程鵬翔，李志民，何瑞彬，侯婷婷

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

目前全球金融市場(chǎng)中有著大量的金融衍生品，如何對(duì)金融衍生品合理定價(jià)一直以來(lái)都是一個(gè)重要問題。在傳統(tǒng)的布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型中，通常會(huì)假設(shè)資產(chǎn)的價(jià)格服從Geometric-Brown運(yùn)動(dòng)，再運(yùn)用偏微分方程方法或者鞅方法來(lái)對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，得到歐式期權(quán)的解析定價(jià)公式[1]。杜雪樵等[2]通過對(duì)隨機(jī)微分方程進(jìn)行解析，利用測(cè)度變化方法和鞅方法得到期權(quán)的解析定價(jià)表達(dá)式。隨著學(xué)者們的研究發(fā)現(xiàn)，模型中資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)項(xiàng)是服從尖峰厚尾分布的，同時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格存在著長(zhǎng)記憶性。

由于期權(quán)中的資產(chǎn)價(jià)格在到期日之前并不平穩(wěn)，會(huì)有波動(dòng)和跳躍，因此研究帶跳過程的期權(quán)定價(jià)問題逐漸引起學(xué)者們的注意。Merton[8]通過研究正態(tài)跳擴(kuò)散模型，給出了帶跳的歐式期權(quán)定價(jià)。錢曉松[9]利用偏微分方程方法將亞式期權(quán)的定價(jià)問題轉(zhuǎn)化為方程的求解問題。張凱華[10]給出了隨機(jī)紅利在服從跳過程情況下的三類期權(quán)定價(jià)公式。楊曉琳等[11]研究了跳擴(kuò)散環(huán)境下的商期權(quán)定價(jià)問題。隨著金融衍生品定價(jià)問題的不斷完善，考慮資產(chǎn)支付紅利的情況也越來(lái)越多，紅利的支付在定價(jià)中不可忽視。彭勃等[12]研究了考慮股票支付紅利的跳擴(kuò)散模型下歐式看漲期權(quán)定價(jià)。沙慶寶[13]推導(dǎo)出了在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)中，股票支付紅利的最值期權(quán)的定價(jià)公式。

本文主要在楊曉琳[11]所研究?jī)?nèi)容的基礎(chǔ)上，對(duì)跳擴(kuò)散模型進(jìn)行擴(kuò)展，提出分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散模型，并且股票存在紅利的支付，研究分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散模型下有紅利支付的商期權(quán)定價(jià)。

1 跳擴(kuò)散模型下有紅利支付的商期權(quán)定價(jià)

商期權(quán)又稱為比率期權(quán)，它是以兩個(gè)資產(chǎn)的比率來(lái)做標(biāo)的物的期權(quán)，與其他期權(quán)相比，商期權(quán)可推導(dǎo)出解析定價(jià)公式，這是商期權(quán)的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。同時(shí)商期權(quán)是比率作為標(biāo)的物的期權(quán)，因此具有名義價(jià)值，我們需要提前設(shè)定票面數(shù)量，與商期權(quán)價(jià)格相乘可以得到總的價(jià)格。

假設(shè)商期權(quán)中兩個(gè)資產(chǎn)價(jià)格服從：

(1)

式中,μi、qi、σi為常數(shù)，μi為資產(chǎn)的期望收益率，qi為紅利率，σi為波動(dòng)率。B1(t)與B2(t)都為一維的布朗運(yùn)動(dòng)，且其相關(guān)系數(shù)為ρ；G1與G2為S1(t)和S2(t)發(fā)生跳躍時(shí)的跳躍比率，當(dāng)跳躍發(fā)生時(shí)，S1(t)變?yōu)镚1S1(t)，S2(t)變?yōu)镚2S2(t)；w1(t)和w2(t)為兩個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生跳躍的次數(shù)。令w1(t)與w2(t)是服從跳躍強(qiáng)度為λi的Poison過程，即在區(qū)間(t,t+dt)上，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生跳躍的概率為λidt。

(2)

對(duì)上式從0到t進(jìn)行積分可得式(2)，引理1得證。

(3)

(4)

(5)

從而有

(6)

故由上式可得

由以上證明可知定理1成立。

2 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下有紅利支付的商期權(quán)定價(jià)

本節(jié)中，我們考慮跳擴(kuò)散過程中，當(dāng)積分項(xiàng)為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的商期權(quán)定價(jià)問題。首先給出分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的概念。若過程BH(t)是高斯過程，且滿足下列性質(zhì)：

①E[BH(t)]=BH(0)=0,t>0,

那么稱此隨機(jī)過程BH(t)為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，其Hurst指數(shù)H∈(0,1)。

(7)

(8)

(9)

對(duì)式(9)從0到t進(jìn)行積分可得到式(8)，即引理2得證。

(10)

(11)

注意到

I1-I2。

(12)

進(jìn)一步進(jìn)行整理可得，

(13)

從而由上式可以得到

由以上可以證明定理2成立。