王成非，陳 賀，劉 東

（中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225001）

0 引言

隨著科技的日益進(jìn)步和生產(chǎn)自動(dòng)化程度不斷提高，基于多支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、剛度大、承載能力強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)精度高且速度快、易于控制等良好特性適應(yīng)了生產(chǎn)發(fā)展的需要，并受到了國(guó)內(nèi)外眾多專家和學(xué)者的重點(diǎn)關(guān)注。目前，并聯(lián)機(jī)構(gòu)已經(jīng)在工業(yè)自動(dòng)化、航空航天、醫(yī)療和測(cè)量等領(lǐng)域中不同場(chǎng)合都得到了成功應(yīng)用。

運(yùn)動(dòng)性能分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究領(lǐng)域的重要內(nèi)容，對(duì)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化及控制策略的選擇具有重要意義，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)專家學(xué)者進(jìn)行了大量研究。Angeles等[1]和Cosselin等[2]對(duì)機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)和機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究。高峰、劉辛軍、郭希娟、余梅生等基于一階和二階影響系數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)的研究做了大量貢獻(xiàn)[3-7]，此外楊育林、陳海真、高彥錕、石志新等基于機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)的研究上對(duì)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化問題進(jìn)行了研究[8-11]。因機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)的多維性和性能指標(biāo)的嚴(yán)重非線性，盡管做了大量研究，但仍有大量問題沒有解決，影響了機(jī)器人機(jī)構(gòu)的開發(fā)和應(yīng)用。

6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)不僅具有剛度大、承載能力強(qiáng)和精度高等通用特點(diǎn)，還具有機(jī)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、對(duì)稱、大工作空間及快速運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。該機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)模擬器、并聯(lián)機(jī)床、微動(dòng)機(jī)器人、航空航天及醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用前景。本文首先對(duì)該6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)化設(shè)計(jì)，隨后對(duì)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)性能進(jìn)行了分析，提出優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)其結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，大大提高了該機(jī)構(gòu)的綜合運(yùn)動(dòng)性能。

1 機(jī)構(gòu)的描述與坐標(biāo)系建立

6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)由運(yùn)動(dòng)基座（安裝有導(dǎo)軌）、滑塊、球鉸、動(dòng)平臺(tái)、執(zhí)行器（支桿）以及拉桿等組成。如圖1所示，P為與動(dòng)平臺(tái)固連的執(zhí)行器末端的幾何中心，其在動(dòng)平臺(tái)的投影為Q；Pi為移動(dòng)副，這里稱為滑塊；Li為6根定長(zhǎng)的拉桿；SAi和SBi為球鉸副，安裝在6根拉桿的兩端，分別連接了6個(gè)滑塊和動(dòng)平臺(tái)。導(dǎo)軌、滑塊和上、下球鉸關(guān)于平面XOZ對(duì)稱。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)由6個(gè)安裝有直線電機(jī)的滑塊為輸入，帶動(dòng)拉桿、動(dòng)平臺(tái)一起運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)執(zhí)行器按照給定的可控的運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)（3個(gè)移動(dòng)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的任意一種或者組合）。

圖1 6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)

假設(shè)執(zhí)行器相對(duì)于各坐標(biāo)軸無轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)時(shí)為機(jī)構(gòu)的初始位形，以初始位形時(shí)執(zhí)行器軸線在導(dǎo)軌平面的投影點(diǎn)為原點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系O-XOZ，垂直導(dǎo)軌平面向下為Z軸，X軸與導(dǎo)軌平行指向P1一側(cè)，右手定則確定Y軸；以執(zhí)行器末端幾何形心P為原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1，初始方位和固定坐標(biāo)系相同，隨執(zhí)行器一起運(yùn)動(dòng)。

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸主要有11個(gè)參數(shù)：整個(gè)機(jī)構(gòu)的高度（執(zhí)行器末端到導(dǎo)軌平面的距離）h0，兩側(cè)導(dǎo)軌間距離的一半e和f，拉桿的長(zhǎng)度l1和l2，動(dòng)平臺(tái)長(zhǎng)度（下球鉸SB4到SB6的距離）為2a，動(dòng)平臺(tái)寬度（下球鉸SB1到SB4的 距 離）為2b，下 球 鉸SB2（SB5）到 平 面Y1O1Z1的距離c，下球鉸SB2到SB5距離的一半d，下球鉸SB2（SB5）到平面X1O1Y1的距離h2，平面SB1SB3SB6SB4到平面X1O1Y1的距離h1。初步確定機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)如表1所示，其中拉桿L1、L3、L4、L6的長(zhǎng)度取l1，拉桿L2、L5的長(zhǎng)度取l2。

表1 機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)初值表m

2 影響系數(shù)的求解

對(duì)于6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，因其機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)上具有對(duì)稱性且支鏈具有相似性及對(duì)稱性，以機(jī)構(gòu)第1支鏈為例。如圖2所示，按主動(dòng)件到末端執(zhí)行器，依次求得支鏈1簡(jiǎn)化并用單自由度轉(zhuǎn)動(dòng)副替換化后各運(yùn)動(dòng)副軸線方向的單位矢量分別為：

圖2 6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈1運(yùn)動(dòng)副簡(jiǎn)化圖

于是，可以求得6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈1的一階影響系數(shù)矩陣1)：

式中：P為動(dòng)平臺(tái)末端執(zhí)行器P點(diǎn)在固定坐標(biāo)系的位置矢量；Rj（j=SA1、SB1）為運(yùn)動(dòng)副在固定坐標(biāo)系的位置矢量；P-Rj為末端執(zhí)行器P點(diǎn)對(duì)支鏈1各運(yùn)動(dòng)副軸線的位置矢量。

其余5條支鏈的一階影響系數(shù)矩陣求法與支鏈1的求法類似。首先簡(jiǎn)化，然后把對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)副軸線向單位矢量S(i)j及矢量(P-Rj)(i)進(jìn)行相應(yīng)的替換即可。每條支鏈的一階影響系數(shù)矩陣都是6×6矩陣，則該并聯(lián)機(jī)構(gòu)共有6個(gè)6×6的一階影響系數(shù)矩陣。

當(dāng)已知?jiǎng)悠脚_(tái)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，支鏈i各運(yùn)動(dòng)副的速度和平臺(tái)速度的關(guān)系為：

式中：VH=[ωhx,ωhy,ωhz,VPx,VPy,VPz]T，為動(dòng)平臺(tái)速度矢量；=[φ1,φ2,φ3,φ4,φ5,φ6]T，為支鏈i各運(yùn)動(dòng)副組成的速度矢量。

以6個(gè)移動(dòng)副為主動(dòng)輸入件的運(yùn)動(dòng)方程如下：

將上式以矩陣形式表示為：

對(duì)式（4）求逆，于是有：

已知支鏈上6個(gè)主動(dòng)輸入運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)加速度時(shí)，其與動(dòng)平臺(tái)加速度的顯式解析式可以表示為：

由式（3）和式（5）聯(lián)立得到支鏈i各運(yùn)動(dòng)副相對(duì)速度與廣義速度的關(guān)系為：

已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)的每條支鏈的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)副為主動(dòng)輸入件，由于機(jī)構(gòu)完全對(duì)稱，聯(lián)合式（7）將式（6）化簡(jiǎn)歸并為一個(gè)式子：

對(duì)式（8）進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得：

式中：[HqH]矩陣為6×6×6的標(biāo)量矩陣。

因此，動(dòng)平臺(tái)的加速度用對(duì)廣義坐標(biāo)的二階影響系數(shù)表示為：

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)分析

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)包括線速度、角速度、線加速度和角加速度性能指標(biāo)。線速度、角速度由機(jī)構(gòu)的一階影響系數(shù)決定，而線加速度和角加速度受機(jī)構(gòu)的一階、二階影響系數(shù)共同決定。其條件數(shù)用一階、二階影響系數(shù)依次表示為：

式中：‖‖為矩陣的Frobenius范數(shù)；上標(biāo)“+”為矩陣的廣義逆矩陣；K為條件數(shù)，且1≤K＜∞；aq、bq為誤差系數(shù)，均小于1（用于綜合性能指標(biāo)的計(jì)算時(shí)常取為0.02）；Gυ、Gω分別為一階移動(dòng)影響系數(shù)矩陣和一階轉(zhuǎn)動(dòng)影響系數(shù)矩陣；Hυ、Hω分別為二階移動(dòng)影響系數(shù)矩陣和二階轉(zhuǎn)動(dòng)影響系數(shù)矩陣，其與影響系數(shù)之間的關(guān)系為。

一階、二階影響系數(shù)矩陣的條件數(shù)隨著機(jī)構(gòu)的位形的不同而變化，在機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)不同的點(diǎn)，其條件數(shù)是不同的，這樣無法準(zhǔn)確地描述機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能好壞。鑒于此，Gosselin在工作空間的基礎(chǔ)上提出了全域性指標(biāo)，定義機(jī)構(gòu)速度和加速度的全域性能指標(biāo)為：

式中：i∈{Gω,Gυ,Gω+Hω,Gυ+Hυ}；W為末端執(zhí)行器的可達(dá)工作空間；ηj為全域性能指標(biāo)，1≥ηi＞0，ηj的值越大，機(jī)構(gòu)靈巧度和控制精度越高，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能也越高。

η的大小可以反映機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)性能的平均水平的高低，但它僅反映了機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間內(nèi)平均運(yùn)動(dòng)性能的情況，并不能體現(xiàn)出在整個(gè)工作空間內(nèi)性能波動(dòng)幅度的信息，于是提出條件數(shù)倒數(shù)的均方差為全域性能波動(dòng)指標(biāo)[9]：

4 實(shí)例分析及尺寸優(yōu)化

現(xiàn)在保持其他結(jié)構(gòu)參數(shù)值不變，改變機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)的長(zhǎng)度和寬度這兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)值為例，對(duì)機(jī)構(gòu)的線速度和角速度性能指標(biāo)進(jìn)行仿真。讓a=200～300 mm，b=200～300 mm，步長(zhǎng)都取為20 mm，組成36組機(jī)構(gòu)位形；對(duì)每組機(jī)構(gòu)位形的每個(gè)自由度在可達(dá)工作空間空間中均勻取均取100個(gè)點(diǎn)進(jìn)行仿真計(jì)算，繪制全域性能圖譜如圖3和圖4所示。

圖3 全域性能圖譜

圖4 全域性能波動(dòng)圖譜

由圖3可以看出，機(jī)構(gòu)的線速度、角速度、線加速度和角加速度性能指標(biāo)在左上方較大，右下角較小。即在一定范圍內(nèi)，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)長(zhǎng)度尺寸變小、寬度尺寸變大時(shí)，6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的線速度、角速度輸出誤差越來越小，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)越來越好。從圖4中可以得到機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能波動(dòng)隨著動(dòng)平臺(tái)尺寸變大而變大，但動(dòng)平臺(tái)寬度對(duì)其性能的影響相對(duì)較小。同理可求其他尺寸參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的影響，最終得到最優(yōu)的機(jī)構(gòu)尺寸和控制策略。

對(duì)于機(jī)構(gòu)中動(dòng)平臺(tái)的尺寸參數(shù)，綜合考慮上述分析得出的全域性能和全域性能波動(dòng)圖譜，確定動(dòng)平臺(tái)的長(zhǎng)度參數(shù)為a=0.2 m，動(dòng)平臺(tái)的寬度參數(shù)b=0.25 m。同理可以對(duì)機(jī)構(gòu)的其他尺寸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，最終得到優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)如表2所示，此時(shí)6-PSS機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)值如表3所示。

表2 機(jī)構(gòu)優(yōu)化后的尺寸參數(shù)表m

表3 機(jī)構(gòu)優(yōu)化尺寸后機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)值

5 結(jié)束語

本文以6-PSS機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，對(duì)該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能分析及機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)優(yōu)化方面展開了研究和探討。首先分析了其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并建立坐標(biāo)系同時(shí)進(jìn)行了尺寸參數(shù)設(shè)計(jì)，利用影響系數(shù)法求解出一階、二階影響系數(shù)矩陣，對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的全域性能指標(biāo)及全域性能波動(dòng)指標(biāo)進(jìn)行了分析。然后以動(dòng)平臺(tái)的寬度和長(zhǎng)度尺寸為實(shí)例分析，得到了相應(yīng)的全域性能及全域性能波動(dòng)圖譜，通過分析圖譜得到機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)性能的影響規(guī)律。同理可得到其他尺寸參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的影響，進(jìn)而能夠綜合取舍進(jìn)行尺寸參數(shù)的優(yōu)化，提高機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能，為實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的尺寸優(yōu)化并提高機(jī)構(gòu)性能提供了理論參考和一套簡(jiǎn)單、實(shí)用的方法。