傅蘭英

(杭州市西湖區(qū)教育發(fā)展研究院,浙江 杭州 310000)

1 原題呈現(xiàn)

例1在正方形ABCD中，點M是邊AB的中點，點E在線段AM上(不與點A重合)，點F在邊BC上，且AE=2BF，聯(lián)結(jié)EF，以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH．

1)若AB=4，當(dāng)點E與點M重合時，求正方形EFGH的面積.

2)如圖1，已知直線HG分別與邊AD，BC交于點I，J，射線EH與射線AD交于點K．

圖1

①求證：EK=2EH；

(2022年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題第23題)

2 證法展示

本文重點研究第2)小題第②題的證法.從命題視角看，本題融代數(shù)、幾何、三角于一題的多種解法的命題導(dǎo)向，涵蓋三角形全等、三角形相似、勾股定理、圖形面積比與相似比的關(guān)系、三角函數(shù)應(yīng)用等知識；考查了學(xué)生的構(gòu)圖能力、運算求解能力、推理論證能力，探索數(shù)量關(guān)系的不變性，從中歸納出代數(shù)表達(dá)；也考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般思想.

從圖形結(jié)構(gòu)看，本題有“K”形全等與相似，還隱含弦圖的結(jié)構(gòu)，因此可以從多角度建立S1,S2之間的聯(lián)系.

從解題思路上看，要求S1,S2的比值，常見的思路是整體構(gòu)造和分別計算兩種.鑒于以上分析，可以很自然地得到以下證法.

視角1整體構(gòu)造，將面積比轉(zhuǎn)化為線段比.

觀察到△KHI≌△FGJ，且△KHI∽△KAE，利用相似三角形面積比等于相似比的平方切入破題．

證法1如圖1，由第①小題得HK=GF.又因為

∠KHI=∠FGJ=90°， ∠KIH=∠FJG，

所以

△KHI≌△FGJ,

從而△KHI的面積為S1.由題意知

△KHI∽△KAE，

可得

故

視角2以算代證，分別計算出S1,S2.

證法2如圖1，設(shè)正方形EFGH的邊長為a．由題意知∠FJG=∠KEA=α，從而

可得

由HK=EH=a，∠KIH=∠AEK=α，可得

又EK=2EH=2a，可得

AE=2acosα，AK=2asinα，

從而

于是

因此

證法3(利用點H是EK的中點)如圖2，過點H作HP⊥AD于點P．由∠A=90°，且KH=HE，可得

圖2 圖3

S△AEK=4S△PHK=2HK·HI·sin2α,

由解法1知△KHI≌△FGJ,從而

于是

S2=S1(4sin2α-1)，

因此

證法4如圖3，設(shè)正方形EFGH的邊長為a．聯(lián)結(jié)IE，則

△IHK≌△IHE，

從而

EH=HK,IE=IK．

由題意知

∠FJG=∠KEA=α，

從而

于是

又

=4sin2α-1．

證法5如圖4，設(shè)正方形EFGH的邊長為a．由題意知

圖4

∠FJG=∠KEA=α，

從而

于是

聯(lián)結(jié)AH，由第①小題知

AH=EH=a，

可得

∠AEK=∠HAE=α，

從而

∠AHE=180°-2α， ∠AHI=2α-90°，

過點G作GQ⊥BC于點Q，過點H作HP⊥AD于點P.易證

△PHI≌△QGJ，

即

=2sinα·cosα·tanα+2sin2α-1

=4sin2α-1．

證法6(利用“K”形相似建立S1,S2的聯(lián)系)如圖5，過點H作HL⊥AE于點L，作HP⊥AK于點P，過點G作GQ⊥BC于點Q.

圖5

設(shè)BF=a，BE=b，EF=c，△BEF的面積為S，△GQJ的面積為S′．由題意知△GQJ∽△EBF，△BEF∽△GFJ，從而

又H是KE的中點，可知

由勾股定理，得

a2=c2-b2，

證法7(根據(jù)出入相補原理，結(jié)合圖形內(nèi)含的弦圖結(jié)構(gòu)破題)如圖5，過點H分別作HL⊥AB于點L，作HP⊥AD于點P，過點G作GQ⊥BC于點Q，聯(lián)結(jié)AH．由第①小題得

△HEL≌△EFB，

同理可得

△FGQ≌△EFB．

設(shè)△BEF的面積為S，則

S△HEL=S△FGQ=S,

由點H為KE的中點，可知

S1+S2=4S．

易證△PIH≌△QJG，△BEF∽△GFJ，從而

即

于是

故

評注本題通過添加輔助線將所求問題與已學(xué)知識聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生多種途徑分析問題和解決問題的能力，體驗了解決問題方法的多樣性.在復(fù)雜圖形中識別基本圖形，能更快獲得解題思路.

3 試題推廣

試題條件改變，還可發(fā)現(xiàn)結(jié)論具有規(guī)律性：

……

變式n若AE=nBF(其中n是正整數(shù))，則

識破廬山真面目，從倍數(shù)2到n，算是對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行形式化，而形式化也是數(shù)學(xué)的基本特征之一.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里.

=4k2sin2α-(2k-1)2.

4 類比研究

如圖6，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，線段BE交中線AD于點F，交線段AC于點E，若AE∶AC=1:2，求AF∶AD的值.

圖6

分析圖中有6個點：A，B，C，D，E，F(xiàn)；共有5條線段：AB，AC，BC，AD，BE.

追問輔助線怎么添？

教師引導(dǎo)學(xué)生有序思考問題，學(xué)生添加輔助線的方案如下:

1)過點E作輔助線(如圖7)；

圖7

2)過點D作輔助線(如圖8)；

圖8

3)過點A作輔助線(如圖9)；

圖9

4)過點B作輔助線(如圖10)；

圖10

5)過點C作輔助線(如圖11).

圖11

思考輔助線如何添比較簡捷？

此題能否拓展到一般？即改AE∶AC=1∶n，求AF∶FD的值.

……

本題讓學(xué)生完整經(jīng)歷猜測、操作、結(jié)論、完善、驗證的過程，通過體驗性活動進(jìn)行知識建構(gòu)，研究各種各樣不同的可能解決問題的方法，歸納總結(jié)最佳方案，提升學(xué)生的直觀想象能力.在運用各種添輔助線解決問題時，教師可以了解學(xué)生在問題解決過程中的知識儲備和思維方式，引導(dǎo)學(xué)生從低階思維向高階思維遷移，由發(fā)散性思維到聚合性思維轉(zhuǎn)變．

通過對本題的探究與推廣，筆者想起數(shù)學(xué)家波利亞所說：“類比是一個領(lǐng)路人.”幫助尋找數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)求解的線索，激勵我們多角度地探究與其他問題的聯(lián)系，比如多元與少元、高維與低維、有限與無限等背景下的問題的本質(zhì)有何不同等．

5 結(jié)束語

中考幾何壓軸題內(nèi)涵豐富，我們不應(yīng)僅停留在解題層面，而要用心挖掘問題本質(zhì)和更有價值的問題，構(gòu)建圖形之間豐富的幾何結(jié)構(gòu)與代數(shù)表達(dá)之間的關(guān)聯(lián)，這是尋找平面幾何解題思路的一把“鑰匙”．

大數(shù)學(xué)家希爾伯特曾說：“正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其意志，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點達(dá)到更為廣闊自由的境界.”當(dāng)我們完成一個數(shù)學(xué)問題的解答后，想一想這個問題與其他問題是否有聯(lián)系？如何從整體入手，獲得通性通法？如何從分析局部，優(yōu)化方法？如何結(jié)構(gòu)聯(lián)想，獲得靈感，進(jìn)行推廣與類比研究？通過研究、反思達(dá)到問題創(chuàng)新、思維創(chuàng)新和方法創(chuàng)新．

教學(xué)中要重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生、生成、內(nèi)化、升華的過程，這是數(shù)學(xué)基本功的“內(nèi)力”，教師要善于學(xué)習(xí)，高位審視問題，深刻識別隱藏在試題背后的數(shù)學(xué)思想，挖掘其中有價值的東西傳授給學(xué)生，做到“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”．