李永建 利雅婷 林志偉 程志光 田亞坤 陳瑞穎

基于改進(jìn)Bouc-Wen模型的諧波激勵(lì)條件下電工鋼片磁滯特性模擬與驗(yàn)證

李永建1,2利雅婷1,2林志偉1,2程志光3田亞坤1,2陳瑞穎1,2

（1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（河北工業(yè)大學(xué)） 天津 300130 2. 河北工業(yè)大學(xué)河北省電磁場(chǎng)與電器可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300130 3. 河北省輸變電裝備電磁與結(jié)構(gòu)性能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（籌） 保定 071056）

諧波分量會(huì)引起電氣設(shè)備激勵(lì)波形畸變，使鐵心損耗增加。為研究該工況下鐵心材料磁特性的變化，該文將疇壁移動(dòng)時(shí)的復(fù)雜能量變化和最小化過(guò)程簡(jiǎn)化為驅(qū)動(dòng)力，將阻礙疇壁移動(dòng)的釘扎力簡(jiǎn)化處理為粘滯摩擦力，由此采用非線性力學(xué)Bouc-Wen模型對(duì)材料的磁滯現(xiàn)象進(jìn)行描述。通過(guò)引入表征磁疇磁化的旋轉(zhuǎn)項(xiàng)對(duì)Bouc-Wen模型進(jìn)行修正，采用修正模型實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)靜態(tài)條件下的磁滯回線模擬。通過(guò)進(jìn)一步考慮渦流引起的阻力項(xiàng)，擴(kuò)展該模型為動(dòng)態(tài)模型，能夠模擬不同頻率的正弦以及高階諧波激勵(lì)條件下的非對(duì)稱回線，并詳細(xì)討論了不同激勵(lì)條件下所提出模型中的阻尼系數(shù)的變化規(guī)律及其頻率效應(yīng)。通過(guò)對(duì)比實(shí)測(cè)結(jié)果與模型預(yù)測(cè)結(jié)果，驗(yàn)證了模型的正確性與準(zhǔn)確性。

電工硅鋼 諧波 Bouc-Wen模型 磁滯特性 損耗特性

0 引言

電氣設(shè)備的能量損耗主要由鐵心部件在磁化過(guò)程中的磁滯特性與渦流效應(yīng)引起，因此建立能夠精確模擬鐵心材料磁滯特性及渦流分布的模型對(duì)電氣設(shè)備的高效運(yùn)行具有重要意義[1]。由于電氣設(shè)備鐵心繞組中激勵(lì)電流的諧波含量不可忽視，畸變的激勵(lì)電流使鐵心磁通飽和程度增加，引起局部過(guò)熱加劇，損耗增加，嚴(yán)重危害電力系統(tǒng)的安全運(yùn)行。因此，研究復(fù)雜勵(lì)磁下的磁滯和損耗特性對(duì)于電氣設(shè)備的優(yōu)化設(shè)計(jì)和安全運(yùn)行至關(guān)重要[2]。

近年來(lái)眾多學(xué)者針對(duì)鐵心損耗計(jì)算進(jìn)行研究，目前計(jì)算方法主要包括經(jīng)驗(yàn)公式法和磁滯模型法。工程上常采用的經(jīng)驗(yàn)公式法包括Steinmetz計(jì)算方法和Bertotti損耗分離公式法，雖計(jì)算方式簡(jiǎn)便，但需大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)識(shí)別參數(shù)，且缺乏物理意義[3-4]。磁滯模型法主要分為數(shù)學(xué)模型和物理模型。數(shù)學(xué)模型一般精度較高，但不具備明確的物理意義[5-6]，如Preisach模型作為經(jīng)典模型，可準(zhǔn)確描述材料磁滯特性，但分布函數(shù)難以識(shí)別[7]。而物理模型一般求解過(guò)程復(fù)雜，精度較差，難以應(yīng)用于實(shí)際工程材料的模擬中。如DSM(domain structure model)模型，具有嚴(yán)格的物理基礎(chǔ)，但求解困難[8]。此外，由于諧波會(huì)導(dǎo)致磁滯回線存在小回環(huán)，故要求模型具有出色的動(dòng)態(tài)滯回特性[9]。然而，J-A(Jiles-Atherton)模型及Energetic模型雖具有一定物理意義，但均為靜態(tài)模型，無(wú)法應(yīng)用于動(dòng)態(tài)磁特性模擬[10-11]。有學(xué)者分別將J-A模型和Energetic模型與場(chǎng)分離模型相結(jié)合，將其擴(kuò)展為動(dòng)態(tài)模型用于計(jì)算復(fù)雜工況激勵(lì)下的磁滯回線[12-14]，但其計(jì)算形式復(fù)雜且非線性明顯的兩端區(qū)域計(jì)算誤差較大。因此，提出數(shù)學(xué)表達(dá)簡(jiǎn)單、物理意義明確且具有較高精度的磁滯模型至關(guān)重要。

鐵磁學(xué)研究表明，磁疇與疇壁的形成是包括交換能、各向異性能、磁彈性能、疇壁能以及退磁能等在內(nèi)的總能量最小化的結(jié)果。在外場(chǎng)作用下，能量重新分配，形成新的磁疇結(jié)構(gòu)。而疇壁的移動(dòng)過(guò)程受到外場(chǎng)、交換能、各向異性能、摻雜和內(nèi)部的釘扎效應(yīng)等因素影響[15]，能量項(xiàng)的相互作用非常復(fù)雜，磁化過(guò)程中復(fù)雜的疇壁移動(dòng)過(guò)程與動(dòng)力學(xué)過(guò)程相似，本文把由多種復(fù)雜能量變化驅(qū)動(dòng)疇壁移動(dòng)的力簡(jiǎn)化為推動(dòng)疇壁移動(dòng)的動(dòng)力；把微小區(qū)域能量漲落及缺陷造成的疇壁移動(dòng)阻力，即釘扎力簡(jiǎn)化為粘滯摩擦力。因此，可用滯回動(dòng)力學(xué)模型Bouc-Wen模型[16]來(lái)描述磁疇結(jié)構(gòu)的變化，從而建立了材料的微觀磁疇結(jié)構(gòu)變化對(duì)宏觀特性影響的物理模型。相較于Preisach模型、改進(jìn)的J-A模型及Energetic模型，基于Bouc-Wen模型改進(jìn)的適用于磁滯模擬的新模型表達(dá)形式更加簡(jiǎn)單，物理意義相對(duì)明確，同時(shí)可以保證計(jì)算的準(zhǔn)確性。因此，從計(jì)算效率、求解精度及擴(kuò)展性等方面綜合考慮，該模型具有廣闊的應(yīng)用前景。

本文首先利用單片測(cè)試儀(Single Sheet Tester, SST，100mm′500mm)測(cè)量取向硅鋼片在準(zhǔn)靜態(tài)、不同頻率正弦以及不同階次、相位諧波等激勵(lì)下的磁特性。其次，采用Bouc-Wen模型描述磁化過(guò)程中的疇壁運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并引入描述磁疇磁矩旋轉(zhuǎn)項(xiàng)對(duì)Bouc-Wen模型加以改進(jìn)，使該模型能夠較準(zhǔn)確地模擬疇壁移動(dòng)與磁疇磁矩轉(zhuǎn)動(dòng)形成的磁滯回線。進(jìn)一步引入渦流引起的阻力項(xiàng)，使改進(jìn)后的模型能夠分別模擬動(dòng)態(tài)及包含諧波激勵(lì)條件下的磁滯回線。所提出的改進(jìn)模型的參數(shù)作為疇壁運(yùn)動(dòng)和磁疇磁矩旋轉(zhuǎn)的阻尼系數(shù)，具有一定的物理意義。利用粒子群算法對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，得到阻尼系數(shù)隨外場(chǎng)大小及頻率的變化規(guī)律。最后，將模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文所建立模型的正確性與有效性。

1 電工硅鋼的磁特性測(cè)量

對(duì)于取向硅鋼片，可以簡(jiǎn)單地理解為只有兩個(gè)方向的磁疇；而對(duì)于非取向硅鋼片、非晶、納米晶及粉末壓制而成的軟磁復(fù)合材料，磁疇呈360°隨機(jī)分布。由于本文所提出的模型描述的是單疇壁的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，故選擇取向硅鋼的磁特性以進(jìn)行模型驗(yàn)證。

本文采用SST測(cè)量取向硅鋼B27R090在準(zhǔn)靜態(tài)、動(dòng)態(tài)不同頻率以及動(dòng)態(tài)加載諧波等激勵(lì)條件下的磁特性。測(cè)量頻率為5～500Hz，但是在接近飽和磁化樣品時(shí)，測(cè)量頻率最高為300Hz。測(cè)試樣品的規(guī)格為600mm′100mm′0.259mm，質(zhì)量為492.9g。測(cè)試平臺(tái)通過(guò)計(jì)算機(jī)終端輸入的激勵(lì)信號(hào)經(jīng)功率放大器放大后施加給一次繞組用于磁化樣品。勵(lì)磁電流()與磁場(chǎng)強(qiáng)度()之間的關(guān)系滿足安培定理，即

式中，1為線圈匝數(shù)；m為磁路的等效長(zhǎng)度，由測(cè)量線圈系統(tǒng)的幾何形式規(guī)定。測(cè)量?jī)x器的規(guī)格參數(shù)見(jiàn)表1。通過(guò)測(cè)量線圈二次繞組中的電壓2()得到磁感應(yīng)強(qiáng)度()，即

式中，2為二次繞組匝數(shù)；為樣品橫截面積。

表1 測(cè)量?jī)x器的規(guī)格參數(shù)

Tab.1 Specifications and parameters of measuring instrument

根據(jù)上述測(cè)量原理，分別測(cè)量了不同頻率正弦激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)磁滯回線。此外，在諧波條件下測(cè)量時(shí)，勵(lì)磁電壓1()施加到一次繞組以控制變壓器鐵心內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度波形，勵(lì)磁電壓為

式中，為基波頻率，設(shè)置為50Hz；1m為基波電壓幅值；Um為次諧波電壓幅值；φ為次諧波與基波的相位差。磁感應(yīng)強(qiáng)度()由測(cè)量得到的二次電壓2()積分得到，其峰值為m。諧波含量η定義為次諧波磁感應(yīng)強(qiáng)度峰值Bm與基波磁感應(yīng)強(qiáng)度峰值1m之比，即

2 靜態(tài)磁滯特性模擬

2.1 經(jīng)典Bouc-Wen模型

在機(jī)械結(jié)構(gòu)領(lǐng)域中，對(duì)非彈性行為的記憶定義為遲滯，是材料的一種本征特性。遲滯由抵抗運(yùn)動(dòng)的滯回力和耗散能量產(chǎn)生，其中滯回力取決于瞬時(shí)形變和歷史形變。Bouc模型最初應(yīng)用于非線性振動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，隨后由Wen改進(jìn)，廣泛應(yīng)用于描述結(jié)構(gòu)和機(jī)械工程領(lǐng)域中摩擦力的粘滯特性[17-18]。Bouc-Wen模型的原始力學(xué)模型如圖1所示，由一個(gè)線性彈簧和一個(gè)非線性單元組成，其中非線性單元由一個(gè)線性彈簧和一個(gè)摩擦塊構(gòu)成。

圖1 Bouc-Wen原始力學(xué)模型

該力學(xué)模型包含兩個(gè)狀態(tài)變量，即整個(gè)模型的整體位移和彈簧的滯回位移。其中，滯回位移為整體位移與摩擦塊位移之差[19]。整個(gè)過(guò)程中，在忽略加速度的條件下，結(jié)構(gòu)的非線性回復(fù)力與兩種位移之間的關(guān)系為

Bouc提出了一種滯回位移從彈性到塑性的過(guò)渡方法[19]，即

式中，參數(shù)、和控制回環(huán)的形狀；控制著回線從彈性到塑性過(guò)渡的平滑性，越小，回線越平滑。因此，R. H. Sues等建議將設(shè)置為1.0[20]。即該模型將整體位移作為輸入，由式（6）計(jì)算滯回位移，求得1和2后得到輸出。

2.2 經(jīng)典Bouc-Wen模型在靜態(tài)磁化過(guò)程中的應(yīng)用

根據(jù)磁化機(jī)理，疇壁的移動(dòng)過(guò)程是交換能、靜磁能、退磁能和各向異性能等多種能量平衡的結(jié)果。從較為宏觀的角度上看，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程類似于粘滯摩擦力的動(dòng)力學(xué)過(guò)程。而在材料的磁化過(guò)程中，疇壁的不可逆移動(dòng)是導(dǎo)致磁滯回線分裂成上下支的主要原因。為了簡(jiǎn)化疇壁的粘滯移動(dòng)過(guò)程，將驅(qū)使疇壁移動(dòng)的能量變化過(guò)程類比為一種與外場(chǎng)相關(guān)的力，將阻礙疇壁移動(dòng)的力類比為導(dǎo)致磁滯現(xiàn)象的釘扎力，故本文利用經(jīng)典非線性滯回力學(xué)Bouc-Wen模型表征疇壁的非線性運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)化疇壁移動(dòng)過(guò)程中復(fù)雜的能量最小化的平衡過(guò)程。

在模型構(gòu)建過(guò)程中，假設(shè)阻力w由疇壁能的增加引起，該阻力在一定的疇壁位移w的范圍內(nèi)，與w呈線性關(guān)系[21]，即

式中，=s，為系數(shù)，s為飽和磁化強(qiáng)度。

阻力z是由材料缺陷引起的釘扎阻力，其值反映了材料內(nèi)部缺陷(如雜質(zhì)或空洞)對(duì)疇壁移動(dòng)過(guò)程產(chǎn)生的阻礙作用。在模型構(gòu)建過(guò)程中，釘扎阻力可簡(jiǎn)化認(rèn)為與材料的滯回位移w呈正比，即

式中，為阻力z的阻尼系數(shù)。滯回位移反映了疇壁的粘滯摩擦阻力，由式（6）計(jì)算得到。

疇壁移動(dòng)過(guò)程中受到的外場(chǎng)推力H為[22]

式中，H為賽曼能；為外加磁場(chǎng)強(qiáng)度。忽略加速度，外場(chǎng)推力H為上述幾項(xiàng)阻力之和，即

根據(jù)上述分析，疇壁移動(dòng)引起的阻力w可視為2.1節(jié)所述的彈性阻力1，而釘扎阻力z可視為滯回阻力2。在求解時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度作為模型輸入計(jì)算疇壁位移w，同樣通過(guò)式（6）計(jì)算滯回位移w，進(jìn)而得到外場(chǎng)推力H，最終通過(guò)式（10）得到外場(chǎng)強(qiáng)度。

2.3 改進(jìn)的Bouc-Wen模型

在高場(chǎng)下，磁化過(guò)程不僅包含疇壁的移動(dòng)過(guò)程，還有磁疇磁矩的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，如果使用Bouc-Wen模型來(lái)模擬高場(chǎng)下的磁化過(guò)程，則應(yīng)考慮各向異性引起的磁矩旋轉(zhuǎn)的阻力，因此需在式（11）中加入第三項(xiàng)代表磁疇磁矩旋轉(zhuǎn)的阻力。該項(xiàng)是關(guān)于磁感應(yīng)強(qiáng)度()的單調(diào)遞增奇函數(shù)，為了便于計(jì)算，采用雙曲正弦函數(shù)sinh[()]表達(dá)，其中系數(shù)代表磁疇磁矩旋轉(zhuǎn)的阻力系數(shù)。改進(jìn)后的Bouc-Wen模型為

由于低頻激勵(lì)下的渦流效應(yīng)微弱，對(duì)磁滯回線的影響可被忽略，這里將準(zhǔn)靜態(tài)磁滯回線視作靜態(tài)磁滯回線。分別使用經(jīng)典的Bouc-Wen模型式（11）與改進(jìn)Bouc-Wen模型式（12）對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)下磁滯回線進(jìn)行模擬。圖2為樣品在靜態(tài)磁化條件下磁化至1.5T時(shí)實(shí)驗(yàn)值、經(jīng)典模型計(jì)算值以及改進(jìn)模型計(jì)算值的對(duì)比結(jié)果。

由圖2可看出，在低場(chǎng)下實(shí)驗(yàn)值與經(jīng)典模型計(jì)算值比較一致，但在高場(chǎng)強(qiáng)下，兩者相差較大。經(jīng)典模型無(wú)法準(zhǔn)確模擬磁滯回線接近飽和的部分。這是由于經(jīng)典模型僅考慮了疇壁移動(dòng)過(guò)程，然而材料在接近飽和狀態(tài)時(shí)，磁疇磁矩旋轉(zhuǎn)對(duì)材料磁化的貢獻(xiàn)逐漸增強(qiáng)。改進(jìn)后的模型式（12）考慮了磁矩旋轉(zhuǎn)對(duì)磁化的貢獻(xiàn)，計(jì)算得到的磁滯回線與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的回線很好地吻合，提高了靜態(tài)磁滯回線模擬的準(zhǔn)確性。

3 諧波激勵(lì)下磁滯模型應(yīng)用

為了模擬高階諧波對(duì)磁滯回線的影響，必須對(duì)改進(jìn)后的靜態(tài)模型進(jìn)一步修正。利用正弦激勵(lì)條件(如m=1.5T，50Hz)下的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果對(duì)2.3節(jié)所述的改進(jìn)靜態(tài)模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，并將得到的參數(shù)直接用于模擬該磁感應(yīng)強(qiáng)度下，含有諧波激勵(lì)條件(如m=1.5T，5=20%，5=90°)下的磁滯回線，與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?，若直接將靜態(tài)模型的參數(shù)用于模擬包含諧波激勵(lì)條件下的磁滯回線，則小回環(huán)的回轉(zhuǎn)點(diǎn)在磁滯回線的另一支上，無(wú)法準(zhǔn)確模擬小回環(huán)，使計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值差別較大。目前研究表明，經(jīng)典的Bouc-Wen模型可模擬結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在循環(huán)力作用下的滯回特性?？紤]了與移動(dòng)速度成正比的粘性摩擦力之后，Bouc-Wen模型可進(jìn)一步描述動(dòng)態(tài)的滯回特性[19]。為了描述包含諧波激勵(lì)的磁性材料的動(dòng)態(tài)磁滯特性，本文在經(jīng)典Bouc-Wen中增加描述動(dòng)態(tài)特性的分量，使得改進(jìn)的模型具備描述動(dòng)態(tài)特性的功能。

圖3 未考慮動(dòng)態(tài)分量的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

第2節(jié)討論了靜態(tài)磁化過(guò)程中通過(guò)磁疇結(jié)構(gòu)的變化表征靜態(tài)磁特性的方法，而動(dòng)態(tài)磁化過(guò)程是描述磁性材料在交變磁場(chǎng)下磁特性的變化過(guò)程。為了模擬動(dòng)態(tài)磁特性，需要考慮渦流在疇壁移動(dòng)過(guò)程和磁疇磁矩旋轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的反作用力。根據(jù)磁疇理論，在交變磁場(chǎng)作用下，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化是通過(guò)疇壁移動(dòng)實(shí)現(xiàn)的。若阻礙疇壁移動(dòng)的阻力主要由疇壁附近的渦流引起，則渦流阻力造成的能量損耗是由動(dòng)態(tài)磁化造成的。疇壁移動(dòng)的速度反映了磁化的快慢，將渦流引起的阻尼作用e設(shè)為[21]

式中，0為阻力e的阻尼系數(shù)。即將式（12）改進(jìn)為

動(dòng)態(tài)激勵(lì)下，勵(lì)磁頻率發(fā)生改變，疇壁的移動(dòng)速度發(fā)生變化，故模型中表征疇壁移動(dòng)引起阻力的阻尼系數(shù)0受到頻率及磁感應(yīng)強(qiáng)度變化影響。為計(jì)算包含諧波激勵(lì)下的磁特性，模型應(yīng)采用式（14），輸入含有諧波的波形。由于輸入的波形含有諧波，參數(shù)0需要進(jìn)行調(diào)整，而其他參數(shù)的變化規(guī)律則與靜態(tài)模型一致。

4 模型仿真驗(yàn)證及結(jié)果分析

本文選取不同激勵(lì)條件下的實(shí)測(cè)磁滯回線與損耗數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證所建立的改進(jìn)Bouc-Wen模型的準(zhǔn)確性。

4.1 模型參數(shù)識(shí)別

2.3節(jié)所述的改進(jìn)后的靜態(tài)Bouc-Wen模型(式（6）和式（12）)需要識(shí)別的參數(shù)有0、、、、、及。根據(jù)控制變量法，分析了各個(gè)變量對(duì)磁滯回線的影響，結(jié)果見(jiàn)表2。其中，形狀參數(shù)、、對(duì)回線狀態(tài)變量的影響相同；阻尼系數(shù)0與剩磁和磁導(dǎo)率有關(guān)；僅影響材料的剩磁，與材料的各向異性有關(guān)；影響回線低場(chǎng)強(qiáng)下回線面積，代表了疇壁移動(dòng)做功。

表2 靜態(tài)模型參數(shù)對(duì)磁滯回線影響

Tab.2 Influence of static parameters on hysteresis loop

采用粒子群算法對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)條件下磁滯回線進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為計(jì)算得到的磁場(chǎng)強(qiáng)度與實(shí)測(cè)磁場(chǎng)強(qiáng)度之間的相對(duì)誤差，從而實(shí)現(xiàn)靜態(tài)Bouc-Wen模型參數(shù)識(shí)別。目標(biāo)函數(shù)為

式中，mea為實(shí)測(cè)磁場(chǎng)強(qiáng)度；cal為計(jì)算得到的磁場(chǎng)強(qiáng)度；為采樣點(diǎn)數(shù)。

粒子群算法通過(guò)更新一組初始化隨機(jī)粒子來(lái)搜索最優(yōu)解。在探索和尋找更好的目標(biāo)函數(shù)值的過(guò)程中，粒子僅具有速度和位置兩個(gè)屬性，速度代表粒子移動(dòng)的快慢，位置代表粒子移動(dòng)的方向。在每一次迭代中，粒子的速度和位置信息通過(guò)跟蹤個(gè)體最優(yōu)和群體最優(yōu)進(jìn)行更新[23]。具體流程如圖4所示。

圖4 粒子群算法流程

根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，經(jīng)上述識(shí)別過(guò)程得到的形狀參數(shù)、、可取常數(shù)，分別為10.2、5.2、0.4；可取2；阻尼系數(shù)、0及等隨m的增加單調(diào)變化，識(shí)別結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 靜態(tài)Bouc-Wen模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果

Tab.3 Parameter identification results of static Bouc-Wen model

4.2 改進(jìn)的動(dòng)態(tài)Bouc-Wen模型用于正弦激勵(lì)下磁特性模擬

由第3節(jié)可知，阻尼系數(shù)0為動(dòng)態(tài)系數(shù)，與磁化頻率有關(guān)。為考慮參數(shù)的頻率效應(yīng)，通過(guò)在50～300Hz頻率范圍下測(cè)得的磁滯特性數(shù)據(jù)分別識(shí)別參數(shù)。不同頻率下0變化規(guī)律見(jiàn)表4。依據(jù)參數(shù)隨頻率的變化特性，采用多項(xiàng)式擬合的方式得到參數(shù)0與以及m之間的關(guān)系式為

式中，1=2.652×10-2，2=-4.584×10-3，3=-1.391×10-4，4=7.4×10-2，5=1.137×10-4。

表4 不同及m下參數(shù)0變化

Tab.4 The static parameters at different frequencies and the maximum values of magnetic strength

圖5比較了不同頻率下實(shí)驗(yàn)測(cè)得的磁滯回線與改進(jìn)模型式（14）計(jì)算的磁滯回線。可以看出，在m＜0.7T時(shí)，計(jì)算與測(cè)量的磁滯回線兩者結(jié)果一致；當(dāng)m=1.5T時(shí)，回線總體表現(xiàn)出一致，但在膝點(diǎn)出現(xiàn)了較大的偏差；當(dāng)m＞1.5T時(shí)，計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏差較大。在頻率增大時(shí)，偏差主要表現(xiàn)在高磁感應(yīng)強(qiáng)度磁化時(shí)的膝點(diǎn)處。這是由于式（12）中引入的第三項(xiàng)簡(jiǎn)單表達(dá)式雖能描述磁疇磁矩旋轉(zhuǎn)，但并不能準(zhǔn)確地描述旋轉(zhuǎn)過(guò)程。用該模型計(jì)算的總損耗和測(cè)量結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表5，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增大到1.5T時(shí)，計(jì)算值與測(cè)量值的相對(duì)誤差為5.87%；當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度繼續(xù)增大到高飽和狀態(tài)(m=1.7T)時(shí)，誤差增加，但仍保持在10%之內(nèi)。

圖5 不同頻率正弦激勵(lì)下實(shí)測(cè)和計(jì)算的磁滯回線對(duì)比

表5 不同頻率正弦激勵(lì)下的總損耗計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

Tab.5 The comparison of calculated and experimental total loss under sinusoidal excitation

4.3 改進(jìn)的Bouc-Wen模型用于諧波激勵(lì)條件下磁特性模擬

基于本文提出的動(dòng)態(tài)Bouc-Wen模型，即式（14），模擬不同諧波激勵(lì)下的磁滯模型特性。根據(jù)4.2節(jié)的討論，在模型求解過(guò)程中，除了采用表3所示的靜態(tài)模型參數(shù)，動(dòng)態(tài)參數(shù)0需要重新識(shí)別，用于模擬和預(yù)測(cè)諧波激勵(lì)條件下的磁滯回線。諧波激勵(lì)條件下的動(dòng)態(tài)參數(shù)0見(jiàn)表6。

表6 諧波激勵(lì)條件下動(dòng)態(tài)參數(shù)0

Tab.6 Dynamic coefficient c0 under harmonic excitation

考慮取向硅鋼在不同階次及不同相位諧波激勵(lì)條件下的磁滯回線，并將其與相應(yīng)的實(shí)測(cè)回線進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖6和圖7所示。可以看出在諧波激勵(lì)條件下，隨著諧波的階次和相位不同，磁滯回線發(fā)生畸變并出現(xiàn)局部回環(huán)。對(duì)比計(jì)算與實(shí)測(cè)的回線發(fā)現(xiàn)，二者在較低磁感應(yīng)強(qiáng)度下吻合較好，但在較高磁感應(yīng)強(qiáng)度下效果欠佳。在較高磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，膝點(diǎn)以及回轉(zhuǎn)點(diǎn)處的誤差依然存在。

此外，通過(guò)對(duì)動(dòng)態(tài)Bouc-Wen模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行積分求解，得到樣品在不同諧波激勵(lì)條件下的損耗計(jì)算值，并將其與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表7。對(duì)比可得，諧波激勵(lì)條件下的動(dòng)態(tài)Bouc-Wen模型損耗計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果接近，誤差最大為5.75%，驗(yàn)證了本文改進(jìn)模型的正確性與有效性。

表7 諧波激勵(lì)條件下的總損耗計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

Tab.7 The comparison of calculated and experimental total loss under harmonic excitation

4.4 改進(jìn)的Bouc-Wen模型用于直流偏磁激勵(lì)條件下磁特性模擬

在2.3節(jié)所述改進(jìn)后的Bouc-Wen模型基礎(chǔ)上，針對(duì)直流偏磁激勵(lì)下對(duì)磁特性的影響，進(jìn)一步對(duì)式（12）進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)后的形式為

式中，為附加阻力的阻尼系數(shù)，由該工況下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)識(shí)別得到。

將直流偏磁的影響看作是對(duì)疇壁移動(dòng)和磁疇磁矩旋轉(zhuǎn)施加的額外阻力。為便于計(jì)算，采用一個(gè)偶函數(shù)來(lái)模擬直流偏磁引起的附加阻力，形式為式（17）的最后一項(xiàng)。

圖8展示了準(zhǔn)靜態(tài)下含直流偏磁分量dc=20A/m激勵(lì)條件下磁滯回線的計(jì)算結(jié)果與測(cè)量結(jié)果對(duì)比，證明本文所提出模型能夠?qū)崿F(xiàn)材料在直流偏磁激勵(lì)下磁滯特性的準(zhǔn)確模擬。

圖8 準(zhǔn)靜態(tài)偏磁激勵(lì)條件下磁滯回線計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)論

1）利用經(jīng)典Bouc-Wen模型，表征疇壁在移動(dòng)過(guò)程中受到的由于疇壁能增加引起的阻力和材料缺陷引起的滯回阻力。另外，引入表征磁疇磁矩旋轉(zhuǎn)項(xiàng)對(duì)原始模型進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)后的模型能很好地模擬取向硅鋼片準(zhǔn)靜態(tài)磁化時(shí)的飽和磁滯回線。

2）考慮動(dòng)態(tài)損耗分量對(duì)磁滯回線的影響，引入由渦流對(duì)疇壁的阻力項(xiàng)，并考慮了該項(xiàng)阻尼系數(shù)的頻率效應(yīng)，將模型擴(kuò)展為動(dòng)態(tài)模型。改進(jìn)后的動(dòng)態(tài)模型可很好地模擬不同頻率正弦激勵(lì)下的磁滯特性。

3）應(yīng)用改進(jìn)后的動(dòng)態(tài)Bouc-Wen模型模擬了包含不同諧波激勵(lì)條件下磁特性，分析比較了動(dòng)態(tài)分量對(duì)于小回環(huán)模擬的重要性。通過(guò)對(duì)比計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，驗(yàn)證了所建立的動(dòng)態(tài)Bouc-Wen模型的正確性和有效性，并初步驗(yàn)證了該模型在直流偏磁激勵(lì)下的模擬效果。

[1] 楊慶新, 李永建. 先進(jìn)電工磁性材料特性與應(yīng)用發(fā)展研究綜述[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2016, 31(20): 1-12.

Yang Qingxin, Li Yongjian. Characteristics and developments of advanced magnetic materials in electrical engineering: a review[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2016, 31(20): 1-12.

[2] Cossale M, Kitzberger M, Goldbeck G, et al. Local degradation in soft magnetic materials: a simplified modeling approach[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2019, 55(6): 5897-5905.

[3] Reinert J, Brockmeyer A, De Doncker R W A A. Calculation of losses in ferro- and ferrimagnetic materials based on the modified Steinmetz equation[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2001, 37(4): 1055-1061.

[4] 劉剛, 孫立鵬, 王雪剛, 等. 正弦及諧波激勵(lì)下的鐵心損耗計(jì)算方法改進(jìn)及仿真應(yīng)用[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2018, 33(21): 4909-4918.

Liu Gang, Sun Lipeng, Wang Xuegang, et al. Improvement of core loss calculation method and simulation application under sinusoidal and harmonic excitations[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2018, 33(21): 4909-4918.

[5] Li Yongjian, Chen Ruiying, Cheng Zhiguang, et al. Dynamic hysteresis loops modeling of electrical steel with harmonic components[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2020, 56(5): 4804-4811.

[6] 趙小軍, 王瑞, 杜振斌, 等. 交直流混合激勵(lì)下取向硅鋼片磁滯及損耗特性模擬方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2021, 36(13): 2791-2800.

Zhao Xiaojun, Wang Rui, Du Zhenbin, et al. Hysteretic and loss modeling of grain oriented silicon steel lamination under AC-DC hybrid magnetization[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(13): 2791-2800.

[7] Mayergoyz I D, Friedman G. Generalized Preisach model of hysteresis[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1988, 24(1): 212-217.

[8] Sudo M, Mifune T, Matsuo T, et al. A simplified domain structure model exhibiting the pinning field[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2013, 49(5): 1829-1832.

[9] 趙志剛, 劉佳, 郭瑩, 等. 非正弦勵(lì)磁環(huán)境磁性材料改進(jìn)損耗模型的研究[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2019, 34(13): 2693-2699.

Zhao Zhigang, Liu Jia, Guo Ying, et al. Investigation on the improved loss model of magnetic materials under non-sinusoidal excitation environment[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(13): 2693-2699.

[10] 李陽(yáng). 基于動(dòng)態(tài)J-A磁滯模型直流偏磁下的變壓器鐵損計(jì)算[D]. 天津: 天津工業(yè)大學(xué), 2018.

[11] 段娜娜, 徐偉杰, 李永建, 等. 一種考慮溫度和壓力影響的磁滯模型及其實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2019, 34(13): 2686-2692.

Duan Nana, Xu Weijie, Li Yongjian, et al. A temperature and stress dependent hysteresis model with experiment validation[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(13): 2686-2692.

[12] 劉任, 李琳, 王亞琦, 等. 基于隨機(jī)性與確定性混合優(yōu)化算法的Jiles-Atherton磁滯模型參數(shù)提取[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2019, 34(11): 2260-2268.

Liu Ren, Li Lin, Wang Yaqi, et al. Parameter extraction for Jiles-Atherton hysteresis model based on the hybrid technique of stochastic and deterministic optimization algorithm[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(11): 2260-2268.

[13] 趙志剛, 馬習(xí)紋, 姬俊安, 等. 諧波激勵(lì)條件下鐵心動(dòng)態(tài)Energetic建模與驗(yàn)證[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2020, 35(20): 4241-4250.

Zhao Zhigang, Ma Xiwen, Ji Junan, et al. Dynamic Energetic modeling and verification of core under harmonic excitation[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(20): 4241-4250.

[14] 趙志剛, 馬習(xí)紋, 姬俊安. 基于Energetic模型的直流偏磁條件下電工鋼片磁特性模擬及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2020, 40(14): 4656-4665, 4743.

Zhao Zhigang, Ma Xiwen, Ji Junan. Simulation and experimental verification of magnetic characteristics of electrical steel sheet under DC bias based on Energetic model[J]. Proceedings of the CSEE, 2020, 40(14): 4656-4665, 4743.

[15] Bertotti G. General properties of power losses in soft ferromagnetic materials[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1988, 24(1): 621-630.

[16] Ismail M, Ikhouane F, Rodellar J. The hysteresis Bouc-Wen model, a survey[J]. Archives of Computational Methods in Engineering, 2009, 16(2): 161-188.

[17] Makris N, Palios X, Moghimi G, et al. Pressurized sand damper for earthquake and wind engineering: design, testing, and characterization[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2021, 147(4): 04021014.

[18] Zhu Wei, Wang Daihua. Non-symmetrical Bouc-Wen model for piezoelectric ceramic actuators[J]. Sensors and Actuators A: Physical, 2012, 181: 51-60.

[19] Ikhouane F, Rodellar J. Systems with hysteresis: analysis, identification and control using the Bouc-Wen model[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 2007.

[20] Sues R H, Mau S T, Wen Y K. Systems identification of degrading hysteretic restoring forces[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1988, 114(5): 833-846.

[21] 鐘文定. 鐵磁學(xué)-下冊(cè)[M]. 2版. 北京: 科學(xué)出版社, 2017.

[22] Bertotti G. Hysteresis in magnetism: for physicists, materials scientists, and engineers[M]. San Diego: Academic Press, 1998.

[23] Charalampakis A E, Dimou C K. Identification of Bouc-Wen hysteretic systems using particle swarm optimization[J]. Computers & Structures, 2010, 88(21-22): 1197-1205.

An Improved Bouc-Wen Based Hysteresis Model under Harmonic Magnetization

Li Yongjian1,2Li Yating1,2Lin Zhiwei1,2Cheng Zhiguang3Tian Yakun1,2Chen Ruiying1,2

(1. State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment Hebei University of Technology Tianjin 300130 China 2. Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province Hebei University of Technology Tianjin 300130 China 3. Hebei Provincial Key Laboratory of Electromagnetic & Structural Performance of Power Transmission and Transformation Equipment Baoding 071056 China)

The excitation current of electrical equipment is distorted by harmonic components, which causes a significant increase in iron loss. This paper analogizes the complicated energy change and minimization of total energies during the domain wall motion to the driving force and simplifies the pinning force hindering the domain wall motion as viscous friction. Therefore, the nonlinear hysteretic mechanics Bouc-Wen model is adopted to characterize the hysteresis phenomenon. The initial model is modified by adding new terms that characterize the rotation of domain magnetization. The modified model is used to simulate the hysteresis loops under quasi-static magnetization. The model is further modified to a dynamic model by taking account of the resistance caused by the eddy current, then the loops under sinusoidal excitation with different frequencies and high order harmonics are simulated. The variation and frequency effect of parameters representing the damping coefficients under different excitations are discussed. Finally, the comparison between the measured and calculated results shows good agreement, and the accuracy of the proposed model is validated.

Electrical silicon steel, harmonic, Bouc-Wen model, hysteresis characteristic, loss characteristic

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210994

TM41

國(guó)家自然科學(xué)基金（51777055,51690181），河北省自然科學(xué)基金創(chuàng)新群體項(xiàng)目（E2020202142）和河北省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（20311801D）資助。

2021-07-01

2021-09-14

李永建 男，1978年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楣こ屉姶艌?chǎng)與磁技術(shù)、三維磁特性測(cè)量與建模。E-mail：liyongjian@hebut.edu.cn（通信作者）

利雅婷 女，1997年生，碩士研究生，研究方向?yàn)楣こ屉姶艌?chǎng)與磁技術(shù)。E-mail：liyatingtt@163.com

（編輯 李冰）