韓世澤，楊棟，胡曉寧，楊忠明*，莊新港，劉兆軍

（1.山東大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266237；2.山東大學(xué) 激光與紅外系統(tǒng)集成技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266237；3.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第四十一研究所，山東 青島 266555）

1 引言

渦旋光束是一種波前結(jié)構(gòu)呈螺旋狀、中心處光場(chǎng)復(fù)振幅為零且光強(qiáng)呈環(huán)形分布的新型光束。19世紀(jì)人們觀測(cè)到光渦旋現(xiàn)象后，隨激光技術(shù)及渦旋光理論的發(fā)展，人們不斷對(duì)這種新型光束進(jìn)行探 索。1994年，Allen等 基 于Hermite-Gauss光束制成Laguerre-Gaussian光束［1］。1995年，He等直接觀察了角動(dòng)量向吸收粒子的轉(zhuǎn)移并形成具有相 位 奇 點(diǎn) 的激 光 束 的過(guò) 程［2］。2002年，Mac-Donald等研究了三維光阱結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生和操縱方法［3］。2005年，Shvedov等人利用介質(zhì)楔產(chǎn)生了高階光學(xué)渦旋［4］。2008年，Milne等利用一種可調(diào)諧流體錐形透鏡，產(chǎn)生了渦旋光束［5］。2015年，Vaity等利用貝塞爾光束的傅里葉變換制備了完美的渦旋光［6］。2020年，Ding等基于低頻外差干涉測(cè)量方法，利用CCD相機(jī)觀測(cè)到渦旋光的相位分布［7］。2022年，本課題組提出了一種共形映射-空間相移干涉測(cè)量方法，測(cè)量和解調(diào)了拓?fù)浜蔀?，2，4和6的OAM模式螺旋波前，進(jìn)一步推動(dòng)了渦旋光的波前解調(diào)與應(yīng)用［8］。

隨著現(xiàn)代精密加工及檢測(cè)精度要求的不斷提高，精度已進(jìn)入納米量級(jí)，為滿足現(xiàn)代測(cè)量需求，人們通過(guò)改良測(cè)量原理、光路設(shè)計(jì)和編碼算法等不斷提高測(cè)量系統(tǒng)的精度與分辨力［9］。渦旋光因具有角動(dòng)量自由度，干涉圖信息量較多，在干涉測(cè)量技術(shù)中的應(yīng)用受到了越來(lái)越多的關(guān)注。2011年，F(xiàn)ujimoto等討論了渦旋光束與多種光束在旋轉(zhuǎn)及位移測(cè)量中的應(yīng)用［10］。2017年，Olivier等基于共軛渦旋光干涉在理論上將高精度微位移測(cè)量推進(jìn)到皮米級(jí)［11］。2019年，Yadav等利用共軛渦旋光設(shè)計(jì)了一種高精度干涉裝置，測(cè)量精度達(dá)到皮米級(jí)［12］。同年，Sirenko等將太赫茲渦旋光束用做磁激勵(lì)光譜探針，展示了渦旋光束在磁學(xué)探測(cè)中的優(yōu)異表現(xiàn)［13］。2020年，Emile等研究了共軛渦旋光的旋轉(zhuǎn)多普勒頻移，討論了共軛渦旋光干涉在物體旋轉(zhuǎn)定位和檢測(cè)的前景應(yīng)用［14］。2014年，孫平等對(duì)渦旋光的干涉特性及它在測(cè)量變形物體離面位移的應(yīng)用進(jìn)行了系統(tǒng)研究［15］。2020年，趙冬娥等基于渦旋光與球面波干涉，采用計(jì)算切線角度的方法得到中心螺旋條紋旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算位移［16］。同年，夏豪杰等基于正負(fù)共軛渦旋光干涉，以質(zhì)心定位判斷干涉圖的旋轉(zhuǎn)角度并計(jì)算了位移［17］。2022年，Lu等基于共軛渦旋光干涉，通過(guò)擬合相位變化曲線得到圖像旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算位移［18］。同年，本課題組提出了基于雙波長(zhǎng)光學(xué)渦旋的共相誤差相移干涉測(cè)量方法，對(duì)共相誤差中位移誤差的測(cè)量精度達(dá)到約4.04 nm［19］。

為了進(jìn)一步提高微位移測(cè)量精度，本文設(shè)計(jì)了一種基于渦旋光與平面波干涉的位移測(cè)量系統(tǒng)，建立并驗(yàn)證了花瓣?duì)罡缮鎴D旋轉(zhuǎn)角度與位移的線性關(guān)系。以改進(jìn)的馬赫-曾德干涉儀結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，結(jié)合渦旋光束干涉光路，搭建了高分辨率精密位移測(cè)量系統(tǒng)。基于模型干涉圖的特殊性質(zhì)提出一種高精度數(shù)據(jù)處理方法，顯著降低了測(cè)量誤差與偶然性。對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于渦旋光與平面波干涉的微位移測(cè)量技術(shù)具有原理新穎、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和測(cè)量準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)。

2 系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真分析

2.1 系統(tǒng)設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的測(cè)量方案是以渦旋光與平面波干涉模型為基礎(chǔ)，平面波為測(cè)試光，渦旋光為參考光，將待測(cè)物體的位移變化轉(zhuǎn)化為測(cè)試光的光程變化。由于兩光束干涉產(chǎn)生的花瓣?duì)罡缮鎴D在待測(cè)物體位移過(guò)程中產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，根據(jù)建立的干涉圖旋轉(zhuǎn)角度與位移的線性關(guān)系，通過(guò)檢測(cè)干涉圖的旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算被測(cè)位移。光路設(shè)計(jì)如圖1所示，器件參數(shù)見(jiàn)表1。He-Ne激光器出射光經(jīng)BS1分束，平面參考光經(jīng)SPP變?yōu)闇u旋參考光射入BS2。平面測(cè)試光經(jīng)BS3打在平面反射鏡M后回射依次進(jìn)入BS3，BS4，最終與參考光經(jīng)BS2合束后干涉，成像在CMOS的光敏面上。位移臺(tái)PECP承載平面反射鏡M以作階梯位移，由CMOS采集得到位移前后花瓣?duì)罡缮鎴D。

圖1 基于渦旋光與平面波干涉的微位移測(cè)量光學(xué)系統(tǒng)Fig.1 Optical system of micro-displacement measurement based on interference of vortex beams and plane wave

由于兩光束的初始光強(qiáng)僅影響干涉圖的對(duì)比度，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，令兩光束的初始光強(qiáng)均為1。

平面測(cè)試光的電場(chǎng)強(qiáng)度EP為：

拓?fù)浜蒻=4的渦旋光作為參考光，可簡(jiǎn)寫為：

其中：xv為光程，φv為渦旋光初相位。

兩束光在BS2處干涉，此時(shí)CMOS相機(jī)上的干涉光強(qiáng)為：

當(dāng)待測(cè)物體產(chǎn)生位移S=vt，其中v為平面反射鏡的運(yùn)動(dòng)速度，t為平面反射鏡的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。由于光路往返，測(cè)試光的光程變化為二倍的平面反射鏡位移，測(cè)試光光程變化為：ΔxP=2S，相位變化為Δφ，故CMOS相機(jī)上的干涉光強(qiáng)為：

取光強(qiáng)I最大時(shí)：

移項(xiàng)將位移量與旋轉(zhuǎn)量分離，整理得到：2kS+kxP-kxv+(φP-φv)+Δφ=mθ。求 導(dǎo)得：

式（6）表明，干涉圖旋轉(zhuǎn)角度與微位移的變化量呈簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，通過(guò)測(cè)量花瓣?duì)罡缮鎴D的旋轉(zhuǎn)角度可以計(jì)算出微位移量。激光波長(zhǎng)為632.8 nm時(shí)，干涉圖旋轉(zhuǎn)1°對(duì)應(yīng)的位移為3.52nm。

2.2 系統(tǒng)仿真與驗(yàn)證

為了驗(yàn)證2.1節(jié)提出的微位移測(cè)量系統(tǒng)模型，如圖2所示，在Zemax光學(xué)設(shè)計(jì)與仿真軟件中仿真了渦旋光與平面波干涉微位移測(cè)量系統(tǒng)。點(diǎn)光源出射的波長(zhǎng)為633 nm的激光束經(jīng)透鏡準(zhǔn)直為一束平面波，經(jīng)BS1后分為兩束。參考光通過(guò)SPP變?yōu)橥負(fù)浜蔀?的渦旋光束進(jìn)入BS2。測(cè)試光經(jīng)BS3后，經(jīng)反射鏡M反射依次進(jìn)入BS3，BS4，與參考光于BS2合束。

圖2 微位移測(cè)量仿真光路Fig.2 Optical path simulation of micro-displacement measurement

圖3 位移前后干涉圖仿真結(jié)果Fig.3 Interference intensity before and after micro-displacement in simulation

最終探測(cè)器D采集到的花瓣?duì)罡缮鎴D如圖3所示。當(dāng)平面反射鏡M在x軸方向產(chǎn)生微小位移時(shí)，花瓣?duì)罡缮鎴D發(fā)生旋轉(zhuǎn)。

如圖4（a）所示，干涉圖的中心坐標(biāo)為原點(diǎn)(0，0)，另 取 任 意 一 點(diǎn) 坐 標(biāo)P(x1，y1)，由θ=計(jì)算該點(diǎn)與中心坐標(biāo)連線與橫軸的夾角，由計(jì)算采樣點(diǎn)到中心坐標(biāo)的距離。繼續(xù)提取距離圓心距離為r的圓周區(qū)域，以rsinθ=acos(brcosθ+c)+d的 基 本 公 式 進(jìn) 行余弦擬合，r為采樣點(diǎn)到圓心的距離，θ為采樣點(diǎn)到圓心連線與橫軸的夾角。

圖4 數(shù)據(jù)采集示意圖Fig.4 Schematic diagram of data acquisition

如圖4（b）所示，逐步改變提取區(qū)域到中心坐標(biāo)的距離r，多次采樣計(jì)算相位變化取均值計(jì)算位移量。

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)與算法分析

為了驗(yàn)證本文提出的微位移測(cè)量模型及數(shù)據(jù)處理算法，搭建的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證系統(tǒng)如圖6所示。該系統(tǒng)由光源及光源擴(kuò)束系統(tǒng)、干涉測(cè)量系統(tǒng)和位移反饋反射鏡構(gòu)成。其中，干涉測(cè)量系統(tǒng)采用改進(jìn)馬赫-曾德干涉儀光路結(jié)構(gòu)，包括分光鏡、螺旋相位板以及CMOS相機(jī)等。以高精密壓電納米位移臺(tái)承載平面反射鏡作為位移發(fā)生裝置，測(cè)量系統(tǒng)器件參數(shù)見(jiàn)表1。在測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，波長(zhǎng)為632.8 nm的激光光束經(jīng)擴(kuò)束后進(jìn)入分光鏡BS1，參考光依次經(jīng)SPP，BS2。測(cè)試光經(jīng)過(guò)BS3入射到位移系統(tǒng)中待測(cè)平面鏡M上并反射，依次經(jīng)BS3，BS4后進(jìn)入BS2與參考光干涉。平面反射鏡M位移為100.0 nm，步長(zhǎng)為10.0 nm，由CMOS采集位移過(guò)程中的干涉圖。

圖5 數(shù)據(jù)處理流程Fig.5 Flow chart of data processing

表1 微位移測(cè)量系統(tǒng)的器件參數(shù)Tab.1 Components parameters of micro-displacement measurement system

數(shù)據(jù)處理流程如圖5所示，首先根據(jù)參考光背景確定光束中心。如圖7所示，通過(guò)對(duì)比度調(diào)節(jié)，邊緣檢測(cè)，聯(lián)通區(qū)篩選等步驟以及圖形中心計(jì)算得到渦旋光背景的中心坐標(biāo)。

確定中心坐標(biāo)后，在花瓣?duì)罡缮鎴D中以中心坐標(biāo)為圓心，提取距離圓心為r的圓周區(qū)域。改變r(jià)的大小多次提取圖像信息，采用rsinθ=acos(brcosθ+c)+d進(jìn)行余弦擬合。如圖8所示，r為采樣點(diǎn)到圓心的距離，θ為采樣點(diǎn)與圓心連線與橫軸夾角。

從擬合曲線中提取各自的相位數(shù)據(jù)，即可得到每一幅位移圖像的像素曲線。通過(guò)采集位移前后圖像的像素曲線，計(jì)算出相位變化的均值，即可得出旋轉(zhuǎn)角度。根據(jù)已建立的旋轉(zhuǎn)角度與位移變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可計(jì)算出實(shí)際位移。

圖6 微位移測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置Fig.6 Experimental devices for micro-displacement measurement

圖7 光束中心坐標(biāo)提取Fig.7 Extraction of beam center coordinate

圖8 干涉圖數(shù)據(jù)處理坐標(biāo)示意圖Fig.8 Schematic diagram of interferogram coordinate data processing

圖9 實(shí)驗(yàn)采集的干涉圖Fig.9 Interferogram collected in experiment

圖10 位移數(shù)據(jù)曲線Fig.10 Curves of displacement data

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示，平面反射鏡位移后，花瓣?duì)罡缮鎴D產(chǎn)生明顯的旋轉(zhuǎn)。實(shí)驗(yàn)采集到的花瓣?duì)罡缮鎴D與仿真結(jié)果一致。數(shù)據(jù)處理結(jié)果如圖10所示，擬合結(jié)果RMSE=0.150 2，擬合效果較好。由于光路往返，系統(tǒng)的實(shí)際位移應(yīng)為200.0 nm。由圖10（b）可知，平面反射鏡以20.0nm步長(zhǎng)進(jìn)行位移，經(jīng)計(jì)算位移量為196.3 nm，與實(shí)際位移相比誤差為3.7 nm，誤差百分比為1.9%。

設(shè)置位移為200.0 nm，每10次實(shí)驗(yàn)為一組，共計(jì)10組重復(fù)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖11和表2所示。平均測(cè)量誤差約為±2.9 nm，平均誤差百分比為1.5%。實(shí)驗(yàn)誤差主要受三個(gè)方面因素的影響：首先是環(huán)境因素，包括實(shí)驗(yàn)環(huán)境的溫度、濕度、氣壓等參數(shù)變化引起的折射率與波長(zhǎng)變化；其次是實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)硬件，包括激光器頻率漂移，輸出光束的穩(wěn)定性，壓電位移臺(tái)在啟動(dòng)、停止過(guò)程中的微振動(dòng)，CMOS相機(jī)采樣速率與分辨率，電子噪聲以及系統(tǒng)光學(xué)元件的質(zhì)量，如螺旋相位板的均勻性、分光鏡的加工質(zhì)量等；最后是系統(tǒng)優(yōu)化及算法的有效實(shí)現(xiàn)程度，包括測(cè)量過(guò)程中干涉圖中心定位的準(zhǔn)確程度，數(shù)據(jù)采集結(jié)果的有效性，相位曲線擬合結(jié)果與實(shí)際采集數(shù)據(jù)的一致性等。

圖11 重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.11 Experimental results of repeated experiments

表2 重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Experimental results of repeated experiments（nm）

如圖12（a）所示，在測(cè)量連續(xù)微位移時(shí)，采集到的相位數(shù)據(jù)出現(xiàn)包裹相位，位移曲線出現(xiàn)相位包裹現(xiàn)象。若在一個(gè)連續(xù)的相位區(qū)間末端檢測(cè)到相位大幅度變化（與相位包裹區(qū)間相當(dāng)），將處于新相位區(qū)間的部分整體提高一個(gè)包裹區(qū)間，得到連續(xù)無(wú)包裹相位的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線。解包裹后的相位變化曲線如圖12（b）所示。

圖12 相位變化曲線Fig.12 Curves of phase changing

控制位移臺(tái)進(jìn)行不同行程的位移測(cè)量，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖13和表3所示。

圖13 不同位移的測(cè)量結(jié)果Fig.13 Measurement results of different displacements

表3 不同位移的測(cè)量結(jié)果Tab.3 Measurement results of different displacements（nm）

改變渦旋光拓?fù)浜蛇M(jìn)行位移測(cè)量（100.0，200.0，300.0，400.0，500.0 nm），實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖14所示。選用拓?fù)浜蛇^(guò)大的渦旋光，其干涉圖中花瓣?duì)盍涟邤?shù)量多、體積小，延伸的葉狀干涉圖排布過(guò)于密集。雖然相位擬合過(guò)程中可提取的波峰組數(shù)多，但每組波峰可供提取的像素點(diǎn)較少，擬合較為困難，測(cè)量精度較低。選用拓?fù)浜蛇^(guò)小的渦旋光，花瓣?duì)盍涟邤?shù)量過(guò)少，雖然每組波峰可供提取的像素點(diǎn)較多，但可提取的波峰組數(shù)較少，擬合結(jié)果偶然性大。選用拓?fù)浜蔀?的渦旋光，測(cè)量精度最高。

圖14 不同拓?fù)浜傻臏u旋光實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果Fig.14 Measurement results of vortex beams with different topological charges

3.2 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文提出的渦旋光與平面波干涉微位移測(cè)量方法的優(yōu)越性，將本測(cè)量系統(tǒng)與共軛渦旋光干涉［18］、基于渦旋光與球面波干涉［16］等方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。搭建了渦旋光與平面波干涉、渦旋光與球面波干涉、渦旋光與共軛渦旋光干涉3組實(shí)驗(yàn)。如圖15（a）所示，在渦旋光與平面波干涉實(shí)驗(yàn)中，采集方法為對(duì)花瓣?duì)罡缮鎴D進(jìn)行多次圓周采樣并擬合得出相位變化均值、旋轉(zhuǎn)角度。如圖15（b）所示，在渦旋光與共軛渦旋光干涉實(shí)驗(yàn)中，采集方法為對(duì)小花瓣?duì)罡缮鎴D進(jìn)行一次圓周采樣擬合相位。如圖15（c）所示，在渦旋光與球面波干涉實(shí)驗(yàn)中，采集方法為擬合位移螺旋條紋的中心切線計(jì)算角度變化。

渦旋光與平面波干涉方法的花瓣?duì)罡缮鎴D從暗核附近的4個(gè)花瓣?duì)盍涟唛_(kāi)始，呈葉狀向外延伸，特征點(diǎn)更多；一次采樣即可提取4組波峰進(jìn)行計(jì)算，對(duì)圖片的邊緣質(zhì)量要求不高，可供采樣區(qū)域多，便于實(shí)現(xiàn)多次采樣重復(fù)計(jì)算，計(jì)算結(jié)果更加精確。相比之下，共軛渦旋光干涉圖的主要特征區(qū)域集中在暗核結(jié)構(gòu)附近的花瓣?duì)盍涟?，位移增大，干涉圖中心暗核面積增大，花瓣?duì)盍涟吲挪歼^(guò)于密集，圓周采樣時(shí)明暗條紋較窄，可采集的數(shù)據(jù)量少，擬合較為困難，圖像分辨率要求較高。渦旋光與球面波干涉圖需要精確提取中心螺旋條紋的切線角度，對(duì)中心螺旋條紋邊緣的圖像質(zhì)量要求高，當(dāng)干涉圖分辨率較低時(shí)，測(cè)量誤差較大，且在連續(xù)實(shí)時(shí)測(cè)量中難以精確提取，可供采樣的條紋區(qū)域較模糊，多次采樣的實(shí)現(xiàn)難度較大。共進(jìn)行5組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表4。

圖15 三種干涉圖及數(shù)據(jù)處理方法對(duì)比Fig.15 Comparison of three interferograms and calculation methods

表4 三種測(cè)量方式結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of results of three measurement methods

4 結(jié)論

本文基于渦旋光與平面波的干涉模型，研究了干涉圖變化與位移變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立并驗(yàn)證了花瓣?duì)罡缮鎴D旋轉(zhuǎn)角度與位移的線性關(guān)系，提出了一種微位移測(cè)量方法。搭建了位移實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，測(cè)量實(shí)驗(yàn)得到的計(jì)算位移量為196.3 nm，與系統(tǒng)實(shí)際位移200.0 nm相比，誤差為3.7 nm。與球面波干涉和共軛渦旋光干涉的對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明，基于渦旋光與平面波的干涉測(cè)量方法在測(cè)量精度及可靠性方面具有顯著的優(yōu)勢(shì)?；跍u旋光與平面波干涉的微位移測(cè)量方法是一種高精度、高靈敏度、更為簡(jiǎn)單實(shí)用的測(cè)量方法。