胡玉茹， 張 峰， 辛祥鵬

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252000)

引言

非線性偏微分方程在數(shù)學(xué)和物理科學(xué)中發(fā)揮著非常重要的作用，可以用來描述許多非線性科學(xué)領(lǐng)域中的物理現(xiàn)象，例如流體力學(xué)、非線性光學(xué)和等離子物理等。為了更深入地研究這些非線性現(xiàn)象，我們需要找到這些非線性偏微分方程的精確解。求解方程精確解的方法也有很多，例如，經(jīng)典李群方法[1-4]，(G′/G)展開法[5-7]，達(dá)布變換方法[8-9]，雙線性方法[10-11]，tanh函數(shù)展開法[12]等等。(2+1)維常系數(shù)Pavlov方程為

uxt+uyy+uxuxy-uyuxx=0，

(1)

它是一個可積的非線性無色散偏微分方程。對該方程的研究也有許多，在文獻(xiàn)[13]中運用李對稱分析方法計算了常系數(shù)Pavlov方程的孤子解。在文獻(xiàn)[14]中研究了常系數(shù)Pavlov方程的非局部性和反散射變換。

相比于常系數(shù)偏微分方程，變系數(shù)偏微分方程能夠描述更廣泛且更有意義的物理現(xiàn)象。因此，近年來，變系數(shù)方程的研究也逐漸成為一個熱點問題[15-18]。通過查閱文獻(xiàn)，變系數(shù)Pavlov方程還沒有被人研究過。

在本文中，我們研究Pavlov方程的變系數(shù)形式，即

F=uxt+a(t)uyy+b(t)uxuxy-c(t)uyuxx=0,

(2)

其中振幅u=u(x,y,t)是關(guān)于變量x,y,t的函數(shù)，a(t),b(t),c(t)是關(guān)于時間變量t的任意函數(shù)。當(dāng)a(t)=1，b(t)=1，c(t)=1時，方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)Pavlov方程。

本文的結(jié)構(gòu)如下：在第一節(jié)中，我們對變系數(shù)Pavlov方程進行了李對稱分析，得到了無窮小生成元和單參數(shù)變換群。在第二節(jié)中，通過尋找不變函數(shù)、計算伴隨變換矩陣，最終推導(dǎo)出變系數(shù)Pavlov方程的一維子代數(shù)最優(yōu)系統(tǒng)。在第三節(jié)中，運用已獲得的無窮小生成元和最優(yōu)系統(tǒng)對變系數(shù)Pavlov方程進行相似約化，得到約化后的偏微分方程以及相應(yīng)的系數(shù)函數(shù)的值。在第四節(jié)中，運用行波變換方法將約化后的偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，隨后獲得單孤子解、暗孤子解、二孤子相互作用解、周期解、扭結(jié)周期波相互作用解等。在第五節(jié)中，證明了變系數(shù)Pavlov方程的自伴隨性并且計算出該方程的守恒律。在第六節(jié)中，我們對本文做出簡短的總結(jié)。

1 變系數(shù)Pavlov方程的李對稱分析

在本節(jié)中，我們對方程(2)運用李對稱分析方法。首先，我們假設(shè)變系數(shù)Pavlov方程的無窮小變換為

(3)

其中ε是一個無窮小參數(shù)，ξ，η，τ和φ是在點(x,y,t,u)處要確定的切向量坐標(biāo)，它們構(gòu)造了無窮小生成元

(4)

向量場(4)是方程(2)的一個李點對稱，向量場(4)需要滿足條件

pr(2)V(Δ)Δ=0=0,

(5)

其中Δ=uxt+a(t)uyy+b(t)uxuxy-c(t)uyuxx，這里pr(2)V是V的二階延拓，即

(6)

應(yīng)用二階延拓(6)到方程(2)，我們可以得到不變條件

τ[a′(t)uyy+b′(t)uxuxy-c′(t)uyuxx]+a(t)φyy+b(t)(uxyφx+uxφxy)-c(t)(uxxφy+uyφxx)+φxt=0,

(7)

其中

φx=Dx(φ)-uxDx(ξ)-uyDx(η)-utDx(τ),φy=Dy(φ)-uxDy(ξ)-uyDy(η)-utDy(τ),

φxx=Dx(φx)-uxxDx(ξ)-uxyDx(η)-uxtDx(τ),φxy=Dy(φx)-uxyDx(ξ)-uyyDx(η)-uytDx(τ),

φxt=Dt(φx)-uxtDx(ξ)-uytDx(η)-uttDx(τ),φyy=Dy(φy)-uxyDy(ξ)-uyyDy(η)-uytDy(τ),

在這里Dx,Dy,Dt表示關(guān)于x,y,t的全微分算子。令關(guān)于u的各階導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)為零，我們得到一個關(guān)于ξ,η,τ,φ的決定方程組。解該方程組，即可得到關(guān)于方程(2)的李點對稱

(8)

其中c1,c2,c3,c4是任意常數(shù)，并且方程(2)中的系數(shù)函數(shù)a(t),b(t),c(t)要滿足下述條件

-a′(t)τ+c1a(t)-τta(t)=0,-b′(t)τ+c1b(t)-τtb(t)=0,-c′(t)τ+c1c(t)-τtc(t)=0。

(9)

因此，方程(2)的生成元被擴張為下述形式

(10)

根據(jù)上述生成元Xi(i=1,2,3,4)，我們可以獲得單參數(shù)變換群M(ε)為

(11)

其中Mi(i=1,2,3,4)被稱為李對稱群。

2 變系數(shù)Pavlov方程的最優(yōu)系統(tǒng)

一般來說，對于對稱群Mi(i=1,2,3,4)的每一個子群，都會有很多的群不變解。由于這樣的子群數(shù)目是無限的，所以不容易列出方程(2)的所有可能的群不變解，因此需要歸納出方程(2)的最優(yōu)系統(tǒng)[19]。

Adexp(εW)(Z)

=e-εWZeεW

=(p1X1+…+p4X4)-ε[q1X1+…+q4X4,p1X1+…+p4X4]+O(ε2)

=(p1X1+…+p4X4)-ε(Θ1X1+Θ2X2+Θ3X3+Θ4X4)+O(ε2),

(12)

其中Θi=Θi(p1,…,p4,q1,…,q4)，將借助四維李代數(shù)的換算關(guān)系得到。根據(jù)李括號運算[W,Z]=WZ-ZW得到李代數(shù)交換子表1。

因此，可以得到

Θ1=0,

Θ2=q2p1-q1p2,

Θ3=q3p1-q1p3,

Θ4=q4p1-q1p4。

(13)

對于任意的qj(j=1,2,3,4)，需要滿足下述方程

(14)

其中函數(shù)φ=φ(a1,a2,a3,a4)是不變的。將式(13)代入方程(14)中，合并qj(j=1,2,3,4)的系數(shù)，我們可以得到下述方程組

(15)

解上述方程組(15)，我們可以得到不變函數(shù)φ(p1,p2,p3,p4)=F(p1)，其中F是關(guān)于p1的任意函數(shù)。

接下來，我們將計算伴隨變換矩陣。根據(jù)式(12)并結(jié)合表1中的李代數(shù)運算關(guān)系，可以得到李代數(shù)伴隨關(guān)系表2。

表1 方程(2)的李代數(shù)交換子表Table 1 Commutator table of Eq.(2)

表2 方程(2)的李代數(shù)伴隨關(guān)系表Table 2 Adjoint table of Eq.(2)

Adexp(ε1X1)(Z)=p1Adexp(ε1X1)(X1)+…+p4Adexp(ε1X1)(X4)

=p1X1+p2eε1X2+p3eε1X3+p4eε1X4

(16)

根據(jù)式(16)，我們很容易得到

運用上述同樣的方法，我們依次可以得到

因此，變換矩陣A可以用這四個矩陣表示。也就是說，矩陣A可以寫為

(17)

(18)

如果在方程(18)中關(guān)于εi(i=1,2,3,4)的解存在，這表示我們所選擇的代表元素就是最優(yōu)系統(tǒng)中的元素。現(xiàn)在我們將對此進行詳細(xì)的討論。

情況1：p1=1

ε2=p2eε1,ε3=p3eε1,ε4=p3eε1。

情況2：p1=0

此時，將p1=0代入方程組(15)中，得到新的不變函數(shù)

(19)

綜合上述，生成元(10)的一維子代數(shù)最優(yōu)系統(tǒng)被歸納如下：

(i)X1,

(ii)X2+βX3+ωX4,

(iv)X4,

3 變系數(shù)Pavlov方程的相似約化

在上一節(jié)中，獲得了方程(2)的一維子代數(shù)最優(yōu)系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上我們將對變系數(shù)Pavlov方程進行相似約化，得到含有兩個新變量χ和γ的偏微分方程，具體的結(jié)果通過表3給出，并且相應(yīng)的系數(shù)函數(shù)取值通過表4給出，其中a1,b1,c1是任意常數(shù)。

表4 相應(yīng)的系數(shù)函數(shù)的形式Table 4 The forms of corresponding coefficient functions

以表3中的情況(2)為例，我們詳細(xì)介紹方程的相似約化方法。

表3 方程(2)的相似約化Table 3 Similarity reductions of Eq.(2)

X2+λX4的特征方程以及與新變量之間的關(guān)系可以表示為

(21)

則約化后的偏微分方程為

a1pγγ+b1pχpχγ-c1pγpχχ-pχχ=0。

(22)

4 變系數(shù)Pavlov方程的精確解

借助表3中約化得到的偏微分方程，我們選取部分情況，運用行波變換方法將其轉(zhuǎn)化為常微分方程繼而計算變系數(shù)Pavlov方程的一些新的精確解。

(Ⅰ)對于X2+λX4，在這種情況下，我們根據(jù)表3可知方程(2)約化后的偏微分方程為a1pγγ+b1pχpχγ-c1pγpχχ-pχχ=0，對其運用行波變換

p(χ,γ)=p(ξ),ξ=χ-Vγ,

(23)

其中V是待確定的行波速度。方程(2)則被轉(zhuǎn)化為關(guān)于p=p(ξ)的常微分方程，即

a1V2p″-b1Vp′p″+c1Vp′p″-p″=0。

(24)

求解該常微分方程得

(25)

將表3中情況(2)的相似變量代入(25)式，得到方程(2)的解為

(26)

其中a1,b1,c1,V,C1為任意常數(shù)且b1≠c1,τ(t)表示關(guān)于t的任意函數(shù)。在這種情況下,取τ(t)=1,可以得到常系數(shù)Pavlov方程的精確解為

(Ⅱ)對于X3+μX4，運用和(I)中同樣的方法，可以得到方程(2)的精確解為

(27)

其中a1,b1,c1,V,C1為任意常數(shù)且b1≠c1,τ(t)表示關(guān)于t的任意函數(shù)。對于這種情況,取τ(t)=1,能夠得到常系數(shù)Pavlov方程的精確解為

(Ⅲ)對于X2+σX3+λX4，運用和(I)中同樣的方法，可以得到方程(2)的精確解為

(28)

其中a1,b1,c1,V,C1為任意常數(shù)，且τ(t)表示關(guān)于t的任意函數(shù)。當(dāng)τ(t)=1時,常系數(shù)Pavlov方程的精確解為

(29)

通過上述計算得到了變系數(shù)Pavlov方程的三個不同的精確解，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)選取τ(t)=1時變系數(shù)Pavlov方程的精確解轉(zhuǎn)化為常系數(shù)Pavlov方程的精確解。這也能夠充分說明變系數(shù)Pavlov方程的精確解比其常系數(shù)形式的精確解更具有一般性。

(Ⅳ)對于X2，在這種情況下，根據(jù)表3可知方程(2)約化后的偏微分方程為a(t)pγγ=0，求解該方程，很容易得到方程的解為

p=F1(χ)γ+F2(χ),

(30)

根據(jù)表3中的情況(6)，可以得到方程(2)的解為

u=F1(t)y+F2(t),

(31)

其中在式(30)和式(31)中，F(xiàn)1(t),F2(t)表示關(guān)于t的任意函數(shù)。

(Ⅴ)對于X3，在這種情況下，可以得到方程(2)的解為

u=F1(t)+F2(x),

(32)

其中F1(t)表示關(guān)于t的任意函數(shù)，F(xiàn)2(x)表示關(guān)于x的任意函數(shù)。

為了更加直觀的展示解的特征，我們選取部分精確解運用圖像來加以描述。

圖1 解(28)的3D圖像。(a)：孤子解；(b)：暗孤子解。Fig.1 3D plots of solution (28).(a):soliton solution.(b):dark soliton solution.

對于解(31)，我們選取F1(t)=sech(t),F2(t)=Si(t)，得到圖2中的二孤子相互作用解；我們選取F1(t)=cos2(t),F2(t)=sin2(t)，得到圖3中的周期解。

圖2 解(31)的二孤子相互作用解。(a)：3D圖像；(b)：密度圖；(c)：2D圖像。Fig.2 Two-soliton interaction solution of solution (31).(a):3D plot.(b):density plot.(c):2D plot.

圖3 解(31)的周期解。(a)：3D圖像；(b)：密度圖；(c)：2D圖像。Fig.3 Periodic solution of solution (31).(a):3D plot.(b):density plot.(c):2D plot.

對于解(32)，我們選取F1(x)=tanh2(x),F2(t)=sech2(t)，得到圖4中的二孤子相互作用解；我們選取F1(x)=Si2(x),F2(t)=tanh(t)，得到圖5中的扭結(jié)周期波相互作用解。

圖4 解(32)的二孤子相互作用解。(a)：3D圖像；(b)：密度圖；(c)：2D圖像。Fig.4 Two-soliton interaction solution of solution (32).(a):3D plot.(b):density plot.(c):2D plot.

圖5 解(32)的扭結(jié)周期波相互作用解。(a)：3D圖像；(b)：密度圖；(c)：2D圖像。Fig.5 Kinked solution with periodic wave of solution (32).(a):3D plot.(b):density plot.(c):2D plot.

非線性偏微分方程的系數(shù)代表了不同的物理性質(zhì)和背景,例如非線性特征、色散、外力和介質(zhì)不均勻性等等[20]。與常系數(shù)Pavlov方程相比,變系數(shù)Pavlov方程含有關(guān)于時間變量t的系數(shù)函數(shù)a(t)，b(t)，c(t),那么借助一系列變換所得到的變系數(shù)Pavlov方程精確解中含有關(guān)于時間變量的函數(shù)τ(t)。通過對τ(t)賦予不同的函數(shù),能夠使得到的精確解更具有通用性和多樣性,進而能夠得到更多類型的孤子解,這可以為未來研究和模擬復(fù)雜且有意義的非線性現(xiàn)象提供基礎(chǔ)。

5 變系數(shù)Pavlov方程的守恒律

5.1 變系數(shù)Pavlov方程的自伴隨性

方程的拉格朗日形式為

L=θ(uxt+a(t)uyy+b(t)uxuxy-c(t)uyuxx),

(33)

其中θ=θ(x,y,t)是新的獨立變量。方程的伴隨方程為

(34)

(35)

將式(33)和式(35)代入(34)中，得到(2)的伴隨方程為

F*=a(t)θyy+b(t)(θyuxx+θxyux)+c(t)(θyuxx-θxxuy-2θxuxy)+θxt。

(36)

若方程(2)為非線性自伴隨方程，須滿足條件[21]

F*-αF=0。

(37)

將(36)和方程(2)代入(37)中，通過計算可以得到

θ=g(t),α=0。

(38)

在這里g(t)是一個關(guān)于t的任意函數(shù)。通過上述我們證明了方程(2)是非線性自伴隨方程，所以，式(33)可以重新寫為

L=g(t)(uxt+a(t)uyy+b(t)uxuxy-c(t)uyuxx)。

(39)

5.2 變系數(shù)Pavlov方程的守恒律

根據(jù)Ibragimov證明的對任意的微分方程都適用的守恒律定理[21]。我們可以推導(dǎo)出變系數(shù)Pavlov方程的守恒律計算公式如下：

(40)

其中W=φ-ξux-ηuy-τut，ξ,η,τ是第二節(jié)中獲得的李點對稱。

+g(t)[(xuxx+yuxy)c(t)uy-(xuxy+yuyy)b(t)ux]+xg(t)[uxt+a(t)uyy+b(t)uxuxy-c(t)uyuxx]

(41)

在這種情況下，ξ=1，η=τ=φ=0，則W=-ux，此時，對應(yīng)的守恒向量為

Ct=-g(t)uxx,

Cx=g(t)[a(t)uyy-(b(t)+c(t))uxuxy+uxt]+g′(t)ux,

Cy=g(t)uxuxx[b(t)+c(t)]-g(t)a(t)uxy。

(42)

在這種情況下，η=1，ξ=τ=φ=0，則W=-uy，此時，對應(yīng)的守恒向量為

Ct=-g(t)uxy,

Cx=g′(t)uy-g(t)b(t)(uyuxy+uxuyy),

Cy=g(t)b(t)(uxuxy+uyuxx)+g(t)uxt。

(43)

(44)

6 總結(jié)

本文運用李群方法研究了變系數(shù)Pavlov方程，得到無窮小生成元和單參數(shù)變換群。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了變系數(shù)Pavlov方程的一維子代數(shù)最優(yōu)系統(tǒng)。其次，對變系數(shù)Pavlov方程進行了相似約化，得到了降維的偏微分方程。運用行波變換方法將(1+1)維偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，通過求解常微分方程進而得到了一些變系數(shù)Pavlov方程的新的精確解，包括暗孤子解、周期解、二孤子相互作用解和扭結(jié)周期波相互作用解等不同類型的孤子解，并通過圖像將解的結(jié)構(gòu)展示出來。最后證明了變系數(shù)Pavlov方程的自伴隨性并且得到了該方程的守恒律。