林麥麥 蔣蕾 宋秋影 付穎捷 王明月 文慧珊 于騰萱

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,蘭州 730070)

應(yīng)用約化攝動(dòng)法推導(dǎo)得到用來(lái)描述含有Kappa 分布電子的多組分復(fù)雜等離子體中非線性離子聲孤波的Zakharov-Kuznetsov (ZK)方程.進(jìn)而獲得了非線性離子聲孤波的非線性強(qiáng)度隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律.同時(shí),利用Sagdeev 勢(shì)方法求得Sagdeev 勢(shì)函數(shù),明確了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)含有Kappa 分布電子的多組分復(fù)雜等離子體相圖、Sagdeev 勢(shì)函數(shù)及非線性離子聲孤波的振幅與寬度等傳播特征的重要影響.

1 引言

近年來(lái),多組分等離子體的理論研究在物理學(xué)各個(gè)領(lǐng)域皆有廣泛應(yīng)用,而復(fù)雜等離子體中非線性波的研究也是等離子體物理學(xué)的熱門(mén)課題之一[1-6].例如,EI-Taibany 等[7]利用分岔原理研究了孤立波的非線性特性,并首次探討了雙流體復(fù)雜等離子體的引力和極化力對(duì)塵埃聲波結(jié)構(gòu)的影響;Moinuddin等[8]研究了碰撞產(chǎn)生的非線性波和孤立波的沖擊特性;Prasad 等[9]首次探討了電子-離子磁化太陽(yáng)風(fēng)等離子體中離子聲波解的分岔問(wèn)題,揭示了離子聲波的周期解、超周期解、扭結(jié)解、反扭結(jié)解、壓縮孤立波解和稀疏孤立波解的存在性;Hameed 等[10]研究了非均勻無(wú)碰撞、呈Kappa 分布電子且?guī)в袎m埃電荷漲落的離子-電子對(duì)等離子體中的塵埃聲波.與此同時(shí),關(guān)于Kappa 電子分布對(duì)等離子體非線性波的影響,也受到眾多科技工作者的關(guān)注[11-13].1992 年,Summers 等[14]在空間等離子體中觀測(cè)到粒子分布具有非麥克斯韋高能量,可以利用Kappa分布進(jìn)行建模;Alam 等[15]研究了塵埃聲波在含有Kappa 分布電子的復(fù)雜等離子體中的斜碰撞效應(yīng);Abbasi 等[16]探討了熱黏性流體離子和不同溫度的Kappa 分布電子組成的磁旋轉(zhuǎn)等離子體中離子聲孤波的非線性特征.

本文研究了含有Kappa 電子分布的多組分復(fù)雜等離子體中的(3+1)維非線性離子聲波.首先,利用約化攝動(dòng)法推導(dǎo)得到用來(lái)描述(3+1)維非線性離子聲波的Zakharov-Kuznetsov (ZK)方程.并通過(guò)數(shù)值方法討論Kappa 電子分布及平衡狀態(tài)下,多種粒子的數(shù)密度對(duì)ZK 方程非線性系數(shù)的影響.然后,利用Sagdeev 勢(shì)方法得到二維自治系統(tǒng)及Sagdeev 勢(shì)函數(shù),并借助數(shù)值模擬獲得系統(tǒng)相圖,Sagdeev 勢(shì)及孤立波的振幅、寬度和波型隨Kappa 電子分布和其他系統(tǒng)參數(shù)的基本變化規(guī)律.

2 基本方程

為了研究含有Kappa 電子分布的多組分復(fù)雜等離子體中(3+1)維非線性離子聲波的傳播特征.假設(shè)復(fù)雜等離子體由正離子、負(fù)離子、離子束和含有Kappa 分布的電子組成,依據(jù)大量的空間觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)室等離子體檢測(cè),在多組分等離子體中由于多種物理過(guò)程的出現(xiàn),導(dǎo)致等離子體中存在著諸如正離子、負(fù)離子、離子束和偏離麥克斯韋分布而呈現(xiàn)Kappa 分布的電子,這些粒子對(duì)多組分等離子體中非線性波的運(yùn)動(dòng)特征存在顯著的影響[17].正離子、負(fù)離子、離子束遵循麥克斯韋分布[18-21],本文重點(diǎn)分析電子的Kappa 分布對(duì)復(fù)雜等離子體中離子聲波傳播的影響.流體力學(xué)是離子聲波理論研究的方法之一.忽略粒子間的相互碰撞作用,依據(jù)磁流體理論,假設(shè)多組分的等離子體流體隨3 個(gè)空間坐標(biāo)x,y,z和1 個(gè)時(shí)間坐標(biāo)t演化,從而給出非線性離子聲波的無(wú)量綱化演化方程[17]:

其中κ表示Kappa 分布系數(shù).

基于線性化方法和平面波解法,假設(shè)

可求得線性波的色散關(guān)系為

3 約化攝動(dòng)法求解ZK 方程

利用約化攝動(dòng)法研究含有Kappa 電子的多組分復(fù)雜等離子體中(3+1)維非線性離子聲波的傳播特征.首先,對(duì)(1)式—(6)式中的自變量進(jìn)行坐標(biāo)伸展變換:ξ=ε·x,η=ε·y,τ=ε3·t,?=ε·(z-v0·t),其中ε為表征非線性強(qiáng)度的小參數(shù),v0為相速度.原始方程組為無(wú)量綱化方程組,約化攝動(dòng)法中引入ε(0＜ε ＜1),可依據(jù)無(wú)量綱化的具體過(guò)程完成多個(gè)量的量級(jí)確定.由于大于四階的小量對(duì)系統(tǒng)影響較小,為方便計(jì)算,將方程中各未知量進(jìn)行攝動(dòng)展開(kāi):

將(9)式—(13)式代入(1)式—(6)式,在ε的最低次冪下有

在ε的較高次冪下,有

在ε的最高次冪下,獲得用來(lái)描述含有Kappa分布電子的復(fù)雜等離子體中(3+1)維非線性離子聲波的ZK 方程:

接下來(lái),利用數(shù)值方法討論Kappa 電子分布及平衡狀態(tài)下多種粒子的數(shù)密度對(duì)ZK 方程的非線性系數(shù)A的影響.圖1 給出了系統(tǒng)參數(shù)μi+,μi-,μb取不同值時(shí),非線性系數(shù)A隨電子的Kappa 分布系數(shù)κ的變化規(guī)律.如圖1 所示,A隨著κ增大而減小,而其他參數(shù)的取值對(duì)A的影響則各不相同.從圖1(a)和圖1(c)可以看出,非線性系數(shù)A隨著μi+,μb的增大而增大.由可知,當(dāng)平衡狀態(tài)下的正離子數(shù)密度、離子束密度增多而電子數(shù)密度降低時(shí),離子聲波的非線性強(qiáng)度A將逐步增強(qiáng);圖1(b)表明非線性系數(shù)A隨著μi-的增大而減小,考慮到當(dāng)平衡狀態(tài)下負(fù)離子數(shù)密度增大時(shí),非線性系數(shù)A將減小.綜上所述,圖1 表明在含有Kappa 電子的多組分復(fù)雜等離子體中,平衡狀態(tài)下的正、負(fù)離子和離子束的數(shù)密度和Kappa 電子分布數(shù)均對(duì)(3+1)維非線性離子聲波的非線性系數(shù)存在不可忽視的重要影響.

圖1 非線性系數(shù)A 隨Kappa 分布電子數(shù) κ 的變化規(guī)律Fig.1.Nonlinear coefficient A with respect to the Kappa distributed electron κ .

4 Sagdeev 勢(shì)函數(shù)及孤立波解

假設(shè)ZK 方程有孤立波解?1=?1(θ),θ=lξ+mη+p? -u0τ,其中l(wèi),m,p分別為ξ,η,?三個(gè)方向的波數(shù),u0為非線性波的速度,則ZK 方程變形為

(14)式可簡(jiǎn)化為二維自治系統(tǒng):

其中,

圖2 為二維自治系統(tǒng)(15)式的相圖隨著Kappa電子分布系數(shù)κ的變化圖,其中其他系統(tǒng)參數(shù)取值分別為α=1,β=0.7,p=m=l=0.4,u0=0.2 .由于p,l,m對(duì)孤波振幅均有影響,所以取適當(dāng)值使得振幅處于恰當(dāng)范圍更有益于數(shù)據(jù)分析,模擬實(shí)驗(yàn)中可以得到p=m=l=0.4 時(shí)圖形最優(yōu)[17-20].由圖2(a)可以看出,在含有Kappa 電子分布的多組分復(fù)雜等離子體系統(tǒng)中同時(shí)存在線性波解、非線性波解和孤立波解3 類(lèi)軌道.通過(guò)對(duì)圖2(a)—(c)進(jìn)行比對(duì),系統(tǒng)相圖表明當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取值不同時(shí),線性波解和非線性波解會(huì)出現(xiàn)在含有Kappa分布電子的多組分等離子體系統(tǒng)中波動(dòng)過(guò)程的兩個(gè)不同時(shí)間段,并表現(xiàn)出線性波、非線性波和孤立波3 種不同的波動(dòng)行為特征.復(fù)雜等離子體系統(tǒng)中所含的Kappa 電子分布數(shù)的改變,只會(huì)影響系統(tǒng)相圖中不同類(lèi)型離子聲波解的存在范圍,而不會(huì)改變系統(tǒng)相圖中不同類(lèi)型離子聲波解存在的基本屬性.

圖3—圖5 描繪了系統(tǒng)相圖隨系統(tǒng)參數(shù)μi+,μi-和μb的基本變化,其結(jié)論與圖2 基本類(lèi)似.考慮到,這意味著對(duì)于含有Kappa 電子分布的多組分復(fù)雜等離子體而言,系統(tǒng)平衡狀態(tài)時(shí)的正、負(fù)離子和離子束數(shù)密度,以及電子數(shù)密度的不同,只會(huì)使系統(tǒng)相圖中不同類(lèi)型離子聲波解的存在范圍發(fā)生改變,而不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)相圖中離子聲波的線性波解、非線性波解和孤立波解這3 種不同類(lèi)型的波解結(jié)構(gòu)發(fā)生改變.

圖2 系統(tǒng)相圖隨Kappa 電子分布數(shù) κ 的變化Fig.2.The variations of system phase diagram with Kappa electron distribution number κ .

圖3 系統(tǒng)相圖隨 μ i+ 的變化Fig.3.The variations of system phase diagram with μ i+ .

圖4 系統(tǒng)相圖隨 μ i- 的變化Fig.4.The variations of system phase diagram with μ i- .

圖5 系統(tǒng)相圖隨 μb 的變化Fig.5.The variations of system phase diagram with μb .

其中,Sagdeev 勢(shì)函數(shù)形式為

圖6 給出了Sagdeev 勢(shì)函數(shù)隨不同參數(shù)的變化規(guī)律.圖6(a)—圖6(d)中Sagdeev 勢(shì)曲線與橫軸均存在交點(diǎn)?m,且?m＞0,這表明該系統(tǒng)僅存在壓縮型孤立波.表1 為 Sagdeev 勢(shì)V(?)=0,μi+,μi-,μb,κ取不同值時(shí),對(duì)應(yīng)振幅的大小.

表1 Sagdeev 勢(shì) V (?)=0,μ i+,μ i-,μ b,κ 取不同值時(shí),對(duì)應(yīng)振幅的大小Table 1. Amplitude of solitary waves with respect to μ i+,μ i-,μ b,κ at Sagdeev potential V (?)=0 .

圖6 Sagdeev 勢(shì)函數(shù) V (?1) 的變化規(guī)律Fig.6.The variations of Sagdeev potential function V (?1) .

孤波振幅隨著μi+,μb的增大及μi-,κ的減小而減小.根據(jù)數(shù)據(jù)分析可知,隨著μi+的增大振幅減小幅度越來(lái)越小,隨著μi-增大,振幅變大的幅度比較均勻,隨著μb的增加,振幅減小的幅度較為均勻,而隨著κ的增加,振幅減小的幅度越來(lái)越小.由于多組分復(fù)雜等離子體系統(tǒng)中.這說(shuō)明: 當(dāng)多組分復(fù)雜等離子體系統(tǒng)中所含的Kappa 電子分布數(shù)、負(fù)離子數(shù)密度的增大時(shí),系統(tǒng)中的壓縮型孤立波的振幅將減小;隨著正離子數(shù)密度、離子束數(shù)密度的增大振幅減小,隨著κ的增加,振幅減小的幅度越來(lái)越大.另外,若平衡狀態(tài)下的正離子和離子束數(shù)密度降低,而負(fù)離子束密度和Kappa 電子分布數(shù)增加,則導(dǎo)致孤立波的振幅增大,與此同時(shí),孤立波振幅的改變與正離子、負(fù)離子和離子束數(shù)密度的改變緊密相關(guān).以上結(jié)論表明: 復(fù)雜等離子體系統(tǒng)中的多種因素均對(duì)Sagdeev勢(shì)函數(shù)及孤立波的波形特征存在重要影響.

對(duì)Sagdeev 勢(shì)方程(16)式進(jìn)行求解,可得到的孤立波解形式為

其中

分別為孤立波的振幅與寬度.

圖7 孤波振幅 ? m 隨Kappa 分布電子數(shù) κ 的變化規(guī)律Fig.7.The amplitude of solitary waves ? m with respect to the Kappa distributed electron number κ .

圖9 給出了孤立波的波形隨系統(tǒng)參數(shù)的變化趨勢(shì),其他參數(shù)取值分別為p=l=m=0.4,u0=0.5 .圖9 顯示當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)μi+,μi-,μb和κ取值各不相同時(shí),該系統(tǒng)中僅存在振幅大于0 的壓縮型孤立波.該結(jié)論與Sagdeev 勢(shì)函數(shù)的分析結(jié)果一致.由圖9(a),(c)可以看出,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)μi+和μb增加時(shí),孤立波振幅減小且寬度增大;而μi-和 Kappa電子分布數(shù)κ增加時(shí),孤立波振幅增大且寬度減小.以上結(jié)果與圖6—圖8 中的結(jié)論一致.綜上所述,含有Kappa 電子分布的多組分復(fù)雜等離子體系統(tǒng)中僅存在壓縮型孤立波,且系統(tǒng)中正、負(fù)離子和離子束的數(shù)密度以及電子Kappa 分布情況均對(duì)非線性離子聲孤波的振幅,寬度及波形存在不可忽略的重要影響.

圖8 孤波寬度 ω 隨系統(tǒng)參數(shù) μb 的變化規(guī)律Fig.8.The variations of the solitary wave’s width ω with respect to the parameter μb .

圖9 孤立波 ? 1 的波形變化規(guī)律Fig.9.Waveform variation law of the solitary waves ? 1 .

5 結(jié)論

本文研究了含有Kappa 電子分布的多組分復(fù)雜等離子體中離子聲孤波.利用約化攝動(dòng)法求得用來(lái)描述非線性離子聲波的ZK 方程,通過(guò)分析與討論從理論上研究了不同參數(shù)對(duì)非線性系數(shù)的影響.結(jié)果表明,非線性強(qiáng)度隨著正離子、離子束數(shù)密度的增大而增大,隨負(fù)離子數(shù)密度和Kappa 電子分布數(shù)κ增大而減小;平衡狀態(tài)時(shí),孤立波振幅隨著正離子、離子束數(shù)密度的增大而減小,隨負(fù)離子數(shù)密度和Kappa 電子分布數(shù)κ增大而增大;孤立波寬度隨正離子、離子束數(shù)密度的增大而增大,隨負(fù)離子數(shù)密度和Kappa 電子分布數(shù)κ增大而減小.與此同時(shí),還利用Sagdeev 勢(shì)方法求解得到二維自治系統(tǒng)和Sagdeev 勢(shì)函數(shù),通過(guò)數(shù)值模擬給出的相圖顯示: 多組分復(fù)雜等離子體系統(tǒng)中存在非線性波解、線性波解和孤立波解,且孤立波具有振幅大于0的壓縮型特征,與此對(duì)應(yīng)的Sagdeev 勢(shì)函數(shù)的變化規(guī)律與相圖結(jié)果一致.通過(guò)進(jìn)一步深入討論,不難發(fā)現(xiàn): 多組分復(fù)雜等離子體系統(tǒng)中的多種系統(tǒng)參數(shù),包括平衡狀態(tài)下的正、負(fù)離子和離子束數(shù)密度以及Kappa 電子分布數(shù)等,均對(duì)非線性離子聲孤波的振幅、寬度和波形存在不可忽視的重要影響.本文利用約化攝動(dòng)法所獲得的非線性離子聲孤波的演化特征隨Kappa 分布系數(shù)的變化規(guī)律,與其他方法所得的非線性系數(shù)孤立波隨Kappa 分布系數(shù)的變化規(guī)律保持一致[22].