盧 恒，徐旭松，王樹剛，王 皓

(1.江蘇理工學(xué)院機械工程學(xué)院，江蘇常州213001；2.無錫市檢驗檢測認(rèn)證研究院,江蘇無錫214100)

1 引 言

葉片是渦輪發(fā)動機的核心部件，其型面精度是保證空氣動力學(xué)性能、可靠性、穩(wěn)定性的關(guān)鍵元素。高效、精確的評定葉片型線誤差對控制葉片加工質(zhì)量具有重要意義[1]。葉片型面測量有接觸式測量與非接觸式測量[2]，其中接觸式測量主要以三坐標(biāo)測量法為主，是目前精度較高的測量方式之一[3]。三坐標(biāo)測量葉片主要采用等高法進行測量，由于系統(tǒng)誤差及隨機誤差的存在，需要對測量數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)之間進行配準(zhǔn)，以獲得較精確的誤差評定結(jié)果。

在誤差評定的過程中需要解決2個關(guān)鍵問題：①如何尋找實測點在理論輪廓中的對應(yīng)點，針對這一問題，主要采用的方法是對理論輪廓進行樣條函數(shù)擬合，用分割逼近的方法對理論輪廓尋求最近對應(yīng)點；②如何統(tǒng)一實測基準(zhǔn)與理論基準(zhǔn)的問題，本質(zhì)是求解實測點集與理論點集的剛性變換矩陣，也即是對實測點集與理論點集的配準(zhǔn)問題[4]。

葉片型線的配準(zhǔn)分為初配準(zhǔn)和精配準(zhǔn)。初配準(zhǔn)目的是使測量數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的空間位姿盡量接近，可以在很大程度減小實測點集與理論點集的位置偏差，給精配準(zhǔn)提供良好的初值條件，主要算法有遺傳算法[5]、力矩主軸法[6]、三點對齊法[7]；精配準(zhǔn)可使理論點集與實測點集處于最佳配準(zhǔn)狀態(tài)，目前主要以迭代最近點(iterative closest point，ICP)算法為主。

Yang J L等[8]提出一種全局優(yōu)化與ICP結(jié)合的算法，該算法既能保證配準(zhǔn)精度同時加快了收斂速度。Xu G L等[9]提出最大化熵準(zhǔn)則的ICP算法，實現(xiàn)有噪聲和離群點的二維點集配準(zhǔn)。Lamine T M等[10]提出了聚類迭代最近點算法(clustering iterative closet point，CICP)，該算法將理論點云中與實際點云中相對應(yīng)的局部點云進行配準(zhǔn)，適合處理密度變化較大的點云。Chetverrikov D等[11]提出了裁剪迭代最近點算法(trimmed iterative closet point，TrICP)，通過引入重疊率對點云重疊部分配準(zhǔn)，有效降低了未重疊部分配準(zhǔn)誤差。Wu Z Z[12]等引入最大相關(guān)準(zhǔn)則(MCC)作為相似性度量，提出了一種魯棒尺度ICP算法。該算法具有消除異常點和噪聲干擾的特點。

本文針對傳統(tǒng)ICP算法配準(zhǔn)精度較低的問題，提出一種改進ICP算法的葉片型線輪廓度誤差評定方法,對傳統(tǒng)ICP算法配準(zhǔn)結(jié)果進行NURBS曲線擬合后，再做進一步精配準(zhǔn)[13]，有效提高了配準(zhǔn)精度。

2 基于矢量對齊法的型線數(shù)據(jù)初配準(zhǔn)

本文在三點對齊法的基礎(chǔ)上，基于單條葉片截面線數(shù)據(jù)有序排列且一一對應(yīng)的特點，采用一種基于矢量對齊法的型線數(shù)據(jù)初配準(zhǔn)，如圖1所示。

設(shè)理論點集為Pi(i=1，2，…，n)，實測點集為Qi(i=1，2，…，n)。理論點集與實測點集數(shù)量相等且一一對應(yīng)，取理論點集Pi中兩點P1、P2，對應(yīng)實測點集兩點為Q1、Q2。由此可以計算初始旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T。對實測點集Qi分別作用旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T,可得新的實測點集Qi。

圖1 基于矢量對齊法的初配準(zhǔn)Fig.1 Initial registration based on vector alignment method

具體步驟如下；

(1) 取理論點集Pi中相對距離較遠(yuǎn)的兩點P1、P2。

(2) 于測量點集Qi中找到對應(yīng)的兩點Q1、Q2。

(4) 若使u，v兩矢量方向相同，有如下關(guān)系式

|νR×u|=0

(1)

式中：u的方向為P1指向P2，大小為P1到P2的距離；v的方向為Q1指向Q2，大小為Q1到Q2的距離。

(5) 代入點集坐標(biāo)求得旋轉(zhuǎn)矩陣R。

(6) 對實測點集Qi作用R得更新后點集Si(i=1，2，…，n)。

(7) 對應(yīng)Qi中Q1、Q2，更新為S1、S2。

(8) 計算平移矩陣,

T=S1-Q1

(2)

(9) 對點集Si作用平移矩陣T，得新的實測點集Qi。

Qi=Si-T

(3)

3 基于改進ICP算法的葉片型線精配準(zhǔn)

3.1 傳統(tǒng)ICP算法

ICP算法的基本原理為最小二乘法，即對于2個不同坐標(biāo)系下的點集，通過尋找使點對之間距離平方和最小的旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T[14]。設(shè)Pi(i=1，2，…，n)為理論點集，Qi(i=1，2，…，n)為實測點集，尋找實測點集的變換矩陣使目標(biāo)函數(shù)minF(R,T)最小，數(shù)學(xué)模型如下:

(4)

算法步驟如下；

(1) 在實測點集Qi中尋找與理論點集Pi對應(yīng)的最近點點集Pik(k為迭代次數(shù))，使得：

(5)

(2) 根據(jù)式(4)計算R和T。

(3) 對點集Pi進行作旋轉(zhuǎn)平移變換，

(6)

(4) 計算平均距離dk+1，

(7)

(5) 當(dāng)dk+1大于終止迭代誤差τ時，返回步驟1繼續(xù)迭代，直到dk+1小于τ或者迭代次數(shù)達到預(yù)定的閾值為止。

其中步驟(2)的求解主要采用奇異值分解(singular value decomposition，SVD)方法，方法如下：

(1) 分別計算點集Pi，Qi的質(zhì)心Pc，Qc，

(8)

(9)

(2) 分別對點集Pi，Qi去中心化，

PN=P-Pc

(10)

QN=Q-Qc

(11)

式中:PN，QN為Pi，Qi去中心化的新點集。

(3) 計算矩陣H，

(12)

(4)SVD分解，

H=UΣVT

(13)

式中:U、V為正交矩陣；Σ為對角矩陣。

(5) 求解變換旋轉(zhuǎn)矩陣R0和平移矩陣T0，

R0=V·UT

(14)

T0=Qc-R·Pc

(15)

3.2 改進ICP算法的精配準(zhǔn)

由于采用最小二乘法的ICP算法求解變換矩陣存在較大誤差，為進一步提高求解精度，設(shè)定對原實測點集Qi作用變換矩陣R0、T0所得點集為Qj，對點集Qj進行NURBS曲線擬合。再利用自適應(yīng)粒子群算法重新求解變換矩陣R、T。

具體步驟如下；

(1) 對點集Qj進行NURBS擬合，得到擬合曲線S，計算曲線S上到理論點集Pi的最近點集Qk,

(16)

(2) 采用自適應(yīng)粒子群算法[15,16]建立如下適應(yīng)度函數(shù)

(17)

(3) 設(shè)置算法參數(shù)如下：N為種群數(shù)量，一般取20～40，為了提高算法的搜索效果，這里N取為40；c1為自我學(xué)習(xí)因子，c2為群體學(xué)習(xí)因子，c1是控制種群中粒子在自己的維度上與最好位置的距離，c2是控制粒子在種群總維度上的最好距離，學(xué)習(xí)因子太大，則種群隨機搜索性能較好，但是種群的收斂性能降低，經(jīng)過算法調(diào)試，這里c1取為0.8，c2為1.2；ωmax為最大慣性權(quán)重，ωmin為最小慣性權(quán)重，慣性權(quán)重隨著粒子目標(biāo)適應(yīng)值的改變而改變，當(dāng)粒子目標(biāo)分散時，減小慣性權(quán)重，粒子目標(biāo)一致時，增加慣性權(quán)重，經(jīng)過算法調(diào)試，這里ωmax取為0.8，ωmin為0.1；M為最大迭代次數(shù)，經(jīng)過測試，當(dāng)?shù)螖?shù)達到100左右時，目標(biāo)適應(yīng)值趨于平穩(wěn)，這里M取為100；搜索空間維數(shù)D為3，也是目標(biāo)函數(shù)的決策變量個數(shù)，分別是旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)角度、平移矩陣的平面二維方向的平移。

(4) 初始化種群個體，并計算各個粒子的適應(yīng)度zg，以及全局最優(yōu)適應(yīng)度pg。

(5) 進入主循環(huán)，更新粒子位移、速度，以及慣性權(quán)重，更新規(guī)則如下：

x(t+1)=x(t)+v(t+1)

(18)

式中:x(t+1)為粒子更新后的位移；x(t)為更新前的位移；v(t+1)為更新后的粒子速度；t為粒子位移和速度的時間函數(shù)。

v(t+1)=ωv(t)+c1r1[pi-x(t)]+c2r2[pg-x(t)]

(19)

式中:ω為初始慣性權(quán)重；r1，r2為隨機函數(shù)rand;pi為個體最優(yōu)適應(yīng)度。

(20)

式中:f為粒子實時的目標(biāo)函數(shù)值;favg和fmin分別表示當(dāng)前所有粒子的平均值和最小目標(biāo)值。

(6) 將每個粒子的適應(yīng)值與粒子的最小適應(yīng)值比較，如果更新后的粒子適應(yīng)值比最小適應(yīng)值小，則將更新后的粒子作為最小適應(yīng)值，否則保留更新前的最小適應(yīng)值。比較當(dāng)前所有的個體最佳適應(yīng)值和群體最佳適應(yīng)值，并更新群體最佳適應(yīng)值。

(7) 重復(fù)(3)，(4)步驟，直到算法收斂或者達到最大迭代次數(shù)。

(8) 輸出最佳個體，即R和T。

(9) 對點集Qk進行變換，此時實測點集與理論點集達到最佳匹配狀態(tài)。

4 線輪廓度誤差評定

4.1 線輪廓度公差

線輪廓度公差是指被測實際要素相對于理想輪廓線所允許的變動全量，它用來控制空間曲線的形狀或位置誤差。如圖2所示，線輪廓度公差帶是包絡(luò)一系列圓(直徑為公差值Tl)的2包絡(luò)曲線之間的區(qū)域，各圓圓心應(yīng)位于理想輪廓曲線上，其中被測實際輪廓線上的離散測量點必須位于包絡(luò)一系列圓的兩包絡(luò)曲線之間[17]。

圖2 線輪廓度公差帶Fig.2 Line profile tolerance zone

4.2 評定方法

目前線輪廓度的評定主要采用最小二乘法和最小區(qū)域法，現(xiàn)采用一種基于最小區(qū)域法的葉型線輪廓度誤差評定方法，如圖3所示。

定義包絡(luò)所有測點的上、下包絡(luò)線形成的最小距離為輪廓度誤差E:

E=du+dl

(21)

式中：du和dl分別為實測點集中在理論輪廓線外、內(nèi)的最大偏離點。

圖3 線輪廓度誤差Fig.3 Line profile error

5 實例分析

5.1 樣本數(shù)據(jù)

本次實驗采用海克斯康三坐標(biāo)測量機對某渦輪葉片進行測量數(shù)據(jù)采樣，通過誤差篩選，得到本次分析數(shù)據(jù)Pi，共計110個數(shù)據(jù)點。

5.2 算法分析對比

配準(zhǔn)前、后的理論點集Pi與實測點集Qi如圖4所示。

圖4 配準(zhǔn)前、后的理論點集Pi與實測點集QiFig.4 The theoretical point set Pi and measured point set Qi before and after registration

對實測點集Qi進行NURBS曲線擬合，如圖5所示。結(jié)合自適應(yīng)粒子群算法對點集進一步精配準(zhǔn)，得到兩種方法迭代結(jié)果局部對比圖，如圖6所示。

圖5 對實測點集Qi進行NURBS曲線擬合Fig.5 The measured point set Qi was fitted with NURBS curve

收斂值F，輪廓度誤差E與采用傳統(tǒng)ICP算法對比如表1所示。

表1中，最大誤差為實測點集對應(yīng)理論點集中的最大歐氏距離，最小誤差為實測點集對應(yīng)理論點集中的最小歐氏距離。由圖6和表1可知：采用改進的ICP算法與傳統(tǒng)ICP算法相比，可進一步降低收斂值，從而達到提高兩個點集之間配準(zhǔn)精度；改進ICP算法比傳統(tǒng)ICP算法配準(zhǔn)后的最大誤差和最小誤差更小，輪廓度誤差減小28.57%。

圖6 迭代結(jié)果局部對比圖Fig.6 Local comparison diagram of iteration results

表1 配準(zhǔn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計表Tab.1 Registration data statistics tablemm mm

綜上所述，改進ICP算法和傳統(tǒng)ICP算法在配準(zhǔn)初始階段均可使收斂值F快速下降到某一穩(wěn)定值，但改進ICP算法可以進一步迭代配準(zhǔn)，使收斂值F進一步減少。究其原因，主要有兩點：一方面，改進的ICP算法對實測點集采用了NURBS曲線擬合，搜索到了理論點集與實測點集之間歐氏距離更小的對應(yīng)最近點；另一方面，采用自適應(yīng)粒子群算法對點集進行配準(zhǔn)，該算法具有不易過早收斂且不易陷入局部最優(yōu)的優(yōu)點，使得收斂結(jié)果更為精確可靠。

6 結(jié) 語

在三點對齊法基礎(chǔ)上提出了基于矢量對齊法的葉片型線初配準(zhǔn)，使配準(zhǔn)點集的空間位姿更加快速有效的貼合；使用NURBS方法擬合實測點集數(shù)據(jù)，再利用自適應(yīng)粒子群算法對實測點集進一步的迭代配準(zhǔn)，有效提高了配準(zhǔn)精度；最后對配準(zhǔn)結(jié)果采用基于最小區(qū)域法的線輪廓度誤差評定，實現(xiàn)了對葉片型線誤差的精確評價。實驗分析結(jié)果表明：改進方法相對于傳統(tǒng)ICP算法，可在原有收斂值基礎(chǔ)上達到進一步收斂的效果，輪廓度誤差相對減小28.57%。該方法有效提高了葉片型線輪廓度誤差評定的精確度，從而為葉片的加工質(zhì)量提供了可靠判定。