王梅寶,張曉琳,陳 莉,余 簫,張啟元

(1.浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院,浙江 杭州 310018;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

1 引 言

質(zhì)心位置對航天飛行器、艦艇、汽車、電機(jī)這類產(chǎn)品的運(yùn)動(dòng)分析、姿態(tài)控制及驗(yàn)證內(nèi)部結(jié)構(gòu)布局是否合理具有重要意義,因此需要對這類產(chǎn)品的質(zhì)心進(jìn)行精確的測量。常用的質(zhì)心測量方法有多點(diǎn)稱重法、不平衡力矩法、懸線扭擺法等[1～3]。不平衡力矩法[4]測量精度較高,但測量被測件的三維質(zhì)心時(shí),需要將被測件變換3個(gè)姿態(tài),且需要單獨(dú)測量被測件的質(zhì)量,操作相對繁瑣。懸線扭擺法[5,6]將被測件吊起使其在空中自由扭擺,通過測量扭擺周期計(jì)算質(zhì)心,若被測件偏離扭擺軸,除了發(fā)生繞軸扭擺外還會(huì)產(chǎn)生復(fù)擺,一定程度上限制了測量精度,并且同樣需要單獨(dú)測量被測件的質(zhì)量。多點(diǎn)稱重法根據(jù)3個(gè)(或4個(gè))稱重傳感器間的幾何位置關(guān)系,以及這幾個(gè)稱重傳感器測量得到的質(zhì)量,由靜力矩平衡原理計(jì)算得到質(zhì)心。該方法結(jié)構(gòu)簡單,測量精度較高,可以同時(shí)測量被測件的質(zhì)量,在質(zhì)心測量領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[7～11]。由多點(diǎn)稱重法測量原理可知,測量之前需要精確的確定稱重傳感器的位置,建立測量坐標(biāo)系。采用此方法測量質(zhì)心時(shí),影響測量結(jié)果的主要因素有[12～15]:稱重傳感器受力點(diǎn)的坐標(biāo);稱重傳感器的精度等級(jí);所使用的3個(gè)(或4個(gè))稱重傳感器組成的受力平面是否為水平面。其中稱重傳感器的精度等級(jí)由選用的稱重傳感器型號(hào)決定,稱重傳感器組成的平面是否為水平面需要精確的機(jī)械加工保證,且在測量前需要進(jìn)行調(diào)平。而稱重傳感器上受力點(diǎn)的坐標(biāo)通常取傳感器承壓頭的幾何中心。

現(xiàn)有的多點(diǎn)稱重法中傳感器承壓頭的坐標(biāo)通常由機(jī)械加工和裝配確定[14～16]。王超等[10,13]采用激光跟蹤儀確定稱重傳感器的位置坐標(biāo),對于長約5000 mm的被測件其質(zhì)心測量誤差<0.5 mm。基于多點(diǎn)稱重法研制的測量設(shè)備在使用過程中,特別是被測件質(zhì)量較大時(shí),由于上層平臺(tái)的變形,稱重傳感器承壓部分的結(jié)構(gòu)、加工、裝配等誤差的影響,傳感器實(shí)際受力點(diǎn)與理想受力點(diǎn)之間會(huì)存在偏移。通常飛行器對質(zhì)心測量精度要求較高,有些型號(hào)的飛行器質(zhì)心測量誤差要求≤0.1 mm甚至要求更高。因此修正質(zhì)心測量系統(tǒng)中傳感器受力點(diǎn)的坐標(biāo)尤為重要。

本文結(jié)合現(xiàn)有的多點(diǎn)稱重法,提出一種用于修正稱重傳感器受力點(diǎn)坐標(biāo)的方法,該方法采用高精度坐標(biāo)測量儀精確測量標(biāo)準(zhǔn)件的質(zhì)心,并將該測量值作為真值用于修正稱重傳感器的實(shí)際受力點(diǎn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,經(jīng)過該方法修正后的測量系統(tǒng),質(zhì)心測量誤差≤0.1 mm。

2 測量原理

2.1 多點(diǎn)稱重法的基本原理

如圖1所示,被測件放置于測量平臺(tái)上,測量平臺(tái)下方有3個(gè)稱重傳感器。則測量平臺(tái)與被測件的總質(zhì)量由3個(gè)稱重傳感器共同測得,通過測量空載時(shí)工裝的質(zhì)量,以及測量加載被測件后的工裝及被測件的總質(zhì)量,可得出被測件的質(zhì)量為:

(1)

式中:m為被測件的質(zhì)量；Δmi分別為3個(gè)稱重傳感器在空載和負(fù)載2種狀態(tài)時(shí)測得值的差值,i=1,2,3。

圖1 質(zhì)心測量系統(tǒng)示意Fig.1 Schematic of center of gravity measurement system

在測量質(zhì)心之前需要預(yù)先定義測量坐標(biāo)系,如圖2所示,以3個(gè)稱重傳感器的幾何中心為原點(diǎn)O,以3個(gè)稱重傳感器所在平面建立測量坐標(biāo)系xOy,以原點(diǎn)O與某1個(gè)傳感器受力點(diǎn)的連線為x軸,該平面的法向量為z軸,重力加速度相反方向?yàn)檎较?y軸由右手定則確定。3個(gè)稱重傳感器均布于以原點(diǎn)為圓心,以原點(diǎn)與某一傳感器的距離為半徑的同心圓上。質(zhì)心測量的最初結(jié)果在測量坐標(biāo)系下表示,并轉(zhuǎn)換到產(chǎn)品坐標(biāo)系下。

圖2 測量坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Schematic of measurement coordinate system

假設(shè)3個(gè)稱重傳感器的受力點(diǎn)在測量坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為Si(xi,yi),空載與負(fù)載狀態(tài)測得的差值分別為Δmi,根據(jù)靜力矩平衡原理,則被測件的質(zhì)心(x,y)在測量坐標(biāo)系下為[12～16]:

(2)

由式(2)可知,稱重傳感器受力點(diǎn)坐標(biāo)Si(xi,yi)的準(zhǔn)確程度成為影響測量結(jié)果的關(guān)建因素。若式(2)中被測件質(zhì)量m、測量坐標(biāo)系下被測件的質(zhì)心坐標(biāo)(x,y)及Δmi已知,即可以求出稱重傳感器受力點(diǎn)的坐標(biāo)Si(xi,yi)。

2.2 傳感器坐標(biāo)修正原理

2.2.1 坐標(biāo)修正基本原理

如圖3所示,采用圓柱形標(biāo)準(zhǔn)件作為被測件,其質(zhì)量M已知,其形心坐標(biāo)作為質(zhì)心的相對真值。圖3給出了測量設(shè)備及實(shí)驗(yàn)效果圖。

圖3 測量設(shè)備及實(shí)驗(yàn)效果圖Fig.3 Equipment and experimental rendering

采用激光跟蹤儀精確測量被測件形心坐標(biāo),同時(shí)采集被測件上可視的3個(gè)以上的參考點(diǎn)坐標(biāo),參考點(diǎn)與稱重傳感器位置關(guān)系確定且預(yù)先測量完成,因此可以將形心坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到測量坐標(biāo)系下得到(Gx,Gy)。將被測件放置于測量平臺(tái)上不同的位置,通過采集不同位置時(shí)稱重傳感器的測量數(shù)據(jù),由靜力矩平衡原理,可以分別得到:

(3)

(4)

式中:(Sxi,Syi)為測量坐標(biāo)系下稱重傳感器受力點(diǎn)的坐標(biāo)；p為稱重傳感器的數(shù)量;(Gxj,Gyj)為被測件在測量坐標(biāo)系下的質(zhì)心坐標(biāo),j=1,2,…,n,n為被測件不同位置;mnp為標(biāo)準(zhǔn)件位于第n個(gè)位置時(shí),第p個(gè)稱重傳感器空載與負(fù)載狀態(tài)時(shí)測得值的差值。式(3)可寫為如下線性方程組的形式:

Gx=MSx

(5)

同理,式(4)可寫為如下線性方程組的形式:

Gy=MSy

(6)

當(dāng)n≥p時(shí),可以通過分別求解式(5)、式(6)中的Sx和Sy,即為修正后的稱重傳感器受力點(diǎn)的坐標(biāo)。求解式(5)、式(6)為典型的矩陣求解問題。

2.2.2 基于總體最小二乘法解算原理

最小二乘法在求解式(5)、式(6)時(shí)認(rèn)為只有觀測向量Gx,Gy存在誤差,事實(shí)上由于矩陣M和Gx,Gy均為實(shí)測數(shù)據(jù),均存在測量誤差,因此最小二乘估計(jì)從統(tǒng)計(jì)學(xué)觀點(diǎn)不再是最優(yōu)的,其偏差的協(xié)方差將受到噪聲干擾誤差的影響而增加。本文應(yīng)用總體最小二乘法進(jìn)行解算[17,18]。

將式(5)改寫為

(7)

式中:Sx為p×1階待估參數(shù);M為n×p階系數(shù)矩陣(n≥p),且rank(M)=p;Gx為n×1階觀測向量。

Z=UΣVT

(8)

式中:U=[u1,u2,…,un]∈Rn×n;V=[v1,v2,…,vp+1]∈R(p+1)×(p+1);Σ=diag(σ1,σ2,…,σp+1);并且σ1≥σ2≥…≥σp+1≥0。

當(dāng)vp+1,p+1≠0時(shí),系數(shù)矩陣和觀測值的總體最小二乘估計(jì)為:

(9)

(10)

并且:

(11)

式中:e、v分別為矩陣M與Gx含有的誤差矩陣與向量;up+1、vp+1分別為矩陣U與V的第p+1列。

參數(shù)向量的總體最小二乘估計(jì)值滿足下列關(guān)系:

(12)

由式(12)可得,基于奇異值分解的參數(shù)向量總體最小二乘解為:

(13)

(14)

由式(14)可得:

(15)

因此,稱重傳感器x軸方向坐標(biāo)Sx的總體最小二乘估計(jì)為:

(16)

同理,可得稱重傳感器y軸方向坐標(biāo)Sy的最優(yōu)估計(jì)值為:

(17)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)現(xiàn)有的質(zhì)心測量設(shè)備驗(yàn)證第2節(jié)提出的理論,該設(shè)備用于測量某型號(hào)飛行器的質(zhì)量和質(zhì)心,設(shè)備參數(shù)及配套使用的激光跟蹤儀參數(shù)如表1所示。

實(shí)驗(yàn)共采用2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)件,用于修正測量系統(tǒng)和驗(yàn)證修正后的測量結(jié)果,標(biāo)準(zhǔn)件為圓柱形,材料為不銹鋼,表面發(fā)黑處理。

質(zhì)心經(jīng)過首都航天機(jī)械公司采購的美國空間電子公司型號(hào)為POI- 1600 M的質(zhì)量特性測量設(shè)備測量,其質(zhì)心的x坐標(biāo)與形心的x坐標(biāo)之間差值<0.05 mm,同樣,其質(zhì)心的y坐標(biāo)與形心的y坐標(biāo)之間差值<0.05 mm,因此將形心坐標(biāo)視為標(biāo)準(zhǔn)件質(zhì)心坐標(biāo)的相對真值。將2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)件分別編號(hào)為1和2,其參數(shù)如表2所示。

表1 質(zhì)心測量設(shè)備參數(shù)Tab.1 Parameters of the center of gravity measurement system

表2 標(biāo)準(zhǔn)件的質(zhì)量和質(zhì)心Tab.2 Mass and center of gravity of the standard samples

實(shí)驗(yàn)共測量了10組數(shù)據(jù)。分別將1號(hào)、2號(hào)標(biāo)準(zhǔn)件放置于測量系統(tǒng)上5個(gè)不同的位置并測量其質(zhì)心在測量系統(tǒng)中投影點(diǎn)的x軸、y軸方向的坐標(biāo),采用激光跟蹤儀測量其形心坐標(biāo)作為相對真值,并將該相對真值轉(zhuǎn)換到儀器坐標(biāo)系中。如表3所示,為測量系統(tǒng)測得的質(zhì)心結(jié)果,與激光跟蹤儀測得的形心坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到儀器坐標(biāo)系中的結(jié)果,2種結(jié)果偏差的最大值為0.24 mm。

表3 標(biāo)準(zhǔn)件質(zhì)心測量數(shù)據(jù)(測量坐標(biāo)系)Tab.3 Results of center of gravity measurement for standard samples(measurement coordinate system) mm

采用第2節(jié)中所提出的修正方法,對3個(gè)稱重傳感器坐標(biāo)進(jìn)行修正。修正前后稱重傳感器坐標(biāo)如表4所示。通過表4可知,稱重傳感器坐標(biāo)修正值達(dá)-1.19 mm。

表4 修正前后稱重傳感器坐標(biāo)Tab.4 Coordinates of the load cells before and after correction mm

采用表3中修正后的稱重傳感器受力點(diǎn)坐標(biāo)作為新的坐標(biāo)值,對1號(hào)、2號(hào)標(biāo)準(zhǔn)件再次進(jìn)行測量,以驗(yàn)證修正后的質(zhì)心測量結(jié)果,分別將標(biāo)準(zhǔn)件放置于測量設(shè)備上5個(gè)不同的位置,采用激光跟蹤儀測量其形心并轉(zhuǎn)換到測量坐標(biāo)系下,作為相對真值,修正前后測量設(shè)備測得的質(zhì)心與相對真值間的誤差如圖4所示。

圖4 修正前后質(zhì)心測量誤差Fig.4 Error of center of gravity measurement

修正前后標(biāo)準(zhǔn)件質(zhì)心測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差與平均值如表5所示。由圖4及表5可知,修正前后質(zhì)心測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差沒有明顯變化,但修正后的質(zhì)心測量誤差的平均值明顯減小,誤差的平均值由 0.3 mm以內(nèi)縮小至0.1 mm內(nèi)。

表5 修正前后質(zhì)心測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差及平均值Tab.5 Standard deviation and average value of the error before and after correction mm

4 結(jié) 論

本文針對多點(diǎn)稱重法測量質(zhì)心時(shí),傳感器實(shí)際受力點(diǎn)的坐標(biāo)與理想坐標(biāo)不重合的問題,提出了受力點(diǎn)坐標(biāo)的修正方法。首先介紹了多點(diǎn)稱重法測量質(zhì)心的原理及影響測量結(jié)果準(zhǔn)確性的主要因素；然后分析了總體最小二乘法修正稱重傳感器受力點(diǎn)坐標(biāo)的基本原理；最后采用現(xiàn)有的質(zhì)心測量設(shè)備、激光跟蹤儀及標(biāo)準(zhǔn)件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,經(jīng)過修正后的測量設(shè)備,其質(zhì)心測量誤差的平均值由≤0.3 mm縮小至≤0.1 mm,可以滿足飛行器的高精度質(zhì)心測量需求。