胡樂海， 鄧年春,2

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004)

拱橋是使用較廣泛的一種橋型，具有多方面的優(yōu)勢[1]。吊桿作為系桿拱橋的關(guān)鍵受力構(gòu)件，其受力狀態(tài)對結(jié)構(gòu)的施工、運(yùn)營及維護(hù)都至關(guān)重要。現(xiàn)有的索力測試方法主要有：壓力表測試法、測力傳感器法、磁通量檢測法、振動(dòng)頻率法等[2]。振動(dòng)頻率法索力測試可以用于施工階段和運(yùn)營階段，其操作簡單，費(fèi)用較低和設(shè)備可重復(fù)利用的優(yōu)點(diǎn)使得該方法成為索力測試的首選方案。通過在索上安裝振動(dòng)傳感器，采集振動(dòng)信號(hào)，得到自振頻率，并通過索力與自振頻率的關(guān)系式即可得到索力。

然而，頻率法索力測試需要考慮眾多影響因素，如邊界條件、抗彎剛度、計(jì)算長度等。吊桿實(shí)際邊界介于鉸支與固支之間，且更接近于固支邊界[3]。吊桿鋼絲介于松散與黏結(jié)2種狀態(tài)之間，導(dǎo)致抗彎剛度難以確定[4]。孫永明等[5]分析邊界條件對拉索索力測試的影響，提出了修正索力計(jì)算公式。Zui et al[6]引入多個(gè)無量綱參數(shù)簡化索力方程，提出拉索兩端固結(jié)時(shí)利用前兩階固有頻率計(jì)算的實(shí)用公式。蘇成等[7]通過研究抗彎剛度對索力測試的影響，提出了利用多階頻率識(shí)別拉索抗彎剛度的方法。朱衛(wèi)國等[8]分析影響頻率法索力測試的多種因素，得出合理確定有效計(jì)算長度可以保證測試的精度。Yan et al[9]將復(fù)雜邊界下的拉索等效成一個(gè)分段模型，通過求零振幅點(diǎn)確定其長度，索力結(jié)果誤差小于5%。于孟生等[10]分析了附加均布質(zhì)量和集中質(zhì)量塊對索力的影響，結(jié)果表明在拉索中部改變質(zhì)量對頻率影響較大。頻率法測試索力的影響因素復(fù)雜且難以精準(zhǔn)確定，運(yùn)用等效簡化的思想，利用附加質(zhì)量識(shí)別出吊桿的有效長度，從而得到索力表達(dá)式。此方法計(jì)算簡便，精度較高，具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。

1 振動(dòng)頻率法基本理論

拉索的橫向振動(dòng)微分方程為

(1)

式中,EI為拉索的抗彎剛度；y(x,y)為y方向的振幅；T為拉索軸向張力；m為拉索的線密度。

采用分離變量法，令

y(x,t)=Y(x)Z(t)

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

求解式(3)得

Y(x)=C1sin(Ax)+C2cos(Ax)+C3eBx+C4e-Bx

(4)

當(dāng)兩端為鉸支邊界時(shí),Y(0)=Y(l)=0，Y″(0)=Y″(l)=0

(5)

式中,n為固有頻率的階數(shù)；fn為第n階固有頻率。若不考慮拉索的抗彎剛度，則拉索為張弦振動(dòng)，其計(jì)算公式為

(6)

當(dāng)兩端為固結(jié)邊界時(shí)，Y(0)=Y(l)=0，Y′(0)=Y′(l)=0

(A2-B2)sin(Al)sin(Bl)+2ABcos(Al)cosh(Bl)-2AB=0

(7)

當(dāng)拉索較長時(shí)，幾何剛度明顯大于物理剛度，可以采用張弦振動(dòng)理論公式。然而，對于索力較小，或者較粗短的索，物理剛度往往不能忽略[11]。此時(shí)，拉索由于考慮了抗彎剛度，從而在不同邊界條件下會(huì)產(chǎn)生不同的振動(dòng)特性?；诹豪碚摰恼駝?dòng)方程，在兩端鉸支邊界時(shí)有解析解，但是當(dāng)邊界條件為其他復(fù)雜邊界時(shí)，索力公式?jīng)]有顯示表達(dá)式，而只能通過數(shù)值迭代求解，往往只能得到經(jīng)驗(yàn)公式。

2 附加質(zhì)量法理論公式推導(dǎo)

基于上述理論，在吊桿上附加集中質(zhì)量，計(jì)算簡圖見圖1。

圖1 吊桿附加集中質(zhì)量計(jì)算簡圖

附加質(zhì)量吊桿的振動(dòng)微分方程為

(8)

將y(x,t)表示為振型的級(jí)數(shù)形式

(9)

將式(9)代入式(8)得

(10)

兩邊同時(shí)乘以Yk(x)并在0到l上積分，利用振型的正交性[12]得

(11)

式(11)簡寫成

(12)

可見，拉索的固有頻率ωn與外界激擾力無關(guān)，反映結(jié)構(gòu)本身固有的動(dòng)力特性。

假定附加質(zhì)量后吊桿的振型仍為正弦函數(shù)形式，令

(13)

將式(13)代入式(12)得

(14)

取i= 1得

(15)

簡支梁的振型函數(shù)為

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(17) ～ 式(19)及ωn=2πfn得

(20)

式(20)為推導(dǎo)的索力計(jì)算公式。將吊桿實(shí)際固有振型等效成兩端鉸支邊界的固有振型，從而識(shí)別出吊桿的等效索長。利用頻差法消除抗彎剛度得到基于前兩階振動(dòng)頻率的索力公式，結(jié)合等效索長即可計(jì)算出索力值。

3 數(shù)值模擬驗(yàn)證

3.1 一般邊界，不同索長

吊桿的實(shí)際邊界可簡化為兩端轉(zhuǎn)動(dòng)約束加彈性支撐，兩者剛度分別取為1×106N·m/rad和1×1012N/m，設(shè)計(jì)索力為3 787 kN。索力計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 兩端一般邊界不同長度吊桿數(shù)值模擬結(jié)果

從表1可以看出，在不同長度時(shí)本文公式的索力誤差均小于規(guī)范公式的誤差，且最大誤差不超過2%，具有較高的精度。小于20 m的吊桿采用規(guī)范方法時(shí)誤差大于5%，可見規(guī)范公式不太適用于一般邊界條件下的短吊桿索力測試。對于長度為5 m的短吊桿，本文公式誤差為0.56%，仍可以準(zhǔn)確識(shí)別其索力值。附加質(zhì)量后長度為5 m的吊桿頻率降低了1.528 Hz，而長度為50 m的吊桿頻率降低了0.015 Hz，說明短吊桿相比長吊桿對附加質(zhì)量更為敏感。

3.2 固結(jié)邊界，不同索力

由于吊桿的邊界條件接近于固結(jié)[3]，以下數(shù)值模擬將對吊桿兩端邊界施加固定約束。在固結(jié)邊界條件下，長度為10 m的吊桿在不同設(shè)計(jì)索力時(shí)，利用本文公式與規(guī)范公式得出索力值，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 兩端固結(jié)邊界不同索力吊桿數(shù)值模擬結(jié)果

從表2可以看出，在不同索力時(shí)本文公式的索力誤差均小于規(guī)范公式的誤差，且最大誤差小于1.5%，相比規(guī)范公式總誤差減小了1.07%，說明本文公式可應(yīng)用于不同設(shè)計(jì)索力下的吊桿索力測試且具有較高精度。由以上可以得出，本文公式對于一般邊界和固結(jié)邊界下的索力測試均具有較好的適用性，且計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性較高。對于長度為10 m，設(shè)計(jì)索力3 787 kN的吊桿，在不同邊界下基頻相差0.634 Hz，因此采用傳統(tǒng)頻率法進(jìn)行索力測試時(shí)，短吊桿受邊界條件的影響較大。

3.3 固結(jié)邊界，不同截面

在固結(jié)邊界條件下，長度為10 m的吊桿改變不同截面形式，中間位置綁定質(zhì)量為5 kg。吊桿的設(shè)計(jì)索力按照規(guī)范取值，不同截面的鋼絲數(shù)量為n，索力計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 兩端固結(jié)邊界不同截面吊桿數(shù)值模擬結(jié)果

從表3可以看出，在不同截面時(shí)本文公式的索力誤差均小于規(guī)范公式的誤差，且最大誤差小于3%，相比規(guī)范公式總誤差減小了4.93%，滿足工程精度要求。不同截面的吊桿附加相同的質(zhì)量所得的計(jì)算結(jié)果有所差異，鋼絲數(shù)為61的吊桿索力誤差為2.59%，鋼絲數(shù)為151的吊桿索力誤差為0.45%。截面較小的吊桿，因其剛度較小，從而固有振型更易受到附加質(zhì)量的影響，導(dǎo)致索力計(jì)算誤差比截面較大的吊桿稍大。因此，對于剛度較小的吊桿，建議采用稍小的質(zhì)量塊。

4 公式的討論

為進(jìn)一步考慮本文公式的工程實(shí)用性，分析本文公式在不同工況時(shí)的索力誤差，并結(jié)合分析結(jié)果給出公式的合理適用條件。各項(xiàng)參數(shù)同上，設(shè)計(jì)索力為3 787 kN。

4.1 固結(jié)邊界，不同質(zhì)量

在固結(jié)邊界條件下，長度為10 m的吊桿在中間位置綁定不同質(zhì)量的質(zhì)量塊，利用本文公式得出索力值及其誤差，計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 兩端固結(jié)邊界不同附加質(zhì)量吊桿數(shù)值模擬結(jié)果

從表4可以看出，吊桿頻率隨附加質(zhì)量的增大而減小，附加質(zhì)量為30 kg時(shí)吊桿頻率降低了1.132 Hz，而且不同的附加質(zhì)量對索力也有一定影響。當(dāng)質(zhì)量塊較大時(shí)，附加質(zhì)量前后吊桿的振型相差較大，不滿足公式的假設(shè)條件，最大誤差為4.1%；當(dāng)質(zhì)量塊較小時(shí)，附加質(zhì)量前后吊桿的頻率較為接近，公式計(jì)算時(shí)作差項(xiàng)容易導(dǎo)致有效數(shù)字的損失，最大誤差為4.36%。因此，測試時(shí)需要選擇合理質(zhì)量的質(zhì)量塊。

4.2 固結(jié)邊界，不同位置

在固結(jié)邊界條件下，長度為10 m和40 m的吊桿分別在不同位置綁定10 kg質(zhì)量塊，利用本文公式與規(guī)范公式分別得出索力值及誤差，結(jié)果如表5和表6所示。

表5 兩端固結(jié)邊界不同綁定位置吊桿數(shù)值模擬結(jié)果(10 m)

表6 兩端固結(jié)邊界不同綁定位置吊桿數(shù)值模擬結(jié)果(40 m)

從表5、表6可看出，質(zhì)量塊在中間位置時(shí)對吊桿一階頻率的影響比靠近端部時(shí)大，短吊桿的頻率相比長吊桿對綁定位置的改變更加敏感。對于長度為10 m的吊桿，質(zhì)量塊在中間位置時(shí)頻率降低了0.4 Hz，而質(zhì)量塊在四等分點(diǎn)時(shí)頻率降低了0.184 Hz；對于長度為40 m的吊桿，質(zhì)量塊在中間位置時(shí)頻率降低了0.022 Hz，而質(zhì)量塊在四等分點(diǎn)時(shí)頻率降低了0.011 Hz。對于一階振型而言，質(zhì)量塊越靠近端部位置對吊桿的振型影響越大，從而引起索力誤差。短吊桿的振型更容易受邊界的影響，質(zhì)量塊綁定在中間位置更為合適。

5 結(jié)論

通過理論分析和數(shù)值模擬的方法，對附加質(zhì)量法吊桿索力測試進(jìn)行了詳細(xì)闡述，主要結(jié)論如下：

(1)利用附加質(zhì)量識(shí)別出等效索長，推導(dǎo)的索力公式考慮了影響頻率法測試精度的邊界條件及抗彎剛度2個(gè)主要因素。等效簡化了復(fù)雜的邊界條件，有效規(guī)避了抗彎剛度的影響，計(jì)算公式簡潔且準(zhǔn)確性高。

(2)本文公式可用于不同長度、不同索力、不同截面及不同邊界的吊桿，且均滿足工程精度要求。對于短吊桿和一般邊界下的索力測試，本文方法具有較好的適用性。

(3)不同的附加質(zhì)量和綁定位置會(huì)影響索力測試的準(zhǔn)確性。建議短吊桿采用稍小質(zhì)量塊綁定在中間位置，以防止對吊桿振型產(chǎn)生過大影響；長吊桿采用稍大質(zhì)量塊及精度較高的拾振器，以防止公式的計(jì)算誤差。