唐 雨，束永平，郭振杭

(東華大學 機械工程學院，上海 201620)

磁場在機械工程領域中有著廣泛的應用前景。以環(huán)錠細紗機為例，傳統(tǒng)的加捻方式采用鋼領、鋼絲圈將須條加捻成紗，由這種加捻方式加工的紗線質(zhì)量較好，但產(chǎn)能較低[1]。制約傳統(tǒng)環(huán)錠紡產(chǎn)能的主要原因是在環(huán)錠紡的加捻卷繞過程中錠子的轉(zhuǎn)速不能無限增加，當錠子轉(zhuǎn)速超過25 000 r/min時，會導致鋼領與鋼絲圈之間的磨損加重，以及鋼絲圈過熱燒毀紗線等問題[2]。研究者們嘗試采用高溫超導磁懸浮軸承[3]替代傳統(tǒng)的鋼絲圈-鋼領加捻機構(gòu)，這種新型加捻機構(gòu)的工作原理是將導紗環(huán)固定在由釹鐵硼永磁體制成的圓環(huán)(轉(zhuǎn)子)上，轉(zhuǎn)子穩(wěn)定地懸浮在由釔鋇銅氧高溫超導體材料制成的錠子上方，轉(zhuǎn)子通過紗線在錠子帶動下轉(zhuǎn)動給紗線加捻[4]。相比傳統(tǒng)的鋼領-鋼絲圈加捻，高溫超導磁懸浮加捻的轉(zhuǎn)子幾乎沒有摩擦力，因此可以大大提高錠子的轉(zhuǎn)速，有望將細紗機的產(chǎn)能提高2～3倍。

為合理設計永磁體轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)參數(shù)，使其具有足夠的懸浮力和側(cè)向穩(wěn)定性，需給出永磁體的磁場分布解析公式。對此，學者們紛紛展開研究，例如：Vagin等[5]基于分子電流模型得出矩形永磁體磁場分布的解析公式；李群明等[6]應用矢量磁位法得到環(huán)形永磁體磁場分布的解析公式；Wang等[7]基于磁荷模型[8]，根據(jù)標量磁位法和廣義二項式定理得出環(huán)形永磁體磁場分布的解析公式；Varga等[9]引入二階對稱張量，基于線性疊加原理得出圓柱形磁鐵的解析公式。但目前國內(nèi)外學者對環(huán)形永磁體磁場分布的研究還較少，且相關文獻研究較為陳舊，文獻[6]雖然給出了永磁環(huán)磁場分布的積分表達式，但是該表達式包含完全橢圓積分的再積分項，在進行數(shù)值積分時運算量較大，嚴重影響計算效率和精度。本文從分子電流假說出發(fā)，應用畢奧-薩伐爾定律和矢量疊加原理[10]推導環(huán)形永磁體空間磁場的解析表達式，分析永磁體空間磁場的分布特性。

1 實心環(huán)形永磁體磁場計算

根據(jù)分子電流假說，在軸向均勻充磁后分子內(nèi)部的微觀環(huán)形電流在磁體內(nèi)部相互抵消，宏觀上表現(xiàn)為面電流，對于圓環(huán)形永磁體則表現(xiàn)為圓環(huán)形面電流[11]，因此可以認為永磁環(huán)中的電流是由許多同軸、同半徑的環(huán)形線電流所組成的。首先，分析1塊實心圓柱形永磁體的空間磁場，再應用疊加原理計算空心永磁環(huán)的磁場。

在圖1所示的軸向磁化實心永磁環(huán)幾何模型中有1個半徑為a的實心永磁環(huán)，在其電流分布面上任取一點Q(a,φ′,h)，根據(jù)分子電流觀點導出該點的面電流密度矢量，如式(1)所示。

JS(Q)=nI(-exsinφ′+eycosφ′)

(1)

式中：下標S為實心永磁環(huán)電流分布的曲面；n為實心永磁環(huán)單位高度的匝數(shù)；I為單個環(huán)形線電流密度；ex、ey分別為空間直角坐標系中x、y軸正方向的單位向量。

圖1 軸向磁化實心永磁環(huán)幾何模型Fig.1 Geometric model of axially magnetized solid permanent magnetic ring

在實心永磁環(huán)外部空間任取一點P(r,φ,z)，則源點Q到場點P的矢徑為

R(Q,P)=(x-x′)ex+(y-y′)ey+(z-z′)ez

(2)

式中：ez為空間直角坐標系中z軸正方向的單位向量。

令θ=φ-φ′。利用直角坐標系與柱面坐標系的坐標變換公式如式(3)所示。

(3)

式中：er、eφ、ez分別為柱面坐標系中r、φ、z軸正方向的單位向量。

可得面電流密度矢量JS和矢徑R的矢積為

JS×R(Q,P)=nI[(z-h)ercosθ-

(z-h)eφsinθ+(a-rcosθ)ez]

(4)

為得到普遍情形下的磁場表達式，令實心永磁環(huán)下表面的軸向坐標為z1、上表面的軸向坐標為z2。根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，實心永磁環(huán)在空間任一點P處的磁感應強度為

(5)

式中：μ0為真空磁導率,μ0=4π×10-7H/m。

下面推導Br、Bφ、Bz的表達式。

根據(jù)式(5)，實心環(huán)形永磁體空間磁場的徑向分量為

(6)

當點P在永磁環(huán)軸線上時，即r=0時，由式(6)可知

Br=0

(7)

當點P在永磁環(huán)軸線以外時，即r>0時，考慮到式(6)中減式與被減式的相似性，設置中間變量t以簡化徑向分量Br的表達式，令

(8)

(9)

可將式(8)寫為

(10)

式中：K(k)和E(k)分別為以k為模數(shù)的第一類完全橢圓積分和第二類完全橢圓積分[12]。

(11)

(12)

為減少自變量個數(shù)，對變量k設置如式(13)所示的函數(shù)。

(13)

則式(10)可以寫成：

(14)

聯(lián)立式(6)、(8)和(13)可得：

(15)

(16)

(17)

式中：μ0nI=Brem，Brem為永磁環(huán)的剩余磁通密度[13]。 式(15)為實心永磁環(huán)磁場分布的徑向分量表達式。

根據(jù)式(5)，實心環(huán)形永磁體空間磁場的周向分量為

(18)

由于式(18)中被積函數(shù)是關于θ的奇函數(shù)，并且關于自變量θ的積分區(qū)間是對稱區(qū)間，因此

Bφ=0

(19)

由于環(huán)形面電流的對稱性，周向的磁感應強度分量等于零是意料之中的。

對于實心環(huán)形永磁體空間磁場的軸向分量，由式(5)可得：

(20)

其中：

(21)

(22)

式中：П(u,k)為第三類完全橢圓積分，u>-1。

(23)

2 空心環(huán)形永磁體磁場計算

根據(jù)矢量疊加原理，空心永磁環(huán)的作用相當于在1塊實心永磁環(huán)中心挖去1塊小的同心同厚度的實心永磁環(huán)。因此，用大的實心永磁環(huán)的空間磁場分量減去小的實心永磁環(huán)的空間磁場分量，即可得到空心永磁環(huán)的空間磁場分布規(guī)律[14]，具體計算如式(24)和(25)所示。

Br′=Br(a)-Br(b)

(24)

Bz′=Bz(a)-Bz(b)

(25)

式中：Br′和Bz′分別為空心磁環(huán)磁感應強度的徑向分量和軸向分量；Br(a)和Br(b)分別是半徑為a和b的實心永磁環(huán)的徑向磁感應強度分量；Bz(a)和Bz(b)分別是半徑為a和b的實心永磁環(huán)的軸向磁感應強度分量。

3 試驗驗證與對比分析

高溫超導磁懸浮加捻系統(tǒng)的懸浮力僅由環(huán)形永磁體的外部磁場提供[15]，受永磁體尺寸和場冷高度的影響，永磁環(huán)的懸浮高度為2～7 mm。在空心永磁環(huán)的上表面選取兩個高度層(H=2，7 mm)，使用Lake Shore460型三維特斯拉計對此位置處的磁感應強度進行多點測量，基于解析計算公式在MATLAB軟件中分析這兩個高度層下的理論磁場分布，利用COMSOL多物理場仿真軟件分析單個空心永磁環(huán)的磁場分布，通過對比測量值、理論值和仿真結(jié)果來驗證解析計算公式的準確性。

圖2為試驗所用的空心永磁環(huán)，其外徑為100 mm，內(nèi)徑為50 mm，軸向厚度為10 mm，牌號為N35燒結(jié)NdFeB，厚度方向充磁，最大磁能積為278.8 kJ/m2，充磁后的剩余磁通密度為Brem=1.22 T。

圖2 空心永磁環(huán)實物圖Fig.2 Physical image of hollow permanent magnetic ring

環(huán)形永磁體空間磁場的周向磁感應強度分量始終為0，故該方向上的磁感應強度不作討論。兩個高度(H=2，7 mm)層上的徑向磁感應強度分量Br和軸向磁感應強度分量Bz的理論計算結(jié)果與試驗測試結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以看出，在距離永磁環(huán)上表面H=2和7 mm處，軸線處的徑向磁感應強度分量Br為零。在永磁環(huán)的內(nèi)圓柱面到外圓柱面的區(qū)域內(nèi)，Br幾乎呈線性上升趨勢，而軸向磁感應強度分量Bz變化不大，總磁感應強度大概在外圓柱面上取得最大值。隨著測量點到磁環(huán)上表面距離的增加，在xOy平面的同一位置上，各磁感應強度分量及總磁感應強度逐漸減小。

圖3 距空心永磁環(huán)上表面2和7 mm處的磁感應強度分布Fig.3 Magnetic field distribution at the distrance of 2 and 7 mm to the surface of hollow permanent magnetic ring

空心永磁環(huán)的磁場分布仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 空心永磁環(huán)磁場分布的仿真結(jié)果(H=2, 7 mm)Fig.4 Simulation results of magnetic field distribution of the hollow permanent magnetic ring(H=2, 7 mm)

結(jié)合圖3，通過對比空心永磁環(huán)同一高度層下的磁感應強度的理論值、實測值和仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，3種結(jié)果基本吻合，只是因磁環(huán)內(nèi)部磁場分布的不均勻性、特斯拉計探頭的尺寸影響以及測量過程中的定位誤差和讀數(shù)誤差等因素，造成了三者之間的偏差。需要指出的是，磁感應強度最大平均相對誤差主要體現(xiàn)在永磁環(huán)內(nèi)外圓柱面的邊緣處，盡管存在上述誤差，但最大平均相對誤差僅為7.3%，足以證實所推導的空間永磁環(huán)磁場分布解析計算公式的準確性。

4 結(jié) 語

從永磁體的分子電流假說出發(fā)，應用畢奧-薩伐爾定律和矢量疊加原理，建立用完全橢圓積分形式表示的單塊空心永磁環(huán)的磁場分布解析計算式，此方法也可推廣到求解多塊永磁環(huán)并列存在時的磁場分布規(guī)律。比較磁感應強度理論值、實測值和仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，三者之間的相對誤差不超過7.3%，證實了所推導的解析計算式的準確性。該解析計算式形式簡潔且計算精度較高，在分析高溫超導磁懸浮加捻機構(gòu)中轉(zhuǎn)子的懸浮特性和穩(wěn)定性時有很大的作用。