李 眩,吳曉兵,童百利

(銅陵職業(yè)技術(shù)學院 經(jīng)貿(mào)系，安徽 銅陵 244061)

20世紀80年代，鄧聚龍教授創(chuàng)立了研究“少數(shù)據(jù)，貧信息的不確定問題”的灰色系統(tǒng)理論，其中灰色GM(1,1)預(yù)測模型被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟等領(lǐng)域，是應(yīng)用非常廣泛的一種預(yù)測模型.但對于非準光滑數(shù)據(jù)序列、非平穩(wěn)的高增長數(shù)據(jù)序列(發(fā)展系數(shù)|-a|大于0.5)，模型的預(yù)測精度不理想.研究學者迫切尋找能提升GM(1,1)模型預(yù)測精度的有效方法，他們從GM(1,1)模型的初始值[1]、背景值構(gòu)造[2]、殘差修正[3]、灰導(dǎo)數(shù)[4]等多方面進行改進，取得了不少成果.但在模型參數(shù)辨識上，傳統(tǒng)數(shù)學方法始終是存在缺陷，得到的參數(shù)并非最優(yōu)參數(shù)，尤其是在預(yù)測非平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列時，傳統(tǒng)數(shù)學方法求解的參數(shù)模型會產(chǎn)生較大誤差[5].模型參數(shù)直接影響著模型的預(yù)測精度，實質(zhì)上求解GM模型最優(yōu)參數(shù)來提升精度問題是一個優(yōu)化問題，近年來人類通過模仿生物體進化機制發(fā)展起來的人工智能算法完美解決了一些高度復(fù)雜的優(yōu)化問題，為該問題的解決提供了新的思路.考慮到蟻群算法像其他智能算法一樣容易陷入局部最優(yōu)的缺點，本文提出一種信息素濃度自適應(yīng)調(diào)整的精英蟻群算法(ACO算法)來求解GM模型的發(fā)展系數(shù)和灰色作用量，期望為提升灰色預(yù)測模型精度提供一種新的有效方法，并通過實例分析證明該方法的有效性和科學性.

1 灰色GM(1,1)預(yù)測模型

GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論中最基礎(chǔ)的預(yù)測模型，在預(yù)測形式上屬于單數(shù)列預(yù)測模型，只用到系統(tǒng)行為序列，而無外作用序列，是應(yīng)用最廣泛的灰色系統(tǒng)預(yù)測模型.GM(1,1)模型的預(yù)測原理是：對某一數(shù)據(jù)序列用累加的方式生成一組趨勢明顯的新數(shù)據(jù)序列，按照新數(shù)據(jù)序列的增長趨勢建立模型進行預(yù)測，然后再用累減的方法進行逆向還原，恢復(fù)出原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測值.

假設(shè)原始數(shù)據(jù)數(shù)列x(0)存在n個觀測值，即x(0)={x(0)(1),x(0)(2)…x(0)(n)}，將原始數(shù)據(jù)序列x(0)通過累加生成新數(shù)列x(1)，以此弱化數(shù)據(jù)序列的無規(guī)律性和隨機性以及隨機擾動對數(shù)據(jù)帶來的影響.通過累加生成可看出灰量累積過程的發(fā)展態(tài)勢，使雜亂原始數(shù)據(jù)中蘊含的規(guī)律體現(xiàn)出來.

得到新數(shù)列X(1)(n)={X(1)(1),X(1)(2)…X(1)(n)}，

由X(1)計算其緊鄰均值等權(quán)新數(shù)列Z(1)={Z(1)(2),Z(1)(3)…Z(1)(n)},

其中，Z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1).

(1)

對數(shù)列X(1)，Z(1)建立白化微分方程構(gòu)建GM(1,1)模型：

(2)

其白化方程為：x(0)(k)+a*Z(1)(k)=b.

(3)

a和b都是模型的待定參數(shù)，傳統(tǒng)GM模型都是根據(jù)數(shù)據(jù)采用最小二乘法求解參數(shù).

由此可以求出兩個方程參數(shù).方程(2)的解如式(4)所示：

(4)

GM(1,1)模型的時間響應(yīng)序列為：

將上述結(jié)果累減還原，即可得到預(yù)測值：

(5)

GM模型的預(yù)測精度與模型參數(shù)(-a系統(tǒng)發(fā)展系數(shù)、b驅(qū)動項系數(shù))有很大關(guān)系，所求參數(shù)解是否最優(yōu)，直接影響到模型的預(yù)測精度.有理論分析和實踐表明,傳統(tǒng)的最小二乘法求解GM模型參數(shù)在數(shù)據(jù)“異?！睍r會失真較大[6].數(shù)據(jù)序列變化平穩(wěn)(發(fā)展系數(shù)的絕對值<0.5)時，GM(1,1)模型的誤差很小，預(yù)測效果十分理想；但對于高增長數(shù)據(jù)序列(發(fā)展系數(shù)的絕對值>0.5)時，誤差很大，做預(yù)測都應(yīng)十分謹慎.

灰色GM模型參數(shù)辨識的傳統(tǒng)數(shù)學求解方法是根據(jù)實際值與理論值的誤差平方和為目標函數(shù)，以其取值最小為目標計算偏導(dǎo)來求解.這樣建立的GM模型存在病態(tài)性和比較差的魯棒性，尤其當原始數(shù)據(jù)序列受到隨機擾動影響變化非平穩(wěn)時，預(yù)測值會有較大誤差[7].人類通過模仿生物體進化機制使看起來高度復(fù)雜的優(yōu)化問題得以完美解決，為傳統(tǒng)優(yōu)化技術(shù)難以解決的優(yōu)化問題提供了切實可行的解決方案，因此人們轉(zhuǎn)而采取仿生智能優(yōu)化算法求解模型的最優(yōu)參數(shù)，以此來降低求解參數(shù)誤差對模型精度的影響，大大促進了灰色理論與信息技術(shù)的融合，豐富了灰色系統(tǒng)理論的內(nèi)涵.因此，本文對蟻群算法進行改進，提出了基于信息素濃度自適應(yīng)調(diào)整的精英蟻群算法，在不改變GM(1,1)模型表示方式的前提下運用其求解GM模型最優(yōu)參數(shù)來提高模型的預(yù)測精度.動態(tài)自適應(yīng)精英蟻群算法求解模型參數(shù)的基本思想是通過螞蟻個體在解空間獨立搜索，通過信息共享找出群體當前最優(yōu)解，蟻群在當前最優(yōu)解的信息素引導(dǎo)下不斷迭代進化直至算法收斂尋得最終的全局最優(yōu)解，其尋找參數(shù)最優(yōu)解的科學性、合理性遠勝于傳統(tǒng)的數(shù)學方法.在此，并通過實際應(yīng)用結(jié)果證明運用動態(tài)自適應(yīng)精英蟻群算法提高GM模型預(yù)測精度的合理性和科學性.

2 信息素濃度自適應(yīng)調(diào)整的蟻群算法求解GM模型參數(shù)

2.1 蟻群算法(ACO算法)簡介

蟻群算法是受自然界蟻群集體覓食行為的啟發(fā)而誕生的仿生智能算法.螞蟻個體行為很簡單，但由個體組成的蟻群卻能完成遠超個體能力的復(fù)雜任務(wù)，他們個體之間通過信息素來相互通訊和進行信息的傳遞，共同協(xié)作完成復(fù)雜任務(wù).蟻群有能力在沒有任何先行提示情況下找到巢穴到食物的最短路徑，并能跟隨環(huán)境變化搜索新的路徑，其中體現(xiàn)了一種信息的正反饋現(xiàn)象：某一路徑上走過的螞蟻越多，該路徑上螞蟻留下的信息素就多，對后來螞蟻的吸引力就越大，使他們選擇信息素強度高的方向移動，螞蟻個體之間正是通過這種信息的交流而達到搜索食物的目的[8].螞蟻具有的智能行為得益于其簡單行為規(guī)則，該規(guī)則讓其具有多樣性和正反饋，在覓食時，多樣性使螞蟻不會走進死胡同而無限循環(huán)，是一種創(chuàng)新能力；正反饋使優(yōu)良信息保存下來，是一種學習強化能力.兩者的巧妙結(jié)合使智能行為涌現(xiàn)，如果多樣性過剩，系統(tǒng)過于活躍，會導(dǎo)致過多的隨機運動，陷入混沌狀態(tài)；如果多樣性不夠，正反饋過強，會導(dǎo)致僵化，當環(huán)境變化時蟻群不能相應(yīng)調(diào)整[9].受蟻群覓食尋找最短路徑行為的啟發(fā)，意大利學者Dorigo等人提出了模仿蟻群覓食行為的蟻群算法，其應(yīng)用從最初的TSP問題擴展到了網(wǎng)絡(luò)路由、車輛調(diào)度、路線航跡規(guī)劃及集成電路布線設(shè)計等領(lǐng)域，蟻群算法的出現(xiàn)為解決復(fù)雜困難的系統(tǒng)優(yōu)化問題提供了新的求解算法.

人工蟻群算法的螞蟻個體被表征為優(yōu)化問題的一個潛在可行解，在眾多潛在可行解構(gòu)成的解空間中根據(jù)適應(yīng)度不斷進化迭代，直至算法收斂得到最終的全局最優(yōu)解.算法體現(xiàn)了螞蟻覓食行為中的自催化機制，當一個問題的較優(yōu)解附近聚集的螞蟻較多，其留下的信息素也就多，根據(jù)螞蟻傾向于選擇信息素強度大地方的特點，后來螞蟻移向該解區(qū)域的概率也就越大，反過來又增強了該區(qū)域的信息素強度，這種自催化機制利用信息作為反饋，通過對系統(tǒng)演化過程中較優(yōu)解或較優(yōu)方案的自增強，使得問題的解向著全局最優(yōu)的方向不斷進化[10].蟻群算法中信息素和真實蟻群一樣存在著揮發(fā)，使得螞蟻逐漸淡忘過去，不受歷史經(jīng)驗的過分約束，同時基于概率的前進決策策略使其趨向較優(yōu)區(qū)域移動，從而逐步找到問題的最優(yōu)解或最優(yōu)方案[11].蟻群算法用于解決優(yōu)化問題時，信息素是所要優(yōu)化問題對應(yīng)解或?qū)?yīng)方案優(yōu)劣程度，其用適應(yīng)度函數(shù)值衡量，算法每經(jīng)歷一次循環(huán)，就進行一次信息素的更新，一個有限的人工螞蟻群體通過信息素指引相互協(xié)作、分享信息，既能獨立地搜索，又能同時找到很多問題的不同解或不同方案，通過比較找出群體當前高質(zhì)量的解，逐步進化得到問題的全局較優(yōu)解或較優(yōu)方案.

將蟻群算法應(yīng)用于優(yōu)化問題的基本思路為：螞蟻個體表示待優(yōu)化問題的潛在可行解，整個螞蟻群體構(gòu)成待優(yōu)化問題的解空間.在較優(yōu)解上螞蟻釋放的信息素量較多，隨著時間的推進，較優(yōu)解上累積的信息素濃度逐漸增高，較優(yōu)解位置聚集的螞蟻數(shù)量也愈來愈多；較差解上遺留的信息素濃度會逐漸減少最后被遺忘，信息素的揮發(fā)機制使得螞蟻個體在移動的時候不會過多局限于以往螞蟻留下的歷史經(jīng)驗，最終，整個群體中的螞蟻個體會在正反饋的作用下集中到最佳解上[12].

蟻群算法求解優(yōu)化問題的實現(xiàn)過程如下：設(shè)置好蟻群螞蟻數(shù)Ant、迭代次數(shù)T、信息素揮發(fā)系數(shù)ρ、轉(zhuǎn)移概率閾值P0以及算法的搜索范圍(GM模型參數(shù)的取值大致范圍).模型參數(shù)的取值范圍(即蟻群的搜索范圍)根據(jù)具體問題進行適當設(shè)定.范圍設(shè)置過大，算法把搜索范圍遍歷一次，會降低算法的執(zhí)行效率；范圍設(shè)置過小，沒有把具體問題的最優(yōu)解包含在內(nèi)，會造成算法不成熟收斂或者不收斂，得到的是問題的局部最優(yōu)解或無解.本文在GM模型參數(shù)的求解問題上，在參考傳統(tǒng)GM模型近似解的基礎(chǔ)上來設(shè)置算法的搜索范圍，這樣有針對性的求解效率會高一些.蟻群算法中螞蟻個體數(shù)量必須根據(jù)問題的規(guī)模適當設(shè)置，太小則不能保證群體的多樣性，以致算法性能很差；種群太大盡管可以增加尋優(yōu)的效率，阻止早熟收斂的發(fā)生，但無疑會增加計算量，造成收斂時間太長，表現(xiàn)為收斂速度緩慢.算法對每只螞蟻位置進行隨機初始化，并依據(jù)問題定義的適應(yīng)度函數(shù)計算每只螞蟻對應(yīng)的適應(yīng)度值Tau(i)，進而比較求出蟻群群體當前最佳適應(yīng)度值Tau(BestIndex).算法采用以概率為基礎(chǔ)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移策略，螞蟻個體按照以找到解的適應(yīng)度值計算得來的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率選擇前進的方向，按照下式計算每只螞蟻的轉(zhuǎn)移概率：

P(T,i)=(Tau(BestIndex)-Tau(i))/Tau(BestIndex),

(6)

其中，T表示當前的迭代次數(shù)；i表示蟻群中第i個螞蟻個體.當蟻群中的單個螞蟻位置與蟻群中最佳位置相差較遠時，螞蟻轉(zhuǎn)移概率P(T,i)值較大，大于轉(zhuǎn)移概率閾值P0，螞蟻應(yīng)該離開當前位置區(qū)域去展開全局探索以避免陷入局部最優(yōu)；當螞蟻離蟻群當前最佳位置較近，螞蟻轉(zhuǎn)移概率P(T,i)小于轉(zhuǎn)移概率閾值P0，該螞蟻則在當前位置鄰域展開局部搜索.每只螞蟻限定在解空間范圍內(nèi)移動，如果超過邊界條件，按如下方法處理，這樣避免了螞蟻逃逸出解空間的可能性.

X(i，j)>Xjmax時,X(i，j)=Xjmax，X(i，j)

(7)

根據(jù)轉(zhuǎn)移概率更新螞蟻個體的位置、適應(yīng)度值及其蟻群最優(yōu)的適應(yīng)度值，隨著時間的推移，如果蟻群找到當前解比原有解較優(yōu)越，則用當前較優(yōu)解替換原有解，原有解就會被遺忘；如果當前解比原有解較差，則之前解得到保留，且解的信息量會因螞蟻留下的信息素得到加強，可行較優(yōu)解的信息素含量按下式調(diào)整：

Tau(i)=(1-Rou)*Tau(i)+F(i),

(8)

參數(shù)Rou表示信息素的揮發(fā)度；F(i)為當前循環(huán)第i只螞蟻找到解對應(yīng)的適應(yīng)度值.如此不斷進化迭代直至算法收斂找到問題最優(yōu)解.信息素的運用使得蟻群算法具有較強的自我學習能力，可根據(jù)環(huán)境信息素濃度的變化和過去的行為結(jié)果對環(huán)境變化進行調(diào)整，從而實現(xiàn)算法求解能力的再進化.

2.2 自適應(yīng)調(diào)整和精英策略在蟻群算法中的應(yīng)用

隨著ACO 算法研究的不斷深入，蟻群算法與其他智能方法一樣，易陷入局部最優(yōu)的缺陷逐漸顯露，人們開始不斷改進蟻群算法提高其算法效率，其中運用自適應(yīng)策略改進蟻群算法是一個重要的思路.通過自適應(yīng)改變算法信息素揮發(fā)度參數(shù)，可以極大保證收斂速度的同時提高全局收斂的能力,當問題規(guī)模比較大時，由于信息素揮發(fā)度系數(shù)的存在，使那些從未被搜索到的候選解的信息量會減少至接近于零，降低了算法的全局搜索能力.另外，當揮發(fā)系數(shù)較小，較優(yōu)解留存的信息量比較大，以前搜索過的解被重新選擇的可能性過大，也會影響算法的全局搜索能力，通過增大揮發(fā)系數(shù)，減少信息量的留存可以提高算法的全局搜索能力，但會使算法的收斂速度降低[13].因此在算法陷入局部極值而停滯時，可以自適應(yīng)增大信息素揮發(fā)系數(shù)，降低當前局部最優(yōu)解的信息素濃度，大大降低當前局部最優(yōu)解被重新搜索到的可能性，使得算法能重新自動搜索其他候選可行解區(qū)域，提高算法的全局收斂能力.有助于算法跳出局部極值的束縛，又可以兼顧算法的全局搜索能力和收斂速度.揮發(fā)系數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整方式如下：

(9)

其中，Rou()表示信息素的揮發(fā)系數(shù)；α為自適應(yīng)調(diào)整系數(shù)，在此取值為1.15.每次循環(huán)后信息素更新規(guī)則可表述如下：

Tau(i)=(1-Rou(t))*Tau(i)+F(i),

(10)

其中，Tau(i)表示蟻群第i螞蟻找到的解的原有信息素含量；F(i)表示第i只螞蟻找到該解時對應(yīng)的適應(yīng)度值，如果該解質(zhì)量較優(yōu)，則值較大，表示解的信息量得到較大的增強.

帶精英策略的蟻群算法之所以用精英這個稱謂，是因為遺傳算法中所使用的精英策略.在遺傳算法中，將當前一代中的最適應(yīng)個體的基因進行突變和重組產(chǎn)生下一代的個體，以此將當前最優(yōu)個體的優(yōu)良基因最大限度遺傳到下一代中.類似地，精英螞蟻算法為了使到目前為止所找到的最優(yōu)解在下一代循環(huán)中對螞蟻個體更具有吸引力，在每次循環(huán)后給予最優(yōu)解以額外的信息素增量，以此來突出該解的優(yōu)良性，從而擴大精英解和普通解的差異性，使得精英解對螞蟻個體的引導(dǎo)性增強.精英策略的運用將螞蟻的搜索行為集中到最優(yōu)解附近，可以提高解的質(zhì)量和收斂速度，從而改進算法的性能.按照此策略找到優(yōu)質(zhì)解的螞蟻稱為精英螞蟻.精英螞蟻算法中信息素的更新規(guī)則如下：

如果第i只螞蟻為精英螞蟻，找到的解為群體當前最優(yōu)解，解的信息素按如下方式更新.

(10)

Tau(i)=(1-Rou(t))*Tau(i)+F(X(i,1),X(i,2))，

(11)

從上述解的信息素更新的兩種情況來看，精英螞蟻找到解的信息素含量除按正常方式更新外，還按照解的質(zhì)量給予其信息素含量一個額外的增強，提高了該解對螞蟻個體的吸引力.這樣使得最優(yōu)解和普通解的信息素量差異進一步增大，引導(dǎo)螞蟻的搜索行動向最優(yōu)解的領(lǐng)域靠近.增強了對蟻群搜索行為的指導(dǎo)性.

2.3 基于GM(1,1)模型的蟻群算法適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計

蟻群中的每個螞蟻位置對應(yīng)優(yōu)化問題的潛在可行解，根據(jù)適應(yīng)度值進化迭代找到最優(yōu)螞蟻則找到了對應(yīng)問題的最優(yōu)解.在蟻群算法中用適應(yīng)度值來評價螞蟻尋找到的解的優(yōu)劣，并作為往后螞蟻個體狀態(tài)轉(zhuǎn)移和信息素更新的依據(jù)，使得隨機初始解逐步向最優(yōu)解進化.由此可見，適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計是蟻群算法進化尋優(yōu)的關(guān)鍵.

(12)

其中，a,b是待求的GM模型參數(shù)，他們是適應(yīng)度函數(shù)的兩個自變量.

自變量的取值范圍(即蟻群的搜索范圍)根據(jù)具體問題進行適當設(shè)定.范圍設(shè)置過大，算法把搜索范圍遍歷一次，會降低算法的執(zhí)行效率；范圍設(shè)置過小，沒有把具體問題的最優(yōu)解包含在內(nèi)，會造成算法不成熟收斂或者不收斂，得到的是問題的局部最優(yōu)解或無解.本文在GM模型參數(shù)的求解問題上，在參考傳統(tǒng)GM模型近似解的基礎(chǔ)上來設(shè)置算法的搜索范圍.

程序代碼部分刪除.

3 改進的蟻群算法與GM(1,1)融合預(yù)測模型的實證分析

當GM(1，1)模型數(shù)據(jù)序列變化平緩時，低增長情況下,傳統(tǒng)GM(1,1)模型和殘差修正模型有較高的精度，模型偏差較小，擬合和預(yù)測非常理想，運用蟻群算法優(yōu)化參數(shù)建立的GM(1，1)模型與它們在精度上相差不大，提高效果不顯著.當數(shù)據(jù)序列為高增長序列如指數(shù)級增長(發(fā)展系數(shù)|-a|比較大)，尤其是|-a|>0.5時，GM模型精度很差，對使用傳統(tǒng)模型以及殘差修正模型作短期預(yù)測都應(yīng)該慎重，因此該情況下運用仿生智能算法求解模型參數(shù)，提升模型精度十分有必要.下面以指數(shù)級高增長數(shù)據(jù)序列的擬合和預(yù)測為例，運用提出的自適應(yīng)精英蟻群算法改進的GM模型來進行數(shù)據(jù)的擬合和預(yù)測，在精度和誤差上與傳統(tǒng)模型和殘差修正模型進行對比，來驗證基GM模型改進的有效性和合理性.

例：某地傳染病暴發(fā)，在某周感染人數(shù)的日報數(shù)據(jù)如下，x°=[3,11,28,85,251,736,2 199],從數(shù)據(jù)的變化趨勢呈現(xiàn)近似指數(shù)級增長.傳統(tǒng)GM模型和殘差修正GM模型預(yù)測結(jié)果和誤差數(shù)據(jù)如表1所示，可以看出采用傳統(tǒng)GM(1,1)模型和殘差修正模型預(yù)測誤差都比較大,預(yù)測效果不理想.仍采用此數(shù)據(jù)序列的擬合、預(yù)測探討運用智能方法求解模型參數(shù)的有效性和優(yōu)越性.

下面采用基于自適應(yīng)精英蟻群算法的GM(1,1)模型來對該指數(shù)級增長數(shù)據(jù)序列進行預(yù)測，在參考傳統(tǒng)GM模型求得參數(shù)值的基礎(chǔ)上將第1個參數(shù)范圍(算法搜索范圍)設(shè)置為[-1.5,-0.6]，第2個參數(shù)范圍(算法搜索范圍)設(shè)置為[0,2.0]，螞蟻個體數(shù)目設(shè)為100，迭代次數(shù)T設(shè)為300，在matlab運行自適應(yīng)精英蟻群算法程序，得到適應(yīng)度進化曲線如圖1所示，算法收斂相當快.matlab程序求得的GM模型參數(shù)分別為：a=-1.090 81，b=1.919 02.得到優(yōu)化后的GM模型的預(yù)測值時間響應(yīng)式為：

迭代次數(shù)

(13)

表1是運用自適應(yīng)精英蟻群算法與GM融合預(yù)測模型對數(shù)據(jù)序列的擬合預(yù)測值、誤差值與傳統(tǒng)GM模型、殘差修正模型的對比.

表1 數(shù)據(jù)序列預(yù)測值及誤差

從改進預(yù)測模型的擬合值、殘差、相對誤差和數(shù)據(jù)變化趨勢來看，自適應(yīng)精英蟻群算法與GM融合模型預(yù)測結(jié)果非常理想，在原始數(shù)據(jù)的擬合上誤差小，而且在后續(xù)時間預(yù)測數(shù)據(jù)的變化趨勢與原始數(shù)據(jù)序列的變化趨勢也非常吻合.傳統(tǒng)GM模型在指數(shù)級高增長數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)擬合上，誤差大，數(shù)據(jù)變化明顯滯后于實際數(shù)據(jù)的變化，后續(xù)時間預(yù)測上，預(yù)測數(shù)據(jù)的變化也明顯不符合指數(shù)級高增長的特征.在數(shù)據(jù)序列高增長、非平穩(wěn)變化時，殘差修正的應(yīng)用反而增大GM模型擬合數(shù)據(jù)的誤差，在后續(xù)時間的預(yù)測數(shù)據(jù)變化趨勢明顯大大超前原始數(shù)據(jù)的增長特征.由此可見傳統(tǒng)GM模型、殘差修正模型非常不適合指數(shù)級增長非平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列的預(yù)測和擬合.

為了驗證自適應(yīng)精英策略用于改進蟻群算法的優(yōu)越性，在此用該方法求解的GM模型參數(shù)與普通粒子群算法、普通蟻群算法求解的GM模型參數(shù)在收斂速度、算法運行時間、最終誤差等諸方面進行比較，3種算法性能參數(shù)如表2所示.

表2 求解GM(1,1)模型的3種算法性能參數(shù)

用普通粒子群算法、普通蟻群算法求解的GM模型參數(shù)如圖2所示.用普通粒子群算法求解模型參數(shù)歷時最短，但誤差最大；普通蟻群算法求解時間稍長，模型誤差有所減少，但并非最小，還有改進降低的空間；而自適應(yīng)精英蟻群算法雖然歷時比前兩者都長，但求解的結(jié)果是最好的，模型總的誤差平方和是最低的.由此可見，運用不經(jīng)改進的智能方法求解模型參數(shù)，系統(tǒng)總的誤差平方和也明顯高于改進后的方法.從一個側(cè)面也反映了運用自適應(yīng)精英策略改進蟻群算法是成功的，用于優(yōu)化問題求解具有優(yōu)越性.

迭代次數(shù)

應(yīng)用結(jié)果表明,基于自適應(yīng)精英蟻群算法的灰色GM模型,對于非平穩(wěn)高增長的序列,具有較高的擬合與預(yù)測精度.對于指數(shù)級增長的非平穩(wěn)序列預(yù)測精度提升效果尤為明顯.改進后的模型在適用性上較傳統(tǒng)模型和殘差修正模型具有優(yōu)越性.同時，與普通的人工智能方法相對比，自適應(yīng)精英蟻群算法在解決優(yōu)化問題上，處理能力是較為優(yōu)秀的.

4 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)求解GM(1，1)模型的參數(shù)的局限性，提出了自適應(yīng)精英蟻群算法求解模型參數(shù)的方法.通過應(yīng)用結(jié)果證明文章提出的方法有較理想的預(yù)測效果，尤其數(shù)據(jù)序列變化非平穩(wěn)時，傳統(tǒng)GM模型擬合及預(yù)測精度較差的情況，改進的融合模型預(yù)測效果非常理想.也同時證明了自適應(yīng)精英策略改進蟻群算法是合理可行的，比普通智能算法具有較強的優(yōu)化問題解決能力.自適應(yīng)精英蟻群算法還可以應(yīng)用于其他領(lǐng)域的優(yōu)化問題，具有較廣闊的應(yīng)用前景.