陳新華,張 晨,陳 猛,郭振坤,郝天琪

(1.北京建筑大學機電與車輛工程學院，城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點實驗室,北京 100044； 2.中國科學院力學研究所微重力重點實驗室，北京 100190)

0 引 言

聲子晶體是一種具有彈性波禁帶的周期性結(jié)構(gòu)功能材料，周期性的布拉格散射或局域共振作用可以形成能帶帶隙。其所具有的能帶特性，可以禁止一定頻率范圍內(nèi)的彈性波在聲子晶體中傳播[1]。聲子晶體的帶隙特征對減振降噪具有重要意義，國內(nèi)外在聲子晶體帶隙方面的研究越來越多[2-8]：我國學者多以結(jié)構(gòu)的設(shè)計及其幾何和拓撲優(yōu)化研究為主，國外學者則更側(cè)重于對帶隙產(chǎn)生機理的分析和奇異特性的探索。但是因為局域共振的本征屬性，只能在共振頻率處實現(xiàn)對聲波的控制，這就導(dǎo)致產(chǎn)生的頻帶較窄，在寬頻聲波控制的應(yīng)用中帶來了困難。

蜂窩結(jié)構(gòu)作為一種典型的復(fù)合結(jié)構(gòu)，由于比強度高、抗沖擊性好、減振等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于航空航天、鐵路車輛和建筑等工程領(lǐng)域[9-11]。Gibson等[12]在傳統(tǒng)蜂窩結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上設(shè)計了內(nèi)凹六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)。蜂窩結(jié)構(gòu)中凹角和旋轉(zhuǎn)機構(gòu)的存在導(dǎo)致負泊松比特性，在一些工程中的應(yīng)用具有重要意義[13-15]。對于內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)，學者們也進行了深入的研究：楊振宇等[16]將內(nèi)凹六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)與星型結(jié)構(gòu)結(jié)合，與星型結(jié)構(gòu)和內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)對比發(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)吸能效果更好；Hu等[17]和Hou等[18]分別對負泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)(胞壁角度、胞壁長度比)分析，負泊松比效應(yīng)隨胞壁夾角的增大和胞壁長度比的減小而增強；Tan等[19]提出了兩種用正六邊形子結(jié)構(gòu)和等邊三角形子結(jié)構(gòu)代替凹入蜂窩的胞壁構(gòu)建的凹入分層蜂窩，結(jié)果表明設(shè)計的蜂窩結(jié)構(gòu)具有更高的吸收能力。這些國內(nèi)外學者對負泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的力學性能以及吸能性能進行了深入的研究，但是對于蜂窩結(jié)構(gòu)的帶隙特性研究有所不足。

“分形”的概念提出后，學者們設(shè)計出很多具有優(yōu)異力學和吸能特性的結(jié)構(gòu)。分形結(jié)構(gòu)具有多尺度特性，對聲學超材料而言，多尺度結(jié)構(gòu)能夠拓寬工作頻率，產(chǎn)生多條帶隙；分形結(jié)構(gòu)具有自相似性，不同階的單胞形狀相似，設(shè)計簡單。本文針對上述聲子晶體中存在的問題，引入了分形的內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)來拓寬帶隙的頻帶以及降低帶隙的頻帶位置。通過對分形內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，使得優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在小尺寸的情況下仍具備優(yōu)秀的帶隙特性，提高結(jié)構(gòu)低頻、寬頻聲學特性，使其在減振隔振領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用前景。

1 聲子晶體結(jié)構(gòu)模型的建立

1.1 幾何模型及材料參數(shù)

以普通的六邊形內(nèi)凹結(jié)構(gòu)為初始幾何設(shè)計，設(shè)計不同層次順序的凹角蜂窩結(jié)構(gòu)如圖1所示。由周期性填充不同階數(shù)的單元格構(gòu)成的結(jié)構(gòu)如圖1(a)、(c)、(e)所示。圖1(b)所示定義一階內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)單胞，一階凹角蜂窩結(jié)構(gòu)尺寸L1=12 cm，L2=8 cm，L1/L2=1.5，內(nèi)凹角度θ=63°，單胞壁厚b=0.1 cm。將凹角六邊形(見圖1(a))的6個頂點替換為較小的凹角六邊形，其高寬比與圖1(a)相同(高和寬均為上一階的五分之一)，構(gòu)成了二階層次晶格單元凹角單胞(見圖1(d))。三階凹角結(jié)構(gòu)晶格單元采用相同的堆疊概念，用二階晶格單元代替更小的晶格單元的頂點(見圖1(f))。通過保證不同的結(jié)構(gòu)具有相同的質(zhì)量，使得不同層次的凹角結(jié)構(gòu)保持整體密度不變，便于進行性質(zhì)比較。結(jié)構(gòu)的散射體材料為空氣，結(jié)構(gòu)的基體材料參數(shù)如表1所示。

表1 基體材料參數(shù)Table 1 Parameters of basis material

1.2 理論方法計算

周期晶格的單元格和布里淵區(qū)如圖2所示。在單位中，ei(i=1,2)為基本格向量，可以用正交笛卡爾基本向量和晶格常數(shù)表示為：

e1=3Li

(1)

e2=2Li

(2)

一般來說，倒格子的基矢定義如下：

(3)

倒格子中晶格點的坐標位置可以用倒格子矢量G表示，它是倒格子基向量的線性組合：

G=n1e1+n2e2

(4)

式中：n1和n2是整數(shù)。

倒格子晶格向量可以表示為：

(5)

(6)

在二維空間中，通過沿基本單元格向量(e1,e2)移動單元格，可以構(gòu)造周期結(jié)構(gòu)，也可以得到基本晶格的布里淵區(qū)，如圖2所示，其中?！鶻→M→Γ為不可約布里淵區(qū)。

根據(jù)Bloch定理，與空間位置r相關(guān)的本征波場體積的部分u(r)可以用空間平面波的形式表示：

u(r)=e-ik·rUk(r)

(7)

式中：r是位置向量，k是第一個布里淵區(qū)的波向量，i是虛單位，Uk(r)是本征波振幅。

周期結(jié)構(gòu)的邊界位移可以通過Bloch邊界條件來控制，因此存在:

u(r+R)=e-ik·ru(r)

(8)

式中：R為晶格的基向量。

將單胞劃分網(wǎng)格，設(shè)置邊界條件后，根據(jù)一般有限元程序確定形式函數(shù)，并建立單元內(nèi)的剛度和質(zhì)量矩陣，得到單元的廣義特征式，特征值方程可表示為：

(K-ω2M)u(v)=F

(9)

式中：K和M分別為單元剛度和質(zhì)量矩陣；u(v)為廣義節(jié)點位移；F為力的向量。

利用公式(9)進行整個計算，可以將結(jié)構(gòu)簡化為一系列單元。在COMSOL軟件中，選擇x方向和y方向上的兩條邊作為源邊界，為目標邊界選擇的兩條邊對應(yīng)于源邊界的兩條邊。周期性單元相應(yīng)邊界處的周期性條件表示為：

udestination=e-ik(rdestination-rsource)usource

(10)

式中：u為因變量的向量；向量k表示激勵的空間周期性。

根據(jù)圖2所示的第一個布里淵區(qū)，波矢量k沿路徑Γ→X→M→Γ進行參數(shù)掃掠。利用方程(9)和(10)，可以得到給定k的結(jié)構(gòu)特征頻率，根據(jù)方程(9)可以得到結(jié)構(gòu)的本征頻率。因此，最終以波矢量k為水平坐標、本征頻率為縱坐標繪制色散曲線得到能帶圖，色散曲線之間的禁帶為能帶結(jié)構(gòu)，色散分支上的本征頻率都對應(yīng)該結(jié)構(gòu)的模態(tài)形狀。

2 結(jié)果與討論

2.1 不同階數(shù)的泊松比分析

由于蜂窩結(jié)構(gòu)具有負泊松比的特性，本文引入了分形結(jié)構(gòu)，探究不同階的凹角蜂窩結(jié)構(gòu)是否同樣產(chǎn)生負泊松比特性以及數(shù)值上的變化。泊松比定義為橫向拉伸的應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比值:

(11)

式中：ν為泊松比；εx為橫向拉伸應(yīng)變；εy為縱向收縮應(yīng)變。

向內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)施加水平方向的拉力，其縱向桿會同時向外移動，其原因是斜桿在受到拉力時，結(jié)構(gòu)內(nèi)凹角展開，同時斜桿發(fā)生旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)膨脹產(chǎn)生負泊松比效應(yīng)。大多數(shù)內(nèi)凹結(jié)構(gòu)在受拉時不可避免地會發(fā)生斜桿的面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，這是內(nèi)凹系統(tǒng)具有負泊松比特性的主要原因[20]。

采用有限元軟件COMSOL的固體力學模塊對分形結(jié)構(gòu)進行泊松比的仿真計算。結(jié)構(gòu)采用三維實體建模，選擇ABS材料，其屬性如表1所示。

泊松比仿真參照單軸拉伸實驗，對模型進行網(wǎng)格劃分，并對結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格收斂性分析。結(jié)構(gòu)左端固支，右端施加指定位移。通過有限元仿真結(jié)果顯示，分形結(jié)構(gòu)單元在拉伸之后，單元的縱向位移變大，產(chǎn)生明顯的拉脹效應(yīng)，如圖3所示。

各階凹角結(jié)構(gòu)的泊松比與高度比h(整體凹角結(jié)構(gòu)高度與頂點分形凹角結(jié)構(gòu)高度比)的關(guān)系如圖4所示，默認一階結(jié)構(gòu)時高度比為1。一階凹角蜂窩結(jié)構(gòu)的泊松比為-1.131，二階和三階結(jié)構(gòu)隨著高度比從3到4的變大過程中，泊松比明顯下降，二階結(jié)構(gòu)最小泊松比為-1.602，三階結(jié)構(gòu)最小為-1.846，分別比一階凹角結(jié)構(gòu)的泊松比降低了41.64%和63.22%。分形結(jié)構(gòu)的泊松比數(shù)值在高度比等于4之后又有所增加，但增長幅度不大，基本保持在-1.5上下。由此可知，當結(jié)構(gòu)高度比為4時可以得到最小的泊松比，且泊松比為負值，凹角蜂窩的分形結(jié)構(gòu)也具有負泊松比的特性。

2.2 分形階數(shù)對蜂窩結(jié)構(gòu)聲子晶體帶隙的影響

設(shè)計的內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)不僅具有以上特性，還可以多尺度拓展頻率，實現(xiàn)寬頻帶隙。通過對分形凹角蜂窩結(jié)構(gòu)的聲子晶體建模并利用COMSOL進行仿真，計算了其能帶結(jié)構(gòu)，研究了分形蜂窩結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系。

根據(jù)上述的材料屬性和幾何參數(shù)，將波矢k在布里淵區(qū)邊界上取值(Γ、X和M)為掃頻區(qū)域的3個頂點，得到的帶隙如圖5所示，其中灰色陰影區(qū)域為計算頻率范圍內(nèi)的帶隙。

一階內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的帶隙如圖5(a)所示。從圖中可以看出，在0～10 000 Hz的范圍內(nèi)，總共產(chǎn)生了2個完整的帶隙，在低頻處產(chǎn)生了726～861 Hz的帶隙。對于單胞超材料，表明內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)在低頻區(qū)具有一定的彈性波衰減特性；第2條帶隙產(chǎn)生在6 637～7 100 Hz。當分形為二階結(jié)構(gòu)時，產(chǎn)生的通帶明顯增多，帶隙變寬，這體現(xiàn)了分形結(jié)構(gòu)的多尺度調(diào)節(jié)頻帶。在二階內(nèi)凹結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生了8條通帶，說明該結(jié)構(gòu)具有良好的彈性波衰減性能。繼續(xù)分形為三階凹角結(jié)構(gòu)時，通帶所占比例為整個比例的43.7%，帶隙產(chǎn)生的頻率范圍降低。在Γ→X方向上產(chǎn)生了三條較寬的方向帶隙，其所占比例為整個比例的18.7%，這表明在Γ→X方向可以更好地實現(xiàn)寬頻隔聲。隨著分形階數(shù)的增加，可以看出二階分形結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的帶隙效果最好，在3 000～9 000 Hz的頻率內(nèi)幾乎具有較好的全帶隙特性。凹角結(jié)構(gòu)在?！鶻方向還具有較好的方向帶隙特性，隨著分形階數(shù)的增加其方向帶隙所占比例也在逐漸增加。

為進一步分析禁帶產(chǎn)生的機理，對分形結(jié)構(gòu)不同階數(shù)第一帶隙高對稱點進行分析，其振動模態(tài)如圖6所示。圖6(a)、(b)為一階結(jié)構(gòu)第一帶隙的模態(tài)，內(nèi)凹結(jié)構(gòu)的模態(tài)主要由結(jié)構(gòu)的振動引起，振動產(chǎn)生一階振動模態(tài)。由布拉格反射條件可知，當波長λ=2a/n時，所對應(yīng)頻率的波反射最強，彈性波不能傳播，進而產(chǎn)生帶隙?；w大致保持靜止，波的大部分能量還在晶體結(jié)構(gòu)中，因此低頻帶隙得以打開；二階結(jié)構(gòu)由于左右兩側(cè)的梁變短，梁發(fā)生二階振動模態(tài)，出現(xiàn)了彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，產(chǎn)生帶隙，彎扭耦合振動的帶隙比單純的彎曲振動帶隙頻率范圍更寬，帶隙內(nèi)衰減更大，如圖6(c)、(d)所示。局域振動同時被激發(fā)，周期局域共振結(jié)構(gòu)的軸扭轉(zhuǎn)振動可以產(chǎn)生低頻局域共振帶隙，此時的梁內(nèi)部自身的局域共振模態(tài)會使波的能量消耗，抑制波的傳播。在圖6(e)、(f)中，三階結(jié)構(gòu)如二階結(jié)構(gòu)一樣，左右兩側(cè)的梁由于分形結(jié)構(gòu)的增加進一步縮短，振動與行波發(fā)生耦合，相鄰單胞的振動方向不同，使得結(jié)構(gòu)基本保持靜止，聲波被局域在結(jié)構(gòu)中，帶隙得以打開，使得波的能量消耗而無法通過，波傳播時振動分別被局限在結(jié)構(gòu)中。由圖中發(fā)現(xiàn)帶隙起始點的模態(tài)幾乎都是由于梁的彎曲變形引起，而且在帶隙產(chǎn)生的上下又會有許多相近的能帶，這是由于這些頻率附近模態(tài)表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)內(nèi)部梁的振動，在分形內(nèi)凹結(jié)構(gòu)內(nèi)存在許多分形的梁，不同的梁之間相互組合產(chǎn)生了更多階模態(tài)。

2.3 結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對帶隙的影響

由于帶隙的產(chǎn)生取決于結(jié)構(gòu)自身的振動特性以及結(jié)構(gòu)中波的相互作用，而決定上述的特性關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)自身的幾何參數(shù)，為了探究結(jié)構(gòu)參數(shù)對帶隙產(chǎn)生的影響，采用控制變量法來研究各個參數(shù)對帶隙的影響。

2.3.1 結(jié)構(gòu)壁厚對帶隙的影響

選取二階以及三階的凹角蜂窩結(jié)構(gòu)進行研究，考慮到實際應(yīng)用的要求，壁厚也不應(yīng)過小。在其他條件保持不變的情況下設(shè)置壁厚b分別為0.05 cm、0.1 cm、0.15 cm和0.2 cm。通過COMSOL軟件仿真得到帶隙的變化如圖7所示。

由圖7可以看出，結(jié)構(gòu)壁厚對完全帶隙的影響較為明顯。隨著壁厚的增加，產(chǎn)生的帶隙數(shù)量基本不變，均勻分布在整個頻域里，帶隙出現(xiàn)的范圍逐漸向高頻區(qū)域轉(zhuǎn)移，帶隙的起始頻率和終止頻率都出現(xiàn)一定程度的上升。在圖7(a)中，不同壁厚的凹角結(jié)構(gòu)都產(chǎn)生了6條帶隙，壁厚為0.05 cm時，第一條帶隙產(chǎn)生于905～1 036 Hz，全部帶隙所占比例大約為整個頻率范圍的46.2%。圖中也可以發(fā)現(xiàn)不同厚度的薄壁在6 500～8 000 Hz的范圍內(nèi)都產(chǎn)生了較寬的帶隙。在壁厚為0.1 cm時，二階和三階結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的第六帶隙相對降低。因此，改變壁厚對于帶隙整體的分布影響明顯，中心頻率有偏向高頻范圍的趨勢，這是由于結(jié)構(gòu)彎曲剛度增大促使帶隙寬度逐漸變寬。

2.3.2 結(jié)構(gòu)內(nèi)凹角度對帶隙的影響

在不改變結(jié)構(gòu)其他因素的情況下，改變凹角蜂窩結(jié)構(gòu)的內(nèi)凹角度，二、三階凹角結(jié)構(gòu)內(nèi)凹角度對結(jié)構(gòu)帶隙的影響如圖8所示?？紤]到結(jié)構(gòu)的壁厚以及形狀的影響，選取了θ=53°、58°、63°和68°內(nèi)凹角的結(jié)構(gòu)進行仿真分析。

研究表明，在10 000 Hz的范圍內(nèi)，隨著內(nèi)凹夾角的增大，二階凹角結(jié)構(gòu)與三階凹角結(jié)構(gòu)產(chǎn)生帶隙的頻率增加，帶隙的上邊界值和下邊界值都有所增加。在二階蜂窩結(jié)構(gòu)中，內(nèi)凹夾角為53°時，第一帶隙為752～792 Hz。前三帶隙都在2 000 Hz之內(nèi)但寬度較小，第四、五、六帶隙隨著角度的增加寬度逐漸減小，整體上結(jié)構(gòu)在4 000～8 000 Hz的范圍內(nèi)覆蓋率較高，最低達到了75%。在三階蜂窩結(jié)構(gòu)中，產(chǎn)生的帶隙條數(shù)明顯增多，夾角為53°的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了12條帶隙，但隨著內(nèi)凹夾角的增加帶隙條數(shù)逐漸減少；內(nèi)凹夾角為53°時，第一帶隙為750～822 Hz。前二帶隙在2 000 Hz之內(nèi)，之后的帶隙隨著角度的增加頻率依舊增加。當需要低頻帶隙時，可以增大結(jié)構(gòu)內(nèi)凹角度。通過這一結(jié)果，可以針對不同的減振需求選擇不同角度的聲子晶體。在帶隙覆蓋方面，沒有隨著角度的改變發(fā)生較大的變化，內(nèi)凹角度對蜂窩聲子晶體禁帶范圍影響并不明顯。

2.4 填充介質(zhì)對帶隙的影響

保證其他因素不變的情況下，在凹角蜂窩結(jié)構(gòu)內(nèi)部填充介質(zhì)探究其對帶隙的影響。在凹角分形結(jié)構(gòu)頂點處添加鋼材，如圖9所示，填充物的材料參數(shù)如表2所示。嵌入鋼材的原因是鋼材的橫波速度大，相同的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的帶隙范圍更大，有利于帶隙的研究。

由圖10的對比可以發(fā)現(xiàn)，在分形頂點填充鋼材，二階結(jié)構(gòu)填充鋼材后在2 000～5 000 Hz內(nèi)的?！鶻方向產(chǎn)生了較寬的方向帶隙，帶隙在6 000～9 000 Hz內(nèi)沒有太多變化；三階結(jié)構(gòu)帶隙有較為明顯的變寬，主要集中在高頻6 000～10 000 Hz，帶隙的上邊界向高頻偏移，下邊界向低頻偏移。二階和三階結(jié)構(gòu)在填充鋼材后的帶隙范圍分別達到了70.5%和68.7%。與此同時，在添加鋼材后，帶隙的條數(shù)變多。

表2 填充材料參數(shù)Table 2 Parameters of filling material

如圖11所示，二階結(jié)構(gòu)在頻率為137 Hz時不處在帶隙范圍內(nèi)，二階蜂窩結(jié)構(gòu)發(fā)生整體結(jié)構(gòu)變形；在6 000～9 000 Hz，結(jié)構(gòu)處于帶隙區(qū)間時，二階結(jié)構(gòu)發(fā)生左右上下梁的變形，向四周衰減，并沒有使其他結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動，從而突出帶隙特性。

3 結(jié) 論

本文通過對一種分形凹角蜂窩結(jié)構(gòu)進行分析，探究其在帶隙特性方面的優(yōu)良表現(xiàn)，同時使其在實際應(yīng)用上有更大的可行性。運用Bloch定理與有限元法對帶隙結(jié)構(gòu)進行了數(shù)值模擬，得到如下結(jié)論：

(1)凹角蜂窩結(jié)構(gòu)在進行分形后，所得到的分形結(jié)構(gòu)仍然具有負泊松比的特性，并且隨著高度比的增加泊松比的數(shù)值先迅速降低然后緩慢增加，最后數(shù)值在-1.5上下浮動。

(2)通過對凹角結(jié)構(gòu)進行分形設(shè)計與優(yōu)化，由于分形結(jié)構(gòu)的多尺度調(diào)節(jié)頻帶的原因，分形的階數(shù)增加使帶隙的條數(shù)增加。二階凹角結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的帶隙效果最好，帶隙在0～10 000 Hz內(nèi)的覆蓋率最大，通過分形可以針對高頻寬帶進行帶隙范圍的可調(diào)節(jié)化。

(3)通過調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、改變結(jié)構(gòu)的壁厚以及角度發(fā)現(xiàn)：隨著壁厚的增加，帶隙的條數(shù)保持不變，整體分布向高頻區(qū)域轉(zhuǎn)移；隨著內(nèi)凹角度的增加產(chǎn)生帶隙的區(qū)域頻率越來越大，內(nèi)凹角度對蜂窩聲子晶體整體禁帶范圍影響并不明顯。

(4)在分形結(jié)構(gòu)頂點處填充鋼材，第一帶隙均有所降低，帶隙寬度在6 000～9 000 Hz內(nèi)拓寬明顯，二階結(jié)構(gòu)填充鋼材后在2 000～5 000 Hz內(nèi)的Γ→X方向產(chǎn)生了較寬的方向帶隙。