文／陳雅蓉

引 言

數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了一個漫長的過程?？v觀數(shù)的發(fā)展歷史，我們會發(fā)現(xiàn)數(shù)的發(fā)展過程竟與學(xué)生的認知過程如此相似。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系是密不可分的。從歷史中教師可以甄別學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙，捕捉知識的核心價值，明確教學(xué)方向，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更“深”、更“透”。下面，本文以“數(shù)的認識”拓展課為例，談?wù)勅绾握驹贖PM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系）的視角下開展小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、尋跡

（一）認知起點與計數(shù)發(fā)展

孩子從一出生就不斷接觸到數(shù)，進入小學(xué)校園，豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動幫助學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗。到了四年級，為了了解學(xué)生對數(shù)的認識掌握情況，課前，筆者先讓學(xué)生根據(jù)已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗用不同的方式表示出26。新課伊始，學(xué)生展示匯報，其作品見表1。

表1

表1作品其實很好地說明了學(xué)生對“數(shù)的概念”的建立過程：“數(shù)的概念”建立初期，主要是用一一對應(yīng)的方式，一個圈對應(yīng)一個數(shù)量；隨著認知水平的不斷發(fā)展，這時學(xué)生懂得將“10 根小棒捆成一捆”表示10，出現(xiàn)了按群計數(shù)的方法，這是“十進制進位”的啟蒙；在計數(shù)器上表示“26”是一個巨大的飛躍，數(shù)字符號在不同的“位”表示基數(shù)不同的量。學(xué)生“數(shù)概念”的建立正是經(jīng)歷“實物對應(yīng)—符號累加—位值占位”的過程。

（二）認知邏輯與位值發(fā)展

為了讓學(xué)生更深入地了解數(shù)的發(fā)展過程，理解“數(shù)概念”的本質(zhì)，本節(jié)課筆者設(shè)計了三次用不同的方式表示26：課前讓學(xué)生用自己的方式表示26（見表1），旨在尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)起點；課上用古人看得懂的方式表示26（見表2），站在歷史的角度感受不同時代的人表示數(shù)的過程與方法；課尾用不同進制表示26（見表3），再次理解“進制”與“位值”的概念，凸顯“位值”的價值。學(xué)生在數(shù)學(xué)史料的引領(lǐng)下，用多元的方法表示出26，豐富了認知經(jīng)驗，把握了數(shù)的發(fā)展過程。

表2

表3

表2是課上學(xué)生用三種不同時代的方式表示26，從學(xué)生作品中我們看到了數(shù)的發(fā)展：有體現(xiàn)遠古時代的一一羅列；有體現(xiàn)古埃及時代的有位無值，但已經(jīng)有十進制的雛形；還有體現(xiàn)古代算籌的有位有值。原來數(shù)是按照“實物對應(yīng)—符號累加—位值占位”這樣的順序發(fā)展的。

續(xù)表

表3是課尾借助微視頻介紹，學(xué)生用不同進制表示26。通過與“十進制”對比，學(xué)生紛紛表示：“十二進制”至少要11 個數(shù)字，計數(shù)和運算會比“十進制”復(fù)雜；“五進制”和“二進制”雖然數(shù)字比較少，但是沒有“數(shù)位”的要求，在讀數(shù)和寫數(shù)上會比較麻煩。學(xué)生通過對不同進制表示方法再次進行對比，感受到了現(xiàn)代十進制計數(shù)法中“位值”的優(yōu)越性。

二、探因

（一）兒童認知與數(shù)的發(fā)展歷史

回顧歷史，我們知道數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了“實物計數(shù)—象形符號計數(shù)（不同進制）—位值制計數(shù)—阿拉伯?dāng)?shù)字計數(shù)”這樣的發(fā)展過程。由于人有10 根手指，所以產(chǎn)生十進制并不難，古埃及數(shù)字、中國甲骨文都是采用十進制，但十進制計數(shù)法最關(guān)鍵的一步是“位值制”。中國古代算籌的出現(xiàn)在計數(shù)史上創(chuàng)造了奇跡，它的優(yōu)越性是顯而易見的：古埃及、古羅馬數(shù)字沒有“位值制”，如果要表示大一點的數(shù)就相當(dāng)煩瑣；古巴比倫和瑪雅數(shù)字雖然有“位值制”，但用的不是十進制進位，需要19 或59 個數(shù)碼，這使計數(shù)變得十分復(fù)雜，不如9個數(shù)碼就可以表示任意自然數(shù)的十進位制來得簡捷[1]。但中國算籌的缺點就是沒有表示“0”的符號，只能用“空格”來表示沒有，這樣容易產(chǎn)生混淆?！?”和十進位值制的產(chǎn)生使阿拉伯?dāng)?shù)系成為當(dāng)前最簡潔的計數(shù)系統(tǒng)，被后人認同并沿用至今。觀察歷史，我們知道“位值制”的發(fā)明要比“十進制”晚得多，而“位值”正是小學(xué)生在“數(shù)的概念”形成過程中難以理解的。

（二）兒童認知與教材體系的安排

教材中“數(shù)的概念”教學(xué)主要分布在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第一冊、第二冊、第四冊、第七冊，四個階段螺旋上升，經(jīng)歷了“實物對應(yīng)—符號累加—位值計數(shù)”的過程?？梢?，“數(shù)的概念”形成過程與數(shù)的發(fā)展史是一致的，尤其“十進制計數(shù)法”更是貫穿整個認數(shù)過程。

教材中“數(shù)的概念”數(shù)學(xué)史的分布主要在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第一冊介紹古代算籌和古埃及數(shù)字，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第四冊從石子計數(shù)到算盤記數(shù)，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊數(shù)的產(chǎn)生及阿拉伯?dāng)?shù)字的來歷，從“你知道嗎？”板塊來呈現(xiàn)，比較零散，缺乏整體性與連貫性。從學(xué)生的心理年齡和思維水平來看，一年級數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)比較抽象，學(xué)生不能理解古代計數(shù)方法與現(xiàn)代所用的計數(shù)方法有何關(guān)聯(lián)，也與數(shù)的發(fā)展過程脫節(jié)，學(xué)生無法系統(tǒng)了解數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展源于人類生活的需要。對此，教師需要將人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一至三年級數(shù)學(xué)史的內(nèi)容與教材中“數(shù)的認識”相關(guān)內(nèi)容進行整合，融文化與知識于一體，引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)展的角度，真正理解數(shù)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升文化素養(yǎng)。

三、索果

蔡宏圣教授指出：“歷史呈現(xiàn)了知識的來龍去脈，敘說了人類認識如何步步深入，在抽象的過程中我們就能體會和把握認識提升的關(guān)鍵?！盵2]了解自然數(shù)的起源史，學(xué)生可以知道數(shù)的發(fā)展過程，領(lǐng)悟“十進制計數(shù)法”與人有十根手指有密切聯(lián)系，感受“位值制”的優(yōu)勢，真正理解計數(shù)系統(tǒng)，站在文化的橋梁上重新思考，進而形成概念脈絡(luò)。下面，筆者從以下片段來感受HPM 理念下“數(shù)的認識”拓展課上所展現(xiàn)的文化魅力及HPM 視野下的思辯課堂。

（一）在還原歷史的過程中深化理解

走進歷史將使學(xué)生從歷史的角度理解數(shù)，理解數(shù)的產(chǎn)生，認識到古人的智慧。在教學(xué)中，筆者用微視頻的形式向?qū)W生展示了數(shù)的發(fā)展過程（如圖1）。

圖1

師：看完視頻，請同學(xué)們來分享你看懂了什么。古人是怎樣表示數(shù)的？你有什么感受？

生1：原始時代的人捕獲一只羊就擺一個石子，撈到一條魚就在木頭上刻一道刻痕，是用實物來表示數(shù)字的。

師：是的，一只羊?qū)σ粋€石頭，一條魚對一道刻痕，數(shù)學(xué)上我們把這種方法叫作——

生2：一一對應(yīng)。我知道了，原始時代的人是用一一對應(yīng)的方法數(shù)數(shù)的。

生3：我來說說古埃及時代。古埃及時代是用9根小棒表示1～9 的，用一條彎曲的繩子代表10，一條長繩代表100，一朵花代表1000，一根手指代表10000……

生4：我發(fā)現(xiàn)古埃及時代懂得了用不同的圖形（符號）來表示更大的數(shù)，如整百、整千……

生5：我來說中國古代算籌吧。中國古代算籌有縱式和橫式的區(qū)分，縱式、橫式交替使用。

生6：我補充，算籌前面的1 到5，都是一根小棍對應(yīng)1；6 到9 的擺法就不同，如縱式的7 上面橫的一根代表5，下面2 根代表2，合起來是7。

生7：我知道了數(shù)是不斷發(fā)展的，古人非常了不起。

……

在以上片段，筆者引導(dǎo)學(xué)生走入遠古時代、古埃及時代、中國古代算籌三個時代，讓學(xué)生感受數(shù)的表示方法，感受數(shù)的發(fā)展過程中三個重要歷程，讓學(xué)生在腦海中形成一條“數(shù)的發(fā)展”時間軸，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的歷史性、多元性、人文性。通過對史料信息的閱讀，我們可以看到，學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光來觀察信息，用不同的時代語言來表達，用數(shù)學(xué)的思維來思考，其數(shù)學(xué)素養(yǎng)顯著提升。

（二）在“思辨”對話中深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。數(shù)學(xué)課上要有學(xué)生的聲音，要有學(xué)生不同的聲音，要“百家爭鳴”。本節(jié)課筆者抓住歷史發(fā)展的關(guān)鍵點，創(chuàng)設(shè)思辯性的問題，讓學(xué)生站在歷史的角度思考，推進學(xué)生思維走向深層。

如在筆者提問“對比古代三種數(shù)的表示方法，哪種方法更簡潔？”時，學(xué)生會出現(xiàn)兩種聲音。

生1：我認為古埃及數(shù)字更簡潔，幾個10 就用幾個“∩”表示，幾個1 就用幾個“│”表示，直接累加起來算。

生2：我認為中國算籌更簡潔，只有9 個符號，表達方式是唯一的。

師：兩位同學(xué)說得都有道理，那不如我們來場辯論賽吧，認為古埃及數(shù)字簡潔的請舉手，認為中國算籌簡潔的請舉手，請用你們的方式來說服對方。

生3：古埃及數(shù)字比較麻煩，還要記符號，而且數(shù)越大用的符號就越多。

生4：中國古代算籌有縱式和橫式容易混亂。

生5：不如我們來一場比賽吧！用古埃及數(shù)字和中國古代算籌分別表示999，誰快就說明誰更簡潔。

全班學(xué)生都同意，于是立馬動筆比賽，結(jié)果顯示中國古代算籌更快。

師追問：為什么中國古代算籌會更快呢？

生6：因為中國古代算籌有數(shù)位的要求，右邊第一位表示幾個1，第二位表示幾個10，第三位表示幾個100，在不同位置上寫的數(shù)單位不同，不像古埃及數(shù)字每個單位符號不同，還要一個一個畫下來。

這時，又有一位學(xué)生質(zhì)疑：可是中國古代算籌沒有0，那0 怎么表示？遇到10、100、1000 這樣的數(shù)怎么辦？

這時全場一片寧靜，陷入沉思……

從以上片段我們可以看出，學(xué)生在文化浸潤下能將自己的思考與理解轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言表達，呈現(xiàn)“百家爭鳴”的學(xué)習(xí)場景。學(xué)生在意見產(chǎn)生分歧時展開辯論，甚至通過現(xiàn)場比賽來證明，再次感受到“位值”的優(yōu)越性，并在思維的碰撞中發(fā)現(xiàn)了中國古代算籌的缺陷……HPM 視野下的課堂既有思維的暗流涌動，又有語言的交鋒碰撞；既有思路的辨析，又有思路的拓展，由此，思辯對話將課堂學(xué)習(xí)推向深層。

結(jié) 語

數(shù)學(xué)史是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的一個新領(lǐng)域。學(xué)生讀數(shù)學(xué)史，不僅能厘清知識的來龍去脈，還能通過歷史尋找人類認識曾經(jīng)走過的彎路、遇到的挫折和困惑，提煉出人類發(fā)展中的障礙（這往往是學(xué)生的認知難點），感受歷史背后的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和精神，實現(xiàn)歷史與現(xiàn)實、數(shù)學(xué)與人文、思想與方法的溝通。相信HPM 理念下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)會更有深度，更有溫度，也更有思維的碰撞。