尚利俊, 張 馳, 蔡志強

(1.佛山科學技術(shù)學院 經(jīng)濟管理學院,廣東 佛山 528225; 2.西北工業(yè)大學 機電學院,陜西 西安 710072)

0 引言

保修服務是在制造商和消費者(或用戶)之間建立的一種合同關(guān)系，一旦產(chǎn)品在保修期內(nèi)發(fā)生失效(或故障)，制造商負責移除產(chǎn)品失效。保修服務既能保證產(chǎn)品性能，又能消除消費者對產(chǎn)品質(zhì)量不確定的心理顧慮。從制造商角度來說，保修服務不僅能提高消費者對產(chǎn)品的滿意度和認可度，也能樹立品牌形象和帶來潛在客戶；從消費者的角度來說，保修服務不僅能夠保障自身的權(quán)益，也能夠降低保修期內(nèi)的產(chǎn)品維修費用。

保修策略是衡量保修服務質(zhì)量的一個關(guān)鍵指標，也是影響消費者做出購買決策的一個重要因素?；诖耍圃焐谈鶕?jù)消費者對保修策略的傾向性，提供消費者偏愛的保修策略，以便提升消費者購買產(chǎn)品的意愿從而能進一步提升產(chǎn)品銷量。制造商為產(chǎn)品提供保修服務，需承擔相應的保修費用。而保修費用依賴于保修策略。根據(jù)維修方式的不同，保修策略可以分為預防維修保修策略[1～3](Preventive maintenance warranty policy)、小修保修策略[4～6](Minimal repair warranty policy)和更換保修策略[7～9](Replacement warranty policy)等。作為更換保修策略的一種特殊保修策略，更新免費更換保修策略[10,11](Renewable free replacement warranty policy)有可能使消費者免費獲取相同保修的同型新產(chǎn)品，所以其已成為深受消費者偏愛的保修策略。

保修期是影響消費者做出購買決策的另一個重要因素。對制造商來說，為消費者提供較長保修期的保修策略，往往能滿足消費者的保修需求并進一步提升產(chǎn)品銷量。從可靠性理論的角度來講，保修期和保修策略、產(chǎn)品可靠性共同影響保修費用，并且較長的保修期產(chǎn)生較高的保修費用。而保修費用作為成本的一部分，直接影響著產(chǎn)品價格、間接影響著制造商的利潤。國內(nèi)外學者將價格與保修聯(lián)合決策作為一個重要的問題進行了研究[12～15]。然而，很少見基于更新免費更換保修策略的產(chǎn)品價格與保修期確定的研究。鑒于此，基于消費者偏愛的更新免費更換保修策略，從制造商的角度對產(chǎn)品定價與保修期確定開展研究是一個有趣的話題。

根據(jù)保修契約，為消費者提供更新免費更換保修策略的制造商負責消除產(chǎn)品發(fā)生的失效，但這種契約關(guān)系僅局限在保修期內(nèi)。所以，如何設計出保維修策略(The post-warranty maintenance policy)以便保證出保產(chǎn)品的性能是消費者面對的一個問題。雖然一些研究人員和從業(yè)人員從消費者的角度對出保產(chǎn)品維修問題開展了廣泛的研究[16～18]，但存在以下問題：(1)普遍忽略了保修結(jié)束時刻的預防維修；(2)普遍以最小化費用率為目的開展了決策，忽略了以總費用為目的決策。

為了使模型具有廣義性且貼近工程實踐，本論文以兩類失效產(chǎn)品為研究對象，首先在更新免費更換保修策略的條件下，從制造商角度對產(chǎn)品定價與保修設計開展了研究；其次，在更新免費更換保修策略的條件下，從消費者角度將保修結(jié)束時刻的預防維修融入到出保產(chǎn)品可靠性管理中對出保維修開展了研究。開展制造商角度的產(chǎn)品定價與保修設計研究，對制造商確定產(chǎn)品價格與保修期具有重要的決策指導意義；開展消費者角度的出保維修研究，對消費者制定保證出保產(chǎn)品性能的維修策略具有重要的實踐指導意義。

1 產(chǎn)品保修效益及策略優(yōu)化

1.1 基本假設

假設1產(chǎn)品失效是兩類失效，即產(chǎn)品失效類型分為小修失效和致命失效；

假設2小修失效是可修失效，即可通過小修方式移除；

假設3致命失效只能通過換新方式移除；

假設4保修期內(nèi)的每一次失效都產(chǎn)生一次對應的失效索賠；

假設5消費者購買的產(chǎn)品始終是由同一賣家提供的同型新產(chǎn)品；

假設6制造商和消費者之間的所有信息是完全的，即產(chǎn)品可靠性信息、保修條款和保修期內(nèi)各種費用等對雙方都是公開的。

1.2 產(chǎn)品保修過程

更新免費更換保修策略可能使消費者免費獲取保修相同的同型新產(chǎn)品，所以其是消費者偏愛的一種保修策略。消費者的這種偏愛性表明，更新免費更換保修策略是個強有力的市場競爭策略，其定義可描述如下：

1)在保修期w內(nèi)，制造商采用保修相同的同型新產(chǎn)品自費更換發(fā)生致命失效的產(chǎn)品；

2)在保修期w內(nèi)，制造商采用小修的方式自費移除產(chǎn)品發(fā)生的小修失效。

顯然，在該保修策略中，制造商采用更換或/和小修的方式移除失效。也即該保修策略包含小修和更換兩種條款，所以其可被看作廣義更新免費更換保修策略。

1.3 產(chǎn)品保修費用

進一步，令p和q(q=1-p)分別為小修失效和致命失效發(fā)生概率，令F(x)為首次失效發(fā)生時間服從的分布函數(shù)。根據(jù)文獻[19]，首次致命失效發(fā)生時間服從的分布函數(shù)Fq(x)可計算為

(1)

式中:λ(u)為失效率函數(shù)，其關(guān)于u(u>1)非遞減。

令隨機變量n為直到首個穿越保修期w的產(chǎn)品出現(xiàn)時制造商執(zhí)行的更換次數(shù)，則n服從幾何分布，即

(2)

直到首個穿越保修期w的產(chǎn)品出現(xiàn)時制造商執(zhí)行的期望更換次數(shù)E[N(w)]為

(3)

根據(jù)保修定義，制造商負責移除保修期w內(nèi)的所有小修失效。假定制造商在保修期w內(nèi)每完成一次小修要花費的費用為cm(包含勞務費用、交通費用等等)，根據(jù)文獻[20]易知兩次更換之間的期望小修次數(shù)為p/q。因此，保修期w內(nèi)的每一次更換產(chǎn)生的期望小修費用Cmr為

(4)

制造商執(zhí)行的每次更換始終是用同型新產(chǎn)品更換致命失效發(fā)生的產(chǎn)品。這表明，制造商執(zhí)行每次更換要花費一個制造成本C(包含替換時花費的勞務費用、交通費用等等)，同時獲得一個舊產(chǎn)品的殘值V(x)(V(x))=C-km×x，其中km(km>0)為制造商設定的折舊率)。制造成本C與殘值V(x)之差就是制造商執(zhí)行每次更換花費的實際更換成本CR，即

CR=C-(C-km×x)=kmx

(5)

易知保修期w內(nèi)第k個致命失效發(fā)生時刻Xk(0

(6)

由(3)中的期望更換次數(shù)E[N(w)]、(4)中的期望小修費用Cmr和(6)中的期望實際更換成本E[CR]，可得制造商每完成一個保修服務需花費的期望更換成本E[Cw]為

E[Cw]=E[N(w)]×(E[CR]+Cmr)

(7)

WC=E[Cw]+cmpΛ(w)

(8)

1.4 產(chǎn)品銷售利潤

更新免費更換保修策略可能使消費者免費獲得保修期w從零開始計算的同型新產(chǎn)品，所以消費者更加傾向于購買擁有更新免費更換保修策略的產(chǎn)品。消費者的這種購買傾向性意味著，與其他保修策略相比，更新免費更換保修策略是一個更能提升產(chǎn)品銷量的保修策略。為了建模更新免費更換保修策略這個促銷功能，本論文采用一個關(guān)于保修期w且其指數(shù)ζ大于1(即ζ>1)的冪函數(shù)模型描述更新免費更換保修策略對產(chǎn)品銷量的提升。此外，消費者傾向于購買價格較低的產(chǎn)品。這表明，較低的銷售價格能提升產(chǎn)品銷量。

令A為基本銷量，基于上述的討論，受更新免費更換保修策略和銷售價格s同時影響的銷量D(w,s)可表示為如下函數(shù)

D(w,s)=A+wζ-s

(9)

式中:ζ>1。

當以銷售價格s售出一個產(chǎn)品時，制造商需要花費的保修費用為WC(由公式(8)給出)。此時，制造商所賺取的邊際利潤為s-WC。進一步，制造商的利潤π(w,s)可表示為

π(w,s)=(s-WC)×p(w,s)

cmpΛ(w))(A+wζ-s)

(10)

可轉(zhuǎn)化為π(w,s)=(s-cmΛ(w))(A+w-s)。該模型為小修保修作為產(chǎn)品保修策略時，制造商的利潤模型，相關(guān)研究可以參閱文獻[21,22]等。

1.5 產(chǎn)品保修策略優(yōu)化

第二階段：將s*代入目標函數(shù)π(w,s)中，易知目標函數(shù)π(w,s*)是一個僅關(guān)于決策變量w的指數(shù)函數(shù)；再利用數(shù)值方法計算出π(w,s*)中決策變量w的數(shù)值最優(yōu)解w*，最后將其代入s*和π(w,s*)中可計算出s*的數(shù)值最優(yōu)解和目標函數(shù)π(w,s)的數(shù)值最優(yōu)值。

2 產(chǎn)品出保效益及維修優(yōu)化

根據(jù)保修定義，制造商采用移除失效的方式保證產(chǎn)品在保修期w內(nèi)的性能，制造商并不負責保證出保后產(chǎn)品的性能。因此，消費者有必要研究出保維修策略以便保證出保后產(chǎn)品的性能。顯然，產(chǎn)品在出保時的年齡等于保修期長度，且產(chǎn)品在出保后變?yōu)榭煽慷刃∮?的舊產(chǎn)品(簡稱出保產(chǎn)品)。出保產(chǎn)品的這個可靠性特征為在保修結(jié)束時刻開展預防維修提供了理論支撐。基于此，這部分從消費者的角度，將保修結(jié)束時刻的預防維修和經(jīng)典周期更換策略相融合，定義一種出保維修策略，即維修—周期更換策略。

為了分析方便，本論文定義消費者連續(xù)兩次自費購買同型新產(chǎn)品之間的間隔為一個壽命周期。在這一部分，基于這個壽命周期，兩個目標函數(shù)模型(總費用模型和費用率模型)將被推導。

2.1 出保維修總費用

(11)

根據(jù)工程實踐經(jīng)驗，預防維修對可靠性的提升量(在本論文中，失效率函數(shù)減小量δ被用來測量可靠性提升量)越大，則相應的維修費用就越高。此外，產(chǎn)品年齡越大，花在可靠性提升的準備費用也就越高。這表明，維修費用既是預防維修導致的可靠性提升量(即失效率函數(shù)減小量δ)的增函數(shù)又是預防維修執(zhí)行時刻w*的增函數(shù)。所以，在w*時刻的預防維修費用Cp(δ)可建模為

Cp(δ)=cm+ch(δ)a(w*)b

(12)

式中:0≤δ≤λ(w*),ch>0,a>0,b>0。

(13)

假設T為更換時間。因為出保產(chǎn)品在區(qū)間[0,T]內(nèi)可能發(fā)生致命失效，也可能發(fā)生小修失效，所以出保產(chǎn)品可能經(jīng)歷致命失效觸發(fā)的事后更換、T時刻的預防更換和小修失效觸發(fā)的小修。每發(fā)生一次小修失效，消費者要花費的一個小修費用cm和一個失效損失cf。因此，當在致命失效發(fā)生時刻執(zhí)行事后更換時，消費者花費的小修失效費用CF(T)為

(14)

令CF為事后更換費用(包括失效損失)，則當在致命失效發(fā)生時刻執(zhí)行事后更換時，消費者花費的實際更換費用VF(T)為

(15)

式中：ku(ku>0)為消費者設定的折舊率。

類似于(14)中小修失效費用CF(T)的推導，當在T時刻執(zhí)行預防更換時，消費者花費的小修失效費用CP(T)為

(16)

假設預防更換費用為CP(CP

(17)

對(12)、(14)、(15)、(16)、(17)求和，可得在區(qū)間[0,T]內(nèi)消費者花費的期望費用E[CT]為

E[CT]=CP(δ)+CF(T)+VF(T)+CP(T)+VP(T)

=cm+ch(δ)a(w*)b+G(T)(CF-CP)+

(18)

(19)

2.2 維修費用率優(yōu)化

由上文定義的壽命周期可知，2.1節(jié)部分給出的總費用模型(即(19)中的模型)即為期望壽命周期費用。因此，當費用率被作為目標函數(shù)時，僅需要推導期望壽命周期長度，然后基于更新極限定理[24]推導對應的費用率。

2.2.1 期望壽命周期長度

(20)

(21)

將(20)中的期望保修期E[W]和(21)中的期望更換時間TR(T,δ)相加，可得期望壽命周期長度LF(T,δ)為

LF(T,δ)=E[W]+TR(T,δ)

(22)

2.2.2 最優(yōu)費用率

(23)

3 數(shù)值實驗驗證

假設通過對產(chǎn)品首次失效發(fā)生時間數(shù)據(jù)的擬合，某制造商發(fā)現(xiàn)其生產(chǎn)的產(chǎn)品首次失效時間服從尺度參數(shù)α=0.5(年)、形狀參數(shù)β=2的威布爾分布，其對應的失效率表達式為λ(x)=αβ(αx)β-1=0.5x。為了驗證利潤模型、出保維修策略的有效性和說明最優(yōu)解與最優(yōu)值的存在性，進一步假定一些參數(shù)取常量值(見表1)，其他參數(shù)當使用時再取值。

表1 參數(shù)值

3.1 產(chǎn)品保修策略優(yōu)化

基于表1中的參數(shù)，采用1.5部分中的兩階段優(yōu)化方法，借助于Matlab軟件獲得與利潤(由(10)給出)匹配的圖1。由圖1可知，最優(yōu)保修期w*和最優(yōu)利潤π(w*,s*)都是唯一存在的，這表明，利潤模型能開展保修設計。由1.5部分中的兩階段優(yōu)化過程可知，最優(yōu)銷售價格s*是保修期w的單調(diào)函數(shù)。因此，當最優(yōu)保修期w*是唯一存在時，最優(yōu)銷售價格s*也是唯一存在的。除此之外，由圖1可知，最優(yōu)保修期w*、最優(yōu)銷售價格s*和最優(yōu)利潤π(w*,s*)都關(guān)于致命失效發(fā)生概率q遞減。

3.2 產(chǎn)品出保維修優(yōu)化

在這一部分，說明出保維修策略的有效性和性能，采用最小公倍數(shù)法[25]比較目標函數(shù)的性能，分析關(guān)鍵參數(shù)的敏感度。首先，驗證最優(yōu)維修—周期更換策略的存在性。假定w*=2(年)、q=0.06，使用表1中的參數(shù)，得到與總費用(由(19)給出)匹配的圖2。由圖2可知，最優(yōu)維修—周期更換策略是存在的。為了使費用率模型(由(23)給出)對應的最優(yōu)解和最優(yōu)值更明確、直觀，在q=0.25和w*=5(年)的情況下制定圖3，由圖3可知，最優(yōu)維修—周期更換策略是存在的。其次，采用最小公倍數(shù)法比較兩種目標函數(shù)的性能。假定w*=2(年)、LC1和LC2分別為在最小公倍數(shù)情況下兩種目標函數(shù)對應的壽命周期費用。數(shù)值分析結(jié)果如表2所示。

表2 目標函數(shù)的性能比較

由表2可知，①當費用率為目標函數(shù)時，最優(yōu)期望壽命周期費用LC(T*,δ*)、最優(yōu)期望壽命周期長度LF(T*,δ*)都是關(guān)于致命失效發(fā)生概率的增函數(shù)；②當總費用為目標函數(shù)時，最優(yōu)期望壽命周期費用LC(T*,δ*)是關(guān)于致命失效發(fā)生概率q的增函數(shù)，而最優(yōu)期望壽命周期長度LF(T*,δ*)是關(guān)于致命失效發(fā)生概率q的增函數(shù)；③在致命失效發(fā)生概率q相同的情況下，壽命周期費用LC1始終小于壽命周期費用LC2(即LC1

第三，分析當總費用作為目標函數(shù)時，維修—周期更換策略的性能。假定w*=2(年)、LC1和LC2分別為不進行非完美維修(即CP(δ)=0、δ=0，此時維修—周期更換策略轉(zhuǎn)化為經(jīng)典周期更換策略)和進行非完美維修對應的壽命周期費用(即在最小公倍數(shù)的情況下)，得到數(shù)值分析結(jié)果如表3所示。

表3 總費用對應的維修—周期更換策略性能

由表3可知，當不進行非完美維修(進行非完美維修)時，最優(yōu)期望壽命周期費用LC(T*,0)(LC(T*,δ*))是關(guān)于致命失效發(fā)生概率q的增函數(shù)，而最優(yōu)期望壽命周期長度LF(T*,0)(LF(T*,δ*))是關(guān)于致命失效發(fā)生概率q的減函數(shù)；在致命失效發(fā)生概率q相同的情況下，不進行非完美維修對應的壽命周期長度LF(T*,0)小于進行非完美維修對應的期望壽命周期長度LF(T*,δ*)(即LF(T*,0)LC2)，這表明，與經(jīng)典周期更換策略相比，維修—周期更換策略性能更優(yōu)。

第四，分析當費用率作為目標函數(shù)時，維修—周期更換策略的性能。假定w*=2(年)，在進行非完美維修和不進行非完美維修(即CP(δ)=0、δ=0，此時維修—周期更換策略轉(zhuǎn)化為經(jīng)典周期更換策略)的情況下，得到表4。由表4可知，當進行非完美維修(不進行非完美維修)時，最優(yōu)費用率C(T*,δ*)(C(T*,0))是關(guān)于致命失效發(fā)生概率q的增函數(shù)，而最優(yōu)期望壽命周期長度LF(T*,δ*)(LF(T*,0))是關(guān)于致命失效發(fā)生概率q的減函數(shù)；在致命失效發(fā)生概率q相同的情況下，進行非完美維修對應的費用率C(T*,δ*)小于不進行非完美維修對應的費用率C(T*,0)(即C(T*,δ*)LF(T*,0))，這表明，與經(jīng)典周期更換策略相比，維修—周期更換策略能降低費用率、延長出保服役時間，即維修—周期更換策略性能更優(yōu)。

表4 費用率對應的維修—周期更換策略性能

4 結(jié)論

本論文，首先從制造商角度構(gòu)建了兩類失效情況下產(chǎn)品的保修費用，并在其為制造成本的情況下對產(chǎn)品開展了產(chǎn)品定價與保修設計研究；其次，從消費者角度將預防維修與經(jīng)典周期更換策略相融合，提出了維修—周期更換策略，并在其為出保維修策略的情況下，構(gòu)建了兩個目標函數(shù)：期望壽命周期總費用和費用率；第三，使用數(shù)值實驗，先從制造商角度對產(chǎn)品價格和保修期對應的最優(yōu)解存在性進行了說明，然后采用最小公倍數(shù)法從消費者角度對最優(yōu)維修—更換策略的存在性和各個目標函數(shù)的性能進行了說明與比較。比較發(fā)現(xiàn)：費用率模型性能更優(yōu)、提出的維修—周期更換策略性能更優(yōu)。