郭建斌, 申永軍,2

(1.石家莊鐵道大學 機械工程學院，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學 交通工程結(jié)構(gòu)力學行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，河北 石家莊 050043)

分數(shù)階微積分被提出以來，眾多學者對其開展了詳細的探討，尤其在分數(shù)階微積分定義和計算方法方面取得了顯著成果[1-2]。在這個過程中，分數(shù)階微積分也由數(shù)學理論研究逐步走向工程應用[3-4]。在動力學領(lǐng)域，利用分數(shù)階微積分描述黏彈性材料的本構(gòu)關(guān)系，提高此類非線性系統(tǒng)振動特性研究的準確性是當下的研究熱點之一。如Cao et al[5]通過建立分數(shù)階阻尼模型，研究了分數(shù)階阻尼對系統(tǒng)的影響，展現(xiàn)了分數(shù)階系統(tǒng)特有的動力學特性。申永軍等[6-7]研究了分數(shù)階微分項在線性和非線性系統(tǒng)中的作用機理，首次提出了等效線性阻尼和等效線性剛度概念。Xu et al[8]結(jié)合攝動法和多尺度法，提出了一種處理隨機諧波激勵作用下強非線性分數(shù)階系統(tǒng)的新方法。

Mathieu方程作為Hill方程的一種特殊形式，因其復雜的動力學特性，在參激振動研究中得到了廣泛應用。例如，溫少芳[9]以高速列車弓網(wǎng)系統(tǒng)為對象，建立了含分數(shù)階導數(shù)的Mathieu模型，證明了利用分數(shù)階微分項參數(shù)表示彈簧參數(shù)的可行性。陳予恕等[10]研究了van der Pol-Duffing-Mathieu振子主參數(shù)共振的二次近似分岔行為，證明了采用攝動法描述此類系統(tǒng)周期響應和分岔行為的可靠性。此外，在船舶工程領(lǐng)域，非線性阻尼Mathieu振子是用來研究船舶橫搖運動的重要模型之一。丁勇等[11]在線性加平方阻尼的基礎(chǔ)上，建立了船舶橫搖參激振動模型，研究了非線性阻尼對系統(tǒng)主參數(shù)共振穩(wěn)態(tài)解的影響。唐友剛等[12]通過分析立方阻尼Mathieu方程，分析了系統(tǒng)的主參數(shù)共振，為研究船舶傾覆機理奠定了基礎(chǔ)。

綜上所述，眾多學者已對典型的Mathieu系統(tǒng)作了深入分析，關(guān)于分數(shù)階系統(tǒng)振動特性的研究也趨于成熟。在參激系統(tǒng)中引入分數(shù)階微分項，研究其在此類系統(tǒng)中的作用規(guī)律，不僅可以完善此類系統(tǒng)模型，同時還可以豐富黏彈性器件的應用場景。因此，建立了含分數(shù)階微分項的平方阻尼Mathieu模型，利用多尺度法研究系統(tǒng)的主共振響應，通過數(shù)值仿真分析分數(shù)階微分項對該系統(tǒng)幅頻特性的作用效果，所得結(jié)果為黏彈性材料在此類系統(tǒng)隔振、減振研究方面的應用提供了理論驗證。

1 一次近似解

研究如下含平方阻尼的分數(shù)階Mathieu振子模型

(1)

(2)

式中,Γ(z)為Gamma函數(shù)，具有Γ(z+1)=zΓ(z)的特性。

研究強迫激勵頻率ω≈ω0時的主共振情況，且要求激勵幅值F為小量，為方便計算引入ω=ω0+εσ,F=εf,K=εk,σ=O(1) ，f=O(1),k=O(1) 。

式(1)變換為

(3)

式中，ε為小參數(shù)，滿足0<ε?1。

采用多尺度法研究系統(tǒng)一次近似解，引入2個時間尺度T0=t、T1=εt，并假設(shè)式(3)的解有以下形式

u(t;ε)=u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)

(4)

將式(4)代入式(3)，比較ε的同次冪，得到一組偏微分方程

(5)

(6)

式(5)的解為

u0(T0,T1)=a(T1)cos[ω0T0+β(T1)]

(7)

式中，a(T1)、β(T1)為慢變振幅、相位。為方便計算，可將式(7)寫成復數(shù)形式

u0(T0,T1)=A(T1)eiω0T0+cc

(8)

(9)

將式(8)和式(9)代入式(5)，可得到消除永年項條件

(10)

(11)

(12)

其中

θ=ωT0+β

(13)

再引入

φ=β-σT1

(14)

(15)

(16)

u(t)=acos(ω0T0+β)=acos(ω0T0+σT1+φ)=acos(ωt+φ)

(17)

式中，a和φ由式(15)、式(16)確定。

由式(17)可見，系統(tǒng)主共振近似解的振動頻率等于強迫激勵頻率且是參數(shù)激勵頻率的1/2，此外，相比傳統(tǒng)的Mathieu系統(tǒng)，分數(shù)階微分項分量K(p)和C(p)分別作用于周期解的幅值和相位，使其存在定量上的差別，導致了響應幅值的降低和相位的滯后。

為驗證近似解的準確性，利用式(1)進行數(shù)值仿真，得出的數(shù)值解與式(17)計算出的近似解析解作對比。利用文獻[2]中介紹的數(shù)值方法研究系統(tǒng)(1)，該方法的近似公式為

(18)

(19)

此外，當t=0時，分數(shù)階微分項的初值為

(20)

圖1 幅頻曲線對比 圖2 位移時間歷程圖對比

2 定常解及其穩(wěn)定性

(21)

(22)

可由式(21) 、式(22)推導出非零定常解的幅頻和相頻方程

(23)

(24)

此外，以上求得的非零定常解能否實現(xiàn)還取決于其是否具有漸近穩(wěn)定性。這里利用Lyapunov第一方法來計算穩(wěn)態(tài)運動的穩(wěn)定性條件，以此來考察解的穩(wěn)定性。用慢變振幅a和相位φ定義二維狀態(tài)向量V=[a,φ]T，構(gòu)造向量函數(shù)

(25)

(26)

λ2-Pλ+Q=0

(27)

式中，P=trJ;Q=det[J]。

(28)

-[C(p)+μ1]-4aμ2ω0<0

(29)

圖3 定常解幅頻曲線

3 分數(shù)階微分項對系統(tǒng)的影響

3.1 分數(shù)階微分項階次的影響

首先考察分數(shù)階微分項階次對系統(tǒng)動力學特性的影響。取一組基本參數(shù)ε=0.1,μ1=0.3,μ2=0.3,ω0=1,K=0,F=0.01對系統(tǒng)進行仿真計算。分別選取不同階次p，利用式(18)計算系統(tǒng)的幅頻響應如圖4所示。從圖4可以看出，隨著分數(shù)階階次p從0.1增加至0.9，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應幅值在逐漸變小，且幅頻曲線整體逐漸向低頻方向偏移。此外，階次p還改變了幅頻曲線的拓撲結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的多值現(xiàn)象逐漸消失。圖5給出F=0.1時階次p對穩(wěn)態(tài)響應共振峰值的影響，可見此時分數(shù)階微分項對共振幅值有著明顯的抑制作用。

圖4 分數(shù)階微分階次p對系統(tǒng)的影響( K=0.05) 圖5 階次p對系統(tǒng)共振峰值的影響(F=0.1)

3.2 分數(shù)階微分項系數(shù)的影響

分別考察p→0和p→1 情況下系數(shù)K對系統(tǒng)幅頻特性的影響，圖6～圖8中圓圈為穩(wěn)定解，星號為不穩(wěn)定解。首先考慮p→1的情況，固定系統(tǒng)參數(shù)，依次取系數(shù)K為0.01、0.02、0.03和0.05，系統(tǒng)幅頻曲線隨K的變化情況如圖6所示。為方便比較，圖7中給出了系統(tǒng)幅頻曲線隨線性阻尼系數(shù)μ1的變化情況。通過對比圖6和圖7發(fā)現(xiàn)，當分數(shù)階階次p→1時，隨著K的逐漸增大，穩(wěn)態(tài)響應的幅值在逐漸縮小，并且K達到一定值時，導致系統(tǒng)幅頻曲線形態(tài)發(fā)生變化，由參數(shù)激勵和強迫激勵共同作用引起的多解現(xiàn)象消失，改變了定常解的穩(wěn)定性。同樣地，隨著線性阻尼系數(shù)μ1逐漸增大，系統(tǒng)的幅頻響應曲線發(fā)生了類似變化。以上情況說明，階次p→1時分數(shù)階微分項系數(shù)K對系統(tǒng)的作用幾乎等同于線性阻尼系數(shù)μ1。

圖6 分數(shù)階系數(shù)K對幅頻曲線的影響(p→1)

圖7 線性阻尼系數(shù)μ1對幅頻曲線的影響(p=0.6,K=0.01)

下面考慮p→0的情況。其他參數(shù)不變，取p=0.1，通過改變系數(shù)K來觀察分數(shù)階微分項對系統(tǒng)幅頻特性的影響如圖8所示?？梢钥闯?，隨著分數(shù)階系數(shù)K的逐漸增大，幅頻曲線逐漸向高頻方向偏移，改變了系統(tǒng)的共振頻率，但系統(tǒng)的響應幅值并未受到明顯影響，說明此時分數(shù)階微分項呈現(xiàn)較強的剛度特性。

圖8 分數(shù)階系數(shù)對幅頻響應的影響(p→0)

4 結(jié)論

應用多尺度法研究了強迫激勵下分數(shù)階平方阻尼Mathieu振子的主共振，建立了定常解的幅頻響應方程。利用Lyapunov理論分析了系統(tǒng)的幅頻特性，由于參數(shù)激勵和強迫激勵的共同作用，在共振區(qū)域內(nèi)穩(wěn)態(tài)響應系統(tǒng)至多存在3個解支。此外，通過數(shù)值仿真分析了分數(shù)階微分項對系統(tǒng)幅頻曲線的影響，發(fā)現(xiàn)改變分數(shù)階微分項的階次或系數(shù)可使其對系統(tǒng)幅頻特性產(chǎn)生不同程度的影響：p→1時，分數(shù)階微分項呈現(xiàn)出較強的阻尼特性，其對系統(tǒng)的作用幾乎等同于線性阻尼，改變系數(shù)K主要影響系統(tǒng)響應幅值；p→0時，分數(shù)階微分項呈現(xiàn)出較強的剛度特性，改變系數(shù)K主要影響系統(tǒng)的共振頻率。以上結(jié)果揭示了分數(shù)階微分項(黏彈性器件)在此類系統(tǒng)中的作用規(guī)律，驗證了其對系統(tǒng)響應特性的作用效果。