劉 洋, 李春紅, 解大鵬

(1.合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 安徽 合肥 230601； 2.淮陰師范學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部, 江蘇 淮安 223001)

0 引言

本文研究如下帶有積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問題

(1)

分?jǐn)?shù)階微分方程廣泛地應(yīng)用于流體力學(xué)、非牛頓力學(xué)等領(lǐng)域,有著重要的理論及實(shí)際意義.近年來,帶有積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程組正解的存在性問題的研究,得到了豐富的結(jié)果[1-8].

令g1(t)=g2(t)=t,γ1=δ2=b=1,δ1=γ2=a=0,問題(1)可轉(zhuǎn)化為如下問題

(2)

文[1-4]應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理得到了問題(2)正解的存在性.

令g1(t)=g2(t)=t,δ1=γ2=b=1,γ1=δ2=a=0,問題(1)可轉(zhuǎn)化為如下問題

(3)

文[5-8]應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理得到了問題(2)正解的存在性.

受文[1-8]啟發(fā),本文將討論問題(1)的正解的存在性,首先找到問題(1)對(duì)應(yīng)的Green函數(shù),并驗(yàn)證Green函數(shù)的性質(zhì),進(jìn)而給出問題(1)的等價(jià)積分方程,最后,利用不動(dòng)點(diǎn)定理得到了問題(1)正解的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)和引理

引理1 設(shè)y∈C[a,b], 則邊值問題

(4)

證明分?jǐn)?shù)階微分方程(4)的解等價(jià)于

由邊值條件得,C2=C3=…Cn=0,且

所以

引理2 引理1中的函數(shù)G1(t,s)具有如下性質(zhì):

證明顯然G1(t,s)≥0,(t,s)∈[a,b]×[a,b],當(dāng)t≥s時(shí),

當(dāng)t≤s時(shí),

類同引理1及引理2,可得如下引理.

引理3 (i) 設(shè)y∈C[a,b], 則邊值問題

(5)

等價(jià)于積分方程

其中

(ii) 函數(shù)G2(t,s)具有下述性質(zhì):

2 主要結(jié)果

且K=K1×K2?E×E,下面定義算子Ti:Ki→E(i=1,2),

且定義算子T:E×E→E×E為

T(u,v)=(T1(u,v),T2(u,v)).

那么邊值問題(1)有一個(gè)解當(dāng)且僅當(dāng)T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).令

引理4 算子T:K→K是全連續(xù)的.

證明顯然T:K→K是連續(xù)的.由引理2和引理3可得

上式說明T1(K)?K,同理可知T2(K)?K,所以T(K)?K.再由Arzela-Ascoli定理易得算子T:K→K是全連續(xù)的.

定理1 假設(shè)常數(shù)R>r>0滿足如下條件，

則邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解.

證明令Ω1={(u,v)∈E×E:‖u‖≤r,‖v‖≤r}, 對(duì)于(u,v)∈?Ω1, 由引理2和引理,及(H1)知,

故, 當(dāng)(u,v)∈?Ω1時(shí),

‖T(u,v)‖*=‖T1(u,v)‖+‖T2(u,v)‖≥2r≥

‖u‖+‖v‖=‖(u,v)‖*,(u,v)∈K∩?Ω1.

另一方面,令Ω2={(u,v)∈E×E:‖u‖≤R,‖v‖≤R},其中

R≥max{2g1(R(γ1+δ1)(θ1(b)-θ1(a))),2g2(R(γ2+δ2)(θ2(b)-θ2(a))),r}.

對(duì)于(u,v)∈?Ω2, 由引理2、引理3及(H2)知,

于是,當(dāng)(u,v)∈?Ω2時(shí),‖Tu‖≤‖u‖.

‖T(u,v)‖*=‖T1(u,v)‖+‖T2(u,v)‖≤2R≤‖u‖+‖v‖=‖(u,v)‖*,(u,v)∈K∩?Ω2.

綜上,由不動(dòng)點(diǎn)定理[9]知,邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解.(證畢)