姚陽(yáng)，楊朝翔

(國(guó)網(wǎng)冀北綜合能源服務(wù)有限公司，北京 100045)

0 前言

隨著現(xiàn)代工業(yè)對(duì)電氣傳動(dòng)系統(tǒng)性能要求的不斷提高，國(guó)內(nèi)外對(duì)高性能電機(jī)驅(qū)動(dòng)的研究也日益深入。串級(jí)控制結(jié)構(gòu)是一種廣泛應(yīng)用的高性能電機(jī)驅(qū)動(dòng)方式，主要包括內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)矩控制和外環(huán)轉(zhuǎn)速控制。其中，轉(zhuǎn)矩控制廣泛采用基于模型預(yù)測(cè)控制(MPC)的各類算法，如通過(guò)將MPC與直接轉(zhuǎn)矩控制(DTC)相結(jié)合，有效替代了傳統(tǒng)的線性電流控制策略。文獻(xiàn)[5]提出了一種有限控制集MPC(FCS-MPC)方法，利用一組有限電壓矢量進(jìn)行優(yōu)化，每次采樣過(guò)程中選擇最佳的電壓矢量，由于直接考慮了逆變器的開(kāi)關(guān)狀態(tài)，F(xiàn)CS-MPC的控制性能與經(jīng)典DTC方法相近。文獻(xiàn)[6]通過(guò)引入空間矢量脈寬調(diào)制技術(shù)，采用連續(xù)控制集MPC(CCS-MPC)實(shí)現(xiàn)了感應(yīng)電機(jī)的高性能轉(zhuǎn)矩控制，相較于FCS-MPC方法，CCS-MPC具有轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)小、諧波失真小等優(yōu)勢(shì)。

除轉(zhuǎn)矩控制器外，優(yōu)良的速度控制技術(shù)也是高性能電機(jī)驅(qū)動(dòng)的關(guān)鍵。其中，基于各類觀測(cè)器的速度控制方法以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)施且性能優(yōu)良，得到了廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器(ESO)，提出一種反演滑模控制策略，實(shí)現(xiàn)了擾動(dòng)環(huán)境下永磁同步電機(jī)的魯棒速度控制。文獻(xiàn)[9-10]基于小增益定理和頻域分析，提出結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、抗干擾性能優(yōu)良的擾動(dòng)觀測(cè)器(DOB)，實(shí)現(xiàn)了感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制。文獻(xiàn)[11-12]基于奇異攝動(dòng)理論，在離散時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)了相應(yīng)的DOB，但未對(duì)觀測(cè)器的魯棒性進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[13]采用Luenberger觀測(cè)器，有效減小了MPC方法的穩(wěn)態(tài)誤差，但未考慮參數(shù)不確定性的影響。文獻(xiàn)[14]將FCS-MPC與連續(xù)時(shí)間DOB相結(jié)合，提高了FCS-MPC的性能，但未進(jìn)行離散時(shí)域分析。

本文作者針對(duì)感應(yīng)電機(jī)(IM)高性能驅(qū)動(dòng)控制方法的需求，基于串級(jí)控制結(jié)構(gòu)，提出一種由內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)矩控制和外環(huán)速度控制組成的感應(yīng)電機(jī)魯棒速度控制器。對(duì)于內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)矩控制，在已有CCS-MPC方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)考慮系統(tǒng)參數(shù)隨轉(zhuǎn)速的變化，基于線性矩陣不等式提出改進(jìn)的CCS-MPC方法，在保證控制性能相同的前提下降低計(jì)算成本。對(duì)于外環(huán)速度控制，在考慮轉(zhuǎn)矩限制、力學(xué)模型參數(shù)不確定性和負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)的情況下，將穩(wěn)定化MPC與DOB相結(jié)合，在離散時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)約束DOB，并給出相應(yīng)的定理和推論，證明所提出的速度控制器的穩(wěn)定性及其條件。通過(guò)物理實(shí)驗(yàn)對(duì)所提控制方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 IM模型及其運(yùn)行方式概述

1.1 IM數(shù)學(xué)模型

靜止坐標(biāo)系中的IM模型可由公式(1)進(jìn)行描述：

(1a)

(1b)

其中：、及分別為定、轉(zhuǎn)子繞組自感及定、轉(zhuǎn)子繞組互感系數(shù)。IM轉(zhuǎn)矩可表示為公式(2)：

(2)

式中：為極對(duì)數(shù)；=/。

經(jīng)典的磁場(chǎng)定向控制通常在同步坐標(biāo)系中設(shè)計(jì)控制器。當(dāng)采用轉(zhuǎn)子磁鏈定向控制(RFOC)時(shí)，公式(1)中的各矢量需轉(zhuǎn)換至同步坐標(biāo)系中，例如：

(3)

其中：

進(jìn)一步，IM轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速由下述不確定模型給出：

(4)

其中：和分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和黏滯摩擦系數(shù)；表示負(fù)載轉(zhuǎn)矩。負(fù)載轉(zhuǎn)矩和模型參數(shù)在實(shí)際中通常是不確定的，為便于后續(xù)討論，對(duì)不確定參數(shù)和引入如下假設(shè)：

假設(shè)1：不確定參數(shù)>0和>0屬于如下已知有界集：

1.2 IM運(yùn)行模式

圖1 采用電池組及逆變器的IM供電模式

(5)

進(jìn)一步，可得出IM穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)矩為

(6)

(7)

其中：表示逆變器的電流極限；表示IM磁通極限；表示IM在安全運(yùn)行區(qū)域內(nèi)的輸出功率極限，此時(shí)逆變器應(yīng)在極限范圍內(nèi)工作，=，其中是直流鏈路中電池饋送至逆變器的最大輸出電流。

基于公式(7)，IM的工作區(qū)域可分為恒轉(zhuǎn)矩(CT)區(qū)域和恒功率(CP)區(qū)域。對(duì)于每個(gè)區(qū)域，最大可用扭矩為()由公式(8)計(jì)算：

(8)

(9a)

(9b)

2 轉(zhuǎn)矩控制器設(shè)計(jì)

利用公式(3)，應(yīng)用Euler近似方法獲得IM的離散時(shí)間模型：

(+1)=()()+()

(10)

其中：()=()+；=；為采樣間隔；∈，為自然數(shù)集。此外，()應(yīng)屬于如下集合：

2.1 CCS-MPC方法設(shè)計(jì)

其中：

(11)

(12)

且有：

()=()()+()

(13)

由公式(11)—(13)，給出單步損失函數(shù)：

(14)

基于上述公式，可將CCS-MPC的設(shè)計(jì)歸結(jié)為求解如下約束優(yōu)化問(wèn)題：

(15)

上述優(yōu)化問(wèn)題的解可表示為

(16)

其中：

{-[()()-()]+()}

(17)

為優(yōu)化問(wèn)題(15)的無(wú)約束解，可通過(guò)求解?[(),()]/?()=0得出。

公式(14)中權(quán)重矩陣的確定應(yīng)遵循如下規(guī)則：在和轉(zhuǎn)矩參考值不變的情況下，當(dāng)穩(wěn)態(tài)控制輸入施加至被控對(duì)象時(shí)，應(yīng)使代價(jià)函數(shù)[(),()]單調(diào)減??；然后，通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題(15)確保代價(jià)函數(shù)進(jìn)一步減小。設(shè)()=()-表示狀態(tài)跟蹤誤差，將公式(10)與公式(13)相減可得出：

(+1)=()()+[()-]

(18)

令()=，有：

[(),]=(+1)(+1)=

()()()()

(19)

且：

()[()()-]()

進(jìn)一步，由公式(16)可得出：

[(),()]≤[(),]

因此，代價(jià)函數(shù)[(),()]單調(diào)遞減，且當(dāng)下述條件成立時(shí)，有[(∞),(∞)]=0：

()=[()]()-<0

(20)

可見(jiàn)，權(quán)重矩陣應(yīng)滿足式(20)。

2.2 改進(jìn)的CCS-MPC設(shè)計(jì)方法

前述系統(tǒng)矩陣()實(shí)際上是隨轉(zhuǎn)速變化的，這意味著控制器式(17)中的加權(quán)矩陣必須通過(guò)在每個(gè)采樣步中對(duì)公式(20)求解得出，計(jì)算量大。為降低計(jì)算成本，引入基于線性矩陣不等式(LMI)的方法。將公式(20)兩邊乘以,=，得出：

-[()]()>0

(21)

將上式轉(zhuǎn)化為如下LMI：

(22)

設(shè)轉(zhuǎn)速屬于集合={∣≤≤}，由公式(3)和公式(10)可知，條件(22)關(guān)于是仿射的。因此，只需在集合的兩個(gè)邊界滿足式(22)，即()>0且()>0。

如果IM具有較小的電阻，則磁通由具有較大時(shí)間常數(shù)=/的d軸電流產(chǎn)生。此時(shí)，可采用移動(dòng)平均濾波器，使得磁通具有較低的變化頻率。受文獻(xiàn)[16]的啟發(fā)，引入如下參考狀態(tài)生成器：

此時(shí)，公式(17)可修改為

(23)

其中：

式中：增益∈,可由下述過(guò)程確定：

(24)

其中：=-(+)；=()。增益矩陣應(yīng)使得齊次系統(tǒng)(24)具有穩(wěn)定性。由公式(19)—式(24)可以得出，當(dāng)滿足如下不等式時(shí)，式(24)所示系統(tǒng)具有穩(wěn)定性：

-[()]()>0

(25)

其中：=diag(,)(>0)且>=。因此，在收斂速度最大化的前提下，最優(yōu)增益可以通過(guò)求解如下優(yōu)化問(wèn)題確定：

α>

(26)

式中：

(27)

=

(28)

通過(guò)求解上述問(wèn)題，可以得到最佳增益=()。上述優(yōu)化問(wèn)題本質(zhì)上屬于廣義特征值問(wèn)題，可以通過(guò)MATLAB2014a LMI工具箱YALMIP Solver進(jìn)行求解。

3 轉(zhuǎn)速控制器設(shè)計(jì)

不確定機(jī)械系統(tǒng)[式(4)]的離散時(shí)間模型可表示為

(29)

(30)

(31)

因此，首先基于無(wú)擾動(dòng)名義模型(29)設(shè)計(jì)相應(yīng)的穩(wěn)定化MPC方法；針對(duì)不確定性擾動(dòng)和轉(zhuǎn)矩約束條件，設(shè)計(jì)相應(yīng)的約束擾動(dòng)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)IM轉(zhuǎn)速魯棒控制。

3.1 基于名義模型的穩(wěn)定化MPC方法

(32)

(33)

(34)

可見(jiàn)，()集總包含了模型參數(shù)及負(fù)載轉(zhuǎn)矩的不確定性。

考慮穩(wěn)態(tài)期望轉(zhuǎn)速及其相應(yīng)的輸入?yún)?shù)，依據(jù)公式(32)，有：

(35)

(36)

其中：

(37)

(38)

(39)

3.2 約束擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

(40)

(41)

(42)

圖2 基于經(jīng)典DOB的魯棒轉(zhuǎn)速控制器

(43)

進(jìn)而，閉環(huán)系統(tǒng)式(29)、(39)及(43)可表示為

(44a)

(44b)

其中：

(45a)

(45b)

定理1：在假設(shè)1的條件下，如果滿足如下兩個(gè)不等式，則閉環(huán)系統(tǒng)式(45)具有穩(wěn)定性。

(46a)

(46b)

證明：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程可以表示為

(47)

引入雙線性變換=(+1)(-1)，將特征方程()變換至平面，稱為()。對(duì)上述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)直接應(yīng)用Routh穩(wěn)定性判據(jù)，則當(dāng)()>0且()>0時(shí)：

滿足Herwitz穩(wěn)定性條件，定理證畢。

為保證魯棒穩(wěn)定條件式(46)成立，應(yīng)考慮不確定系統(tǒng)參數(shù)以及采樣時(shí)間間隔的影響，可以通過(guò)假設(shè)較小的對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，如推論1所述。

推論1：對(duì)于滿足如下條件的

(48)

存在如下參數(shù)條件：

(49)

使得在假設(shè)1條件下，閉環(huán)系統(tǒng)式(29)及式(42)對(duì)于不確定性參數(shù)具有魯棒性。

圖3 基于穩(wěn)定化MPC和離散時(shí)間DOB的魯棒轉(zhuǎn)速控制器

圖4表示所提出的基于公式(50)所示的約束DOB的魯棒速度控制器。為避免積分飽和問(wèn)題，()的積分需滿足如下約束：

圖4 基于穩(wěn)定化MPC和約束DOB的魯棒轉(zhuǎn)速控制器

(50)

圖4所示的魯棒速度控制器控制流程如下：

(1)離線過(guò)程

①計(jì)算滿足公式(20)的權(quán)重矩陣和公式(24)相應(yīng)的增益及；

②求解式(36)所示的優(yōu)化問(wèn)題,獲得式(23)所示積分器的增益。

(2)在線過(guò)程

③依據(jù)式(16)和式(23)計(jì)算IM逆變器的控制輸入()，并使用適當(dāng)?shù)腜WM技術(shù)將()輸入至逆變器。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出的控制方法，搭建相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖5所示。實(shí)驗(yàn)采用兩臺(tái)相同的IM，其中一臺(tái)為受控電機(jī)，用以驗(yàn)證所提出的控制方法，另一臺(tái)則提供所需的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。所提出的控制算法由微處理器TMS320F28377D執(zhí)行，逆變器的開(kāi)關(guān)頻率為=1/=10 kHz，并采用分辨率為12 800 PPR的光電編碼器測(cè)量電機(jī)轉(zhuǎn)速，采樣間隔為10 ms。表1列出了所采用的IM各項(xiàng)參數(shù)。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置

表1 實(shí)驗(yàn)中IM的各項(xiàng)參數(shù)

為表述簡(jiǎn)潔，采用如下縮略語(yǔ)：

(1)CCS-MPC1：基于名義模型的穩(wěn)定化MPC，如第2.1節(jié)所述；

(2)CCS-MPC2：所提出的改進(jìn)CCS-MPC，參見(jiàn)第2.2節(jié)；

(3)DOB-MPC1：采用經(jīng)典DOB的穩(wěn)定化MPC；

(4)DOB-MPC2：所提出的采用約束DOB的穩(wěn)定化MPC。

圖6 步進(jìn)信號(hào)下轉(zhuǎn)矩控制器CCS-MPC1及CCS-MPC2的控制性能

圖7 階躍參考轉(zhuǎn)速下不同參數(shù)ρ對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速控制器DOB-MPC1及DOB-MPC2控制性能

圖8 負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)條件下的DOB-MPC2控制效果

5 結(jié)論

本文作者將模型預(yù)測(cè)方法與約束擾動(dòng)觀測(cè)器相結(jié)合，在考慮參數(shù)不確定性、負(fù)載擾動(dòng)及轉(zhuǎn)矩限制的基礎(chǔ)上，提出一種感應(yīng)電機(jī)的高性能魯棒速度控制方法?；诖?jí)控制結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)矩控制器和外環(huán)魯棒速度控制器。考慮系統(tǒng)參數(shù)隨轉(zhuǎn)速的變化，基于線性矩陣不等式提出改進(jìn)的CCS-MPC方法進(jìn)行內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)矩控制，在保證控制性能相同的前提下降低了計(jì)算成本。針對(duì)外環(huán)轉(zhuǎn)速控制，設(shè)計(jì)一種DOB-MPC控制器，補(bǔ)償了參數(shù)不確定性和負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)的影響；同時(shí)，考慮電機(jī)轉(zhuǎn)矩限制，利用條件積分器避免了積分飽和問(wèn)題，通過(guò)給出相應(yīng)的定理和推論，證明了所提速度控制器的穩(wěn)定性及其條件。物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：與不考慮轉(zhuǎn)矩限制的控制器相比，所提控制方法具有更好的瞬態(tài)響應(yīng)，且系統(tǒng)在負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)條件下具有優(yōu)良的魯棒性。