張茂軍，湯孝海，趙揚

（蘇州科技大學商學院，江蘇 蘇州 215009）

引言

國債是中國債券市場的一個重要組成部分。收益率曲線是國債的重要屬性之一，在宏觀經(jīng)濟和金融市場中發(fā)揮著非常重要的功能和作用。在宏觀經(jīng)濟方面，國債收益率曲線具有連接貨幣市場和宏觀經(jīng)濟的功能，尤其是收益率曲線形狀變化是宏觀經(jīng)濟運行的“風向標”。在金融市場方面，國債收益率曲線是資產(chǎn)定價和投資的基礎。

目前，關(guān)于國債收益率曲線的研究主要集中在對收益率曲線的擬合和預測兩方面。大量文獻研究了國債收益率曲線擬合模型，其中Nelson-Siegel模型不僅比較精確地擬合了國債收益率歷史數(shù)據(jù)，而且可以分離出國債收益率的長期、中期和短期因子，是非常重要的模型之一。本文借助動態(tài)Nelson-Siegel模型擬合中國國債收益率曲線，同時利用AR模型和GARCH模型預測國債收益率曲線的水平因素、斜率因素和曲率因素，以期探究預測國債到期收益率的有效方法。

一、文獻評述

國債收益率曲線的擬合模型主要分為動態(tài)仿射模型和參數(shù)模型。動態(tài)仿射模型又分為單因子仿射模型和多因子仿射模型。在單因子仿射模型中，通過設定收益率曲線受單一因素“短期利率”驅(qū)動，并在市場債券無套利條件下，推導出收益率曲線理論模型[1-3]。在多因素仿射模型中，在收益率曲線受若干潛在因素驅(qū)動的基礎上，按照折現(xiàn)后債券理論價格同債券實際價格相等的原則，推出內(nèi)含的收益率曲線[4-5]。但是，單因子和多因子仿射模型均是基于“某一時刻”的債券市場價格信息，樣本外預測能力較弱。大部分動態(tài)模型側(cè)重研究樣本內(nèi)數(shù)據(jù)擬合，甚少涉及樣本外推檢驗和模型預測能力，也很少用于實際的收益率曲線預測。

在參數(shù)模型中，主要借助于多項式和樣條方法擬合國債收益率曲線。McCulloch[6]提出了用分段多項式擬合收益率曲線的設想，并用三次樣條法對美國國債稅后收益率曲線進行估計[7]。Nelson和Siegel提出了擬合即期遠期收益率的三參數(shù)模型[8]，這3個參數(shù)分別表示收益率的“水平”“斜率”和“曲率”狀態(tài)因子，抓住了收益率曲線的特征，被廣泛應用。近年來，Diebold和Li[9]在逐期估計Nelson-Siegel模型參數(shù)的基礎上，提出動態(tài)Nelson-Siegel模型，對樣本內(nèi)參數(shù)建立時間序列模型，并預測樣本外參數(shù)，即對收益率曲線進行預測。該方法不僅簡潔，且具有顯著的預測精度優(yōu)勢。Vicente和Tabak[10]利用動態(tài)Nelson-Siegel模型預測巴西債券市場收益率曲線，實證結(jié)果表明其對長期的預測效果優(yōu)于其他模型。Yu和Zivot利用Nelson-Siegel三因素模型預測公司債券[11]，實證結(jié)果發(fā)現(xiàn)樣本外預測時，AR（1）模型的表現(xiàn)優(yōu)于其他模型。

國內(nèi)學者對國債收益率曲線的研究也取得一些進展,如鄭振龍和林海[12]、姚長輝等[13]、謝赤和吳雄偉[14]等的研究，但沒有考慮國債收益率曲線預測問題。唐革榕和朱峰[15]、徐小華[16]的研究發(fā)現(xiàn)，國債收益率曲線90%以上的風險變動可以由水平、斜率和曲率3個因素解釋。何曉群和王彥飛[17]分析了中國利率期限結(jié)構(gòu)與宏觀經(jīng)濟運行的關(guān)系。沈根祥和陳映洲[18]提出了雙斜率因子動態(tài)Nelson-Siegel利率期限結(jié)構(gòu)模型。魏立佳和蔡遠飛[19]提出了利率期限結(jié)構(gòu)的區(qū)制轉(zhuǎn)移動態(tài)Nelson-Siegel模型?？桌^紅和岳偉[20]探討了動態(tài)Nelson-Siegel模型的無套利約束相容。沈根祥和張靖澤[21]提出了條件異方差動態(tài)Nelson-Siegel利率期限結(jié)構(gòu)模型?，F(xiàn)有研究并沒有把國債收益率曲線的整體作為研究對象，限制了國債收益率曲線的實際應用空間。

二、動態(tài)的Nelson-Siegel模型

在對收益率曲線進行擬合之前，首先考慮收益率計算問題。Pt(τ)表示在t時刻剩余期限為τ的零息債券價格，yt(τ)表示在t時刻剩余期限為τ的到期收益率，如公式（1）。

相應地，零息債券的即期遠期收益率曲線如公式（2）。

因此，即期遠期收益率曲線和收益率曲線之間的關(guān)系如公式（3）。

這就意味著，如果已知即期遠期收益曲線ft(τ)，那么用式（3）可以計算零息債券的收益率。

實際中，不能直接得到收益率曲線、貼現(xiàn)曲線和即期遠期收益率曲線，需要用債券價格估計。Nelson和Siegel（1987）提出了擬合即期遠期收益率，如公式（4）。

由式（3）得到收益率曲線如公式（5）。

式（5）中，β1表示收益率的長期部分，隨著時間t的逐漸增大，收益率將趨近于β1；β2表示收益率的短期部分，當它為正數(shù)時，收益率隨著期限的增大而上升，反之相反；β3表示收益率的中期部分，決定了表示收益率的極值點和曲度；λ表示指數(shù)遞減率，也是權(quán)衡短期和長期的擬合曲度。

中國詩歌中傳達“意境”的思想源遠流長，（陶淵明《飲酒》）“采菊東籬下，悠然見南山”中東籬是實實在在的事物，“東籬”后來常被詩人作詩用到。（李清照《醉花陰》）“東籬把酒黃昏后，有暗香盈袖”這句詩中的“東籬”便不是實指在東籬喝酒作樂，而是指一種意境。詩中的意象也是不勝枚舉，例如關(guān)乎離別的意象是“楊柳”（楊柳東風樹，青青夾御河）；關(guān)乎思念家鄉(xiāng)的意象是“明月”（舉頭望明月，低頭思故鄉(xiāng)）；關(guān)乎思友的意象是“白云”（水底分明天上云，可憐形影似吾身）。譯者要深入詩中意境觀其意象，感受詩人此時此景的特殊情感，才能收受其意象的感染力。

在實際收益率曲線中，式（5）中的4個參數(shù)隨時間變化。Diebold和Li（2006）提出了動態(tài)Nelson-Siegel三因子模型，收益率曲線表示如公式（6）。

其中β1t、β2t、β3t和λt都是時間函數(shù)。參數(shù)β1t的載荷因子為1，說明參數(shù)β1t體現(xiàn)了對收益率水平的長期影響因素；參數(shù)β2t的載荷為該載荷因子隨利率期限的增加從1開始衰減至0，說明β2t是影響收益率的短期因素；參數(shù)β3t的載荷因子為該載荷因子隨著利率期限的增加從0逐漸增大，并且經(jīng)過某個拐點之后逐漸遞減，直至衰減至0，這一特征說明了參數(shù)β3t是影響收益率的中期因素。

載荷因子解析式說明了收益率曲線的參數(shù)序列對收益率影響模式可分為長期、短期和中期。當利率的剩余期限趨于無窮時，yt()∞=β1t，說明參數(shù)β1t代表了長期收益率。短期因素β2t與收益率的斜率有關(guān)，參數(shù)β3t近似代表了衡量收益率曲線彎曲程度的中期收益率和曲率。

三、收益率曲線實證分析

本文采用2003—2021年的中國國債收益率數(shù)據(jù)。選取剩余期限為3、6、9、12、15、18、21、24、30、36、48、60、72、84、96、108和120個月的收益率數(shù)據(jù)，其中每個月為30.44天，數(shù)據(jù)來源于Wind咨詢數(shù)據(jù)庫。

本文參考Diebold和Li[9]的研究方法，為了分析收益率的水平、斜率、曲率3個因素的統(tǒng)計特征，以剩余期限是120個月的收益率為水平，以yt(120)-yt(3)=-0.78β2t+0.06β3t計 算 斜 率，以2yt(24)-yt(3)-yt(120)=0.00053β2t+0.37β3t計 算 曲率，并且分析收益率的相關(guān)統(tǒng)計特征，如表1所示。

分析表1可知，隨著剩余期限增長，收益率均值也在以不同程度增長，說明收益率曲線有向上傾斜的趨勢且長期比短期波動較小。進一步，比較3個因素延遲1個月、12個月、30個月的相關(guān)系數(shù)，分別用表示，可以發(fā)現(xiàn)：水平因素有高度的持久性，但其波動性卻與其收益率均值相關(guān)性較弱；斜率因素持久性較弱，但波動性與其收益率均值相關(guān)性較強；曲率因素的持久性最弱，但其波動性與其收益率均值高度相關(guān)。

表1 收益率曲線統(tǒng)計性質(zhì)描述

為了分析收益率的分布區(qū)間，圖1給出了收益率中間值及其四分位數(shù)的分布情況，圖中黑色曲線是收益率的75%分位數(shù)與剩余期限之間關(guān)系圖，紅色曲線為收益率中位數(shù)與剩余期限的關(guān)系圖，綠色曲線為收益率的25%分位數(shù)與剩余期限的關(guān)系圖。說明了收益率的分布在很長范圍內(nèi)是對稱的，而且長期利率的波動比短期利率的波動小。

圖1 收益率中位數(shù)、75%和25%分位數(shù)與剩余期限關(guān)系圖

（二）擬合收益率曲線

借助于公式（6），用所選取的收益率估計參數(shù)β1t、β2t、β3t。圖2展示了平均實際收益率曲線和擬合收益率曲線，其中紅色為實際收益率曲線，綠色為由Nelson-Siegel模型擬合得到的收益率曲線?？梢钥闯鰞蓷l曲線之間非常相近。說明動態(tài)Nelson-Siegel模型可以很好地擬合收益率曲線。但在有些日期擬合效果并不顯著，特別是收益率特別分散的時候。

圖2 收益率和剩余期限關(guān)系圖

表2描述了不同剩余期限到期收益率殘差的統(tǒng)計性質(zhì)。表2中，MAE表示平均預測絕對誤差，RMSE表示均方根誤差。最后3列是延遲1、12、30個月的殘差自相關(guān)系數(shù)。從表中可以看出殘差標準差隨著剩余期限的增大有減小的趨勢，即殘差的波動隨著剩余期限的增大而減小。由延遲1個月、12個月、30個月的相關(guān)系數(shù)得出相關(guān)性也隨著剩余期限的增大而減小。殘差樣本的自相關(guān)系數(shù)意味著價差是持久的，但這種持久性將隨著擬合收益率曲線的變化而消失。表3中，呈現(xiàn)了估計因素的統(tǒng)計性質(zhì)。

表2 殘差統(tǒng)計性質(zhì)描述

由表3可知，3個因素延遲階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)說明第1個因素最持久。最后1列是增廣Dickey-Fuller（ADF）單位根檢驗，說明存在單位根，具有非平穩(wěn)性。

表3 估計因素統(tǒng)計性質(zhì)描述

（三）預測收益率曲線理論模型

1.線性AR（1）模型。

式中i=1、2、3、ei,t+h是殘差項，βi,t分別對應著動態(tài)Nelson-Siegel模型的3個參數(shù)。βi,t+h表示是βi,t在時間為h的預測項。

2.非線性AR（1）模型。

式中i=1、2、3、ei,t+h是殘差項，βi,t分別對應著動態(tài)Nelson-Siegel模型的3個參數(shù)。βi,t+h表示是βi,t在時間為h的預測項。

3.線性GARCH模型。

式中i=1、2、3、wi是常數(shù)項，ei,t+h是殘差項，是期望方差，βi,t分別對應著動態(tài)Nelson-Siegel模型的3個參數(shù)。βi,t+h表示是βi,t在時間為h的預測項。表示期望方差在時間為h的預測項。

基于上述3種模型，得到動態(tài)Nelson-Siegel模型的3個參數(shù)預測值，如公式（11）。

（四）動態(tài)Nelson-Siegel模型樣本外預測

對動態(tài)收益率曲線進行擬合的模型，不僅要在樣本內(nèi)擬合效果明顯，樣本外預測結(jié)果也要顯著。動態(tài)Nelson-Siegel模型中的3個參數(shù)決定了到期收益率大小，對收益率曲線的預測相當于預測動態(tài)Nelson-Siegel模型中3個參數(shù)的估計值表4中給出了預測1、6和12個月的誤差分析。

表4展示了收益率曲線預測的3種模型所預測的收益率在前1個月、前6個月和前12個月的標準誤。結(jié)果表明：線性AR（1）模型和非線性AR（1）模型在預測時的標準誤隨著預測時間的增大而減小，說明對遠期利率的預測比短期利率的預測要精確。線性AR（1）模型預測的標準誤同樣說明，隨著剩余期限的延長標準誤增大，收益率曲線預測的誤差增大。在比較線性AR（1）模型、非線性AR（1）模型和GARCH模型預測效果時，AR（1）模型對收益率曲線的短期和長期預測都比非線性AR（1）模型和GARCH模型要好。

表4 預測誤差

結(jié)論

本文將動態(tài)Nelson-Siegel曲線的3個參數(shù)作為收益率的水平、斜率和曲率因素進行擬合預測，得到了有效結(jié)果。3個因素動態(tài)變化特征從整體上反映了收益率曲線變化特征。在對收益率曲線進行預測時采用線性AR（1）模型、非線性AR（1）模型和GARCH模型，通過比較3種模型預測的標準誤，發(fā)現(xiàn)AR（1）模型對收益率曲線的短期和長期預測都比非線性AR（1）模型和GARCH模型精確，且能夠很好地刻畫收益率曲線整體動態(tài)變化規(guī)律。研究結(jié)論說明，通過合理的設計，收益率曲線變化在某種程度上是可預測的。該結(jié)論對債券投資、套期保值和利率免疫有著重要的實踐意義。