任宗偉, 劉鈺冰

(哈爾濱商業(yè)大學 管理學院,黑龍江 哈爾濱 150028)

0 引言

護理人員調度作為社區(qū)居家養(yǎng)老模式下服務輸送的重要環(huán)節(jié)，直接影響其服務效率與運營成本。因此，對護理人員進行合理的調度具有重要的研究意義。

目前，學者們從不同的角度展開研究。袁彪等考慮多類型護理人員，建立了混合整數(shù)規(guī)劃模型[1]；陶楊懿等考慮服務時間窗、服務需求等約束，建立了數(shù)學模型[2]；吳萌等考慮服務周期，提出了面向隨機性周期重復需求的調度模型[3]；袁彪等又考慮隨機服務時間和最遲開始服務時間，建立了帶補償?shù)碾S機規(guī)劃模型[4]。以上研究的目標均從運營成本的角度考慮，對于如何提高滿意度的研究有待深入。

并且現(xiàn)有的大多數(shù)研究都離不開車輛路徑優(yōu)化問題，例如Allaoua等將人員安排和路徑規(guī)劃有效結合起來，處理家庭護理問題[5]；Mankowska等考慮了個人服務要求和服務需求的相互依賴性，建立了家庭醫(yī)療護理路徑和調度模型[6]，這為本文建立模型提供了強有力的支持。關于模型的求解，學者們設計了自適應大規(guī)模鄰域搜索算法[2]、改善的蟻群算法[7]等求解方法。

另外，老年人是服務需求的主體，需要考慮老年人感知滿意度。近年來，學者們對人的行為感知進行了大量研究。王旭平等提出應急物資調度決策應注意考慮公眾的心理因素[8]；姜洋等考慮了多個行為主體并提出了單機調度干擾管理模型[9]；劉桔等構建了面向師生感知滿意度的雙邊匹配決策模型[10]；李懷明等構建了考慮雙方災民感知滿意度的模型[11]。上述研究為本文建立感知滿意度函數(shù)提供了借鑒。

基于此，本文以社區(qū)居家養(yǎng)老預約服務為背景，融合前景理論和模糊理論從等待時間、護理人員偏好和服務價格偏好三個方面建立感知滿意度函數(shù)，構建主要目標為最大化老年人綜合感知滿意度，次要目標為最小化社區(qū)居家養(yǎng)老服務中心運營成本的優(yōu)化調度模型，以期為護理人員調度提供決策支持。

1 問題描述

社區(qū)居家養(yǎng)老服務中心能夠提前獲得服務類型、行為偏好等信息，根據(jù)老年人服務需求訂單構建社區(qū)居家養(yǎng)老預約服務調度模型，如圖1所示。

2 老年人綜合感知滿意度函數(shù)

通過問卷調查分析得出等待時間、護理人員偏好、服務價格偏好是老年人感知滿意度最重要的影響因素。因此，本文從以上三個方面建立老年人感知滿意度函數(shù)。

2.1 等待時間感知滿意度函數(shù)

2.1.1 等待時間感知滿意度的衡量

如圖2，運用前景理論來刻畫等待時間感知滿意度函數(shù)，采用模糊理論對時間進行模糊化處理，從而建立老年人等待時間感知滿意度函數(shù)[12]。

2.1.2 建立等待時間感知滿意度函數(shù)

(1)

2.2 護理人員偏好感知滿意度函數(shù)

2.2.1 老年人行為偏好的衡量

將老年人對護理人員的熟悉程度劃分為5個等級，用集合{0，0.25，0.5，0.75，1}表示，分別對應{很不熟悉，不太熟悉，中等熟悉，比較熟悉，非常熟悉}，具體取值根據(jù)服務歷史數(shù)據(jù)確定。依據(jù)熟悉程度矩陣可以得到老年人的偏好序列。運用前景理論的價值函數(shù)分別計算老年人對于每一位次護理人員的心理感知損失和收益[13]。

2.2.2 建立護理人員偏好感知滿意度函數(shù)

為了便于建模及求解，高端護理人員序列依次為1、2、…、s；普通護理人員序列依次為s+1、s+2、…、s+p。σ表示在兩類護理人員偏好序列的子序列內部，老年人心理感知偏差程度；τ表示在兩類護理人員偏好序列的子序列之間，老年人心理感知偏差程度；τ>σ表示老年人更偏好高端護理人員；δjk表示在第j個老年人對護理人員的偏好序列中，第k個護理人員的位次；Ljk表示當?shù)趈個老年人的護理人員為第k個護理人員時，老年人的心理感知損失矩陣；Gjk表示當?shù)趈個老年人的護理人員為第k個護理人員時，老年人的心理感知收益矩陣。

選定δjk=1的護理人員為參考點，老年人的心理感知損失矩陣為:

(2)

(3)

選定δjk=s+p的護理人員為參考點，老年人的心理感知收益矩陣為:

(4)

(5)

護理人員偏好感知滿意度為:

hj=Ljk+Gjk

(6)

對其進行歸一化處理，得到：

(7)

2.3 服務價格偏好感知滿意度函數(shù)

π表示當服務價格與老年人心理期望的服務價格不相匹配時，老年人心理感知的偏差程度；φjk表示在第j個老年人對服務價格的偏好序列中，第k個護理人員的位次；Qjk表示當?shù)趈個老年人的服務價格為第k個護理人員等級所匹配的服務價格時，老年人的心理感知損失矩陣；Ujk表示當?shù)趈個老年人的服務價格為第k個護理人員等級所匹配的服務價格時，老年人的心理感知收益矩陣。

選定φjk=s+p的護理人員等級所匹配的服務價格為參考點，老年人的心理感知損失矩陣為:

(8)

(9)

選定φjk=1的護理人員等級所匹配的服務價格為參考點，老年人的心理感知收益矩陣為:

(10)

(11)

服務價格偏好感知滿意度為:

bj=Qjk+Ujk

(12)

對其進行歸一化處理，得到:

(13)

3 數(shù)學模型

3.1 假設條件

(1)只有一個社區(qū)居家養(yǎng)老服務中心，且每個護理人員的起點和終點都在社區(qū)居家養(yǎng)老服務中心；

(2)一個護理人員一次只能為一個老年人服務；

(3)不考慮護理人員到達老年人位置的天氣、交通等特殊情況發(fā)生；

(4)不同類型老年人服務需求的服務時間服從不同的正態(tài)分布；

(5)老年人對高端護理人員的偏好程度一定大于普通護理人員；

(6)老年人對服務價格低的偏好程度一定大于服務價格高；

(7)高端護理人員的服務價格高于普通護理人員。

3.2 符號說明

(1)參數(shù)設計

(2)決策變量

(14)

(15)

3.3 模型建立

(1)目標函數(shù)

(16)

(17)

(2)約束條件

ω1+ω2+ω3=1,ω1,ω2,ω3∈[0,1]

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

tj=tkjμ,j∈[1,m];k∈[1,s+p]

(28)

模型中，式(16)為主要目標，式(17)為次要目標，式(18)～(28)為約束條件。其中：式(18)確保各滿意度權重值的合理性；式(19)表示每個老年人只能被護理人員提供服務一次；式(20)～(22)表示每個護理人員從起點0出發(fā)，在為若干個老年人提供服務之后，回到起點；式(23)表示保證每個老年人都被提供服務且只由一個護理人員提供服務；式(24)～(25)表示如果老年人i、j在護理人員k的服務路線上，那么老年人i、j將由護理人員k提供服務；式(26)表示護理人員k到達老年人j位置的時間；式(27)表示護理人員k從老年人i到j的旅途時間，其中i≠j；式(28)表示老年人j的實際等待時間。

4 求解算法

模擬植物生長算法與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，具備較好的穩(wěn)定性、收斂性、精確度，在云作業(yè)調度[14]、集裝箱碼頭調度[15]等領域均取得了研究成果。

4.1 植物向光性生長機制的數(shù)學描述

假設一棵樹從根部X0處長出樹干E，此時假設在樹干E有l(wèi)個比X0生長條件好的生長點記作XE1,XE2,…,XEl，對應各生長點的形態(tài)素濃度記作PE1,PE2,…,PEl，形態(tài)素濃度值為:

(29)

上述公式中：f(*)為所在點的環(huán)境信息函數(shù)(目標函數(shù))。利用擲小球的方法產(chǎn)生[0,1]之間的一個隨機數(shù)。

各生長點形態(tài)素濃度更新公式:

(30)

(31)

4.2 求解步驟

Step1確定初始可行解。根據(jù)普通和高端護理人員的數(shù)量確定根部生長點X0，求出對應的目標函數(shù)值f(X0)，并令Xmax=X0,fmax(Xmax)=f(X0)。護理人員調度方案利用10進制編碼，若將2個護理人員調度給10個老年人，表1為其中的一種護理人員調度方案。

表1 調度方案示例

Step2用遺傳算法求解以單個護理人員行程最短為目標的服務順序。

Step3以X0為基礎，按照隨機兩點交換方式產(chǎn)生200個新生長點。根據(jù)約束條件驗證生長點的可行性。

Step4求出各個生長點的目標函數(shù)值，并與fmax(Xmax)進行比較，若大于fmax(Xmax)則置換Xmax和fmax(Xmax)。

Step5根據(jù)公式(30)和公式(31)計算各個生長點的形態(tài)素濃度。利用擲小球的方法選取下一生長點。

Step6重復上述步驟Step2～5，直到不再產(chǎn)生新的生長點或達到迭代次數(shù)。以上步驟的流程如圖3所示。

為了實現(xiàn)老年人感知滿意度及成本的均衡優(yōu)化，引入公式η=1-(λ1×(1-Y)+λ2×(Z/(1.5s+p)))。稱η為護理人員調度綜合滿意度。其中Y表示老年人綜合感知滿意度，Z表示安排上崗的護理人員標準數(shù)量，本文近似地設置為1個高端護理人員相當于1.5個普通護理人員。λ1和λ2表示權重且λ1+λ2=1。

5 仿真示例

5.1 仿真描述

本文通過調研哈爾濱市某一養(yǎng)老機構，獲得某一天的數(shù)據(jù)構建測試算例仿真。參數(shù)如下：100個老年人、10個護理人員，高端和普通護理人員各為5人。模擬植物生長算法迭代次數(shù)設置為100次。采用歐式距離，時間以min進行換算。5種老年人服務需求的服務時間服從的正態(tài)分布分別為{(40,22);(20,12);(30,52);(15,22);(30,12)}；服務通知的時間延遲率服從[1.2,1.5]均勻分布；v=1；σ=2；τ=8；π=1；α=β=0.88,λ=2.25。

5.2 仿真分析

(1)等待時間感知滿意度分析

最優(yōu)調度方案如表2所示，老年人整體的平均等待時間感知滿意度為0.883，如圖4。此時，ω1=1；ω2=0；ω3=0;λ1=1;λ2=0;S=5,P=5。

表2 最優(yōu)調度方案(等待時間感知滿意度目標)

(2)護理人員偏好感知滿意度分析

最優(yōu)調度方案如表3所示，護理人員偏好感知滿意度為0.924。此時，ω1=0，ω2=1，ω3=0,λ1=1，λ2=0；大多數(shù)老年人的偏好得到了滿足(灰色單元格為未滿足老年人)，滿足比率為94%。

(3)服務價格偏好感知滿意度分析

最優(yōu)調度方案如表4所示，服務價格偏好感知滿意度為0.945。此時，ω1=0；ω2=0；ω3=1;λ1=1,λ2=0;大多數(shù)老年人的偏好得到了滿足(灰色單元格為未滿足老年人)，滿足比率為97%。

表4 最優(yōu)調度方案(服務價格偏好感知滿意度目標)

(4)老年人綜合感知滿意度分析

最優(yōu)調度方案如表5所示，老年人綜合感知滿意度為0.921。此時，ω1=0.2566；ω2=0.5713；ω3=0.1721;λ1=1,λ2=0;；護理人員偏好比例較高為64%(灰色單元格為未滿足老年人)，服務價格偏好比例為22%。這一結果的產(chǎn)生是由于在計算綜合感知滿意度時，護理人員偏好感知滿意度的權重最大。

表5 最優(yōu)調度方案(老年人綜合感知滿意度目標)

(5)護理人員調度綜合滿意度優(yōu)化

如圖5，此時，ω1=0.2566,ω2=0.5713,ω3=0.1721。在λ1>0.5的情況下，社區(qū)居家養(yǎng)老服務中心更傾向于老年人綜合感知滿意度，當護理人員數(shù)量增加，綜合滿意度呈現(xiàn)增加的變化趨勢。而在λ1<0.5的情況下，更傾向于護理人員投入成本，當護理人員數(shù)量增加，綜合滿意度呈現(xiàn)減少的變化趨勢。

從仿真結果可知，社區(qū)居家養(yǎng)老服務中心根據(jù)自身的傾向性對兩個目標賦予不同的權重，同時也可以調整等待時間、護理人員偏好和服務價格偏好感知滿意度在綜合感知滿意度中占的比重，從而滿足其多維需求。

(6)算法性能分析

為進一步分析PGSA的性能，本文將其與傳統(tǒng)優(yōu)化算法——粒子群算法(PSO)進行了比較。首先設定一組特征相同的護理人員調度問題B，M為其中一個實例，M∈B，L={PGSA,PSO}，K(L,M)為某一實例M在使用算法L時多次求解的最優(yōu)解平均值；OPT(M)為在該實例情況下采用兩種算法求解時最優(yōu)解平均值的最大值，即OPT(M)=max{K(L,M)}。此時，可用下式計算不同算法的相對特性。

利用T(L,M)記錄多次采用算法L解決實例M時的CPU平均消耗時間。兩種算法均使用Matlab編程，計算機CPU為32GHz，內存為8GB。對于每個實例M，每個算法運行10次，迭代次數(shù)均為100次。比較結果如表6。

表6 算法性能及平均消耗時間比較

由表中數(shù)據(jù)可知，隨著求解規(guī)模擴大，PGSA在性能參數(shù)和計算時間方面的優(yōu)勢更加明顯。

6 結論

本文從老年人滿意度的角度出發(fā)，構建了主要目標為最大化老年人綜合感知滿意度，次要目標為最小化社區(qū)居家養(yǎng)老服務中心運營成本的調度優(yōu)化模型，通過設計遺傳算法和模擬植物生長算法進行求解并仿真，驗證了模型和算法的可行性和有效性。求解結果與仿真分析表明能夠保證提升老年人綜合感知滿意度的同時，讓社區(qū)居家養(yǎng)老服務中心的成本得到有效控制。此外，隨著老年人個體靈活性不斷增加(如時間變動)，如何在更為復雜的情況下找到合理的調度策略，將作為下一步的研究方向。