吳榮興，王曉明，張青艷，王 驥

(1.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所，寧波 315800；2.寧波大學(xué)機(jī)械與力學(xué)學(xué)院,寧波 315211)

0 引 言

隨著現(xiàn)代電子行業(yè)和物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的不斷發(fā)展，石英晶體諧振器作為穩(wěn)定頻率和選擇頻率的關(guān)鍵元件，在通信、醫(yī)療傳感、航天航空、工程檢測(cè)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-4]。石英晶體諧振器高頻振動(dòng)分析的方法有Mindlin、Lee和Peach等提出的各種板理論和基于這些理論的有限元分析[5-8]。在石英晶片的小變形和不考慮高階材料常數(shù)的情況下，Mindlin等[5]板理論將位移展開為厚度坐標(biāo)的冪級(jí)數(shù)從而將三維彈性問題轉(zhuǎn)化為二維問題。隨著電子元器件尺寸的不斷微型化和工作頻率的不斷提高，尺寸效應(yīng)和高階材料常數(shù)的影響也逐漸體現(xiàn)[9-10]。

Tiersten等[11-12]首先建立了考慮材料非線性的壓電板高頻振動(dòng)方程，并引入了高階材料常數(shù)和偏場(chǎng)效應(yīng)，用攝動(dòng)法等解析法對(duì)簡(jiǎn)化后的方程進(jìn)行了求解。Yang等[13]建立了考慮大變形情況下石英晶體諧振器的非線性高頻振動(dòng)方程，并用伽遼金法和攝動(dòng)法等對(duì)非線性方程進(jìn)行了求解。Abe等[14]分別利用Mindlin板理論和有限元法對(duì)壓電晶體板的非線性高頻振動(dòng)進(jìn)行了分析。Wu等[15-17]建立了考慮幾何和材料非線性的石英晶體板的高頻振動(dòng)方程，但是僅對(duì)單一厚度剪切振動(dòng)方程進(jìn)行了求解。Wang等提出了擴(kuò)展伽遼金法(extended Galerkin method, EGM)和擴(kuò)展瑞利-里茲法(extended Rayleigh-Ritz method, ERRM)，其主要思路就是對(duì)非線性方程在時(shí)間上取一個(gè)振動(dòng)周期的平均，從而將微分方程化為代數(shù)方程，根據(jù)非線性問題的周期平均特性實(shí)現(xiàn)近似和相應(yīng)的簡(jiǎn)化[18-21]。在此基礎(chǔ)上，本文利用擴(kuò)展伽遼金法對(duì)石英晶體板非線性高頻振動(dòng)方程組進(jìn)行了轉(zhuǎn)化和求解。

1 非線性方程求解

隨著壓電聲波器件尺寸的微型化和振動(dòng)頻率的高頻化，高階材料常數(shù)和幾何大變形對(duì)壓電聲波器件振動(dòng)特性的影響也越來越明顯[10,14]。Wu等[15-17]建立了考慮幾何和材料非線性的石英晶體板的厚度剪切振動(dòng)模態(tài)和彎曲振動(dòng)模態(tài)的控制方程，具體表達(dá)式如下:

(1)

和

(2)

Wu等[15-17]建立的石英晶體板高頻振動(dòng)非線性方程組不僅考慮了幾何和材料非線性，而且考慮了電場(chǎng)的影響，無法直接求解。Wang和Wu等利用傳統(tǒng)的伽遼金法對(duì)單一厚度剪切振動(dòng)的非線性振動(dòng)方程式(2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，接著分別利用攝動(dòng)法和同倫分析法等對(duì)該非線性方程進(jìn)行了求解[15-17]。對(duì)于強(qiáng)烈耦合的非線性方程組式(1)和式(2)，Wang等利用逐次逼近法對(duì)方程進(jìn)行了求解，獲得的結(jié)果不是特別理想[15-17]。本文希望用拓展伽遼金法對(duì)強(qiáng)烈耦合的石英晶體板高頻振動(dòng)方程組進(jìn)行聯(lián)合求解。

可以定義兩個(gè)殘差為:

(3)

和

(4)

傳統(tǒng)的伽遼金法利用線性解的正交性將非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為時(shí)間變量的常微分方程[24]，Wang等提出的拓展伽遼金法在平衡方程的加權(quán)函數(shù)中添加簡(jiǎn)諧函數(shù)并對(duì)一定周期內(nèi)進(jìn)行積分，可以得到振動(dòng)特性的代數(shù)方程[18-21]。具體表達(dá)式如下[18-21]:

(5)

式中:a和T分別為石英晶體板的半板長(zhǎng)和一個(gè)周期。

根據(jù)石英晶體諧振器的位移和電勢(shì)的直峰波假設(shè)[13]，可以假設(shè):

(6)

式中:A(B)、m(n)、ω和V分別是兩個(gè)模態(tài)的振幅、波數(shù)、振動(dòng)頻率和石英晶體諧振器的驅(qū)動(dòng)電壓。根據(jù)Wang等石英晶片的最佳長(zhǎng)厚比尺寸選取，這里可以設(shè)定兩個(gè)模態(tài)的波數(shù)為m=14,n=1。

基于位移假設(shè)，重寫式(5)為：

(7)

拓展伽遼金法可以提供對(duì)不同周期的時(shí)間函數(shù)積分，得到低階和高階的頻幅關(guān)系，并通過振幅迭代獲得更為精確的位移解和頻率表達(dá)式[19]。

將位移表達(dá)式(6)代入殘差表達(dá)式(3)和式(4)，最后代入式(7)，可以得到:

(8)

和

(9)

式中：

(10)

重寫式(8)和式(9)，可以得到：

(11)

和

(12)

2 數(shù)值算例

式(11)和式(12)就是考慮幾何和材料非線性的石英晶體板的厚度剪切振動(dòng)模態(tài)和彎曲振動(dòng)模態(tài)強(qiáng)烈耦合的頻率響應(yīng)方程組。為了避免兩種模態(tài)的強(qiáng)烈耦合，選取最佳尺寸為b=0.827 3 mm,a=21.2b。為了計(jì)算簡(jiǎn)單，定義歸一化振動(dòng)頻率為Z=ω/ωTSh0。根據(jù)石英晶體材料常數(shù)和選取的石英晶片尺寸，通過Matlab程序?qū)κ?11)和式(12)進(jìn)行數(shù)值求解，分別繪制彎曲振動(dòng)模態(tài)和厚度剪切振動(dòng)模態(tài)的頻率響應(yīng)關(guān)系如圖2和圖3所示。

圖2和圖3都表明厚度剪切振動(dòng)模態(tài)和彎曲振動(dòng)模態(tài)的位移均為納米級(jí)別，這與試驗(yàn)觀測(cè)到的結(jié)果一致[3]。圖2表明隨著歸一化振動(dòng)頻率Z的增加，彎曲振動(dòng)模態(tài)方程首先觀察到彎曲振動(dòng)模態(tài)達(dá)到諧振狀態(tài)，在歸一化振動(dòng)頻率1附近，可以觀察到厚度剪切振動(dòng)模態(tài)的諧振狀態(tài)。圖3表明厚度剪切振動(dòng)模態(tài)在歸一化振動(dòng)頻率1附近達(dá)到諧振狀態(tài)，沒有觀察到彎曲振動(dòng)模態(tài)的諧振，主要原因是彎曲振動(dòng)的振幅相對(duì)于厚度剪切振動(dòng)的振幅較小，大約為厚度剪切振動(dòng)模態(tài)振幅的量級(jí)，因此觀察不到該振動(dòng)的諧振[15-17]。

可以對(duì)式(12)進(jìn)行改寫，省略純彎曲振動(dòng)模態(tài)的部分且保留耦合部分可以得到[15-17]：

(13)

式中：P1=D3+αD4+α2D5+α3D6，α=A/B為新定義的振幅比。

根據(jù)Yang提出的電位移近似理論[25]，流經(jīng)石英晶體板上下電極的單位面積的電流可以表示為:

I=e26BωTSh0

(14)

根據(jù)式(14)，可以得到:

(15)

這樣就獲得了石英晶體板厚度剪切振動(dòng)模態(tài)的頻率響應(yīng)方程。可以進(jìn)一步繪制不同振幅比和不同驅(qū)動(dòng)電壓情況下的頻率響應(yīng)曲線如圖4和圖5所示。這里需要指出的是圖4和圖5的橫坐標(biāo)為厚度剪切振動(dòng)模態(tài)基頻的百萬分之一(parts per million)，因此沒有單位[15-17]。

圖4為不同振幅比情況的石英晶體板非線性厚度剪切振動(dòng)模態(tài)的頻率響應(yīng)曲線，其驅(qū)動(dòng)電壓V為1 V。圖4表明隨著振幅比α的增加，頻率響應(yīng)曲線整體向右彎，出現(xiàn)了硬彈簧特性的趨勢(shì)[13,15-17]。因此在實(shí)際石英晶體諧振器高頻振動(dòng)分析過程中，必須考慮彎曲振動(dòng)模態(tài)的耦合，也就是利用Wang等提出的最佳長(zhǎng)厚比尺寸來避免兩種模態(tài)的強(qiáng)烈耦合[22-23]。這里的結(jié)果表明過去對(duì)石英晶體板單一厚度剪切振動(dòng)的求解存在一定缺陷，因?yàn)閺澢駝?dòng)模態(tài)的振幅對(duì)厚度剪切振動(dòng)的影響非常明顯，只有利用拓展伽遼金法對(duì)石英晶體板高頻振動(dòng)非線性方程組進(jìn)行聯(lián)合求解才能獲得精確的振動(dòng)特性分析[13,15-17]。

圖5為不同驅(qū)動(dòng)電壓下石英晶體板厚度剪切振動(dòng)模態(tài)的頻率響應(yīng)曲線，其振幅比為α=0.02。表明隨著驅(qū)動(dòng)電壓的增加，石英晶體諧振器的頻率漂移也將更加明顯，也就是石英晶體諧振器的激勵(lì)電平效應(yīng)開始出現(xiàn)[14]。例如當(dāng)I=100 A/m2時(shí)，各驅(qū)動(dòng)電壓之間的頻率漂移普遍在30×10-6左右，實(shí)際壓電諧振器的允許頻率漂移值一般在10×10-6以內(nèi)[15-17]。因此在石英晶體諧振器的實(shí)際使用過程中，必須對(duì)驅(qū)動(dòng)電壓進(jìn)行精確控制。

3 結(jié) 論

利用擴(kuò)展伽遼金法對(duì)考慮幾何和材料非線性的石英晶體板厚度剪切振動(dòng)和彎曲振動(dòng)的方程組進(jìn)行了轉(zhuǎn)化和求解，分別獲得了強(qiáng)烈耦合的彎曲振動(dòng)模態(tài)和厚度剪切振動(dòng)模態(tài)的頻率響應(yīng)關(guān)系，繪制了不同振幅比和不同驅(qū)動(dòng)電壓影響下的頻率響應(yīng)曲線圖。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)選取石英晶片的最佳長(zhǎng)厚比尺寸時(shí)，厚度剪切振動(dòng)模態(tài)是石英晶體諧振器的主要模態(tài)，而彎曲振動(dòng)模態(tài)的耦合較小。當(dāng)選取其他不同石英晶片的長(zhǎng)厚比尺寸時(shí)，振幅比的影響將較為明顯。同時(shí)發(fā)現(xiàn)不同驅(qū)動(dòng)電壓對(duì)石英晶體諧振器厚度剪切振動(dòng)的振動(dòng)頻率影響極為明顯，頻率漂移值超出了壓電聲波器件的允許值。這里得到的結(jié)果可以部分解釋石英晶體諧振器的激勵(lì)電平效應(yīng)，在實(shí)際石英晶體諧振器的工作過程中，必須保持驅(qū)動(dòng)電壓的穩(wěn)定性。