戴 明張 奧,2程懋松,2

1（中國科學院上海應(yīng)用物理研究所 上海 201800）

2（中國科學院大學 北京 100049）

熔鹽堆采用高溫熔融鹽作為燃料，流動的液態(tài)燃料分布于石墨構(gòu)件通道或縫隙、導管外圍、下降環(huán)腔和上下腔室等位置，復雜的燃料位置分布給共振計算帶來了新挑戰(zhàn)。隨著計算機算力不斷提高，采用二維全堆模型加工熔鹽堆少群截面成為一種可行方案，這要求共振計算方法適合處理二維全堆級問題，同時能考慮堆芯徑向復雜的燃料位置分布、溫度分布［1］的影響，且具有良好計算效率［2］。

增強中子流方法［3］結(jié)合傳統(tǒng)的等價理論或者全局-局部耦合方法［4］是處理壓水堆全堆級共振計算的常用方法，上述方法使用Dancoff因子修正，存在幾何模型局限性。考慮到熔鹽堆中流動燃料的位置分布復雜，本文重點研究不依賴于Dancoff因子修正且適合于復雜幾何的全堆級共振計算方法，包括子群法、嵌入式自屏法（Embedded Self-Shielding Method，ESSM）和Tone方法。子群法能有效處理空間共振自屏，也能用于非均勻溫度分布問題［5］。Tone方法［6］是針對快堆于1975年提出的基于細群或超細群的共振計算方法，SARAX軟件系統(tǒng)使用該方法用于快譜段共振計算［7］。ESSM方法［8］于2011年提出，Tone和ESSM都是基于等價理論的迭代式求解方法，在壓水堆中的應(yīng)用已有相關(guān)研究，包括使用均勻共振積分表［9?10］或非均勻共振積分表［11?13］。在特定堆型的數(shù)值堆中，使用非均勻共振積分表的ESSM和Tone方法能夠同時兼顧計算效率和精度。考慮到方法的適用范圍，本文重點研究基于均勻共振積分表的ESSM和Tone方法。

基于均勻共振積分表的ESSM或Tone方法需要 較 精 細 的 能 群 結(jié) 構(gòu) 來 保 證 計 算 精 度［9?10］，如SHEM295和SHEM361能群結(jié)構(gòu)。SHEM295能群結(jié)構(gòu)下ESSM和Tone方法能得到相近的結(jié)果，且計算效率優(yōu)于子群法，但計算精度明顯差于子群法［9］。Mao和Zmijarevic提出一種新的Tone方法［10］，在SHEM361能群結(jié)構(gòu)下可獲得與子群法接近的計算精度。精度改進可能來源于兩方面的原因：一是SHEM361中4.6~22.5 eV內(nèi)能群結(jié)構(gòu)細化，因為SHEM295來 源于增大SHEM361的4.6~22.5 eV內(nèi)能群勒寬；二是新Tone方法采用帶子群參數(shù)的擬合公式計算有效截面?？紤]到新Tone方法并沒有計算各子群的通量分布，而使用擬合公式和直接插值沒有本質(zhì)區(qū)別，實際的精度改進來源于采用SHEM361能群結(jié)構(gòu)。因此，本文將驗證SHEM361能群結(jié)構(gòu)下采用直接插值法的ESSM和Tone方法在熔鹽堆柵元共振計算的精度。

考慮溫度分布的共振計算是個復雜問題，高精度的求解需要采用基于連續(xù)通量的蒙特卡羅方法或基于溫度擾動（Temperature Perturbation Technique，TPT）的超細群碰撞概率法［14］。由于上下腔室打混或?qū)Я靼宓拇嬖?，在正常工況下熔鹽堆堆芯徑向溫度分布較均勻，但不排除極端堵塞情況下出現(xiàn)較大差異［15］?？紤]到全堆級共振計算的規(guī)模，本文研究基于等價理論來近似考慮溫度分布的影響。Tone方法的均勻截面假設(shè)［16?17］在理論上不適合帶溫度分布共振計算，但文獻［9］中對于帶溫度分布算例的Tone方法計算結(jié)果精度與ESSM方法及均勻溫度下的基本相同。文獻［10］中新Tone方法并不需要求解子群方程，計算時可同時使用不同溫度下子群參數(shù)的擬合公式，然而該研究沒有評估新Tone方法對存在溫度分布的燃料棒計算精度。因此，本文也將評估SHEM361能群結(jié)構(gòu)下基于等價理論的ESSM和Tone方法是否適合帶溫度分布下熔鹽堆共振計算。本文提出了Tone-N方法，它通過額外引入兩個固定源方程來考慮其它燃料區(qū)影響。

基于ThorLAT柵格計算程序［18］，本研究設(shè)計和實現(xiàn)了使用均勻共振積分表的子群法、ESSM、Tone和Tone-N共振計算方法。采用SHEM361能群結(jié)構(gòu)，首先通過VERA組件基準題驗證共振計算方法實施的正確性，然后針對均勻溫度或存在溫度分布的通道式熔鹽堆燃料柵元進行計算及分析，包括與能群數(shù)更少的XMAS172能群結(jié)構(gòu)的結(jié)果對比，來初步驗證SHEM361能群結(jié)構(gòu)下基于均勻共振積分表插值的ESSM和Tone方法對于熔鹽堆的適用性。

1 共振計算理論

1.1 子群法

在共振能區(qū)采用窄共振近似，中子通量可表示為：

式中：σp，r為共振核素的勢散射截面；σb為背景截面；σ為共振核素的有效總截面。

由式（1）可知，中子通量隨有效總截面的改變將遠小于其隨能量的改變，它是共振核素總截面的平滑函數(shù)。子群法即將中子通量對能量的積分轉(zhuǎn)變?yōu)閷τ行Ы孛娴姆e分，該平滑函數(shù)可表式為離散形式：

式中：p為能群g內(nèi)有效截面的概率密度；ωk為子群k權(quán)重；σk為子群k截面；φk為子群k通量；K為能群g內(nèi)的子群數(shù)。子群權(quán)重和子群截面又被稱為子群參數(shù)。

單個共振核在共振能區(qū)的多區(qū)慢化方程為：

采用統(tǒng)計共振模型，結(jié)合子群定義式（2），共振核素的微觀散射源可表示為：

將式（4）代入式（3），子群k的慢化方程可表示為：

式中：Σ+為非共振核素的宏觀總截面；Σk為共振核素子群k的總截面為共振核素子群l的微觀散射截面。

可通過迭代求解式（5）內(nèi)子群通量，然后通過并群均勻化得到有效截面：

這套方法的前提條件是確定式（4）中子群參數(shù)，并期望它們與背景截面無關(guān)，從而能適用于不同的幾何模型?？紤]無限均勻介質(zhì)，式（5）可直接給出通量的表達式，將其代入式（6），可得到有效截面與背景截面的關(guān)系：

由多群數(shù)據(jù)庫可得到共振核素位于無限均勻介質(zhì)內(nèi)在給定離散背景截面點的有效截面，基于上述離散表點可采用帕德近似擬合得到與背景截面無關(guān)的子群參數(shù)。在實際非均勻系統(tǒng)求解時，共振核素背景截面不需要顯式求解，直接使用式（6）得到有效截面。

1.2 ESSM方法

根據(jù)等價理論構(gòu)建均勻共振積分表時，在背景截面σe，g下NJOY求解的無限均勻介質(zhì)的慢化方程為：

將式（4）中的統(tǒng)計共振模型代入式（3），并對能群g、立體角和體積進行積分，可得：

然后將式（8）右邊共振核素的微觀散射源同樣采用統(tǒng)計共振模型。令式（8）和（9）等價，可得到背景截面σe，g的表達式：

先假設(shè)通量、有效總截面及有效散射截面，通過式（3）得到該共振能群的通量φ(r)g，再通過式（10）得到背景截面，根據(jù)等價理論可插值得到新的有效總截面及散射截面，該過程迭代至通量收斂。

1.3 Tone方法

使用碰撞概率法表示式（3）：

式中：Pij(u)為區(qū)域i產(chǎn)生的中子在區(qū)域j發(fā)生首次碰撞的概率。

共振核素的微觀散射源采用式（4）中的統(tǒng)計共振模型，假設(shè)同一燃料區(qū)Gx內(nèi)的任意平源區(qū)j和i的共振核素微觀散射源相等［9］：

把式（12）代入式（11），并利用碰撞概率的互易關(guān)系，可得：

式（13）右邊第二項表示位于其他燃料區(qū)的該共振核素對于燃料區(qū)Gx的貢獻。

Tone方法引入一個關(guān)鍵近似，即碰撞概率的精細能群相關(guān)性只與碰撞發(fā)生的目標平源區(qū)i相關(guān)，可表示為：

根據(jù)碰撞概率的互易性及守恒性，可推出該近似的精細能群相關(guān)系數(shù)的表達式，有：

結(jié)合式（13）、（14）和（15），可得：

其中：

對比式（16）和（8），可知式（16）與構(gòu)建均勻共振積分表時NJOY通量求解器求解得到的通量表達式相似。

Tone方法采用均勻截面假設(shè)，即對于所有燃料區(qū)該共振核素的微觀散射源和總微觀截面都取為待求燃料區(qū)Gx的值，αi(u)與βi(u)即反映該假設(shè)的影響，采用該假設(shè)后αi(u)與βi(u)等于0，式（16）與（8）等價，結(jié)合碰撞概率的互易性，式（16）中背景截面可表示為：

觀察式（17），它的分子和分母與碰撞概率法的一般通量表達式相似（比如式（11）），因此可通過構(gòu)造兩個固定源輸運方程將Tone方法推廣到任意輸運求解方法。這兩個固定源輸運方程可表示為：

求解式（18）后，式（17）可表示為：

與ESSM類似，在式（19）得到背景截面后，通過均勻共振積分表插值得到有效總截面，然后再次求解式（18）更新背景截面，該過程迭代至通量收斂。

1.4 Tone-N方法

對于多燃料區(qū)，為評估不同燃料間的相互影響，避免Tone方法中均勻截面假設(shè)，本文提出了Tone-N方法。式（16）對能群g積分：

其中：

為求αi g和βi g，與（18）式類似，可額外引入兩個固定源方程進行求解，這兩個固定源方程的源項為：

與式（19）類似，可用上述固定源方程求解的通量來表示αi g和βi g：

2 共振計算的實現(xiàn)

上述共振方法可歸結(jié)到一套計算流程來實現(xiàn)。引入非共振核素的輸運修正，上述共振方法可統(tǒng)一寫成如下單共振核素慢化方程形式：

表1 子群法、ESSM、Tone和Tone-N在慢化方程上的差異Table 1 Difference in neutron slowing-down equations for different methods

式（24）的迭代求解流程如圖1所示，并在ThorLAT［18］柵格程序中實現(xiàn)。首先從多群數(shù)據(jù)庫中通過溫度插值得到相應(yīng)溫度的各背景截面下的有效截面。子群法采用帕德近似擬合得到子群參數(shù)。然后，針對單共振核素假設(shè)進行所有共振核素的內(nèi)迭代及外迭代循環(huán)。

式（24）求解時需要計算相關(guān)的系數(shù)矩陣，如果采用碰撞概率法，則計算碰撞概率矩陣；如果采用代數(shù)壓縮加速方法（Algebraic Collapsing Acceleration，ACA）［18］的 源 項 孤 立 特 征 線 方 法（Method Of Characteristics，MOC），則計算ACA系數(shù)矩陣及自碰撞因子。由于子群截面是固定的，內(nèi)迭代時子群法的系數(shù)矩陣只求解一次即可，而ESSM、Tone和Tone-N方法需要更新有效截面，系數(shù)矩陣需要不斷更新，這增加了時間開銷。由于Tone和Tone-N方法的多個固定源方程系數(shù)矩陣相同，只需要針對一個固定源方程求解。如果采用ACA加速的MOC方法，由于ACA加速是預處理的綜合加速方法，可以不更新ACA系數(shù)矩陣，能節(jié)省時間且不影響計算精度。

求解慢化方程時，先假設(shè)初始通量，并取無限稀釋截面為初始有效截面，通過表1中的源項表達式計算相應(yīng)源項，然后求解式（24）來更新通量。ESSM或Tone方法分別采用式（10）或式（19）計算背景截面，Tone-N方法采用式（21）和式（23）計算背景截面，通過插值更新相應(yīng)的有效總截面或散射截面。該內(nèi)迭代過程直至式（24）求解的通量收斂。式（24）求解時所有共振能群統(tǒng)一求解，能有效減少MOC方法讀取特征線的次數(shù)，提高求解效率。

本文中燃料區(qū)由不同的材料號區(qū)分，每個材料會指定相應(yīng)溫度。在ESSM、Tone和Tone-N方法中，溫度分布直接對應(yīng)到材料的溫度，每個燃料區(qū)將使用溫度相關(guān)的共振積分表來插值計算有效截面，從而近似考慮溫度分布的影響。在子群法中，由于不同溫度下共振核素的子群參數(shù)并不相同，所有溫度點不能同時求解。一種方式是把不同溫度點當成不同的共振核素，按式（24）的單共振核素假設(shè)來迭代計算處理，即所謂的不相關(guān)模型；另一種方式是采用全相關(guān)模型［5］，即引入一個所有溫度點的循環(huán)（如圖1所示），在求解當前溫度點核素時，其他溫度點的核素都使用當前溫度點的子群參數(shù)，但源項保留自身的散射源，該散射源可來自上次外迭代計算。全相關(guān)模型即求解如下慢化方程：

圖1 實現(xiàn)Subgroup、ESSM、Tone和Tone-N方法的集成計算流程Fig.1 Integrated calculation process for implementation of subgroup,ESSM,Tone and Tone-N methods

不相關(guān)模型和全相關(guān)模型的計算量是相同的，都增加了溫度點迭代，會比ESSM或Tone方法更加耗時。

3 數(shù)值驗證

3.1 VERA組件基準題

本文選取部分VERA組件基準題［19］對ThorLAT中不同共振計算方法進行驗證，包括1/8 VERA-2A、VERA-2F、VERA-4A-2D、1/8 VERA-4B-2D以及1/8 VERA-4C-2D，其中VERA-2為17×17燃料棒組成的單組件模型，而VERA-4-2D為3×3組件組合模型?；鶞暑}參考結(jié)果數(shù)據(jù)來自文獻［19］。所選基準題包括可燃毒物、AIC控制棒和B4C控制棒模型，能更全面驗證共振計算方法的正確性，并覆蓋不同求解規(guī)模來分析各共振計算方法效率。所有模型采用12線程并行計算，計算平臺CPU為2.20 GHz的Intel至強銀牌4214。微觀截面庫選用由ENDF/B-VII.1加工的SHEM361能群結(jié)構(gòu)的Draglib數(shù)據(jù)庫［20］。求解時設(shè)定極角數(shù)為4，方位角數(shù)為64，特征線間距為0.025 cm，采用材料網(wǎng)格代數(shù)歸并加速方法（Material-Mesh Algebraic Collapsing Acceleration，MMACA）［18］加速MOC源迭代。Subgroup方法在子群并群均勻化時采用SPH因子修正。

表2列出了ThorLAT中不同共振計算方法對VERA基準題的計算結(jié)果。由表中數(shù)據(jù)可知，三種共振計算方法的keff及棒功率分布與基準題的SCALE參考解符合較好，最大keff偏差為223×10-5，出現(xiàn)在子群法計算AIG控制棒插入的VERA-4B-2D模型，最大功率偏差出現(xiàn)在B4C控制棒插入的VERA-4C-2D模型，約為2%，三種共振計算方法精度相當。在求解效率方面，Tone方法與ESSM方法耗時接近，且明顯優(yōu)于子群法，共振計算時間降低約55%。

表2 ThorLAT中不同共振計算方法對VERA基準題計算結(jié)果Table 2 Results of VERA benchmark problems by using different resonance calculation methods in ThorLAT

3.2 通道式熔鹽堆燃料柵元

以通道式熔鹽堆的燃料柵元為對象，計算了三個算例：均勻溫度的單燃料區(qū)、均勻溫度的10燃料區(qū)和帶溫度分布的10燃料區(qū)，如圖2所示。燃料柵元中熔鹽通道半徑為2 cm，對邊距為10 cm。材料成分如表3所示。計算時忽略了溫度對材料密度的影響。均勻溫度算例的溫度設(shè)定為900 K。如圖2所示，三個算例具有相同等體積劃分的平源區(qū)。參考解來自蒙特卡羅程序OpenMC［21］計算。ThorLAT和OpenMC使用的數(shù)據(jù)庫都來源于ENDF/BVIII.0。

表3 通道式熔鹽堆燃料柵元各材料的核素原子密度Table 3 Nuclide atomic densities of the materials in the fuel lattice of the channel-type MSR

圖2 通道式熔鹽堆燃料柵元計算模型Fig.2 Models for the fuel lattice of a channel-type MSR

3.2.1 Subgroup、ESSM和Tone共振計算法對比

不同共振方法計算得到的燃料區(qū)均勻化結(jié)果如表4所列，其中Subg1為不相關(guān)模型子群法，Subg2為全相關(guān)模型子群法。對于均勻溫度算例，ThorLAT的計算結(jié)果與OpenMC參考解符合良好。最大keff偏差為1.80×10-3，U-238最大吸收截面偏差不超過3.35%，最大的U-238總吸收率偏差為1.84%。U-235最大吸收截面偏差較大，但U-235總吸收率偏差只有0.86%。與VERA基準題的結(jié)論相似，子群法、ESSM和Tone三個方法的計算精度相當。均勻溫度的10燃料區(qū)算例的計算結(jié)果與均勻溫度的單燃料區(qū)的非常接近，說明無溫度分布下進一步增加燃料區(qū)對計算精度影響有限。圖3具體給出了均勻溫度的10燃料區(qū)算例中各燃料區(qū)及各共振能群的U-238吸收率偏差分布。ESSM和Tone方法的偏差分布相似，進一步體現(xiàn)兩種方法精度相當。在30 eV的U-238共振峰處，兩種方法會高估燃料區(qū)內(nèi)部反應(yīng)率，而子群法計算更準確，但從表4可知，該共振峰處偏差對總吸收率的影響較小。

圖3 均勻溫度的10燃料區(qū)算例中U-238吸收率偏差分布Fig.3 Error distributions of U-238 absorption rates for case with 10 fuel zones and the uniform temperature distribution

表4 不同共振方法計算得到的燃料區(qū)均勻化結(jié)果對比Table 4 Fuel zone homogenized results for different methods

當燃料區(qū)存在溫度分布時，子群法的精度要低于ESSM和Tone方法。全相關(guān)模型子群法中U-238的最大吸收截面偏差及共振能群最大通量偏差較大，超過了40%。不相關(guān)模型的子群法中U-238總吸收率偏高5.60%，導致keff偏低了3.45×10-3。ESSM和Tone方法計算結(jié)果相似，U-238最大吸收截面偏差分別為2.02%和1.35%，U-238總吸收率偏差分別為1.01%和0.87%，U-235總吸收率偏差分別為0.52%和0.51%，這說明基于等價理論的ESSM和Tone方法能較好地處理溫度分布下共振計算。圖4給出了詳細的帶溫度分布的10燃料區(qū)算例下U-238吸收率偏差分布。ESSM方法在低能段共振區(qū)稍優(yōu)于Tone方法，但表4中結(jié)果表明總體上兩種方法計算精度相似。采用不相關(guān)模型的子群法會明顯高估低能段U-238的吸收率，而采用全相關(guān)模型的子群法會嚴重低估低能區(qū)相關(guān)共振峰處（36.8 eV、66.2 eV、103.0 eV和190.2 eV）的U-238吸收率，特別是燃料區(qū)內(nèi)部區(qū)域，從而影響子群法處理溫度分布問題的計算精度。

圖4 帶溫度分布的10燃料區(qū)帶算例中U-238吸收率偏差分布Fig.4 Error distributions of U-238 absorption rates for case with 10 fuel zones and the nonuniform temperature distribution

表4列出三種共振計算方法的計算時間。ESSM和Tone方法計算時間接近，且明顯少于子群法的計算時間。圖5給出了這三種方法每個共振能群的方程數(shù)及內(nèi)迭代求解次數(shù)。子群法方程數(shù)最多且迭代次數(shù)最多，因此計算耗時最長。Tone方法方程數(shù)比ESSM的多一倍，但它迭代次數(shù)最小，所以它的計算時間與ESSM接近。由圖5可知Tone方法具有最優(yōu)的迭代穩(wěn)定性。均勻溫度的10燃料區(qū)算例中，需要進行插值的燃料區(qū)數(shù)增加了10倍，導致ESSM和Tone方法的計算時間增加。當存在溫度分布時，子群法需要引入溫度點循環(huán)，而ESSM和Tone方法計算時間基本不變，體現(xiàn)了ESSM和Tone方法在處理溫度分布共振計算時顯著的效率優(yōu)勢。

圖5 不同共振方法的各共振能群方程數(shù)及內(nèi)迭代求解次數(shù)Fig.5 Number of equations and iterations in each resonant group for different methods

3.2.2 Tone-N與Tone結(jié)果對比

表5列出了Tone-N方法對通道式熔鹽堆的燃料柵元算例的計算結(jié)果。與表4中Tone方法計算結(jié)果對比，無論是否有多燃料區(qū)存在，Tone-N方法得到的結(jié)果與Tone方法的基本一致，Tone-N方法求解的方程數(shù)是Tone方法的兩倍，因而計算更耗時。圖6給出了帶溫度分布算例中Tone-N計算的U-238微觀吸收截面與Tone方法的相對偏差，兩者的結(jié)果只在低能段幾個共振峰處有較小偏差。由于空間自屏效應(yīng)，內(nèi)部區(qū)域的截面低于外部區(qū)域，Tone-N方法避免了均勻截面假設(shè)，內(nèi)部區(qū)域計算時會考慮外部區(qū)域更大截面的影響，將得到更大的背景截面，使得計算的吸收截面比Tone方法高。同理，Tone-N計算的外部區(qū)域截面比Tone方法偏低。以上結(jié)果說明Tone方法中均勻截面假設(shè)影響較小，驗證了該假設(shè)的合理性。

圖6 在帶溫度分布算例中Tone-N計算的U-238微觀吸收截面與Tone方法的偏差Fig.6 Deviations of U-238 absorption cross sections calculated by using Tone-N and Tone’s method for the case with 10 fuel zones and the nonuniform temperature distribution

表5 Tone-N方法計算得到的燃料區(qū)均勻化結(jié)果Table 5 Fuel zone homogenized results obtained with the Tone-N methods

3.2.3 XMAS172和SHEM361計算結(jié)果比較

為評估較少能群下各類共振方法的計算精度，選取開源XMAS172能群結(jié)構(gòu)的Draglib數(shù)據(jù)庫，并對帶溫度分布的10燃料區(qū)算例進行了計算，結(jié)果如表6所示。全相關(guān)模型子群法相比于其它方法精度較高，特別是keff和U-238總吸收率偏差。ESSM、Tone或Tone-N在172群下偏差較大，keff偏差達到5.00×10-3以上，U-238最大吸收截面偏差達到9%左右。

表6 XMAS172能群結(jié)構(gòu)下帶溫度分布的10燃料區(qū)算例的燃料區(qū)均勻化計算結(jié)果對比Table 6 Fuel-zone homogenized Results in the XMAS172 energy group structure for the case with 10 fuel zones and nonuniform temperature distribution

為進一步說明增加能群數(shù)對計算精度的影響，以Tone方法為例，對比了兩種能群結(jié)構(gòu)下最內(nèi)圈U-238吸收截面偏差分布，如圖7所示。采用SHEM361能群結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果明顯優(yōu)于采用XMAS172能群結(jié)構(gòu)的結(jié)果。下面分三個能段進行討論：

1）22.5 eV以 下 能 區(qū)。6.2~7.5 eV和19.5~22.6 eV這兩個共振能群的U-238吸收率占共振能區(qū)總吸收率60%左右，采用XMAS172能群結(jié)構(gòu)時這兩群的計算偏差較大，嚴重影響計算精度，但在SHEM361能群結(jié)構(gòu)中這兩個能群由于采用能群細分不再屬于共振能區(qū)，這能有效處理該能段內(nèi)空間自屏、不同共振核素或同一共振核素不同溫度下共振峰間干涉效應(yīng)。

2）22.5 ~400.0 eV的可分辨共振區(qū)。SHEM361能群結(jié)構(gòu)下Tone方法對于能譜緩慢變化能區(qū)結(jié)果符合較好，但對于能譜畸變位置存在一定偏差。由于通量畸變處能群勒寬較小，這對總吸收率影響有限，進而對計算精度影響較小。Tone方法采用式（14）的近似來簡化共振峰內(nèi)精細譜的碰撞概率，進而得到與精細譜無關(guān)的背景截面表達式，導致求解背景截面時無法準確考慮精細譜的影響，造成XMAS172能群結(jié)構(gòu)的結(jié)果偏差較大。為減少該近似帶來的偏差，可通過增加能群數(shù)得到更逼近精細譜的能譜結(jié)構(gòu)，比如采用SHEM361能群結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果。這也是采用XMAS172能群結(jié)構(gòu)的子群法結(jié)果優(yōu)于Tone方法的原因，因為子群法通過概率表方式能近似體現(xiàn)具有較大勒寬共振能群的能譜信息。

3）400.0 eV以上的共振能區(qū)。Tone方法在兩種能群結(jié)構(gòu)中都能給出較好結(jié)果。ESSM方法同樣能得到圖7類似結(jié)果。綜上所述，在可分辨共振能區(qū)增加能群數(shù)可得到更逼近精細譜的能譜結(jié)構(gòu)，從而有效改進ESSM和Tone方法的計算精度。

圖7 帶溫度分布算例中最內(nèi)圈計算結(jié)果(a)和(b)分別是采用XMAS172或SHEM361能群結(jié)構(gòu)時Tone方法計算的U-238吸收截面偏差，(c)和(d)分別是OpenMC計算的針對XMAS172或SHEM361能群結(jié)構(gòu)的共振能區(qū)歸一化能譜Fig.7 The results of the inner-most region for the case with 10 fuel zones and nonuniform temperature distribution(a)and(b)are the deviations of the U-238 absorption cross sections obtained with the Tone's method under XMAS172 or SHEM361 energy group structures respectively,(c)and(d)are the normalized fluxes calculated by OpenMC under the two energy group structures respectively

4 結(jié)語

本文探討適合于熔鹽堆的共振計算方案。首先介紹了適用于復雜幾何且不依賴Dancoff因子修正的子群法、ESSS、Tone和Tone-N共振計算方法理論，其中Tone-N方法是通過引入兩個額外的固定源方程來考慮多燃料區(qū)間相互影響的一種新方法。然后對這些方法的通用單共振核素慢化方程形式進行了總結(jié)，設(shè)計了統(tǒng)一的計算流程，并在ThorLAT柵格計算程序中實現(xiàn)了該統(tǒng)一計算流程。采用SHEM361能群結(jié)構(gòu)，先通過VERA組件基準題驗證ThorLAT中共振計算方法實現(xiàn)的正確性，然后針對均勻溫度或存在徑向溫度分布的通道式熔鹽堆燃料柵元進行了計算及分析。

VERA組件基準題中keff及棒功率分布與參考解符合良好，說明了方法實現(xiàn)的正確性。子群法、ESSM和Tone方法對于VERA基準題的計算精度相當，但ESSM和Tone方法計算效率比子群法提升1倍以上。

對于均勻溫度或存在徑向溫度分布的通道式熔鹽堆燃料柵元計算表明：1）ESSM和Tone方法計算的keff偏差在1.50×10-3以內(nèi)，最大燃料區(qū)均勻化U-238吸收截面偏差低于3.1%，在帶溫度分布算例中這兩種方法計算結(jié)果比不相關(guān)模型或全相關(guān)模型的子群法精度高且具有顯著的效率優(yōu)勢；2）與ESSM方法相比，Tone方法具有更穩(wěn)定的迭代收斂；3）Tone-N方法的計算結(jié)果與Tone方法基本相同，說明了Tone方法中均勻截面假設(shè)的合理性；4）與XMAS172能群結(jié)構(gòu)的結(jié)果對比表明，在可分辨共振能區(qū)增加能群數(shù)可得到更逼近精細譜的能譜結(jié)構(gòu)，從而有效改進精度。

綜上所述，通過熔鹽堆燃料柵元模型的計算，本文初步驗證了SHEM361能群結(jié)構(gòu)下基于均勻共振積分表插值的ESSM和Tone方法對于熔鹽堆共振計算的適用性。

作者貢獻聲明戴明：負責本論文方案設(shè)計，程序開發(fā)，數(shù)據(jù)整理分析，論文撰寫和修改；張奧：負責基準題參考解計算及結(jié)果數(shù)據(jù)整理，論文修改及校訂；程懋松：參與方案設(shè)計，對文章的知識性內(nèi)容作批評性審閱，論文修改。