王勝曼，牛博英，孫曉燕

(保定理工學(xué)院,河北保定 071000)

0 前言

五軸數(shù)控機(jī)床的靈活度高，可加工較復(fù)雜的工件。隨著人們對工件加工要求越來越高，五軸數(shù)控機(jī)床已被廣泛應(yīng)用。在五軸數(shù)控機(jī)床加工工件的過程中，其切削力與工件加工質(zhì)量息息相關(guān)。

為獲取較理想的工件，人們對數(shù)控機(jī)床的銑削力進(jìn)行了預(yù)測。LUO等建立了一種新的曲面端銑切削力解析模型，考慮到刀具幾何參數(shù)的變化，采用法向摩擦角、法向剪切角、切屑流動(dòng)角和剪切應(yīng)力等物理參數(shù)表征切削力系數(shù)，以斜向切削模型為基礎(chǔ)，利用最小能量原理，建立了各物理參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系；采用牛頓迭代法求解所建立的非線性方程組，標(biāo)定切削力系數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對切削力的預(yù)測。文獻(xiàn)[5]通過對切削刃單元平移和旋轉(zhuǎn)的精確分析，推導(dǎo)出未變形切屑厚度，并采用基于切削刃單元分類的設(shè)計(jì)方法確定切屑厚度；然后，利用所提出的切削刃單元模型和刀具切削力的確定方法，建立了切削力模型。CAI等提出了一種基于非均勻有理基樣條和有限元法的切削力預(yù)測模型，對不同參數(shù)下的單刃切削力進(jìn)行了有限元模擬，并采用非均勻有理基樣條插值方法建立了單刃切削力模型；結(jié)合刀尖運(yùn)動(dòng)模型，對多刀面銑刀的切削力進(jìn)行預(yù)測。這些方法實(shí)現(xiàn)了對切削力的預(yù)測，但是預(yù)測精準(zhǔn)度不高。

對此，本文作者分析五軸數(shù)控銑削加工中心進(jìn)給傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)，建立測量擾動(dòng)頻率響應(yīng)的狀態(tài)空間模型。通過卡爾曼濾波器求取切削扭矩的估計(jì)值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對切削扭矩的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償。在Denavit-Hartenberg方法的基礎(chǔ)上，將刀具坐標(biāo)系中的刀尖力映射為驅(qū)動(dòng)力矩，完成切削力的預(yù)測。通過對比加工過程中實(shí)測力信號與預(yù)測力信號的吻合性，分析所提方法的有效性。

1 五軸數(shù)控銑削加工中心進(jìn)給傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析

在五軸數(shù)控加工中心中，有3個(gè)滾珠絲杠驅(qū)動(dòng)的平動(dòng)軸(、、)和2個(gè)旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)帶有蝸輪傳動(dòng)的機(jī)構(gòu)(、)，外部PC機(jī)通過以太網(wǎng)與機(jī)床進(jìn)行實(shí)時(shí)通信。五軸數(shù)控加工中心如圖1所示。

圖1 五軸數(shù)控銑削加工中心示意

在圖1中，外部PC機(jī)通過以太網(wǎng)可直接從數(shù)控機(jī)床獲得刀具中心點(diǎn)的指令及實(shí)際位置、速度、加速度、指令電機(jī)電流值。機(jī)床的進(jìn)給速度和主軸速度可以直接從外部PC機(jī)進(jìn)行控制，以便實(shí)時(shí)監(jiān)控和控制加工操作。

進(jìn)給驅(qū)動(dòng)電機(jī)必須克服機(jī)床中的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)負(fù)載。靜載荷包括進(jìn)給傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)鏈(即滾珠絲杠、推力軸承、導(dǎo)軌)中的摩擦力，而動(dòng)態(tài)載荷則由加速度和作為轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)傳遞給進(jìn)給驅(qū)動(dòng)電機(jī)的切削力組成。電機(jī)傳遞的總轉(zhuǎn)矩與刷毛彎曲產(chǎn)生的摩擦力矩和測量切削扭矩有關(guān)，其計(jì)算公式為

(1)

式中：為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)；為電機(jī)電流；為電動(dòng)機(jī)的等效慣量；為電機(jī)軸角速度。

與摩擦界面內(nèi)彈性刷毛的剛度和阻尼系數(shù)有關(guān)，其表述為

(2)

式中：為黏滯摩擦系數(shù)；為相對速度；為刷毛的平均撓度。

Stribeck效應(yīng)和庫侖摩擦力矩及靜摩擦力矩有關(guān)，其計(jì)算公式為

()=+(-)e-()

(3)

平動(dòng)進(jìn)給驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩，由切削力轉(zhuǎn)換而來，其計(jì)算公式為

(4)

式中：為節(jié)距長度；為滾珠絲杠傳動(dòng)比；為轉(zhuǎn)換效率。

切削力被傳送到機(jī)器的旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)裝置上時(shí)，其產(chǎn)生的切削扭矩為

(5)

式中：為刀尖和工作臺中心之間的力臂長度,=,,。

切削力通過驅(qū)動(dòng)器的結(jié)構(gòu)鏈和伺服放大器作為干擾力矩傳遞給進(jìn)給驅(qū)動(dòng)電機(jī)。在銑削過程中，切削力是周期性的，其頻率等于主軸轉(zhuǎn)速乘以刀具上的齒數(shù)。在通過以太網(wǎng)連接測量數(shù)控機(jī)床的電機(jī)軸電流和角度時(shí)，在工作臺上施加沖擊力激勵(lì)，以測量擾動(dòng)頻率響應(yīng)()，該傳遞函數(shù)可表述為

(6)

式中：和n分別為模態(tài)下電機(jī)軸的阻尼和固有頻率。

式(6)可以映射為關(guān)于每個(gè)軸的多項(xiàng)式形式：

(7)

式中：、為多項(xiàng)式參數(shù)。

將式(6)和式(7)中給出的擾動(dòng)傳遞函數(shù)映射到狀態(tài)空間，并通過狀態(tài)、輸入、輸出和輸入傳輸矩陣得到其狀態(tài)空間模型為

(8)

式中：()和()分別表示狀態(tài)向量和輸出向量。

采用狀態(tài)空間模型對測量電流進(jìn)行卡爾曼濾波，可估計(jì)主軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，進(jìn)給驅(qū)動(dòng)電機(jī)上的力引起的切削力矩。

2 切削扭矩的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償

結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模式會(huì)使包含頻率高于伺服帶寬的測量值失真，為減少結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模式的影響，需要進(jìn)行切削扭矩的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償。本文作者利用卡爾曼濾波器衰減噪聲并補(bǔ)償結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)模式對間隔采樣的切削力矩的影響。

作用在刀具上的實(shí)際切削力，被式(6)中的擾動(dòng)傳遞函數(shù)所控制的進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)所扭曲。卡爾曼濾波的目的是通過去除式(6)中的擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，重建切削力產(chǎn)生的實(shí)際切削扭矩。在傳動(dòng)裝置中，實(shí)際切削扭矩由直流(靜態(tài))分量和交流(諧波)分量疊加而成。

切削力矩的諧波分量，在具有周期性干擾噪聲的Laplace域中可以表示為

(9)

式中：為齒傳遞頻率。

式(9)對應(yīng)的狀態(tài)空間模型為

(10)

綜合式(8)—式(10)可得：

(11)

式中：和分別為擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)空間模型的狀態(tài)和輸出矩陣；()和()分別為過程噪聲項(xiàng)和測量噪聲項(xiàng)；為系統(tǒng)噪聲矩陣；和分別為直流和交流噪聲比項(xiàng)。

從式(11)可見的切削部分取決于擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)矩陣和、過程噪聲項(xiàng)和測量噪聲項(xiàng)()和()。

(12)

通過式(12)可得出卡爾曼濾波器的傳遞函數(shù)：

(13)

協(xié)方差矩陣的微分方程可通過和求?。?/p>

(14)

式中：測量協(xié)方差矩陣由空氣切割扭矩波動(dòng)的均方根確定，而系統(tǒng)協(xié)方差矩陣則被調(diào)整以適應(yīng)補(bǔ)償。

3 用于力轉(zhuǎn)換的機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

在機(jī)床工作期間,刀具的運(yùn)動(dòng)取決于3個(gè)平動(dòng)軸和2個(gè)旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。為將估計(jì)的切削力矩從各軸電機(jī)的電流轉(zhuǎn)換到相對于機(jī)床工作臺中心的刀具中心位置，在Denavit-Hartenberg(D-H)方法的基礎(chǔ)上，對機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行建模。

(15)

中的刀具定位可以通過以下公式計(jì)算：

(16)

利用D-H方法從刀尖位置計(jì)算平動(dòng)驅(qū)動(dòng)器軸位置的公式為

(17)

其中：和為旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)坐標(biāo)系之間的線性偏移量；s和c分別為正弦(sin)和余弦(cos)項(xiàng)。通過對齊次D-H變換矩陣進(jìn)行逆計(jì)算，將中的刀尖位置表示為中的軸位置函數(shù)

(18)

雅克比矩陣用于定義施加在工具上的力和驅(qū)動(dòng)裝置上的扭矩之間的關(guān)系。通過虛功原理可知在靜平衡時(shí)，工件空間(外部)和驅(qū)動(dòng)空間(內(nèi)部)所作的虛功應(yīng)相等，因此給定工件框架和驅(qū)動(dòng)框架中刀具的微小位移和驅(qū)動(dòng)框架所作的功應(yīng)該相等，即：

(19)

式中：為包含作用在工件框架中刀具上的切削力和扭矩的矩陣；為包含驅(qū)動(dòng)框架中驅(qū)動(dòng)力和扭矩的矩陣，其公式分別為

(20)

(21)

根據(jù)雅克比矩陣，式(19)可改寫為

(22)

式中：為雅克比矩陣，其表達(dá)式如下：

(23)

聯(lián)合式(20)—式(22)可得和的關(guān)系式：

(24)

由式(24)可知，刀具坐標(biāo)系中的刀尖力映射為驅(qū)動(dòng)力矩的過程為

(25)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在Quaser UX600五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床上，利用Kistler測力儀采集力信號。同時(shí),利用MATLAB/Simulink建立仿真環(huán)境,對文中方法進(jìn)行力預(yù)測實(shí)驗(yàn)，以檢測該方法對機(jī)床加工過程中力預(yù)測的精準(zhǔn)性。實(shí)驗(yàn)平臺如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺

4.1 力預(yù)測測試結(jié)果

在加工過程中，隨機(jī)截取一段時(shí)間內(nèi)實(shí)際測量的力信號，與該時(shí)間段內(nèi)的預(yù)測力信號相比較，以分析文中方法對五軸機(jī)床力預(yù)測的精準(zhǔn)性。實(shí)測力信號與預(yù)測力信號如圖3所示?？芍涸?～6 s內(nèi)，實(shí)測力信號與預(yù)測力信號基本相符；但在第6 s附近，實(shí)測力信號與預(yù)測力信號稍有偏差；在6～12 s內(nèi)，預(yù)測力信號幾乎與實(shí)測力信號一致，僅有兩處細(xì)微的力信號偏差，主要是因?yàn)榧庸きh(huán)境引起的顫振所致。由此可見，文中方法能夠較精準(zhǔn)地預(yù)測五軸數(shù)控機(jī)床加工時(shí)需要的力信號，能為提高數(shù)控機(jī)床加工工件的質(zhì)量提供有力保障。

圖3 實(shí)測力信號與預(yù)測力信號

4.2 電流測試結(jié)果

為進(jìn)一步觀察文中方法的有效性，對力預(yù)測測試時(shí)間段內(nèi)(2～12 s)電機(jī)電流的實(shí)測信號與預(yù)測信號進(jìn)行對比。電機(jī)電流的實(shí)測信號與預(yù)測信號如圖4所示。

圖4 實(shí)測電流信號與預(yù)測電流信號

由圖4可知：實(shí)測電流信號與預(yù)測電流信號的相似度非常高，預(yù)測電流信號與測試電流信號僅在第10、12 s附近出現(xiàn)了些許偏差。由此說明，文中方法能夠有效預(yù)測出加工過程中電機(jī)所需的電流信號，從而精準(zhǔn)地實(shí)現(xiàn)力預(yù)測。

5 結(jié)論

本文作者在分析五軸數(shù)控銑削加工中心的結(jié)構(gòu)后，對它進(jìn)行了進(jìn)給傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析。然后，通過卡爾曼濾波器對每個(gè)驅(qū)動(dòng)裝置的結(jié)構(gòu)模態(tài)引起的干擾進(jìn)行了補(bǔ)償。采用Denavit-Hartenberg方法對五軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，并將補(bǔ)償后的切削扭矩轉(zhuǎn)換到刀具坐標(biāo)系中，得到切削力。通過對比實(shí)測力信號與預(yù)測力信號發(fā)現(xiàn)，文中方法預(yù)測的力信號與實(shí)測力信號的吻合度較高，表明文中方法能夠精準(zhǔn)地預(yù)測出五軸機(jī)床的銑削力。