李福軍, 戚穎朵

(1.寧海海亮學(xué)校，浙江 寧海 315600;2.海亮初級(jí)中學(xué)，浙江 諸暨 311800)

每門科學(xué)都有推動(dòng)自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯，數(shù)學(xué)也不例外.數(shù)學(xué)源于生活的外顯屬性，導(dǎo)致教學(xué)中忽視了學(xué)科發(fā)展的內(nèi)在邏輯，殊不知“數(shù)學(xué)的精神、思想和方法卻是創(chuàng)作數(shù)學(xué)著作、發(fā)現(xiàn)新的東西，使數(shù)學(xué)得以不斷向前發(fā)展的根源”[1]，我們暫且把這種推動(dòng)力稱之為數(shù)學(xué)自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯！

1 數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)在邏輯的主要表現(xiàn)

一般認(rèn)為，矛盾是推動(dòng)事物發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力，而數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾是促使數(shù)學(xué)發(fā)展的最主要的內(nèi)在邏輯，主要表現(xiàn)在以下4個(gè)方面.

1)數(shù)學(xué)的應(yīng)用化、合理化過(guò)程中的自洽性問(wèn)題.

數(shù)學(xué)從開始的少數(shù)幾個(gè)公理出發(fā)，進(jìn)行符合邏輯地推導(dǎo)，證明出定理、公式，又導(dǎo)出另外的定理、公式.例如歐氏幾何就是通過(guò)先建立公理體系，再引進(jìn)新的定義和概念，在應(yīng)用和合理化推廣過(guò)程中解決一系列自洽性問(wèn)題，最終搭建起的龐大的邏輯體系.

2)數(shù)學(xué)的擴(kuò)張化、一般化過(guò)程中的普適性問(wèn)題.

數(shù)學(xué)中許多概念，從最初的原始狀態(tài)不斷擴(kuò)張，伴隨著一般化過(guò)程中普適性問(wèn)題的解決，最終形成廣泛而精確的概念.例如函數(shù)的概念，就是通過(guò)7次擴(kuò)張，直到成為今天這樣令人驚嘆的廣泛的概念.

3)數(shù)學(xué)的組織化、系統(tǒng)化過(guò)程中的統(tǒng)一性問(wèn)題.

早期的數(shù)學(xué)都是零碎、片斷的，而隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，最后通過(guò)組織化形成一個(gè)系統(tǒng).例如：自然數(shù)是由計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生的，分?jǐn)?shù)是由表示等分物品的需要而產(chǎn)生的，無(wú)理數(shù)是由開不盡方的需要而產(chǎn)生的，負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)是由求解方程的需要而產(chǎn)生的……數(shù)系的擴(kuò)充很好地詮釋了矛盾推動(dòng)數(shù)學(xué)前進(jìn)，又通過(guò)系統(tǒng)化過(guò)程形成統(tǒng)一體.

4)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化、形式化過(guò)程中的嚴(yán)謹(jǐn)性問(wèn)題.

很多數(shù)學(xué)知識(shí)都是精神研究的產(chǎn)物，因而會(huì)出現(xiàn)一些與現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)相違背的知識(shí)版塊，最典型的就是被視為“異端”的非歐幾何，正是因?yàn)橛羞`常識(shí)的矛盾，所以要通過(guò)引進(jìn)假設(shè)，進(jìn)行嚴(yán)密的形式化推演，最終形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)體系.

2 基于數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)在邏輯的教學(xué)實(shí)踐

教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展的邏輯，但教科書只以文本的形式呈現(xiàn)了最終的知識(shí)，而教學(xué)者要做的事就是挖掘?qū)W科內(nèi)在的邏輯，通過(guò)“再創(chuàng)造”還原數(shù)學(xué)知識(shí)“火熱的思考”.基于上述分析，筆者從以下4個(gè)方面進(jìn)行了教學(xué)嘗試：

2.1 注重知識(shí)的整體性把握

數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)是整個(gè)知識(shí)像是一張網(wǎng)，相互關(guān)聯(lián)而不能割裂，教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)知識(shí)從哪里來(lái)到哪里去，要形成對(duì)知識(shí)的整體性把握.

案例1浙教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第2.1節(jié)有理數(shù)加法(1).

針對(duì)教材中過(guò)于文本化的呈現(xiàn)，可設(shè)計(jì)以下問(wèn)題串：

1)加法是求和，和是有理數(shù)，可以分成哪兩個(gè)部分？

符號(hào)和絕對(duì)值.

2)如何確定和的符號(hào)和絕對(duì)值？

借助數(shù)軸，分同號(hào)和異號(hào)兩數(shù)相加的情況得出法則，強(qiáng)調(diào)先確定符號(hào)再確定絕對(duì)值.

3)計(jì)算(+2)+(-2)=？

異號(hào)兩數(shù)相加，但絕對(duì)值相等，法則有漏洞，探究后補(bǔ)充：互為相反數(shù)的和為0.

4)再計(jì)算(+2)+0=？(-2)-0=？

這里0沒(méi)有符號(hào)，原法則不能解決，需再次進(jìn)行補(bǔ)充規(guī)定……

5)談?wù)動(dòng)欣頂?shù)的加法與小學(xué)算術(shù)數(shù)的加法的異同？

評(píng)注教材往往把知識(shí)以符合文本邏輯的形式呈現(xiàn)，而教學(xué)應(yīng)把知識(shí)按學(xué)科內(nèi)在發(fā)展的邏輯并符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行重組，即符合教學(xué)的邏輯呈現(xiàn)，關(guān)鍵要把握學(xué)習(xí)的路徑：探明知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)—新的問(wèn)題(并解決)—次生問(wèn)題(打補(bǔ)丁解決)—構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)—進(jìn)入下一新的學(xué)習(xí)內(nèi)容…….本節(jié)課的邏輯循環(huán)具體表現(xiàn)在：

1)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)：相反意義的量、有理數(shù)、數(shù)軸、算術(shù)數(shù)的各級(jí)運(yùn)算，這里最關(guān)鍵的是要理解有理數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)部分組成；

2)新的問(wèn)題：如何處理有符號(hào)的數(shù)的加法，即有理數(shù)相加，要遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，先同號(hào)再異號(hào)；

3)次生問(wèn)題：法則表面上解決了問(wèn)題，但又產(chǎn)生新的問(wèn)題，如何打補(bǔ)丁，最終完成一個(gè)自洽的體系；

4)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：如何與原有的知識(shí)進(jìn)行有機(jī)融合；

5)進(jìn)入新的學(xué)習(xí)：有理數(shù)的減法、乘除法又如何進(jìn)行；

……

2.2 注重結(jié)論的推廣性拓展

許多數(shù)學(xué)上的偉大成果都是在對(duì)結(jié)論的推廣性拓展中產(chǎn)生的，如費(fèi)爾馬大定理就是對(duì)勾股定理進(jìn)行拓展的猜想，再經(jīng)過(guò)數(shù)代數(shù)學(xué)家不懈的努力解決，這也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要內(nèi)在邏輯.

案例2如圖1，在△ABC中，AB=AC,P是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC,PF⊥AB，試問(wèn)：PF+PE的和為定值嗎？

圖1 圖2

拓展1上述結(jié)果可以得出什么結(jié)論？

等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離和等于腰上的高線長(zhǎng).

拓展2等邊三角形邊長(zhǎng)為a，求邊上任一點(diǎn)到另兩邊的距離和.

拓展3等邊三角形邊長(zhǎng)為a，求其內(nèi)任一點(diǎn)P到3邊的距離和.

如圖2，由PF+PE=AN,PD=MN,得PE+PF+PD=AM.

拓展4如果點(diǎn)P在△ABC外，又會(huì)有什么樣的結(jié)論呢？

分兩種情況：如圖3，點(diǎn)P在△ABC外，可得

圖3 圖4

PE+PF=AN,AN-PD=AM,

從而

PE+PF+(-PD)=AM；

如圖4，可得 (-PE)+PF+PD=AM.

結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)當(dāng)垂線的方向與原始圖方向相反時(shí)線段的值取負(fù)值.

結(jié)論1無(wú)論點(diǎn)P在何處，三垂線代數(shù)和為定值(等邊三角形的高).

評(píng)注本案例通過(guò)追問(wèn)學(xué)生“如果點(diǎn)P位于三角形的不同位置，那么結(jié)論是否成立”，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.當(dāng)然，教學(xué)中點(diǎn)P的位置也可以讓學(xué)生自己去設(shè)定，并自己去尋求答案，將會(huì)更精彩.

2.3 注重新知的結(jié)構(gòu)化納入

皮亞杰認(rèn)為：學(xué)習(xí)的過(guò)程是“同化—順應(yīng)—平衡”的過(guò)程.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此，剛接受新知時(shí)，是一種同化的過(guò)程，當(dāng)知識(shí)積累到一定程度后，必須通過(guò)順應(yīng)再實(shí)現(xiàn)新的平衡，即將新知進(jìn)行結(jié)構(gòu)化納入，才能建立起牢固的知識(shí)結(jié)構(gòu).

案例3借鑒段春炳教師的教學(xué)課“同底數(shù)冪的除法”.

在最后環(huán)節(jié)，段教師進(jìn)行了非常精彩的新知的結(jié)構(gòu)化納入[2].

師：我們把加、減稱為一級(jí)運(yùn)算，乘、除稱為二級(jí)運(yùn)算，乘方稱為三級(jí)運(yùn)算.請(qǐng)觀察冪運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算的關(guān)系，你能得到怎樣的結(jié)論？

1)am·an=am+n,冪相乘→指數(shù)相加.

2)am÷an=am-n,冪相除→指數(shù)相減.

3)(am)n=amn,冪乘方→指數(shù)相乘.

生1：指數(shù)運(yùn)算比冪運(yùn)算降了一級(jí).

師：請(qǐng)大家再比較下面兩個(gè)公式，又能得到什么結(jié)論？

4)(ab)n=anbn,乘方對(duì)乘法有分配律.

5)m(a+b)=ma+mb,乘法對(duì)加法有分配律.

生2：高一級(jí)運(yùn)算對(duì)低一級(jí)運(yùn)算有分配律.

師：那(a+b)2=a2+b2為什么是錯(cuò)的？

生3：乘方比加法高兩級(jí)，不存在分配律了.

……

評(píng)注教師在法則教學(xué)后，一般只會(huì)通過(guò)例題、習(xí)題進(jìn)行鞏固，而段老師的高明之處在于對(duì)4種冪的運(yùn)算進(jìn)行比較、總結(jié)，揭示三級(jí)運(yùn)算的轉(zhuǎn)化關(guān)系，把新知進(jìn)行結(jié)構(gòu)化納入，使學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解更為深刻.

2.4 注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練

正因?yàn)閿?shù)學(xué)中的許多成果是精神研究的產(chǎn)物，所以嚴(yán)謹(jǐn)性的要求比別的學(xué)科更高，在教學(xué)中必須注重對(duì)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練.

案例4如圖5，在⊙O中，弦AB∥CD，∠BAC=90°，直徑EF分別與AB,CD相交于點(diǎn)H,I.求證：EH=IF.

圖5

分析本題只需聯(lián)結(jié)BC，證明△OBH≌△OCI即可.但學(xué)生往往會(huì)想當(dāng)然認(rèn)為BC過(guò)圓心，即想當(dāng)然地認(rèn)為BC是直徑，這里暴露出學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的不足，教學(xué)中務(wù)必把握住機(jī)會(huì)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維的嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練.

3 教學(xué)價(jià)值

遵循數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在邏輯的教學(xué)，與當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的熱點(diǎn)高度契合，主要表現(xiàn)在以下3個(gè)方面：

1)關(guān)注基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.

從“雙基”到“四基”，是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)理解的一大提升，但大家往往對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累無(wú)感，其實(shí)在上述教學(xué)改進(jìn)中，無(wú)不體現(xiàn)出基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.如案例1中不斷地經(jīng)歷出現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的自洽性建設(shè)(也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性)；案例2則是在變化中對(duì)結(jié)論進(jìn)行不斷地推廣，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的普適性建設(shè)……由此可見，基于數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在邏輯的課堂教學(xué)，能使基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累融合于日常的學(xué)習(xí)之中.

2)體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透.

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.而重視數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在邏輯的教學(xué)無(wú)一不體現(xiàn)著這三大核心素養(yǎng)，只有深刻理解數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的發(fā)展邏輯，并按這一邏輯組織展開教學(xué)，才能讓學(xué)生樹立數(shù)學(xué)的眼光觀察的世界觀、建立用數(shù)學(xué)的思維思考的方法論，同時(shí)在實(shí)踐上具備用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)的輸出能力.如案例3，在得出法則并進(jìn)行了一定的熟練后，從數(shù)學(xué)思維出發(fā)，從運(yùn)算的層級(jí)的角度進(jìn)行思考，揭示其內(nèi)在規(guī)律，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)的世界；案例4則更是規(guī)范了用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá).

3)促進(jìn)教師專業(yè)能力提升.

隨著教師隊(duì)伍的學(xué)歷層次的提升、教師的職稱評(píng)定系統(tǒng)日益完善，教師的專業(yè)地位已確立，但平時(shí)強(qiáng)調(diào)的教師專業(yè)能力往往會(huì)更多地關(guān)注教學(xué)技能、心理學(xué)和教育學(xué)等通識(shí)，數(shù)學(xué)專業(yè)方面最多會(huì)關(guān)注一些解題能力的提升，而較少對(duì)學(xué)科自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯的研究.如果教師能關(guān)注學(xué)科自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯，并能把學(xué)科邏輯與教材的文本邏輯、學(xué)生的學(xué)習(xí)邏輯相結(jié)合，形成自己的教學(xué)邏輯，這無(wú)論是對(duì)教師的專業(yè)能力提升還是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都是大有裨益的.