郝培德

(浙江省杭州學(xué)軍中學(xué) 310012)

作為一名教師，我們不僅要注重課堂教學(xué)，命制試卷也是我們的必修課.一份數(shù)學(xué)試卷的題目從難度上大致分成簡單題、中檔題、難題三個檔次.簡單題主要考查基本知識、基本技能等，目標(biāo)在于考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，命制的時候可以從概念、技能本身出發(fā)；中檔題主要是對重難點知識的考查，主要從思想方法、計算技巧、知識整合能力等方面進行命制；難題主要考查學(xué)生的綜合能力，譬如分析能力、邏輯推理能力、知識遷移能力、計算能力等，在整張試卷中起到區(qū)分度的作用.試題的命制有兩類：改編和原創(chuàng)，現(xiàn)筆者通過介紹自己原創(chuàng)的一道導(dǎo)數(shù)壓軸題(第22題)的過程，淺談如何命制一道題目.具體過程分為以下五個步驟.

1 立意——考什么？

P·R·哈爾莫斯曾說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”所以在試卷命制過程中，考什么很重要.根據(jù)高三備考和選題要求，要緊抓教材內(nèi)容和考綱.在人教版導(dǎo)數(shù)章節(jié)前言中這樣寫道：導(dǎo)數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)增減、變化快慢、最值等問題的基本方法.浙江省高考數(shù)學(xué)考綱中對導(dǎo)數(shù)部分的要求是：了解導(dǎo)數(shù)的概念和背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會計算基本初等函數(shù)及簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；函數(shù)的極值與最值等.基于以上內(nèi)容決定本次命題以導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單調(diào)性以及極值點為出題方向，再結(jié)合參變量的討論.

2 選擇模型——函數(shù)f(x)的形式

首先構(gòu)建以下函數(shù)模型：f(x)=ex-alnx、f(x)=ex+alnx，f(x)=aexlnx，這里可以用幾何畫板先把函數(shù)圖象畫出來，然后通過參數(shù)a的變化研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，但是這幾個函數(shù)圖象均未達到筆者所希望的要求(幾何畫板演示部分省略)，所以重新構(gòu)造函數(shù)：f(x)=aex-xlnx(a>0)，函數(shù)圖象如圖1，圖2：

圖1

圖2

參數(shù)a在變化的時候，函數(shù)f(x)的圖象可在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，也可在定義域內(nèi)有兩個極值點，這就為我們研究函數(shù)性質(zhì)提供多種可能，所以就選定此函數(shù)為本題的函數(shù)模型.

3 問題設(shè)置

根據(jù)初始所定的考點設(shè)置問題，首先確定本題有三問，難度層層遞進：第一小問設(shè)定為求切線方程(考查學(xué)生求導(dǎo)能力及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于簡單題)；第二小問設(shè)定根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)a的范圍(考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及關(guān)于含參恒成立問題，屬于中檔題)；第三小問設(shè)定討論參數(shù)a與函數(shù)f(x)的極值點或者零點之間的關(guān)系(考查學(xué)生數(shù)學(xué)推理的綜合能力，屬于難題).這樣設(shè)定難易梯度既考慮到壓軸題要讓大部分學(xué)生能做的同時又可以體現(xiàn)區(qū)分度．

第一小問和第二小問在下一步驟再展示給大家，這里主要展示第三問成型的過程：

由圖1可知存在參數(shù)a使得函數(shù)f(x)有兩個極值點：xM和xN．

依據(jù)幾何畫板作圖，參數(shù)a取值變化影響兩個極值點的大小，但是我們可以得到如下不等式：

若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有兩個極值點x1，x2(x1

當(dāng)參數(shù)a小于某個值時，函數(shù)f(x)有兩個零點，具體如圖1：xD和xE．

根據(jù)參數(shù)a以及兩個極值點和兩個零點的大小我們可以得到如下不等式：

利用參數(shù)a的變化以及相應(yīng)零點和極值點的大小可以構(gòu)造出很多不等式，但是構(gòu)造的不等式證明的可行性需要研究，并不是所有構(gòu)造出來的不等式都可以順利證明．同時也因為筆者能力有限，構(gòu)造出來的不等式，憑借數(shù)學(xué)直覺是對的，但是無法給出具體證明．通過對上面不等式證明的可行性探究，最后形成下面考題．

4 題目成型

題目已知函數(shù)f(x)=aex-xlnx(a>0).

(1)若a=1，求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；

解析(1)f′(x)=ex-lnx-1，f′(1)=e-1,f(1)=e， 所以函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程是：y=(e-1)x+1.

(2)由題知f′(x)=aex-lnx-1，因為a>0，所以當(dāng)x→+∞時，f′(x)→+∞，所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即f′(x)≥0恒成立.

下面證明：

所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

5 過程反思

命制題目有以下四個步驟：立意→確定模型→問題設(shè)置→題目成型.在命制過程中可利用一些軟件，譬如幾何畫板或者GeoGebra軟件作圖，尤其是函數(shù)問題，畫出圖象會更直觀地感知函數(shù)的性質(zhì)，方便設(shè)置題目.當(dāng)然在命制題目時可以選擇改編，這樣就可以省掉一些步驟.關(guān)于本題也有些許遺憾，第三問不等式的設(shè)置起點高，讓一些優(yōu)秀的學(xué)生無從下手，這樣導(dǎo)致全對的同學(xué)偏少，同時學(xué)生剛剛完成一輪復(fù)習(xí)，大部分學(xué)生對函數(shù)的理解還不深刻，對數(shù)學(xué)基本方法和技巧應(yīng)用的不熟練，如果這道題目放到二輪復(fù)習(xí)階段進行測試，結(jié)果會好一些.

作為一線數(shù)學(xué)教師，我們不僅要會做題、會教書，同時也要根據(jù)學(xué)生的特點去命題.平時教學(xué)中我們常常教導(dǎo)學(xué)生要揣測命題人的意圖，那么我們教師也可以轉(zhuǎn)換角色作為命題人，在講解問題時可以全面地教導(dǎo)學(xué)生思考每一個問題的意圖.誠如著名數(shù)學(xué)家Jacobi把數(shù)學(xué)比喻成畫家或者詩人的創(chuàng)作一樣——是思想的綜合.教師所精心命制的每一道數(shù)學(xué)題，也是我們的杰作，是我們教師對學(xué)生的認知和教學(xué)內(nèi)容的有機結(jié)合.