李文強(qiáng)

(甘肅省水文站，甘肅 蘭州 730000)

0 引言

近些年，小波相關(guān)分析方法(WAVELETCROSS-CORRELATION，WCC)使用得到普及，該方法通過描述兩個(gè)非穩(wěn)定時(shí)間序列，由于BCC系統(tǒng)研究不夠充分，理論分析方法描述不夠具體直觀，還需要建立相應(yīng)的求解模型。僅用于經(jīng)濟(jì)、信號(hào)解算、臨床醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。為此，本文研究了適用于水文問題研究的小波相關(guān)分析理論和方法，并結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行了簡(jiǎn)要分析，論證了小波相關(guān)分析對(duì)水文時(shí)序研究的適用性和優(yōu)勢(shì)。

1 小波互相關(guān)分析方法

1.1 傳統(tǒng)互相關(guān)分析方法

傳統(tǒng)互相關(guān)分析法主要通過建立模型進(jìn)行變量之間的描述，建立的數(shù)學(xué)關(guān)系式如下：

(1)

上述關(guān)系式中：x、y變量分別為x(t)和y(t)的均值；σx、σy分別為序列x(t)和y(t)的均方差；rxy(k)為兩時(shí)間序列在時(shí)滯k下的互相關(guān)系數(shù)；Cxy(k)為兩時(shí)間序列在時(shí)滯(也稱時(shí)移)k下的互協(xié)方差；n為時(shí)間序列的長(zhǎng)度。理論數(shù)據(jù)分析結(jié)果在上述數(shù)學(xué)關(guān)系式中可以清晰的表示，但在非平穩(wěn)時(shí)間序列間進(jìn)行描述時(shí)，往往理論式便不再成立。

1.2 一種基于連續(xù)小波變換的互相關(guān)分析方法

當(dāng)L2(R)為一個(gè)確定的函數(shù)空間時(shí)，則對(duì)于時(shí)間序列x(t)∈L2(R)，該連續(xù)變換可通過下列表達(dá)式描述：

(2)

(3)

上述關(guān)系式中：Wx(a，b)為x(t)經(jīng)連續(xù)小波變換后的小波系數(shù)；ψ*(t)為ψ(t)的復(fù)共軛函數(shù)；其中變量a、b分別為時(shí)間尺度和位置因子。

(4)

小波變換的實(shí)質(zhì)是利用可變尺寸、可移動(dòng)窗口進(jìn)行時(shí)序譜分析，從而滿足了串行模式局部頻率分析的要求。將收集的水文數(shù)據(jù)向小波變換，可以得到的小波系數(shù)，這是把實(shí)際的數(shù)據(jù)在不同的時(shí)域尺度上的投影，該特征可用于繪制和描述水文序列組成，及水文序列尺度變化的多時(shí)間特征。

1.2.1 基于CWT的小波互相關(guān)系數(shù)求解方法

本文根據(jù)傳統(tǒng)時(shí)間序列確定小波協(xié)方差(waveletcross-covariance)。例如，對(duì)于使用Morret函數(shù)的小波變換等方法的特征系數(shù)計(jì)算是有效的，在分析模型中的兩個(gè)重要變量中，不同時(shí)間段內(nèi)的信號(hào)信息可以在實(shí)際區(qū)段內(nèi)進(jìn)行表示。根據(jù)數(shù)據(jù)分析可以得到下式，即為信號(hào)強(qiáng)度表達(dá)式。小波互協(xié)方差WCxy(a，k)為：

(5)

或

(6)

其中

Wcovxy(a，k)=E[Wx(a，b)Wy(a，b+k)]

(7)

上述關(guān)系式中：k代表時(shí)滯系數(shù)；Wx(a，b)和Wy(a，b)分別為時(shí)間序列x(t)和y(t)在尺度a下對(duì)應(yīng)的連續(xù)小波變換系數(shù)；E[]為方括弧內(nèi)結(jié)果的均值，WCxy(a，k)為序列x(t)和y(t)在尺度a和時(shí)滯k下對(duì)應(yīng)的小波互協(xié)方差。

上述方法求得小波協(xié)方差，在此基礎(chǔ)上利用小波變換局部互相關(guān)系數(shù)(waveletlocalcorrelationcoefficient，WLCC)對(duì)兩個(gè)時(shí)間序列在時(shí)域和特定的時(shí)間位置進(jìn)行互相關(guān)系的分析。

WLCCxy(a，b)=

(8)

(9)

或

(10)

1.2.2 時(shí)間序列小波互相關(guān)度

WCCD(waveletcross-correlationdegree，WCCD)方法主要用于分析兩個(gè)時(shí)間序列在一定時(shí)間范圍內(nèi)和給定時(shí)間間隔內(nèi)的關(guān)系。為了便于分析和描述一般時(shí)區(qū)內(nèi)時(shí)間序列的相關(guān)程度，在此分析了一個(gè)概念，利用CWT的小波時(shí)序變換方法，用于確定整個(gè)時(shí)間空間之間的關(guān)聯(lián)度。即：

以小波關(guān)系式為基礎(chǔ)，進(jìn)行相互關(guān)系式求和：

(11)

根據(jù)上述描述，我們可以總結(jié)歸納出WRxy(a，k)的權(quán)重系數(shù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和分析得到如下關(guān)系式：

(12)

基于CWT的小波互相關(guān)系數(shù)和時(shí)間序列小波互相關(guān)度的總結(jié)和歸納，我們可以分析得到如下關(guān)系式：

(13)

上述關(guān)系式中：WCDDxy(k)代表著兩時(shí)間序列在時(shí)滯K之間聯(lián)系下的相互關(guān)系，其實(shí)根據(jù)相關(guān)時(shí)滯K加權(quán)期望值下的定義，是通過分析計(jì)算總結(jié)得到的計(jì)算結(jié)果，能夠精確地反映出我們需要的數(shù)值，通過上述計(jì)算式，更加明確，精準(zhǔn)的得到相關(guān)計(jì)算結(jié)果。WCDDxy(k)能夠全面的反映出相關(guān)關(guān)系和分布情況兩方面的數(shù)值，因此在應(yīng)用方面也需要不斷推廣。在實(shí)際應(yīng)用過程中，我們市場(chǎng)將WCDDxy(k)以圖形的形式進(jìn)行反映，能夠更加全面、直觀、準(zhǔn)確的反映出相關(guān)變量之間的互相關(guān)關(guān)系，為數(shù)據(jù)理論分析和研究提供依據(jù)。

1.2.3 小波互相關(guān)系數(shù)等值線圖

利用等價(jià)線構(gòu)造圖可以實(shí)現(xiàn)對(duì)小波序列在時(shí)域內(nèi)的性質(zhì)分析。本文提出了一種小波間等價(jià)線的構(gòu)造方法，并利用等價(jià)圖進(jìn)行綜合和局部定量分析了框架內(nèi)不同時(shí)間尺度和時(shí)間間隔之間時(shí)間序列數(shù)的相關(guān)性，即實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列相互關(guān)系的“時(shí)間頻率綜合分析”目標(biāo)。

數(shù)值等價(jià)圖對(duì)于描述和繪制時(shí)間序列之間的關(guān)系很重要。主要有：(1)垂直截?cái)嗟刃〔ㄏ嚓P(guān)系數(shù)圖，它允許分析兩個(gè)序列在恒定時(shí)間滯后下根據(jù)時(shí)間尺度的相關(guān)性大小的變化；(2)用等值圖進(jìn)行水平剖面，可以根據(jù)時(shí)間分析兩行關(guān)聯(lián)度的變化；(3)根據(jù)時(shí)間尺度分析了值的正負(fù)相關(guān)性，可以在不同的時(shí)間尺度上發(fā)現(xiàn)兩個(gè)級(jí)數(shù)相互關(guān)系的正負(fù)變化。

1.3 基于離散小波變換的小波分析方法

在實(shí)際使用中，實(shí)際環(huán)境下獲取到的水文信息通常都是離散的，問了降低小波變換的信息復(fù)雜程度，在進(jìn)行連續(xù)小波變換的同時(shí)常將連續(xù)波分解，然后轉(zhuǎn)換成離散小波(Discrete WaveletTransform，DWT)離散小波可以使用下列表達(dá)式進(jìn)行描述：

(14)

對(duì)于公式(14)中的時(shí)間尺度和位置尺度一般取a0=2，b0=1；對(duì)于同一類型(2)的值j和k對(duì)于a和b。

3、加大青島在國(guó)外主要客源地的旅游宣介力度。加大投入、創(chuàng)新形式、進(jìn)一步細(xì)分客源市場(chǎng)進(jìn)行有重點(diǎn)、主次分明的旅游推介，才會(huì)更有效果，而不是眉毛胡子一把抓。

通過對(duì)上文所述的DWT算法的改進(jìn)，提出一些紅新的計(jì)算思路，新的計(jì)算方法主要思路如下：(1)針對(duì)不同的小波函數(shù)，對(duì)小波分裂層數(shù)合理設(shè)置；(2)根據(jù)時(shí)間測(cè)量(Wavelet RE Construction)重建小波系數(shù)，將兩個(gè)重構(gòu)序列建立在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間尺度上；(3)結(jié)合之前的相關(guān)分析方法(方案1)對(duì)構(gòu)造后的序列進(jìn)行相關(guān)性分析。

通過對(duì)各個(gè)時(shí)域尺度的序列進(jìn)行重新構(gòu)造，表達(dá)式如下：

(15)

式中：分子式指出了這種重建序列與原序列的協(xié)方差，它的分母是在時(shí)間延遲K下的原序列中的自相關(guān)。

公式(15)與傳統(tǒng)解數(shù)關(guān)系的不同之處在于，這個(gè)分母只使用初級(jí)級(jí)數(shù)x(t)的自相關(guān)，這有助于在同一標(biāo)準(zhǔn)框架內(nèi)將調(diào)整序列與主序列進(jìn)行比較。

1.4 小波互相干性分析方法

在進(jìn)行分析計(jì)算的過程中，通過分析總結(jié)歸納，得到如下關(guān)系式：

(16)

關(guān)系式中：時(shí)間序列為x(t)和y(t)；互方差譜密度為Sxy(ω)；互相關(guān)系數(shù)為rxy(τ)。

利用傅氏變換進(jìn)行頻譜相干性分析(spectral coherence)，具體公式如下：

(17)

小波譜(wavelet spectrum)的定義如下：

(18)

(19)

進(jìn)行小波普定義式的計(jì)算中，經(jīng)過分析總結(jié)，得到如下關(guān)系式：

(20)

關(guān)系式中：小波互相干系數(shù)為Wρ(a，τ)

根據(jù)波數(shù)與時(shí)間序列的相關(guān)性程度，用波段描述小波相干性分析，繪制水文序列之間的相互關(guān)系。

2 實(shí)例分析

下面通過對(duì)黃河河口和古岱站的數(shù)據(jù)為依托，通過數(shù)據(jù)和圖形的結(jié)合，以不同時(shí)間尺度和不同時(shí)滯為研究突破點(diǎn)分析其緊五十多年的徑流，從而分析黃河下游流經(jīng)的特征。研究和分析能夠更好的幫助我們了解黃河下游的水文特征，對(duì)生態(tài)環(huán)境的保護(hù)和水文信息的采集具有重要意義。

選用式(9)求解小波互相關(guān)系數(shù)WRxy(a，k)。利用CWT分析方法，對(duì)不同時(shí)間參數(shù)和兩個(gè)不同延時(shí)中的河水徑流序列之間的關(guān)系，并進(jìn)行分析。

“Morlet”分析黃河某河口的徑流量的數(shù)據(jù)步驟如下：(1)時(shí)間寬度范圍取50 a，時(shí)間最大時(shí)滯取20 a，根據(jù)CWT計(jì)算出來的結(jié)果，確立小波互相關(guān)關(guān)系；(2)分別繪制時(shí)滯k=0、2和5時(shí)的WRxy(a，k)-a曲線(圖1(a))，和時(shí)間尺度a=3、7、11和20時(shí)的WRxy(a，k)-a曲線(圖1(b))。在進(jìn)行分析計(jì)算的過程中，通過上述計(jì)算式，我們可以明確的得到我們想要的結(jié)果，能夠?yàn)橐院蟮挠?jì)算總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，得到依據(jù)，為更加深入的進(jìn)行研究提供可行性方案。將數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總得到的傳統(tǒng)分析法如圖2顯示：從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，小波互相關(guān)度系數(shù)的最大值為0.97。

圖1 黃河貴德站和河口站年徑流序列小波互相關(guān)系曲數(shù)

圖2 貴德站和河口站小波互相關(guān)關(guān)系曲線

在進(jìn)行上述分析研究的過程中，通過數(shù)據(jù)分析和繪制圖像，我們研究得到了相關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)果和理論分析結(jié)果。將結(jié)果和數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)合，得到以下歸納內(nèi)容：

(1)垂直剖面上的等效小波相關(guān)系數(shù)方案，可以了解兩個(gè)序列在恒定時(shí)間尺度上的關(guān)系滯后。在相同的時(shí)滯參數(shù)情況下。例如以k=5以4 a、8 a和50 a為例，分別計(jì)算出小波相關(guān)系數(shù)為0.58、0.95和0.88；然后將時(shí)間滯后K從0增加到5分別進(jìn)行計(jì)算分析。

(2)小波相關(guān)系數(shù)等效水平剖面圖，對(duì)兩個(gè)時(shí)間序列的尺度關(guān)系進(jìn)行客觀的描述。圖1(b)顯示兩個(gè)直徑的相關(guān)值在同一時(shí)間范圍內(nèi)的任何時(shí)間點(diǎn)上都會(huì)發(fā)生變化且相關(guān)度有逐漸下降的趨勢(shì)。以a=7為例，時(shí)滯k=0、4、9、14和19中的兩個(gè)序列在0.94、0.88、0.78、0.59和0.58之間波動(dòng)；兩數(shù)值交替隨時(shí)間變化的振蕩周期逐漸增大。

(3)小波相互關(guān)系分析結(jié)果圖2顯示了兩個(gè)連續(xù)時(shí)域在不同時(shí)間間隔內(nèi)的不同程度的相關(guān)關(guān)系。在K=0時(shí)滯下，小波之間的相關(guān)度達(dá)到最大0.96，這與傳統(tǒng)的相互關(guān)系分析結(jié)果一致。在任何時(shí)間滯后增加后，小波之間的相關(guān)度逐漸減小，在K=13度時(shí)，短波之間的相關(guān)性達(dá)到另一個(gè)最大值0.80。與相關(guān)系數(shù)曲線的對(duì)比表明，小波關(guān)系曲線更平滑、更顯著。

3 結(jié)語

(1)前文通過對(duì)連續(xù)小波變換方法的介紹，將算法的特點(diǎn)做出介紹，理論分析方法描述不夠具體直觀，還需要建立相應(yīng)的求解模型。僅用于經(jīng)濟(jì)、信號(hào)解算、臨床醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。為此，本文研究了適用于水文問題研究的小波相關(guān)分析理論和方法，并結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行了簡(jiǎn)要分析，論證了小波相關(guān)分析對(duì)水文時(shí)序研究的適用性和優(yōu)勢(shì)。為了準(zhǔn)確描述兩個(gè)時(shí)間序列的相關(guān)特點(diǎn)，建立了小波互相關(guān)分析方法，小波變換的實(shí)質(zhì)是利用可變尺寸、可移動(dòng)窗口進(jìn)行時(shí)序譜分析，從而滿足了串行模式局部頻率分析的要求。將收集的水文數(shù)據(jù)向小波變換，可以得到的小波系數(shù)，這是把實(shí)際的數(shù)據(jù)在不同的時(shí)域尺度上的投影，該特征可用于繪制和描述水文序列組成，及水文序列尺度變化的多時(shí)間特征。

(2)通過對(duì)上文所述的DWT算法的改進(jìn)，提出一些紅新的計(jì)算思路，針對(duì)不同的小波函數(shù)，對(duì)小波分裂層數(shù)合理設(shè)置，根據(jù)時(shí)間測(cè)量重建小波系數(shù)，將兩個(gè)重構(gòu)序列建立在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間尺度上，結(jié)合之前的相關(guān)分析方法對(duì)構(gòu)造后的序列進(jìn)行相關(guān)性分析。