出模型的正確性。

4 結(jié) 語

對于復(fù)雜的含儲能元件的一般電路分析，其暫態(tài)分析用復(fù)頻域運算法較為方便，避免了高階微分方程的求解；使用結(jié)點電壓法和拉氏變換，便于解決復(fù)頻域的分析問題。再利用Matlab的編程繪制功能計算并繪制各結(jié)點的電壓波形即可。