張 松胡傳皓李承洋王 楠嚴 磊李雪剛曾國強顧 民

（成都理工大學 成都 610059）

因航空γ能譜測量方法具有探測速度快、便于大面積測量等優(yōu)勢，已經(jīng)成為放射性物質(zhì)勘探的主要方法之一［1-2］，并被廣泛地應用于地質(zhì)填圖、金屬礦產(chǎn)勘查、輻射環(huán)境評價等眾多領域［3-4］。深部放射性礦體、非放射性礦體以及地表和淺層隱伏礦體等的放射性非常微弱，分布形態(tài)也很復雜，這對航空γ能譜測量系統(tǒng)的靈敏度和測量精度提出了更高的要求［5-6］。一套高分辨率航空γ探測系統(tǒng)的研發(fā)時間長、難度大，因此，對現(xiàn)有的航空γ探測系統(tǒng)測量得到的γ能譜進行降噪是一種快速提高測量精度的方法。

在降噪領域，小波分析是泛函分析、Fourier分析、樣條分析、調(diào)和分析的最完美結晶［7］。它可以追溯到1910年Haar提出的小“波”規(guī)范正交基及1938年Littlewood-Paley對Fourie級數(shù)建立的L-P理論［8-9］。之后，在1987年，Mallat［10］將多尺度分析思想引入到小波分析中，并提出Mallat算法對信號進行分解與重構。再到1991年，Wickerhanser等［11］對Mallat算法進一步深化，得到了小波包算法?，F(xiàn)在，小波包變換理論非常豐富，在時域和頻域都具有良好的局部化性質(zhì)，可以將頻帶進行多層次劃分，極大地提高了時-頻分辨率，能夠準確地降低信號的噪聲［12］。航空γ能譜測量具有計數(shù)率低、測量速度快的特點，導致航空γ能譜的信噪比較低，因此，對航空γ能譜進行降噪很有必要［13］。本文將采用小波包軟閾值降噪法對航空γ能譜儀中47個CeBr3探測器測得的能譜進行降噪處理，并對小波分解的層數(shù)和不同母小波兩個方面進行分析，通過比較不同方案降噪后的峰值信噪比，以及降噪對準確度的提升效果，尋找到一種最適用于航空γ能譜的小波包軟閾值降噪方案。

1 小波包變換原理

小波包函數(shù)［14-15］既有尺度指標j和位置指標k，又有頻率指標n，其表達式為：

式中：φnj(t)是小波包空間中分解的子小波，其表達式為：

式中：W j，nl表示第-j層分解后的小波子空間，j=…，-1，0。其小波包分解算法可以由｛W j+1，nl｝的遞推性質(zhì)求出｛W j，2nl｝與｛W j，2n+1l｝：

式中：hk-2l為低通濾波器；gk-2l為高通濾波器，最后由小波包的雙尺度方程：

可得到由｛W j，2nl｝與｛W j，2n+1l｝重構出｛W j+1，nl｝的小波包重構算法：

2 小波包軟閾值降噪方法的實現(xiàn)

下面介紹小波包軟閾值降噪法的實現(xiàn)。該方法主要分為4個步驟：1）選擇一種母小波，確定分解的層次，然后對信號進行小波包分解；2）根據(jù)熵標準求出最優(yōu)分解樹，得到最優(yōu)小波包基；3）選擇一種合適的軟閾值邊界，對于每一個小波包分解的系數(shù)，進行閾值量化處理；4）對低頻系數(shù)和軟閾值量化處理后的高頻系數(shù)進行小波包重構，得到降噪后的信號。

2.1 母小波的選擇與最優(yōu)小波基的計算

第一步：母小波的選擇需要使用各種小波和各種分解層數(shù)進行降噪處理，根據(jù)最終的降噪效果進行確定；第二步：對信號進行小波包分解，圖1為小波包二層分解的分解樹示意圖。

如圖1所示，每層小波分解將信號S分成了低頻成分A和高頻成分D，如AD2（L/2）依次表示該層為低頻成分A，上層為高頻成分D，該層為第二層，頻帶寬度為L/4。當某個節(jié)點繼續(xù)分解下去無法有效區(qū)分信號的真實成分和噪聲成分，便無需繼續(xù)進行分解?？梢酝ㄟ^熵標準求得最佳分解樹，本文采用Shannon熵作為熵標準，Shannon熵可由式（6）求得：

圖1 小波包分解樹Fig.1 Wavelet decomposition tree

式中：si，j表示分解樹中第i層第j個節(jié)點的分解系數(shù)；E(Si，j)是該節(jié)點的熵值，其值越大，表示離散程度越低，其離散勢能越大。真實成分的離散程度比噪聲成分的離散程度高，因此，低頻成分的熵值會小于高頻成分的熵值，當某個節(jié)點分解后，低頻成分的熵值與高頻成分的熵值差距很小，或者低頻成分的熵值大于高頻成分的熵值時，就表明該節(jié)點無需再分解。通過計算并比較每個節(jié)點的熵值大小，就可以得到最佳分解樹［16］。

2.2 基于極大極小(minimaxi)規(guī)則確定邊界的軟閾值函數(shù)

對于小波包軟閾值降噪法，第三步選擇合適的軟閾值非常重要。本文根據(jù)航空γ能譜信噪比較低的特點，將軟閾值函數(shù)與硬閾值選取方法相結合，利用硬閾值選取方法中比較保守的minimaxi規(guī)則確定的硬閾值作為軟閾值函數(shù)的邊界。軟閾值法可以提高降噪效果，minimaxi規(guī)則確定的軟閾值邊界可以減少信號的失真［17-18］。軟閾值函數(shù)可表示為：

式中：λ為軟閾值的邊界；minimaxi規(guī)則確定的硬閾值為：

式（8）是針對標準差為1的高斯白噪聲而言，實際上minimaxi閾值應為Tr?σ。

式中：Mx表示含噪信號最小尺度上的小波系數(shù)絕對值向量的中位數(shù)，因此軟閾值的邊界為：

將一個呈線性正增長的系數(shù)經(jīng)過該軟閾值進行處理后，效果如圖2所示。點劃線線表示原始小波分解的系數(shù)，虛線表示經(jīng)過邊界為λ的軟閾值進行處理后的系數(shù)。第四步將閾值處理過的節(jié)點系數(shù)進行小波包重建即可得到降噪信號。

圖2 軟閾值處理效果Fig.2 Soft threshold processing effect

2.3 降噪效果的評價方法

本文使用擬合的方法將原始譜中137Cs峰附近與40K峰附近的譜線進行擬合，并將擬合譜線作為原始譜線真實成分的估計值，再計算并使用平均峰值信噪比（Average Peak Signal-to-noise Ratio，APSNR）作為降噪效果的評價標準［19-20］。

航空γ能譜中的全能峰是凈全能峰和康普頓平臺的疊加，凈全能峰服從高斯分布，康普頓平臺在全能峰區(qū)域可以近似為反正切函數(shù)曲線，因此，擬合采用的特征函數(shù)是一個高斯函數(shù)加一個反正切函數(shù)，其表達式為：

使用該方法對測量30 min的γ能譜中137Cs峰附近的高計數(shù)譜線進行擬合，效果如圖3所示。對測量1 min的γ能譜中40K峰附近的低計數(shù)譜線進行擬合，效果如圖4所示。

圖3 測量30 min能譜中137Cs峰附近譜線的擬合效果Fig.3 Fitting effect of the spectral lines near the137Cs peak in the 30-min measured energy spectrum

如圖3所示，反正切函數(shù)擬合部分很好地反映了康普頓平臺，137Cs峰附近高計數(shù)譜線在含有噪聲的情況下，擬合度達到了99.996%。因此，可以判斷該擬合方法能夠非常準確地擬合出譜線的真實成分。如圖4所示，擬合譜線始終在原始譜線的中間，40K峰附近譜線的擬合度為92.91%。因此，可以將擬合譜線視為原始譜線的真實成分。峰值信噪比的計算如下：

式中：S(i)表示降噪后的譜線；K(i)表示原始譜的擬合譜線。PSNR的值越大，降噪效果越好。為了消除采樣周期和不同峰位的影響，本文將計算n種采樣周期下的40K峰附近譜線的和208Tl峰附近譜線的，然后計算出第i種采樣周期Ti下的PSNRTi：

最后求出平均峰值信噪比APSNR：

通過計算降噪后譜線的APSNR可以綜合性地評價不同小波基和不同分解層數(shù)下的小波包軟閾值降噪法的降噪效果，并最終選擇出最優(yōu)母小波及其對應的分解層數(shù)。

3 最優(yōu)小波包軟閾值降噪方案的選擇和應用

下面使用不同母小波和不同分解層數(shù)的小波包軟閾值降噪法對航空γ能譜進行降噪，分析出最優(yōu)的母小波和對應的分解層數(shù)，并應用在準確度測量中。母小波選用MATLAB軟件中包含的56種小波，其中包括db系列小波、sym系列小波、coif系列小波、rbio系列小波、fk系列小波、haar小波和demy小波，分解層數(shù)選用1~15層進行研究。在航空γ能譜測量中，采樣周期為1~5 s，每次采樣的能譜計數(shù)非常低。因此，本文將對一段時間內(nèi)所采集的所有能譜數(shù)據(jù)依次進行降噪，并分別將這一段時間內(nèi)的所有原始譜線、降噪后譜線進行合成，然后對合成后的譜線進行分析。

3.1 小波包分解層數(shù)對信號失真的影響

分解層數(shù)越多，越能夠?qū)⑿盘柕募毠?jié)成分進行區(qū)分，但每次重構都會造成失真，因此需要研究分解層數(shù)對信號失真的影響。下面使用sym6小波依次進行1~15層分解，對采樣周期為1 s、共測量1 min、5 min、10 min、15 min的信號分別進行降噪處理。

失真情況使用原始譜線和降噪后譜線的40K全能峰峰區(qū)總計數(shù)進行比較，如圖4所示，將道址區(qū)間為［7 860:7 950］的譜線進行累加即可得到40K全能峰的峰區(qū)總計數(shù)，再將降噪后的峰區(qū)總計數(shù)除以原始譜線的峰區(qū)總計數(shù)，然后乘以100%，就可以消除時間量綱，得到降噪后的峰區(qū)總計數(shù)占原始譜線的峰區(qū)總計數(shù)的百分比，結果如圖5所示。

圖5 不同測量時間與分解層數(shù)對信號失真的影響Fig.5 Influence of different measurement time and decomposition layers on signal distortion

由圖5可知，當分解層數(shù)為1~7層時，降噪所產(chǎn)生的失真幅度都小于0.5%，而當分解層數(shù)增大到8層之后，失真就非常明顯。這是因為小波分解層數(shù)越多，重構的次數(shù)也越多，不斷重構會使失真逐漸積累，最后造成嚴重的失真。另外，分解層數(shù)越多運算所需的時間也越長，因此在使用小波包軟閾值降噪法時，分解層數(shù)不應該大于7層。

3.2 最優(yōu)母小波與分解層數(shù)的選擇

為了綜合性地評價不同母小波及不同分解層數(shù)的小波包軟閾值降噪法的降噪效果，下面將56種母小波分別進行1~7層分解，并分別對測量總時長為1 min、采樣周期分別為1 s、2 s、3 s、4 s、5 s的航空γ能譜進行降噪。首先，使用一種母小波對一種譜線進行降噪，并求出不同分解層數(shù)下的PSNR，并選出該條件下該母小波的最佳分解層數(shù)，再將最優(yōu)的PSNR作為該母小波在該條件下的或。最后根據(jù)不同條件下的和求出PSNRTi和APSNR。各母小波的最優(yōu)分解層數(shù)選用該母小波在不同條件下最佳分解層數(shù)的眾數(shù)。經(jīng)計算，原始譜線的APSNR為23.22 dB，由各種母小波進行最優(yōu)分解的小波包軟閾值降噪法的降噪效果如表1所示。

由表1可知，降噪效果最好的是db14母小波，最優(yōu)分解層數(shù)為7層，其降噪后的平均峰值信噪比為39.50 dB，比原始譜線的平均峰值信噪比的23.22 dB提升了16.28 dB。由于本文是將擬合估計出的譜線作為真實譜線，與真實情況會有一點誤差，因此將排在前5的母小波應用在航空γ能譜儀的準確度測量中，進一步進行分析。

表1 56種母小波的最優(yōu)分解層數(shù)和平均峰值信噪比Table 1 Optimal number of layers and average peak signal-to-noise ratio for 56 mother wavelets

3.3 小波包軟閾值降噪法對準確度的提升效果

下面分別使用前5種降噪方案對航空γ能譜儀在地面模型中測得的數(shù)據(jù)進行降噪處理，并計算出對應的準確度，結果如表2所示。

表2 5種降噪方案對準確度的提升效果Table 2 The effect of five noise reduction schemes on accuracy improvement

如表2所示，5種降噪方案都能夠提升航空γ能譜儀的準確度，其中由db14小波進行7層分解得到的小波包軟閾值降噪法對準確度的提升效果最好，將總誤差減少了3.19%。因此，本文將由db14小波進行7層分解得到的小波包軟閾值降噪法視為最優(yōu)降噪方案。

3.4 最優(yōu)小波包軟閾值降噪方案的降噪效果

下面使用db14母小波進行7層分解的小波包軟閾值降噪法對測量時間為1 min、采樣周期為1 s的航空γ能譜依次進行降噪與合成，效果如圖6、7所示。

如圖6、7所示，使用最優(yōu)母小波db14進行7層分解的小波包軟閾值降噪法降噪后，譜線更加平滑，且看不出失真。圖6中降噪后的PSNR為39.22 dB，相比原始譜線的21.52 dB提升了17.7 dB；圖7中降噪后的PSNR為39.78 dB，相比原始譜線的23.40 dB提升了16.38 dB。另外，對測量時長為1 min、采樣周期分別為1 s、2 s、3 s、4 s、5 s的信號使用db14母小波進行降噪后，PSNR分別為39.78 dB、39.74 dB、39.66 dB、39.62 dB、39.56 dB，呈下降趨勢，使用其他母小波降噪也有此現(xiàn)象。可見，使用小波包軟閾值降噪法對信噪比越低、采樣周期越短的譜線進行降噪后，峰值信噪比的提升效果越明顯。

圖6 1 min40K峰的降噪效果Fig.6 Noise reduction effect of 1 min measured40K peak

圖7 1 min208Tl峰的降噪效果Fig.7 Noise reduction effect of 1 min measured208Tl peak

4 結語

本文介紹了小波包軟閾值降噪法的基本原理，分析了不同分解層數(shù)對降噪效果的影響，通過比較不同降噪方案的平均峰值信噪比，選出了5種降噪方案應用在準確度測量中，還通過比較這5種降噪方案對準確度的提升效果，選出了最優(yōu)的降噪方案。結果發(fā)現(xiàn)：小波分解層數(shù)只要不超過7層，就不會產(chǎn)生明顯的失真；排名前三的降噪方案是選用db14母小波、dmey母小波和rbio6.8母小波進行7層分解的小波包軟閾值降噪法；將排名前5的降噪方案應用在準確度計算中發(fā)現(xiàn)，5種降噪方案都能夠提升航空γ能譜儀的準確度，其中最優(yōu)的是使用db14母小波進行7層分解的小波包軟閾值降噪法，該方案將譜線的峰值信噪比從23.22 dB提升到了39.50 dB，且將測量的準確度提高了3.19%?？梢?，小波包軟閾值降噪法的降噪效果好、造成的信號失真少，適合應用于航空γ能譜的數(shù)據(jù)處理中。

作者貢獻聲明張松：直接參與論文研究，負責實驗與模擬，負責小波包軟閾值降噪模型搭建并撰寫論文；胡傳皓：指導實驗操作和論文修改；李承洋：輔助測量；王楠：輔助測量；嚴磊：指導程序設計；李雪剛：輔助測量；曾國強：指導論文修改，提供技術支持；顧民：指導論文修改，提供技術支持。