史太川 呂 偉

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0 引言

越來越多的印刷企業(yè)采用計算機配色軟件進行專色油墨配色，以提高配色的準確性與效率。計算機配色的關鍵是建立準確的、與模型相匹配的配色基礎數(shù)據(jù)庫。大部分配色模型是以Kubelka-Munk理論（K-M理論）為依據(jù)[1]。構建基于K-M單常數(shù)理論配色模型的基礎數(shù)據(jù)庫時，配色光學常數(shù)（吸收系數(shù)K和散射系數(shù)S）的求解會直接影響配色效率、顏色預測精度。目前，基墨配色光學常數(shù)求解方法主要有基墨色調(diào)階梯法和數(shù)學算法[2]。

基墨色調(diào)階梯法是將制備于不透明基底上的基墨純色樣本的光譜反射率R代入K-M理論簡化方程即K/S=(1-R)2/(2R)，或將制備于透明薄膜（假設透射率為1）的基墨純色樣本分別背襯黑白的光譜反射率R、R0及白背襯的光譜反射率Rg代入公式[3-4]a=1+K/S=1/2[R+(R0-R+Rg)/(R0Rg)]，求得基墨光學常數(shù)。但多數(shù)純色基墨光吸收能力強、反射率相較不高，導致基墨光學常數(shù)求解結果誤差較大。Cairns色調(diào)階梯法[5]通過制備多組不同質量配比的基墨與沖淡劑混合樣本，使用最小二乘法[6-7]求解基墨光學常數(shù)。因基墨混合樣本的質量配比與吸收散射比的關系用Duncan色料混合光學模型的線性加和定律描述不準確，故常選取8～12個色調(diào)階梯[8-9]，以降低各質量配比所求光學常數(shù)的差異對配色精度的影響。此外，根據(jù)樣本配比與吸收散射比的關系曲線，可選取少量曲線特征點求解光學常數(shù)，但目前特征點的選取并無量化依據(jù)[10]。

數(shù)學算法是對線性顯著的低配比段進行線性內(nèi)插求解光學常數(shù)[11]，或將各配比段所求光學常數(shù)的均值代入非線性擬合關系函數(shù)得到初步配比，再對初步配比的相鄰兩基準配比段的光學常數(shù)進行內(nèi)插，得到接近實際的光學常數(shù)[12]。前者預測精度不高，后者僅理論上成立。兩種算法得到的光學常數(shù)難以綜合表征基墨在質量配比范圍內(nèi)的光學特性。此外，隨著質量配比的增加，曲線振蕩越大[13]。

針對基墨色調(diào)階梯法中色調(diào)階梯選取不當、建庫工作量大等問題，本研究擬先分析膠印配色數(shù)據(jù)庫中基墨混合樣本的質量配比與吸收散射比的關系，再用兩種色調(diào)階梯法選取色調(diào)階梯，縮減制樣數(shù)量，提高配色建庫效率。

1 K-M單常數(shù)理論和光學常數(shù)求解

1.1 K-M單常數(shù)理論

K-M單常數(shù)理論由K-M理論和色料線性加和定律組成。任一波長處，混合色料膜層的吸收系數(shù)K與散射系數(shù)S適用線性加和定律，即將各單組份色料光譜間復雜的非線性關系轉換為吸收與散射系數(shù)間簡單的線性關系（見公式（1））。若色料混合介質膜層不透明，通過Saunderson修正[4]光譜反射率，再求吸收散射比。

部分情況下（如印刷呈色），色料以分子形態(tài)附著于基底表面，其尺寸遠小于可見光波長，故其對光的散射作用可忽略不計?；诖?，色料配比變化對S影響不大，S可視為基底散射系數(shù)。將記為，式（1）可簡化為

1.2 光學常數(shù)

基于K-M單常數(shù)理論的光譜配色模型中，光學常數(shù)即為單組份基墨的吸收散射比。多數(shù)純色基墨的光吸收能力強、反射率相對不高，導致光學常數(shù)的求解結果誤差較大。為解決此問題，將基墨與沖淡劑混合以減弱純色基墨的光吸收能力。已知混合樣本的基底在波長λ處的吸收散射比，則混合樣本的吸收散射比為

式中：c為基墨質量配比；為單組份基墨在波長λ處的吸收散射比。

通過單個混合樣本求解光學常數(shù)，易受制備工藝誤差影響，且混合樣本的配比與吸收散射比并非理想線性關系。因皮，根據(jù)式（3），利用多組不同配比的混合樣本聯(lián)立方程組求解光學常數(shù)，即

式中：m為混合樣本個數(shù)；cm為第m個混合樣本的基墨質量配比；為第m個混合樣本在波長λ處的吸收散射比；為混合樣本的基底在波長λ處的吸收散射比。

式（4）為多個方程對應一個未知變量（單組份基墨吸收散射比）的超定方程組，故可通過線性最小二乘法求解。

令

則波長λ處單組份基墨的吸收散射比為

2 色調(diào)階梯實驗

2.1 混合樣本制備及其光譜獲取

混合樣本中膠印基墨的質量配比為5%～100%，間隔為5%，即為基礎配比。實驗均在恒溫恒濕環(huán)境（溫度為22～24 ℃；相對濕度為50%～55%）下進行，承印物為金太陽定量200 g/m2單面涂布白卡紙，無熒光效果；基墨為盛威科耐折系列黃（Y）、紅（M）、藍（C）、黑（K）。實驗主要儀器如表1所示。

表1 實驗儀器Table 1 Experimental apparatus

在不同的打樣速度、打樣壓力及上墨量下，用印刷適性儀打印黑色樣張。經(jīng)密度測量，得到當打樣條件為：打樣速度0.2 m/s、打樣壓力500 N、上墨量0.08 g時，黑色樣張的密度能達到膠印實地密度控制標準，且與膠印印張基色黑色標密度匹配。故不同濃度梯度的基墨混合樣本均是在此打樣條件下制備，如圖1所示。

圖1 印刷樣張Fig. 1 Printing proofs

彩圖

為確?；旌蠘颖竟庾V反射率的測量結果有效，測量時采用自體背襯（若干張相同白卡紙）[14]。以一半的印刷樣張為例，其光譜反射率如圖2所示。

圖2 印張光譜反射率Fig. 2 Spectral reflectivity of printing proofs

彩圖

2.2 樣本配比與吸收散射比的關系

用Saunderson修正光譜反射率后，利用公式（1）得到基墨混合樣本及基底的吸收散射比，并利用公式（3）得到單組份基墨混合樣本的吸收散射比。以混合樣本中半數(shù)為例，通過線性最小二乘法求解單組份基墨吸收散射比，并將其進行極差歸一化變換，結果如圖3所示。

圖3 印張吸收散射比與其歸一化圖Fig. 3 The absorption and scattering ratios of printing proofs and its normalization

彩圖

由圖3可以看出，隨波長的增加，各基墨混合樣本的吸收散射比與光譜反射率的變化趨勢相反。理論上，任一質量配比的基墨混合樣本中單組份基墨散射吸收比應相同，但實際卻存在一定偏差；基墨混合樣本吸收散射比歸一化后的曲線應完全重合，但實際上除黃墨混合樣本外，其他三種基墨混合樣本的歸一化曲線并未完全重合，亦即吸收散射比與質量配比呈非線性關系。因此，選擇合適的質量配比基墨混合樣本是提高配色模型光譜預測精度的關鍵。

2.3 求解光學常數(shù)的樣本數(shù)量優(yōu)化

基墨混合樣本的吸收散射比峰值與光譜反射率谷值相對應，此處波長對基墨混合樣本吸收散射性能的影響較大，故稱之為主吸收波長。因此，本研究分析主吸收波長處基墨混合樣本的質量配比與吸收散射比的關系。

將主吸收波長處基墨混合樣本的質量配比與吸收散射比進行非線性最小二乘法擬合，即

式中：ai為待定系數(shù)，具體數(shù)值見表2；m為多項式最高次數(shù)，m=3。

表2 4種基墨混合樣本的多項式擬合系數(shù)aiTable 2 Polynomial fitting coefficient ai of 4 based ink mixed samples

擬合結果見表3。由表可知，和方差（sum of squares for error，SSE）與均方根誤差（root mean square error，RMSE）皆接近0，決定系數(shù)（R-square，R2）與校正決定系數(shù)（adjustedR-square）皆接近1?？梢?，當m=3時，4種基墨混合樣本的擬合優(yōu)度最佳。

表3 4種基墨混合樣本的多項式擬合優(yōu)度Table 3 Polynomial goodness of fit of 4 based ink mixed samples

分別用線性最小二乘法和非線性最小二乘法對主吸收波長處基墨混合樣本的質量配比與吸收散射比進行擬合，結果如圖4所示。

圖4 4種基墨混合樣本的擬合結果圖Fig. 4 Fitting result of 4 based ink mixed samples

圖4中，黃墨、紅墨、藍墨、黑墨的線性回歸直線斜率分別為其在主吸收波長處的吸收散射比，即6.91, 7.54, 8.96, 5.95。因去除了基底光學特性，故線性回歸直線過坐標原點。用線性回歸直線與非線性回歸曲線交點處的質量配比求解光學常數(shù)，此配色模型的光譜預測精度最好。因而求解光學常數(shù)的質量配比只需1～2個。但實際上，若僅選1～2個質量配比求解光學常數(shù)，則樣本制備工藝誤差易導致光學常數(shù)求解不準，故需增加求解光學常數(shù)的質量配比數(shù)量。在保證正反向預測模型精度前提下，本研究提出用一階導和誤差排序兩種色調(diào)階梯法分別優(yōu)化求解光學常數(shù)的質量配比數(shù)量。

1）一階導色調(diào)階梯法

基墨混合樣本的線性回歸直線與非線性回歸曲線的位置關系（見圖4）符合拉格朗日中值定理幾何意義，故求式（7）一階導數(shù)（見式（8）），并選取一階導數(shù)與線性回歸直線斜率最接近的兩個質量配比及其左右相鄰的質量配比各1（見表4）。各基墨混合樣本均選取6個質量配比，用帶約束的線性最小二乘法求解單組份基墨吸收散射比。

表4 基墨混合樣本非線性回歸曲線的一階導數(shù)表Table 4 First derivative of nonlinear regression curve of based ink mixed samples

2）誤差排序色調(diào)階梯法

計算基墨混合樣本在線性回歸直線與非線性回歸曲線中同一質量配比對應的吸收散射比絕對誤差，并將其從小到大進行排序。綜合來看，各基墨混合樣本的較小絕對誤差值主要位于較小質量配比、中等質量配比及較大質量配比處。為降低樣本制備工藝誤差的影響，進一步選取與此3種質量配比差異最小的配比各1個，則每種基墨各選出絕對誤差較小的前6個質量配比（見表5）。將6個質量配比進行帶約束的線性最小二乘法擬合，求解單組份基墨吸收散射比。

表5 基墨混合樣本線性與非線性回歸曲線的絕對誤差表Table 5 Absolute error of linear and nonlinear regression curve of based ink mixed samples

3 結果與分析

3.1 光學常數(shù)

為驗證一階導色調(diào)階梯法與誤差排序色調(diào)階梯法的合理性與準確性，將色調(diào)階梯法與混合樣本基礎配比分別得到的單組份基墨吸收散射比進行比較，如5圖所示。

圖5 3種方法所得吸收散射比比較Fig. 5 Comparison of the absorption and scattering ratios calculated by 3 methods

從圖5可以看出，各波長處黃墨和黑墨混合樣本由色調(diào)階梯法得到的單組份基墨吸收散射比均與基礎配比得到的單組份基墨吸收散射比較為接近；而對于紅墨和藍墨混合樣本而言，在主吸收波長附近，用誤差排序色調(diào)階梯法得到的單組份基墨吸收散射比與基礎配比得到的單組份基墨吸收散射比更接近，但兩種色調(diào)階梯法求解效果的差異不顯著。

3.2 顏色預測精度

根據(jù)光學常數(shù)分析結果，選取膠印印張中三拼色?？Х扰c雙拼色專紅兩個目標色（見圖6）進行顏色預測精度驗證分析。已知專咖啡的基墨配比m黃:m紅:m黑=0.5563:0.3042:0.1395，專紅的基墨配比m黃:m紅=0.3356:0.6644，分別用一階導色調(diào)階梯法和誤差排序色調(diào)階梯法色階求解的基墨光學常數(shù)，對兩個目標色進行正向光譜預測和反向配比預測，并分析預測的配比差、光譜誤差及色差。

圖6 膠印印張?？Х扰c專紅色標Fig. 6 Brown and red spot color batches of offset printed sheet

正向光譜預測模型建立了從單組份基墨的配比到輸出光譜反射率之間的預測模型，而反向配比預測模型是在已知復制光譜反射率的前提下，反向求解各單組份基墨配比。由于正向光譜預測模型通常無法求解反函數(shù)，故常視反向配比預測模型為帶約束的非線性優(yōu)化問題。通過帶約束優(yōu)化問題函數(shù)對目標函數(shù)進行迭代尋優(yōu)，即尋找最小光譜匹配誤差。目標函數(shù)為預測光譜rpre與目標色混合樣本光譜rtar的誤差，即

分別用一階導色調(diào)階梯法、誤差排序色調(diào)階梯法的光學常數(shù)預測目標色，并與基礎配比的光學常數(shù)預測目標色的結果進行比較，配比差（歐幾里得距離）、光譜誤差（RMSE）及色差（D65/2°條件下ΔEab）如表6所示。

表6 兩種色調(diào)階梯法的預測結果Table 6 Predictions of two tint ladder methods

由表6可知，一階導色調(diào)階梯法、誤差排序色調(diào)階梯法及基礎配比混合樣本的光學常數(shù)對?？Х鹊念A測，在配比差、光譜誤差及色差上均差異不大；三者對專紅的預測，光譜誤差與色差差異不大，但一階導色調(diào)階梯法的配比差明顯大于另外二者。

3種配比樣本光學常數(shù)對兩個目標色的預測光譜如圖7所示。

圖7 3種配比樣本光學常數(shù)的預測光譜與目標色光譜圖Fig. 7 Prediction spectrum of the 3 ratio samples optical constants and target color spectrum

由圖7可知，一階導色調(diào)階梯法、誤差排序色調(diào)階梯法及基礎配比混合樣本的光學常數(shù)對?？Х鹊念A測光譜較接近，但與目標色光譜存在一定偏差；三者對專紅的預測光譜也較接近，且與目標色光譜較為吻合。

4 結論

為構建基于K-M單常數(shù)理論的膠印配色數(shù)據(jù)庫，本研究選取膠印基墨與沖淡劑混合樣本，基墨質量配比在5%～100%之間，間隔為5%，對基墨質量配比與吸收散射比之間的關系進行理論與實驗分析，并提出了一階導和誤差排序兩種色調(diào)階梯法，以選擇適量的質量配比求解光學常數(shù)。通過基礎配比混合樣本、一階導色調(diào)階梯法及誤差排序色調(diào)階梯法建立的數(shù)據(jù)庫進行顏色預測，結果表明：兩種色調(diào)階梯法的顏色預測精度（最大光譜誤差為0.0137，最大色差為1.73）均滿足實際生產(chǎn)應用需求?？梢?，本研究所提配色光學常數(shù)求解法可在保證顏色預測精度前提下，提高配色數(shù)據(jù)庫建立效率，對印刷包裝企業(yè)應用計算機配色具有一定指導意義。