張學(xué)玲

（中鐵建設(shè)集團(tuán)有限公司，北京 100040）

引言

西班牙建筑師安東尼·高迪和瑞士結(jié)構(gòu)師海因茨·伊斯勒利用“逆吊實(shí)驗(yàn)法”設(shè)計(jì)了多項(xiàng)“薄而剛”的大型薄殼結(jié)構(gòu)。隨后對(duì)索、膜等柔性結(jié)構(gòu)的建筑形態(tài)上出現(xiàn)多種試驗(yàn)方法，如“皂泡法”“濕絲線模型法”和“干絲線模型法”等。實(shí)驗(yàn)方法思路簡(jiǎn)單、直接，給定的原始形狀上施加外力可以得出較合理的結(jié)構(gòu)形狀。但對(duì)復(fù)雜的建筑項(xiàng)目來(lái)說(shuō)，特別是探討多種方案時(shí)，時(shí)間上、制作細(xì)節(jié)、費(fèi)用上不經(jīng)濟(jì)，而且縮放過(guò)程中很難保證精度。隨著計(jì)算機(jī)效率的迅速提高與數(shù)值理論技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法逐漸取代實(shí)驗(yàn)方法，已出現(xiàn)了“力密度法”“動(dòng)力松弛法”“有限元法”“感度分析法”等多種數(shù)值方法。這些方法在索、膜等柔性結(jié)構(gòu)找形與拉壓結(jié)構(gòu)形狀確定問(wèn)題中開拓了新的思路，提供了新的方法，但要滿足建筑的錯(cuò)綜復(fù)雜要求仍需要進(jìn)一步的完善。

本文以桿系結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，提出以結(jié)構(gòu)與機(jī)構(gòu)互換方式，創(chuàng)構(gòu)出受力合理結(jié)構(gòu)的桿系結(jié)構(gòu)形態(tài)的方法。該方法根據(jù)桿件長(zhǎng)度不變的限制條件推導(dǎo)出“移形方程”，確定機(jī)構(gòu)可能位移方向。利用機(jī)構(gòu)勢(shì)能關(guān)于節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)微分的特性逐步修正機(jī)構(gòu)形狀，得出勢(shì)能最小化的穩(wěn)定平衡機(jī)構(gòu)形狀，最終將機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)換成結(jié)構(gòu)。文中通過(guò)算例考察了機(jī)構(gòu)形狀變化過(guò)程中的勢(shì)能的變化規(guī)律、所對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的形狀與受力性能變化規(guī)律，總結(jié)了方法的特點(diǎn)，驗(yàn)證了方法的實(shí)用性[1]。

一、方法的建立

1．機(jī)構(gòu)移形方程的建立

機(jī)構(gòu)在外力作用下改變?cè)瓉?lái)的狀態(tài)往自平衡狀態(tài)演變，在這演變過(guò)程中機(jī)構(gòu)狀態(tài)的移動(dòng)近似于剛體的移動(dòng)，可以以桿件組總長(zhǎng)度不變?yōu)闂l件建立“機(jī)構(gòu)移形”方程。

2．機(jī)構(gòu)勢(shì)能最小化

將結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成機(jī)構(gòu)后，機(jī)構(gòu)改變?cè)袪顟B(tài)在某一新狀態(tài)下自行停留，這現(xiàn)象從能量角度來(lái)看，機(jī)構(gòu)改變狀態(tài)達(dá)到勢(shì)能最小狀態(tài)的一種結(jié)果，而其改變狀態(tài)過(guò)程是機(jī)構(gòu)自行演變的過(guò)程。機(jī)構(gòu)在不穩(wěn)定狀態(tài)往穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)程中，機(jī)構(gòu)的勢(shì)能逐步變小[2]。

二、數(shù)值算例

1．某工程天窗的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)優(yōu)化示例

以某實(shí)際工程天窗的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)優(yōu)化為例。圖1a所示為21.2m×2.9m的矩形內(nèi)的初始設(shè)計(jì)方案。將以鉸接代替各構(gòu)件的剛接，結(jié)構(gòu)將轉(zhuǎn)換成機(jī)構(gòu)。初始機(jī)構(gòu)四周節(jié)點(diǎn)設(shè)定為固定鉸支座。設(shè)定與實(shí)際工況方向相反的節(jié)點(diǎn)荷載，本算例中，節(jié)點(diǎn)荷載大小為1.0kN，方向?yàn)樨Q直向上。圖1b所示為機(jī)構(gòu)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的形狀，即處于無(wú)彎矩平衡狀態(tài)時(shí)的形狀，將此機(jī)構(gòu)的所有節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為剛接，機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)。整體看，優(yōu)化前后形狀變化并不大，圖1c所示為結(jié)構(gòu)某一截面處優(yōu)化前后對(duì)比圖，優(yōu)化前結(jié)構(gòu)橫截面為圓弧，優(yōu)化后更接近懸鏈線[3]。

圖1 某項(xiàng)目天窗網(wǎng)格結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化

圖2所示為機(jī)構(gòu)在形狀演變過(guò)程中勢(shì)能增量的變化情況，可知機(jī)構(gòu)勢(shì)能變化由快變慢并最終收斂于零，在整個(gè)機(jī)構(gòu)的變化過(guò)程中，所有構(gòu)件均為剛體，故優(yōu)化前后構(gòu)件的長(zhǎng)度保持一致，仍然可以采用原設(shè)計(jì)的基本構(gòu)件進(jìn)行施工。

對(duì)比優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的變化，采用商業(yè)有限元軟件對(duì)初始方案中的結(jié)構(gòu)與優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了力學(xué)性能分析。在有限元分析中，節(jié)點(diǎn)荷載為1kN，方向豎直向下，所有構(gòu)件的規(guī)格為Φ60×3，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。重點(diǎn)考察優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布情況的變化，包括結(jié)構(gòu)的最大/平均彎矩、最大/平均軸力，應(yīng)變能，節(jié)點(diǎn)位移。圖2展示了優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)在給定荷載下的位移云圖，其中位移放大400倍。將對(duì)比結(jié)果列于表1中，由表中數(shù)據(jù)，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能降低了47.5%，最大彎矩與平均彎矩分別降低了81.7%和89.8%，軸力變化不大。原結(jié)構(gòu)方案所有桿件總長(zhǎng)度為234.9877356m，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)所有桿件總長(zhǎng)度為234.9876749m。由此可知結(jié)構(gòu)的形狀變化不大，鋼材用量不變的條件下，結(jié)構(gòu)整體的力學(xué)性能得到了很大的改善。在給定荷載下，結(jié)構(gòu)形態(tài)更加合理[4]。

表1 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)受力性能

圖2 機(jī)構(gòu)勢(shì)能增量的變化

圖3 結(jié)構(gòu)位移云圖

2．六邊形自由曲面網(wǎng)格結(jié)構(gòu)優(yōu)化示例

在294.5m×160.0m矩形設(shè)計(jì)域內(nèi)設(shè)置如圖4-a的六邊形網(wǎng)格初始結(jié)構(gòu)平面與支座位置，根據(jù)建筑要求確定初始結(jié)構(gòu)高度與形狀。各桿件采用了直徑為5.0cm壁厚1.5cm的圓鋼管，在各節(jié)點(diǎn)上設(shè)定了Fd=10.0kN的豎向荷載。

為得出受壓結(jié)構(gòu)將實(shí)際節(jié)點(diǎn)荷載改成方向相反的豎直向上的荷載，并將所有初始結(jié)構(gòu)剛接轉(zhuǎn)換成鉸接，結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成機(jī)構(gòu)。圖4-c和圖4-d為所提出的方法創(chuàng)構(gòu)出的最終結(jié)構(gòu)平面與立面形狀。從圖中可以看出，最終結(jié)構(gòu)與形狀較初始結(jié)構(gòu)相比有了明顯的變化。在平面圖上的原正規(guī)正六邊形，不同程度轉(zhuǎn)變成不正規(guī)得六邊形，落在直線上無(wú)支座邊界點(diǎn)呈現(xiàn)出拋物線。從立面圖上看，中部凸形曲面加大寬度，兩側(cè)低凸形曲面與中部連接處得到了高度的調(diào)整，整個(gè)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出更加飽滿圓滑的三個(gè)拋物面，而且平直無(wú)支座邊界在立面上也形成拱形開口。從初始與最終機(jī)構(gòu)平立面圖上不難發(fā)現(xiàn)，原來(lái)的機(jī)構(gòu)達(dá)到“自然平衡狀態(tài)”時(shí)，形狀上發(fā)生較大的變化，體現(xiàn)出了形狀停留狀態(tài)的力的分布特性。機(jī)構(gòu)由“不平衡狀態(tài)”達(dá)到“自然平衡狀態(tài)”過(guò)程中，恢復(fù)實(shí)際作用方向荷載時(shí)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)受力性能的變化特性?？梢钥闯鰴C(jī)構(gòu)勢(shì)能增量，開始變化激烈隨后繼續(xù)放慢速度下降最終趨于零，機(jī)構(gòu)接近穩(wěn)定平衡狀態(tài)。每步機(jī)構(gòu)形狀所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能也一樣，開始變化激烈隨后緩慢減少達(dá)到初始結(jié)構(gòu)的4%左右時(shí)收斂，表明結(jié)構(gòu)的剛度得到了很大的改善[5]。而彎矩變化也很明顯，機(jī)構(gòu)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)所對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的平均彎矩接近零，最大彎矩也減少到初始結(jié)構(gòu)的20%左右，而平均軸力變化并不大只有減少到82%左右。雖然機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)變成結(jié)構(gòu)以后必定產(chǎn)生彎矩，但其值很小，已經(jīng)近乎成為純壓結(jié)構(gòu)。再次表明本文提出的方法所得到的結(jié)構(gòu)以軸力為主方式傳遞荷載的良好結(jié)構(gòu)。該方法約束桿件長(zhǎng)度，由于數(shù)值計(jì)算誤差會(huì)造成的長(zhǎng)度發(fā)生一定變化，其中桿件長(zhǎng)度變化相對(duì)于初始長(zhǎng)度的最大值僅為0.3%，由此可知本文方法能夠很好地約束單元長(zhǎng)度。

圖4 自由曲面網(wǎng)格結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)

三、結(jié)論

根據(jù)機(jī)構(gòu)在荷載作用下改變其形狀，達(dá)到機(jī)構(gòu)勢(shì)能最小狀態(tài)時(shí)停留的機(jī)構(gòu)性質(zhì)，建立了適用于網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的形態(tài)創(chuàng)建方法。該方法基于桿件長(zhǎng)度不變的條件推導(dǎo)“移形方程”，并以勢(shì)能減少最快的方向更新形狀，最終得到自然平衡狀態(tài)的機(jī)構(gòu)形狀。方法可以根據(jù)建筑空間要求控制構(gòu)件長(zhǎng)度，結(jié)構(gòu)形態(tài)創(chuàng)構(gòu)過(guò)程中初始模型預(yù)設(shè)的構(gòu)件長(zhǎng)度與最終結(jié)果中的構(gòu)件長(zhǎng)度可以保證一致，該特點(diǎn)對(duì)于建筑的設(shè)計(jì)與施工具有重要意義。在機(jī)構(gòu)形狀演變過(guò)程中，所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)最大彎矩、平均彎矩、應(yīng)變能均顯著降低，且與軸力相比可忽略不計(jì)，表明結(jié)構(gòu)趨于純拉結(jié)構(gòu)或純壓結(jié)構(gòu)，該方法所得到的結(jié)構(gòu)均為形效結(jié)構(gòu)。