馬金茹，高文華，祁宇明

(1.北京電子科技職業(yè)學(xué)院汽車工程學(xué)院，北京100176；2.天津科技大學(xué)，天津 300222;3.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)，天津 300222)

0 前言

隨著機(jī)器人技術(shù)的快速發(fā)展，移動機(jī)械手由于具有良好的機(jī)動性和靈活性，可以靈活地到達(dá)不同的工作位置，完成復(fù)雜的加工任務(wù)，在大型復(fù)雜零件的加工中具有廣闊的應(yīng)用前景。然而機(jī)器人在任務(wù)空間中的性能分布是高度非線性的，這使得確定最合適的基座位置 (BP)非常困難。因此有必要建立一種有效的移動機(jī)械手BP優(yōu)化方法，快速準(zhǔn)確地確定最優(yōu)BP，這對裝配成本的降低具有重要意義。

移動機(jī)械手基座優(yōu)化能夠有效提高任務(wù)的完成效率和質(zhì)量，受到了眾多研究者的關(guān)注。為了實(shí)現(xiàn)更高的生產(chǎn)效率，面向任務(wù)的目標(biāo)函數(shù)被應(yīng)用于機(jī)器人基座優(yōu)化問題，如最短路徑和最小循環(huán)時(shí)間、最低能耗。在大多數(shù)情況下，基座位置優(yōu)化關(guān)注的是提高任務(wù)的完成質(zhì)量，這與機(jī)器人的性能密切相關(guān)。因此，現(xiàn)有的許多方法主要是為了提高機(jī)器人的性能，蔣毅等人研究了某四自由度機(jī)器人基座優(yōu)化方法，通過有限元軟件對機(jī)器人結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真，分析了機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)對機(jī)器人動態(tài)特性的影響，在此基礎(chǔ)上以基座基頻為優(yōu)化目標(biāo)確定了最優(yōu)基座位置。張崇等人研究了風(fēng)電塔筒機(jī)器人電機(jī)基座優(yōu)化問題，建立了以電機(jī)基座的動態(tài)載荷為目標(biāo)的有限元拓?fù)浞椒ǎ_定了電機(jī)基座輕量化目標(biāo)的最佳位置。REN等提出了優(yōu)化移動機(jī)械手基礎(chǔ)位置的算法，該算法考慮到機(jī)械手的物理限制和奇異性，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的優(yōu)越性。YU等針對移動涂裝機(jī)器人，建立近似解耦模型，在此基礎(chǔ)上提出了機(jī)械手底座位置優(yōu)化方法，考慮了定位約束、定向約束和奇異回避約束，將BP優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為路徑準(zhǔn)則的標(biāo)準(zhǔn)不等式約束優(yōu)化問題，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性。

以上主要方法為機(jī)器人系統(tǒng)的底座位置(BP)優(yōu)化提供了重要參考，但基本上都是關(guān)注機(jī)器人的運(yùn)動能力和運(yùn)動性能，很少考慮機(jī)器人的剛度性能。鑒于機(jī)器人的剛度性能通常對加工質(zhì)量有一定的影響，作者提出一種同時(shí)考慮機(jī)器人運(yùn)動學(xué)和剛度性能的底座位置BP優(yōu)化方法，以最大全局剛度性能評價(jià)指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，以關(guān)節(jié)距離、關(guān)節(jié)速度、奇異避免和碰撞避免為約束條件，建立優(yōu)化模型，采用稀疏均勻網(wǎng)格分解尋找優(yōu)化模型的有效初值，通過序列二次規(guī)劃(SQP)方法最終求解基座的最優(yōu)位置。

1 運(yùn)動學(xué)和剛度性能指標(biāo)

設(shè)計(jì)合適的性能評價(jià)指標(biāo)是移動機(jī)械手BP優(yōu)化的前提。以六自由度機(jī)器人為例，分別介紹用于BP優(yōu)化的動力學(xué)和剛度性能指標(biāo)。D-H參數(shù)模型和數(shù)據(jù)分別如圖1和表1所示，=0.3 m,=0.7 m,=0.28 m,=0.893 m,=0.2 m。

圖1 D-H參數(shù)模型

表1 機(jī)器人的D-H參數(shù)

1.1 運(yùn)動性能指標(biāo)

雅可比矩陣的條件數(shù)是評價(jià)運(yùn)動學(xué)性能的有效方法。將采用基于Frobenius范數(shù)的運(yùn)動學(xué)雅可比矩陣的條件數(shù)()作為量化奇點(diǎn)距離的方法，該指數(shù)稱為動靜調(diào)節(jié)指數(shù)(KCI)，定義為

(1)

其中：tr(·)為矩陣的跡；為具有相同物理單位的齊次雅可比矩陣，定義為

(2)

其中：、、分別為3×3的單位矩陣、3×3的零矩陣和雅可比矩陣;為特征長度，可通過求解的最大值得到。的取值范圍為(0,1]，值越高，機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)性能越好，特別是當(dāng)=1時(shí)，雅可比矩陣的所有奇異值都相等，說明該機(jī)器人具有最佳的運(yùn)動學(xué)性能。反之，當(dāng)=0時(shí)，雅可比矩陣的最小奇異值趨近于零或最大奇異值趨近于無窮大，機(jī)器人的運(yùn)動性能將惡化。

1.2 剛度性能指標(biāo)

(3)

其中：diag(·)為對角化函數(shù)；(=1,2,…,6)為第個(gè)關(guān)節(jié)剛度值(N·m/rad)，可通過有限元分析方法得到。對于六自由度機(jī)器人，關(guān)節(jié)剛度矩陣為

=diag([2.03×106.02×101.91×10

0.45×100.22×100.07×10])

(4)

根據(jù)柔度模型，端部執(zhí)行器(EE)的位移與施加在其上的扳手關(guān)系可以定義為

(5)

其中:是柔度矩陣，即的逆；Δ是由EE的平移和轉(zhuǎn)動位移組成的6×1位移矢量；是施加在EE上的力和力矩組成的6×1扳手矢量。、、分別為3×3平移子矩陣、耦合子矩陣和轉(zhuǎn)動子矩陣，其單位分別為m/N、rad/(N·m)和rad/N。此外，考慮到在加工過程中，可忽略刀具的轉(zhuǎn)動位移、平移位移和作用在刀具上的扭矩，則可將式(5)重新定義為

Δ=

(6)

(7)

指標(biāo)可以很好地表征機(jī)器人在一定關(guān)節(jié)角度下的剛度性能，的值越大，機(jī)器人的剛度性能越好。但僅為局部性能指標(biāo)，不能直接用于評價(jià)機(jī)器人在加工任務(wù)中的全局剛度性能?；诖?，提出了一種面向任務(wù)的全局剛度性能評價(jià)指標(biāo)，其定義為

(8)

2 優(yōu)化問題

BP優(yōu)化的目標(biāo)是在保證機(jī)器人運(yùn)動學(xué)性能的前提下，盡可能地提高機(jī)器人的剛度性能。圖2所示為移動機(jī)械手加工系統(tǒng)模型。

圖2 移動機(jī)械手加工系統(tǒng)

(9)

其中:=×。

(10)

(11)

(12)

3 優(yōu)化模型與方法

最優(yōu)BP算法應(yīng)滿足兩個(gè)要求：(1)機(jī)器人在每個(gè)關(guān)鍵加工點(diǎn)的剛度應(yīng)盡可能高，以提高加工質(zhì)量；(2)機(jī)器人應(yīng)始終具有良好的運(yùn)動性能，以保證其刀具能沿給定的加工路徑平穩(wěn)、準(zhǔn)確地運(yùn)動。

3.1 優(yōu)化模型

優(yōu)化模型的建立包括兩個(gè)方面:(1)確定目標(biāo)函數(shù);(2)明確約束條件?？紤]到基座BP優(yōu)化的目的是盡可能提高機(jī)器人的剛度，將目標(biāo)函數(shù)定義為最大全局剛度，即MSPI的最大化。因此目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為

(13)

(1)關(guān)節(jié)距離

由于機(jī)械結(jié)構(gòu)的限制，機(jī)器人各關(guān)節(jié)角,通常有明確的上、下限，即max和min(=1,2,…,6)。因此，關(guān)節(jié)距離約束的函數(shù)形式可以定義為

()=(,-min)(,-max)≤0

(14)

其中:=[,1,,2,,3,,4,,5,,6]，=1,2,…,。

(2)關(guān)節(jié)速度

(15)

(3)奇異回避

當(dāng)機(jī)器人處于或接近奇異位形時(shí)，機(jī)器人的自由度將丟失，進(jìn)而影響機(jī)器人的控制精度。因此，在加工任務(wù)中，機(jī)器人必須遠(yuǎn)離奇異位形，約束的函數(shù)形式可以定義為

()=()-≥0=1,2,…,

(16)

(4)避碰

在加工過程中，必須避免機(jī)器人與周圍環(huán)境之間的碰撞。為簡化避碰模型，本文作者采用工件和機(jī)器人的簡化模型，如圖3所示，工件與機(jī)器人之間的碰撞檢測將變得更加簡單。如果工件簡化模型中的所有點(diǎn)都不在機(jī)器人簡化模型的任何規(guī)則幾何內(nèi)，則認(rèn)為機(jī)器人與工件之間不存在碰撞，否則，就會發(fā)生碰撞。假設(shè)工件簡化模型中有個(gè)點(diǎn)，為其中之一。同時(shí)，在機(jī)器人的簡化模型中有個(gè)規(guī)則幾何對象，是其中之一，的質(zhì)心為?？紤]到的位置坐標(biāo)是機(jī)器人關(guān)節(jié)角的函數(shù)，則碰撞檢測約束的函數(shù)形式可以定義為

()=(,)≥0=1,2,…,；=1,2,…,

(17)

式中:(·)為點(diǎn)到正則幾何曲面的最小距離。

圖3 工件和機(jī)器人的簡化模型

如圖4所示，當(dāng)規(guī)則幾何為球面、圓柱體和長方體時(shí)，(·)可分別定義為公式(18)—(20)，結(jié)果如下：

(,)=dist(,)-·

(18)

(19)

(20)

式中:、、、為正則幾何的尺寸參數(shù)；為大于1的安全系數(shù)，推薦值為1～1.5;距離dist(·)是兩點(diǎn)之間距離的函數(shù)。此外，如果點(diǎn)到規(guī)則幾何曲面的最小距離(記為)為正，則點(diǎn)不在幾何曲面內(nèi)部，否則點(diǎn)在幾何內(nèi)部。

圖4 碰撞檢測原理

此外，為了保證優(yōu)化方法的效率，基座BP的搜索范圍將受到限制。設(shè)BP上下限為=[,,],=[,,],優(yōu)化模型可定義為

max(,)

(21)

在式(21)所示的優(yōu)化模型中，涉及到變量和，并且存在多個(gè)非線性約束，為了使優(yōu)化模型更容易求解，有必要對其進(jìn)行合理簡化。

由式(21)可知，機(jī)器人關(guān)節(jié)角度實(shí)際上是的函數(shù)。與此同時(shí)，約束條件(·)到(·)也是關(guān)節(jié)角的函數(shù)。因此，可以通過設(shè)計(jì)集成的IK算法來實(shí)現(xiàn)優(yōu)化模型的簡化。集成的IK算法如算法1所示，其中IKflag為BP是否有效的標(biāo)志，ikopt(·)為多個(gè)逆解的首選函數(shù)，且有效的BP值必須滿足(·)到(·)的約束條件。

算法1：

01:θ=zeros(n,6),IKflag=1

02:for i=1∶n

05:if g(θ)>0

06:IKflag=0,break

07:end

09:IKflag=0,break

10: end

11: if g(θ)<0

12:IKflag=0,break

13: end

14:if g(θ)<0

15:IKflag=0,break

16: end

17:end

18:return θ and IK

所有有效的BP集合稱為BP的可行域(簡稱RBP)，根據(jù)算法1，目標(biāo)函數(shù)可以重新定義為

max=IKflag·(,)

(22)

最終優(yōu)化模型為

max()

s.t.≤≤

(23)

3.2 優(yōu)化方法

方程(23)是標(biāo)準(zhǔn)的有界非線性優(yōu)化模型，可以采用內(nèi)點(diǎn)法、序列二次規(guī)劃(SQP)法等多種方法求解，這些優(yōu)化算法通常需要一個(gè)合適的初始值。在求解過程中，首先通過稀疏均勻網(wǎng)格分解法確定合適的初值，然后選擇SQP法計(jì)算最優(yōu)值。具體的求解方法如下：

步驟1，確定初始基座BP的

由于約束條件(·)到(·)的存在，在笛卡爾子空間中，RBP的分布具有不規(guī)則和不連續(xù)的特征，因此有效的初始值應(yīng)該滿足的條件是：(1)在RBP內(nèi)部；(2)在最優(yōu)BP所在的連通域；(3)靠近最優(yōu)BP?？紤]到這些要求，采用稀疏網(wǎng)格均勻分解方法將是一種較好的方法，不僅可以確定合適的初值，而且可以縮小最優(yōu)BP的搜索范圍。該方法的原理圖如圖5所示。

圖5 稀疏均勻網(wǎng)格分解

算法2：

01:b=fix(b/a)·a

03:β=0

04:for i=1∶m

05: for j=1∶n

06: for p=1∶k

07:b=b+a·[i-1,j-1,p-1]

08:β(i,j,k)=F(b)

09: if β(i,j,k)>β

10: β=β(i,j,k)

11: maxind=[i,j,k]

12: end

13: end

14: end

15:end

16:b=b+a·(maxind-[1,1,1])

17:return band β

進(jìn)一步，由圖5可知，最優(yōu)BP搜索范圍()可以確定為：=[,]，其最小值和最大值表示式分別為=-[;;0],=+[;;0],其中是網(wǎng)格的邊長或分辨率。同時(shí)，為了保證的有效性和算法2的計(jì)算效率，在實(shí)際應(yīng)用中將設(shè)為0.1 m或0.2 m。

步驟2,確定最優(yōu)BP的

SQP是非常適合求解非線性約束優(yōu)化模型的經(jīng)典優(yōu)化方法，已集成到各種通用優(yōu)化算法工具箱或軟件包中，如MATLAB優(yōu)化工具箱、IPOPT等。因此，在確定之后，使用SQP方法來求解是一個(gè)很好的選擇。在這里，利用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon(·)函數(shù)求解最優(yōu)BP，其調(diào)用格式為

=fmincon(-(),,,,,,,,option)

option=optimoptions(@fmincon,′Algorithm′,′sqp′)

根據(jù)MATLAB的SQP方法，可以精確求解。

4 模擬和實(shí)驗(yàn)

為了說明基座BP優(yōu)化方法的有效性，將分別通過仿真和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。仿真結(jié)果主要說明了基座BP優(yōu)化方法的有效性，即該優(yōu)化方法能夠找到滿足～約束且MSPI最大的基座位置，實(shí)驗(yàn)主要用于驗(yàn)證性能指標(biāo)MSPI與加工質(zhì)量之間的對應(yīng)關(guān)系。

4.1 模擬環(huán)境

以風(fēng)機(jī)葉片表面拋光仿真為應(yīng)用背景，如圖6所示，風(fēng)機(jī)葉片的整體尺寸可以達(dá)到59.5 m×2.5 m×4.0 m，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了機(jī)械手的操作范圍。因此，通常將風(fēng)機(jī)葉片表面預(yù)先劃分為幾個(gè)待加工的子區(qū)域。綠色區(qū)域是其中的一個(gè)子區(qū)域，其大小為1.6 m×0.3 m×1.2 m，及其邊界尺寸參數(shù)=[-0.80,0.80,-0.34,0.07,1.44,2.66] m。機(jī)器人最大距離可達(dá)=1.90 m，底架高度為=0.75 m，則的搜索范圍可為=[-1,1.10;-2.20,-0.30;0.75,0.75] m。此外，機(jī)器人確定的約束條件如表2所示。

圖6 風(fēng)機(jī)葉片表面磨削仿真環(huán)境

表2 g1(·)到g4(·)的約束

4.2 仿真結(jié)果

如圖7所示，給出了算法2得到的MSPI等高線圖，同時(shí)圖中也標(biāo)出了準(zhǔn)RBP的邊緣和最優(yōu)BP精確搜索范圍的邊緣。另外，圖中白色部分表示該區(qū)域沒有有效的BP，但準(zhǔn)RBP中的白色部分可能仍有有效的BP，這主要是由于網(wǎng)格分辨率較低所致。

圖7 平均剛度性能指標(biāo)(MSPI)等值線圖

根據(jù)等高線地圖，可以確定初始BP為=[-0.10;-1.80;0.75] m,精確搜索范圍=[-0.2,0.00;-1.90,-1.70;0.75,0.75] m。然后最優(yōu)的BP可以通過SQP方法得到，其值為=[-0.099 4;-1.728 8;0.750 0] m。

為了進(jìn)一步證明優(yōu)化方法的有效性，分別給出了最優(yōu)BP處各關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度、關(guān)節(jié)速度、和的分布圖，如圖8—圖11所示。

圖8 加工路徑上各關(guān)鍵點(diǎn)Pi的關(guān)節(jié)角度

圖8中，藍(lán)線表示加工路徑上各關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度，紅線表示關(guān)節(jié)角度的上下限。圖9中，藍(lán)線表示加工路徑上各關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)節(jié)角速度，紅線表示關(guān)節(jié)角速度的正負(fù)最大值。在圖10中，藍(lán)線表示機(jī)器人在加工路徑上各關(guān)鍵點(diǎn)處的KCI值，紅線表示KCI的最小值。在圖11中，曲線分別表示了機(jī)器人簡化模型中加工對象的簡化模型與規(guī)則幾何(=1，2，…，15)之間的最小距離，的分布如圖3所示。從這些圖形中可以看出:機(jī)器人的關(guān)節(jié)角度和關(guān)節(jié)角速度均在限定范圍內(nèi)，機(jī)器人的KCI值均大于最小值，所有關(guān)鍵點(diǎn)上(=1，2…，15)的值均大于0。

圖9 加工路徑上各關(guān)鍵點(diǎn)Pi的關(guān)節(jié)角速度

因此，在最優(yōu)BP算法中，結(jié)果滿足(·)～(·)約束條件，保證了機(jī)器人的運(yùn)動性能。上述分析表明了所提出的基座BP優(yōu)化方法的正確性，該方法能有效地找到全局剛度性能最大的基座位置，滿足實(shí)際應(yīng)用中需要考慮的所有運(yùn)動約束條件，這對于提高移動機(jī)械手的操作性能具有重要意義。

圖10 每個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)Pi的KCI

圖11 Gj所有關(guān)鍵點(diǎn)的dmin

5 結(jié)論

針對六自由度機(jī)械手在大型復(fù)雜零件的加工能力，提出一種面向移動機(jī)械手加工基座位置優(yōu)化方法，其目標(biāo)是在保證機(jī)器人運(yùn)動性能的同時(shí)，優(yōu)化機(jī)器人的剛度性能。建立了機(jī)械手運(yùn)動性能指標(biāo)和全局剛度指標(biāo)，在此基礎(chǔ)上綜合考慮了機(jī)械手關(guān)節(jié)距離、關(guān)節(jié)速度、奇異回避和避碰等多約束條件，通過采用稀疏均勻網(wǎng)格分解和序列二次規(guī)劃(SQP)方法對機(jī)械手最優(yōu)基座位置進(jìn)行求解。最后通過仿真分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該優(yōu)化方法的有效性。