高博文， 喬克林

（延安大學數(shù)學與計算機科學學院，陜西延安 716000）

貴金屬的產(chǎn)品主要有黃金、白銀、鉑金等，其中黃金和白銀最為出名，且貴金屬的保值、收藏、投資受到了廣大貴金屬愛好者的青睞. 貴金屬的投資在國內(nèi)起步較晚，然而卻依然引來了全國廣大投資者的喜愛，為投資者多了一個投資渠道，并且使全國的金融大市場得到了有效的完善. 當出現(xiàn)金融危機、政局動亂以及疫情影響，貴金屬的經(jīng)濟價值就會體現(xiàn)出來，具有非常好的抗壓、保值能力，因此，研究貴金屬的收益波動是非常有意義的一件事情.

在SV模型的研究方面，從剛開始的標準SV模型到SV-T模型、杠桿SV模型、跳躍的SV模型等，其目的都是為了更好地刻畫波動率特征. 在研究SV 模型的同時又深入地研究了參數(shù)估計中的一些方法，主要有MM估計法、GMM估計法、QML估計法和MCMC參數(shù)估計等方法. MM估計法也稱矩估計法，最早是由Taylor提出來的，也是最為簡便的一種方法；GMM估計法也稱廣義矩估計法，是由Hansen提出來的，其思想是依照矩條件在弱假設下進行估計，因此它可以說是矩估計法的一個推廣；Melino 等［1］最先將GMM估計法應用在SV模型的參數(shù)估計上；QML估計法也稱偽極大似然估計法，最早是由Harvey等［2］提出來的；MCMC參數(shù)估計法也稱馬爾科夫鏈蒙特卡洛算法，最早是由Sandmann等提出來的；Jacquier等［3］是第一個將SV模型中引入了貝葉斯分析，并且運用MCMC方法來進行參數(shù)估計.

自1986年隨機波動模型被首次提出至今，研究者不斷地對其進行拓展研究，其金融時間波動模型的SV模型族也在我國研究范圍甚廣，其中包括李峰［4］在對我國股市的研究中利用標準SV模型和SV-T模型、SV-GED模型、SV-MN模型、SV-MT模型進行了對比分析，最后得出尖峰厚尾現(xiàn)象也是普遍并且明顯地存在于我國的股市市場，而且SV-T模型在對我國股市的收益率模擬中效果最優(yōu)；朱慧明等［5］在描述金融時間序列的尖峰厚尾性中采用了SV-T模型，結(jié)果表示SV-T模型可以更好地反映出金融市場尖峰厚尾的特性；于冉春［6］同樣使用標準SV模型和SV-T模型對普爾500股票指數(shù)的收益率進行對比研究，最后得到SV-T模型具有更好的擬合效果. 趙行為［7］運用了標準SV模型以及SV-T模型對中國銀行和交通銀行的收益序列進行了模型的對比分析，最后得出SV-T模型對兩家銀行收益的波動率以及擬合結(jié)果更準確于標準SV模型；張艷慧等［8］利用SV-N模型和SV-T模型實證分析了中國股市高頻數(shù)據(jù)收益率的波動性具有尖峰厚尾、聚集性等特征；楊超等［9］構(gòu)建SV-N模型和SV-T模型，并利用MCMC方法求解模型參數(shù)并對比了模型的擬合效果，最后發(fā)現(xiàn)在刻畫波動率的波動特征效果上，SV-T模型要優(yōu)于SV-N模型. 郭建峰和白瑜瑜［10］通過對科技創(chuàng)板指數(shù)進行實證研究，采用SV-N 模型和SV-T 模型來研究科技創(chuàng)板的波動性，結(jié)果表明，科創(chuàng)板指數(shù)收益率波動較大且持續(xù)時間較長，且SV-T模型的擬合效果明顯優(yōu)于SV-N模型.

考慮到厚尾性在金融時間序列中的普遍存在及其表現(xiàn)形式，該文使用厚尾SV模型來研究貝葉斯參數(shù)估計，并對疫情前和疫情期間我國貴金屬的收益波動性進行實證分析.

1 厚尾隨機波動模型

在解釋金融時間收益序列波動模型的自回歸行為時，在標準SV模型的基礎上提出了厚尾SV模型，其數(shù)學解析式如下：

其中：yt表示t時刻資產(chǎn)對數(shù)收益率；εt為擾動項且是服從自由度為ω的t分布，并且是服從方差為σ2，均值為0的正態(tài)分布；βt代表對數(shù)波動率；μ表示平均波動水平；ηt可以衡量波動的擾動水平，且εt與ηt互不相關(guān)；φ為持續(xù)性參數(shù)，反映目前的波動狀態(tài)對未來波動狀態(tài)的影響.

厚尾SV模型中為了方便記τ=1/σ2，其反映收益波動的擾動水平；記y=(y1,y2,y3,…,yn)，β=(β1,β2,β3,…,βn)，未知參數(shù)θ=(μ,φ,ω,τ) .

厚尾模型中，εt服從t分布，ηt服從正態(tài)分布. 則假設βt-1和θ一定的情況下βt服從以下分布：

則ηt關(guān)于(βt-1，θ)的概率密度函數(shù)為：

εt的概率密度函數(shù)為：

對數(shù)收益率yt的概率密度函數(shù)為：

2 厚尾SV模型的后驗分布及Gibbs抽樣

2.1 SV-T模型的后驗分布

貝葉斯推斷中，參數(shù)先驗分布的設定是必須的.μ、φ、ω、τ 和波動率β是標準SV模型中的未知參數(shù)，且參數(shù)φ的取值范圍已經(jīng)是限定的，所以設φ=2φ1-1. 根據(jù)Kim等［11］的觀點我們得知參數(shù)μ、φ、τ 和β0的先驗分布為：

再根據(jù)Meyer和Ju［12］設定好的未知參數(shù)ω的先驗分布：

以下是厚尾SV模型各個參數(shù)的后驗條件分布密度函數(shù).

1）厚尾SV模型中參數(shù)μ的后驗條件分布：

2）厚尾SV模型中參數(shù)φ的后驗條件分布：

3）厚尾SV模型中參數(shù)τ 的后驗條件分布：

4）厚尾SV模型中參數(shù)ω的后驗條件分布：

5）厚尾SV模型中參數(shù)βt的后驗條件分布：

2.2 Gibbs抽樣

MCMC 方法中最常用的是Gibbs 抽樣法［13］，在厚尾SV模型中記未知參數(shù)θ0=(μ,φ,ω,τ,βt），則初始值為

3 實證分析

3.1 數(shù)據(jù)預處理與數(shù)據(jù)特征

自2019年12月31日湖北省武漢市衛(wèi)健委首次公開通報新型冠狀病毒肺炎病例以來，疫情一直持續(xù)至今. 基于此，本文選取2018年1月1日至2019年12月31日共計487個日收益率以及2020年1月1日至2022年1月5日共計488個日收益率來研究在疫情前和疫情期間我國貴金屬的收益波動情況，并作為我們的建模樣本. 在本文SV模型中采用的收益率為去均值化后的收益率，且定義公式Rt=ln(Ft)-ln(Ft-1)，則

其中：yt代表收益率；Ft代表黃金收盤價第t日的交易價格；n代表樣本數(shù).

用SPSS軟件［15］對疫情前和疫情期黃金的收益率進行統(tǒng)計分析得出黃金收益序列的正態(tài)Q-Q圖以及正態(tài)概率無趨勢圖，如圖1、圖2所示.

由圖1中黃金收益序列的正態(tài)Q-Q圖可以看出疫情前和疫情期黃金的收益率分布偏離了直線，所以可以說呈現(xiàn)出明顯的厚尾狀態(tài). 從圖2正態(tài)概率分布圖中我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)與正態(tài)的偏差是顯而易見的.

圖1 黃金收益序列的正態(tài)Q-Q圖Fig.1 Normal Q-Q diagrams of gold return series

圖2 黃金收益序列的正態(tài)概率無趨勢圖Fig.2 No trend charts of normal probabilities of gold return series

最后我們依然使用SPSS 軟件對疫情前和疫情期黃金收益率的基本指標進行統(tǒng)計分析，分析結(jié)果如表1所示.

表1 統(tǒng)計結(jié)果表Tab.1 Statistical results

由表1我們可以發(fā)現(xiàn)疫情前黃金的平均值較小可忽略不計，所以表示為0.00. 中位數(shù)為-0.000 86，方差同樣較小可忽略不計，表示為0.00. 標準差為0.062 68，偏度為-0.529，峰度為5.504，其中峰度5.504大于正態(tài)分布的峰度（=3），可以看出疫情前黃金的收益率具有明顯的峰度，比正態(tài)分布的峰度大2.504，所以呈現(xiàn)出來了很強的厚尾性.

同樣由表1 我們可以發(fā)現(xiàn)疫情期黃金收益率的平均值較小，依然表示為0.00. 中位數(shù)為-0.000 35，方差也較小，表示為0.00. 標準差為0.095 93，偏度為0.630，峰度為5.756，其中峰度5.756 大于正態(tài)分布的峰度（=3），因此可以看出疫情期黃金的收益率也具有非常明顯的峰度，比正態(tài)分布的峰度大2.756，所以依然呈現(xiàn)出來了很強的厚尾性.

3.2 SV-T模型的參數(shù)估計

我們使用WinBUGS軟件以及運用基于MCMC方法的貝葉斯方法進行參數(shù)估計，其中的抽樣方法我們選擇Gibbs抽樣，為了使參數(shù)穩(wěn)定以及收斂，我們首先對參數(shù)進行了10 000次的迭代，然后進行退火，再對參數(shù)進行第二次迭代，第二次的迭代次數(shù)為30 000次，最后得到了參數(shù)μ、φ、τ、ω的參數(shù)估計結(jié)果.

3.2.1 疫情前SV-T模型的參數(shù)估計

表2是疫情前SV-T模型各參數(shù)的估計結(jié)果.

表2 參數(shù)估計結(jié)果表Tab.2 Parameter estimation results

通過表2的參數(shù)統(tǒng)計結(jié)果，我們可以得到以下結(jié)論.

1）參數(shù)μ的均值為-11.13，相當于參數(shù)μ的貝葉斯估計值為-11.13，因此可以看出我國黃金市場的風險較低，有利于投資者的進一步投資，且可以看出參數(shù)μ的標準差為0.397 9. MC誤差為0.016 51，MC誤差越接近0表示參數(shù)估計的值越精確. 2.5%分位數(shù)為-12.01，97.5%分位數(shù)為-10.42，因此參數(shù)μ的置信區(qū)間為（-12.01，-10.42）.

2）參數(shù)φ的均值為0.990 4，即參數(shù)φ的貝葉斯估計值為0.990 4，且參數(shù)φ的標準差為0.006 67. MC誤差為3.393×10-4. 2.5%分位數(shù)為0.972 8，97.5%分位數(shù)為0.998 7，因此置信區(qū)間為（0.972 8，0.998 7）. 由于參數(shù)φ代表模型的波動持續(xù)參數(shù)，所以可以看出我國黃金市場展現(xiàn)出了強的波動持續(xù)性.

3）參數(shù)τ 的均值為47.81，即參數(shù)τ 的貝葉斯估計值為47.81，且參數(shù)τ 的標準差為29.47. MC 誤差為1.955，2.5%分位數(shù)為12.36，97.5%分位數(shù)為121.7，因此置信區(qū)間為（12.36，121.7）. 由前面的假設值知τ=1/σ2，所以看出參數(shù)τ 與σ2成反比，且隨著σ2的變化而變化.

4）參數(shù)ω的均值為7.655，即參數(shù)ω的貝葉斯估計值為7.655，且參數(shù)ω的標準差為2.385，MC 誤差為0.118 2，2.5%分位數(shù)為4.378，97.5%分位數(shù)為13.59，所以置信區(qū)間為（4.378，13.59），因此更可以看出我國黃金市場波動率尖峰厚尾的特點.

綜上所述，可以確定SV-T模型為：

然后我們繼續(xù)用WinBUGS軟件對參數(shù)進行分析，得到了厚尾SV模型的后驗分布仿真圖、參數(shù)的迭代軌跡圖和參數(shù)的迭代歷史圖，其中omega=ω，phi=φ，mu=μ，itau=τ . 如圖3～5所示.

圖3 參數(shù)后驗分布仿真圖Fig.3 Simulation diagrams of posterior distributions of parameters

圖4 參數(shù)迭代軌跡圖Fig.4 Parameter iteration trajectory diagrams

圖5 參數(shù)迭代歷史圖Fig.5 Parameter iteration history diagrams

3.2.2 疫情期SV-T模型的參數(shù)估計

表3是疫情期SV-T模型各參數(shù)的估計結(jié)果.

表3 參數(shù)估計結(jié)果表Tab.3 Parameter estimation results

通過表3的參數(shù)統(tǒng)計結(jié)果，我們可以得到以下結(jié)論.

1）參數(shù)μ的均值為-9.872，相當于參數(shù)μ的貝葉斯估計值為-9.872，因此可以看出我國黃金市場的風險較低，有利于投資者的進一步投資，且可以看出參數(shù)μ的標準差為0.216 5. MC 誤差為0.007 782，MC 誤差越接近0 表示參數(shù)估計的值越精確. 2.5%分位數(shù)為-10.34，97.5%分位數(shù)為-9.48，因此參數(shù)μ的置信區(qū)間為（-10.34，-9.48）.

2）參數(shù)φ的均值為0.973 1，即參數(shù)φ的貝葉斯估計值為0.973 1，且參數(shù)φ的標準差為0.017 64. MC誤差為0.001 033，置信區(qū)間為（0.928 5，0.995 5）. 因為參數(shù)φ代表模型的波動持續(xù)參數(shù)，所以可以看出我國黃金市場展現(xiàn)出了強的波動持續(xù)性.

3）參數(shù)τ 的均值為40.87，即參數(shù)τ 的貝葉斯估計值為40.87，且參數(shù)τ 的標準差為26.47. MC 誤差為1.75，置信區(qū)間為（7.671，105.9）. 由前面的假設值知τ=1/σ2，所以看出參數(shù)τ 與σ2成反比，且隨著σ2的變化而變化.

4）參數(shù)ω的均值為7.506，即參數(shù)ω的貝葉斯估計值為7.506，且參數(shù)ω的標準差為2.537. MC 誤差為0.134 2，置信區(qū)間為（4.212，13.99），因此更可以看出我國黃金市場波動率尖峰厚尾的特點.

綜上所述，可以確定SV-T模型為：

然后我們繼續(xù)用WinBUGS軟件對參數(shù)進行分析，得到了厚尾SV模型的后驗分布仿真圖，參數(shù)的迭代軌跡圖和參數(shù)的迭代歷史圖，其中omega=ω，phi=φ，mu=μ，itau=τ . 如圖6～8所示.

圖6 參數(shù)后驗分布仿真圖Fig.6 Simulation diagrams of posterior distributions of parameters

3.3 疫情前和疫情期參數(shù)模擬結(jié)果對比分析

通過疫情前和疫情期兩個不同時間段對SV-T模型各參數(shù)的估計，我們進行了對比，結(jié)果如表4.

對表4進行對比分析得到以下結(jié)論.

表4 參數(shù)估計結(jié)果對比Ta.4 Comparison of parameter estimation results

1）疫情前參數(shù)μ的值為-11.13，疫情期參數(shù)μ的值為-9.872，即疫情前參數(shù)的貝葉斯估計值小于疫情期的貝葉斯估計值. 參數(shù)μ的絕對值越小則體現(xiàn)出黃金市場的風險越低，因此我們看出在疫情前投資貴金屬的風險性是要高于疫情期的，所以我們可以看出，疫情對貴金屬投資愛好者來說是有一定的影響的，也體現(xiàn)了投資貴金屬市場的不確定性.

圖7 參數(shù)迭代軌跡圖Fig.7 Parameter iteration trajectory diagrams

圖8 參數(shù)迭代歷史圖Fig.8 Parameter iteration history diagrams

2）疫情前參數(shù)φ的值為0.990 4，疫情期參數(shù)φ的值為0.973 1，二者均小于1，因此比較平穩(wěn).φ代表了模型的波動持續(xù)參數(shù)，不難看出我國貴金屬市場具有強的波動持續(xù)性，而且可以看出在疫情前的波動性要強于疫情期間的波動性.

3）疫情前參數(shù)τ 的值為47.81，疫情期參數(shù)τ 的值為40.87，參數(shù)τ 可以衡量黃金收益率波動的擾動水平，因為τ=1/σ2且參數(shù)σ代表波動的擾動水平，即參數(shù)τ 的值越小則參數(shù)σ的擾動水平越強，所以可以得到疫情期黃金收益的波動擾動水平要強于疫情前黃金收益的波動擾動水平.

4）疫情前參數(shù)ω的值為7.655，疫情期參數(shù)ω的值為7.506，參數(shù)ω代表了自由度，因為疫情前和疫情期的自由度均小于8，因此可以體現(xiàn)出貴金屬市場尖峰厚尾的特性. 又因為7.755＞7.506，所以在疫情前的尖峰厚尾性要略強于疫情期，疫情前所呈現(xiàn)的尖峰厚尾性更加明顯.

4 結(jié)論

本文主要研究了基于厚尾SV模型的貝葉斯參數(shù)估計，研究對象為我國貴金屬市場里黃金的收益率，并挑選疫情前和疫情期的時間序列來進行對比研究. 實證分析中，對模型的參數(shù)估計使用的是MCMC 方法，并結(jié)合了貝葉斯估計法，然后使用的抽樣方法為Gibbs抽樣方法，利用WinBUGS軟件進行了詳細的分析，最終又將疫情前和疫情期參數(shù)模擬結(jié)果進行了對比分析，結(jié)果表明SV-T模型在疫情前和疫情期對我國貴金屬收益的波動性都具有準確并且較好的擬合效果.