宋俊強(qiáng)，李曉山，王碩，顧開放，潘虹，王鑫

（中國(guó)石油 新疆油田分公司 勘探開發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依 834000）

致密油藏壓裂水平井產(chǎn)量初期遞減快，后期遞減慢，呈現(xiàn)兩段或多段式遞減特征，導(dǎo)致單一經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ彤a(chǎn)量預(yù)測(cè)難度大且準(zhǔn)確度低；而準(zhǔn)確預(yù)測(cè)單井產(chǎn)量是提高開發(fā)效果及經(jīng)濟(jì)效益的基礎(chǔ)。

現(xiàn)有的產(chǎn)量預(yù)測(cè)方法包括經(jīng)驗(yàn)法[1-2]、現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析法[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)法[4]和數(shù)值模擬法[5-6]。這些方法大多以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，只考慮產(chǎn)量隨時(shí)間的變化，難以匹配壓裂水平井的多流態(tài)生產(chǎn)特征[7-8]，無法準(zhǔn)確評(píng)價(jià)水平井全生命周期產(chǎn)量。因此，基于不同經(jīng)驗(yàn)遞減模型適用條件，前人提出了一系列組合模型。如按遞減率變化速率相等處為組合點(diǎn)的組合模型，但是出現(xiàn)遞減率相同的節(jié)點(diǎn)必須有足夠長(zhǎng)的生產(chǎn)時(shí)間，難以實(shí)現(xiàn)不同生產(chǎn)階段的產(chǎn)量預(yù)測(cè)[9]；以產(chǎn)量為組合點(diǎn)，雖然預(yù)測(cè)模型跳躍現(xiàn)象明顯減弱，但不符合遞減率連續(xù)性特征，同時(shí)早期階段也無法預(yù)測(cè)[10]；將不同模型賦予不同的權(quán)重，建立目標(biāo)函數(shù)，通過最優(yōu)化算法，確定最佳的預(yù)測(cè)方法組合，雖可適用于不同的生產(chǎn)階段，但失去了各模型的物理意義，且增大了擬合難度[11]。

筆者從經(jīng)驗(yàn)遞減模型與流態(tài)的關(guān)聯(lián)性出發(fā)，提出了以邊界控制流時(shí)間為節(jié)點(diǎn)的新型組合模式，同時(shí)根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的產(chǎn)量相等和遞減率相等，推導(dǎo)出了新型分段產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型，并給出了邊界控制流時(shí)間及該模型的求解方法，可預(yù)測(cè)不同生產(chǎn)階段的單井全生命周期產(chǎn)量。

1 產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型的推導(dǎo)

根據(jù)Arps 產(chǎn)量遞減模型[12]，當(dāng)遞減指數(shù)為0 時(shí)，可特殊化為指數(shù)遞減，其特點(diǎn)是單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量下降與產(chǎn)量成比例，即遞減率為定值，為現(xiàn)場(chǎng)常用模型，其產(chǎn)量和時(shí)間的關(guān)系為

指數(shù)遞減的遞減率：

而借鑒的SEPD 模型，則是一個(gè)基于經(jīng)驗(yàn)的公式[13]，其表達(dá)式如下：

該模型的遞減率：

前人通過對(duì)不同經(jīng)驗(yàn)遞減模型與滲流流態(tài)特征相關(guān)性研究，總結(jié)不同經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用階段[14]。其中，Arps 遞減模型以邊界控制流為主導(dǎo)，主要適用于生產(chǎn)后期產(chǎn)量擬合預(yù)測(cè)；SEPD 模型以不穩(wěn)定流和過渡流為主導(dǎo)，主要適用于生產(chǎn)前期產(chǎn)量預(yù)測(cè)；兩者的組合節(jié)點(diǎn)可用邊界控制流時(shí)間控制[15-16]。本文采用指數(shù)模型與SEPD模型進(jìn)行組合：

為了使模型連續(xù)，使2 個(gè)模型在節(jié)點(diǎn)處的遞減率、產(chǎn)量全都相等，可推出指數(shù)模型的初始產(chǎn)量、遞減率與SEPD模型參數(shù)的相關(guān)公式：

將（6）式代入（5）式，形成改進(jìn)后的新型分段遞減模型：

2 模型節(jié)點(diǎn)的求取

2.1 邊界控制流時(shí)間的確定

諸多學(xué)者對(duì)致密油藏壓裂水平井的滲流規(guī)律進(jìn)行了研究，普遍把壓裂水平井的流動(dòng)階段劃分為早期線性流階段、擬徑向流階段、復(fù)合線性流階段和邊界控制流階段[7-8]。理論上，利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行產(chǎn)量預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)結(jié)果與油井生產(chǎn)歷史中的流態(tài)階段有關(guān)，不同流態(tài)階段的預(yù)測(cè)結(jié)果不同。邊界控制流作為壓裂水平井在線性流之后常表現(xiàn)出的一種流動(dòng)特征，其在物質(zhì)平衡時(shí)間與規(guī)整化產(chǎn)量的雙對(duì)數(shù)曲線上為斜率等于-1的直線。

物質(zhì)平衡時(shí)間：

規(guī)整化產(chǎn)量：

在變壓生產(chǎn)時(shí)的物質(zhì)平衡時(shí)間與規(guī)整化產(chǎn)量的雙對(duì)數(shù)曲線上，可將線性流斜率為-1/2的切線與邊界控制流斜率為-1 的切線的交點(diǎn)作為邊界控制流時(shí)間點(diǎn)（圖1），但該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為物質(zhì)平衡時(shí)間，需進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為實(shí)際生產(chǎn)下的邊界控制流時(shí)間，才能運(yùn)用于新型分段遞減模型[13-14]。研究表明，到達(dá)邊界控制流后期，產(chǎn)量較低，累計(jì)產(chǎn)量降低，物質(zhì)平衡時(shí)間快速增加，實(shí)際生產(chǎn)時(shí)間的變化速度較物質(zhì)平衡時(shí)間的變化速度小，導(dǎo)致實(shí)際生產(chǎn)時(shí)間隨物質(zhì)平衡時(shí)間在后期變的較為平緩。這種特征與Langmuir 吸附曲線形態(tài)相似，可用其建立物質(zhì)平衡時(shí)間與實(shí)際生產(chǎn)時(shí)間的關(guān)系，再將判別出的物質(zhì)平衡時(shí)間條件下邊界控制流時(shí)間代入擬合公式，即可獲取實(shí)際生產(chǎn)下的邊界控制流時(shí)間（圖2）：

綜上所述，可針對(duì)已到達(dá)邊界控制流時(shí)間的生產(chǎn)井進(jìn)行判別計(jì)算，構(gòu)建廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GRNN）學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)體。

2.2 基于GRNN算法的邊界控制流時(shí)間預(yù)測(cè)

依據(jù)邊界控制流時(shí)間的確定方法，只能判斷已達(dá)到邊界控制流時(shí)間的晚期生產(chǎn)井，對(duì)未達(dá)到邊界控制流時(shí)間的生產(chǎn)井需要進(jìn)行預(yù)測(cè)，才能使用（7）式進(jìn)行分段產(chǎn)量預(yù)測(cè)。油藏開始受到邊界控制流影響的時(shí)間和油藏半徑有關(guān)，并且與擴(kuò)散常數(shù)成反比，邊界控制流時(shí)間的簡(jiǎn)易計(jì)算公式為[17]

對(duì)致密油藏壓裂水平井而言，其井控半徑與水平井段長(zhǎng)度、壓裂級(jí)數(shù)、裂縫半長(zhǎng)以及井距具有一定的相關(guān)性，而裂縫半長(zhǎng)與壓裂液體積、支撐劑量相關(guān)。考慮原油黏度和綜合壓縮系數(shù)在同一油藏變化不大，壓裂水平井的邊界控制流時(shí)間可用孔隙度、滲透率、水平井段長(zhǎng)度、壓裂級(jí)數(shù)、井距、壓裂液體積和支撐劑量的非線性函數(shù)表示。

GRNN 是一種以非線性回歸為基礎(chǔ)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[18]，具有數(shù)據(jù)樣本的要求較少，概率意義明確，具較好的泛化能力，可逼近任意類型的函數(shù)[19]，因此可采用GRNN對(duì)邊界控制流時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)。

本文在GRNN 學(xué)習(xí)過程中，輸入層單元為孔隙度、滲透率、水平井段長(zhǎng)度、壓裂級(jí)數(shù)、井距、壓裂液體積和加砂量7 種；模式層中神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)k為學(xué)習(xí)樣本數(shù)，其神經(jīng)元傳遞函數(shù)：

求和層有2 個(gè)神經(jīng)元，分別為Pi的算術(shù)求和神經(jīng)元與加權(quán)求和神經(jīng)元；輸出層只有1 個(gè)單元，即邊界控制流時(shí)間，其值為加權(quán)求和神經(jīng)元與算術(shù)求和神經(jīng)元的比值。

上述學(xué)習(xí)過程中最主要的參數(shù)為光滑因子，其較小時(shí)導(dǎo)致模型無法收斂，較大時(shí)易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象[20]，因此通常設(shè)置其取值范圍為0～1。光滑因子優(yōu)化通常采用果蠅算法、粒子群算法、蝙蝠算法等，考慮粒子群算法具有較高的準(zhǔn)確度[20-21]，本文采用該算法。

粒子群算法是模擬鳥類覓食，用一群粒子來實(shí)現(xiàn)全局搜索尋優(yōu)智能算法[21]，每個(gè)粒子具有位置、速度和適應(yīng)度3 個(gè)特征屬性。粒子在空間中運(yùn)動(dòng)，通過跟蹤、比較新粒子與個(gè)體極值和群體極值的適應(yīng)度，來獲取最優(yōu)；其速度與位置的變化可通過（13）式和（14）式計(jì)算；適應(yīng)度函數(shù)按計(jì)算實(shí)際值與預(yù)測(cè)值之間的均方差處理。

粒子速度：

粒子位置：

適應(yīng)度：

本算法中粒子為GRNN 的平滑因子，具體粒子群算法優(yōu)化GRNN算法的實(shí)現(xiàn)過程如下。

①考慮樣本數(shù)據(jù)之間存在量綱差，為避免產(chǎn)生較大誤差，對(duì)輸入樣本進(jìn)行歸一化處理：

②設(shè)定粒子數(shù)目、權(quán)重因子、學(xué)習(xí)因子、循環(huán)迭代次數(shù)、最大速度、最小速度和粒子位置，隨機(jī)初始化粒子位置和速度。

③將歸一化后的學(xué)習(xí)樣本和初始化粒子位置（粒子位置即光滑因子）代入GRNN 中，訓(xùn)練GRNN 模型，確定適應(yīng)度值。

④更新粒子的個(gè)體極值和群體極值，優(yōu)化粒子位置和速度，確定新粒子的位置。

⑤判斷適應(yīng)度值是否滿足結(jié)束條件，若不滿足，重復(fù)步驟②—④；若滿足，輸出粒子位置，并將其映射到GRNN中，訓(xùn)練GRNN模型。

⑥訓(xùn)練完成后，將預(yù)測(cè)參數(shù)帶入優(yōu)化的GRNN中，計(jì)算預(yù)測(cè)值（表1）。

表1 邊界控制流時(shí)間的學(xué)習(xí)樣本及模型預(yù)測(cè)結(jié)果比較Table 1.Learning samples and model prediction results for BDF time

3 產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型應(yīng)用評(píng)價(jià)

3.1 模型的預(yù)測(cè)流程及求解方法

根據(jù)推導(dǎo)的新型分段產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型及邊界控制流時(shí)間確定方法，提出了新型分段產(chǎn)量模型的評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)流程。該模型以流態(tài)劃分為基礎(chǔ)，未達(dá)到邊界控制流時(shí)，可利用前期的生產(chǎn)數(shù)據(jù)采用SEPD 模型用迭代試差和最小二乘法直接擬合出模型參數(shù)[13]；達(dá)到邊界控制流時(shí)間后，采用全局連續(xù)的分段最小二乘法曲線擬合求解。

迭代試差和最小二乘法擬合求解方法：①將分段模型中的SEPD模型兩端取雙對(duì)數(shù)，變成lnq與tn的關(guān)系；②假設(shè)n為定值，可用生產(chǎn)數(shù)據(jù)構(gòu)建出lnq與tn的關(guān)系，即用最小二乘法擬合得出特定n下的擬合度；③n的取值范圍為0～1，n按0.001步長(zhǎng)不斷迭代，可求出不同n下的擬合度；④通過比較擬合度，可求出lnq與tn的最佳線性擬合關(guān)系下的n，通過最佳線性關(guān)系的斜率與截距可求出相應(yīng)的參考產(chǎn)量及特征弛豫時(shí)間；⑤將求出的參考產(chǎn)量、特征弛豫時(shí)間及預(yù)測(cè)的邊界控制流時(shí)間代入（7）式，求出新型分段產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型。

全局連續(xù)的分段最小二乘法擬合求解方法：①將分段模型（7）式進(jìn)行兩端雙對(duì)數(shù)處理，變成線性函數(shù)；②按照（17）式構(gòu)建擬合均方差誤差函數(shù)f（qo,n,τ）；③假設(shè)n為定值，可用邊界控制流時(shí)間前的實(shí)際數(shù)據(jù)構(gòu)建出lnq與tn的線性關(guān)系后，采用最小二乘法擬合得出特定n下的參考產(chǎn)量及特征松弛時(shí)間；④將特定n下的參考產(chǎn)量、特征松弛時(shí)間、預(yù)測(cè)的邊界控制流時(shí)間及實(shí)際對(duì)應(yīng)的產(chǎn)量代入誤差函數(shù)f（qo,n,τ），求出其誤差；⑤將n以0.001的步長(zhǎng)迭代，計(jì)算出不同n下的誤差函數(shù)，求出擬合誤差函數(shù)最小時(shí)的模型參數(shù)，即為分段模型擬合度最佳的參數(shù)。

擬合誤差函數(shù)：

3.2 實(shí)例分析

以瑪湖油田早期壓裂水平井MH6004 井為例，進(jìn)行模型分析。該井孔隙度為11.4%，滲透率為2.80 mD，水平井段長(zhǎng)度為938 m，壓裂級(jí)數(shù)為12，井距為400 m，壓裂液體積為13 535 m3，加砂量為836 m3。設(shè)定粒子數(shù)目為30，權(quán)重因子為0.6，學(xué)習(xí)因子為2，循環(huán)迭代100 次，最大速度為0.01，最小速度為-0.01，粒子最大值為1，粒子最小值為0.01；計(jì)算得出的光滑因子為0.011 8，邊界控制流時(shí)間為807 d。

為降低生產(chǎn)波動(dòng)的影響，將生產(chǎn)數(shù)據(jù)按月平均日產(chǎn)油量處理，按常規(guī)產(chǎn)量預(yù)測(cè)方法，用指數(shù)式擬合達(dá)到邊界控制流之后的生產(chǎn)數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)平均產(chǎn)油1 t/d為廢棄產(chǎn)量，預(yù)測(cè)累計(jì)產(chǎn)油量達(dá)4.30×104t。同時(shí)利用本文模型、SEPD 模型、指數(shù)模型分別按邊界控制流之前的早期階段（2～25 月）及邊界控制流之后（2～33 月）擬合預(yù)測(cè)，對(duì)比不同預(yù)測(cè)方法所得結(jié)果的差異（圖3、圖4）。結(jié)果表明：針對(duì)早期與到達(dá)邊界控制流后，在相同擬合階段下，本文模型比SEPD 模型和指數(shù)模型的擬合度高，其預(yù)測(cè)誤差小于5%（表2），而SEPD 模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量明顯偏高，指數(shù)模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量偏低。造成該現(xiàn)象的原因是SEPD模型以不穩(wěn)定流和過渡流為主導(dǎo)，擬合預(yù)測(cè)時(shí)遞減率逐漸減小，但實(shí)際生產(chǎn)過程到邊界控制流后遵循指數(shù)規(guī)律，遞減率幾乎不發(fā)生變化，導(dǎo)致其預(yù)測(cè)結(jié)果比常規(guī)方法大；指數(shù)模型較適用于生產(chǎn)中后期的邊界控制流階段，而壓裂水平井生產(chǎn)前期主要以裂縫的線性流和不穩(wěn)定流為主，產(chǎn)量從迅速下降到緩慢下降轉(zhuǎn)變，導(dǎo)致利用指數(shù)擬合時(shí)，遞減 率較大，預(yù)測(cè)產(chǎn)量偏低。

表2 不同模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Table 2.Comparison of prediction results from different models

4 結(jié)論

（1）SEPD 模型以不穩(wěn)定流和過渡流為主導(dǎo)，指數(shù)模型以邊界控制流為主導(dǎo)，進(jìn)而通過2 個(gè)模型在邊界控制流時(shí)間處的產(chǎn)量相等和遞減率相等，推導(dǎo)得到了以邊界控制流時(shí)間為節(jié)點(diǎn)的新型分段產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型。

（2）提出了物質(zhì)平衡時(shí)間與真實(shí)生產(chǎn)時(shí)間的擬合轉(zhuǎn)換關(guān)系，形成了生產(chǎn)條件下邊界控制流時(shí)間確定方法；同時(shí)邊界控制流時(shí)間與地質(zhì)、工程等參數(shù)具有非線性相關(guān)特征，可通過GRNN 算法，根據(jù)相關(guān)已知參數(shù)進(jìn)行早期井邊界控制流時(shí)間的預(yù)測(cè)。

（3）以邊界控制流時(shí)間為節(jié)點(diǎn)的新型分段產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型，對(duì)于早期及到達(dá)邊界控制流后的晚期生產(chǎn)井，均具有較高的預(yù)測(cè)精度，可解決SEPD模型及指數(shù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果偏高或偏低的問題。

符號(hào)注釋

c1、c2——學(xué)習(xí)因子；

Ct——綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；

d、m、α、β——相關(guān)擬合系數(shù)；

Di——遞減初期遞減率，d-1；

Dt——遞減率，d-1；

E——適應(yīng)度，即均方差；

Gbest——群體極值；

k——神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)，正整數(shù)；

K——滲透率，mD；

M——樣本個(gè)數(shù)；

n——時(shí)間指數(shù)，無因次，范圍為0～1；

NP——累計(jì)產(chǎn)油量，m3；

pr——地層壓力，MPa；

pwf——井底流壓，MPa；

Pi——模式第i層的輸出；

Pbest——個(gè)體極值；

q——產(chǎn)油量，m3；

qi——遞減初期產(chǎn)油量，t/d；

qo——參考產(chǎn)量，t/d；

q（ti）——ti時(shí)間下的真實(shí)產(chǎn)量，t/d；

r1、r2——分別為［0，1］的隨機(jī)數(shù)；

re——井控半徑，m；

t——時(shí)間，d；

tcd——物質(zhì)平衡時(shí)間，d；

telf——邊界控制流時(shí)間，d；

tmax——實(shí)際生產(chǎn)最大時(shí)間，d；

tture——實(shí)際生產(chǎn)時(shí)間，d；

vi——第i次循環(huán)時(shí)當(dāng)前粒子的速度；

vi+1——第i+1次循環(huán)時(shí)當(dāng)前粒子的速度；

xi——第i次循環(huán)時(shí)當(dāng)前粒子的位置；

xi+1——第i+1次循環(huán)時(shí)當(dāng)前粒子的位置；

X——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入變量；

Xi——第i個(gè)神經(jīng)元對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)樣本；

-Xi——?dú)w一化后的第i個(gè)神經(jīng)元對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)樣本；

Yi——第i個(gè)預(yù)測(cè)學(xué)習(xí)樣本值；

yi——第i個(gè)真實(shí)學(xué)習(xí)樣本值；

φ——孔隙度，%；

μ——黏度，mPa·s；

σ——光滑因子；

τ——特征弛豫時(shí)間，d；

ω——權(quán)重因子，一般取0.4～0.9；

Δp——壓差，MPa。