張潤(rùn)梅，夏 旭，袁 彬，董必春，姜懷震，李佳祥

(1.安徽建筑大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院， 合肥 230601； 2.工程機(jī)械智能制造安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 合肥 230601)

1 引言

近年來(lái)，隨著現(xiàn)代化工業(yè)的快速發(fā)展，機(jī)械臂被廣泛應(yīng)用在眾多領(lǐng)域中。在機(jī)械臂日常應(yīng)用的場(chǎng)景中，往往需要高精度的軌跡跟蹤控制。但由于機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型存在建模誤差等許多不確定因素，難以建立精確的數(shù)學(xué)模型，不滿足機(jī)械臂的精確控制的要求。針對(duì)上述問(wèn)題，許多學(xué)者已經(jīng)提出了先進(jìn)控制方法，如PID控制[1-2]，自適應(yīng)控制[3-4]，模糊控制[5-6]以及滑模控制[7-8]等方法。在眾多控制方法中，由于滑?？刂茖?duì)模型不確定性、未知干擾和參數(shù)變化具有強(qiáng)魯棒性，因此被廣泛應(yīng)用于機(jī)械臂的軌跡跟蹤領(lǐng)域。然而當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)，滑?？刂品椒ň蜁?huì)表現(xiàn)出高頻振蕩，稱為抖振。抖振的存在對(duì)控制系統(tǒng)具有負(fù)面影響，不僅會(huì)影響機(jī)器的使用壽命，還會(huì)影響軌跡跟蹤精度問(wèn)題。針對(duì)機(jī)械臂抖振問(wèn)題，許多方法可以用來(lái)削弱抖振，在一階滑?？刂浦?，抖振可以通過(guò)飽和函數(shù)或雙曲正弦函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)[9-10]，但跟蹤精度和魯棒性也會(huì)隨之下降。同時(shí)，采用線性滑模面會(huì)有響應(yīng)速度慢，后期輸出力矩有較大波動(dòng)等問(wèn)題。為此，張瑞民等[11]提出了一種自適應(yīng)高階滑?？刂品椒?，提高了機(jī)械臂控制系統(tǒng)的收斂速度，削弱了系統(tǒng)中后期輸出力矩的抖振。在高階滑?？刂浦校Ｕ`差和摩擦的存在會(huì)產(chǎn)生抖振，由于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能很好地逼近非線性函數(shù)，有學(xué)者提出采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)進(jìn)行優(yōu)化。徐傳忠等[12]采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)方法在線估計(jì)不確定因素的上界，解決了多關(guān)節(jié)機(jī)械臂控制系統(tǒng)存在的軌跡跟蹤問(wèn)題，但由于其依賴機(jī)械臂的模型，限制了實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景。吳愛(ài)國(guó)等[13]采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近帶有未知干擾的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并加入自適應(yīng)項(xiàng)作為補(bǔ)償機(jī)構(gòu)，減小了逼近誤差，實(shí)現(xiàn)無(wú)模型控制。劉凌等[14]提出了一種參數(shù)可調(diào)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法，運(yùn)用梯度下降法修正RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的中心參數(shù)，并結(jié)合模糊補(bǔ)償器對(duì)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，縮短了穩(wěn)定時(shí)間，提高了控制過(guò)程中的精度和魯棒性。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠減小了建模誤差和干擾帶來(lái)的影響，但滑?？刂频氖諗克俣群途冗€取決于滑模面的選擇。為解決上述問(wèn)題，最近，Van等[15]提出了比例積分微分滑?？刂破?SMC-PIDs)，將積分項(xiàng)引入了滑模面的設(shè)計(jì)中，利用積分滑模的積分特性和全局滑模特性消除穩(wěn)態(tài)誤差，對(duì)干擾具有很好的魯棒性。Kali等[16]提出一種基于超螺旋算法(STA)的高階滑模控制方法，其將不連續(xù)符號(hào)隱藏在積分項(xiàng)中，有效地抑制了抖振，并確保了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。文獻(xiàn)[17-18]提出終端滑模面，采用非線性項(xiàng)設(shè)計(jì)滑模面，相比傳統(tǒng)線性滑模面，提高了系統(tǒng)的收斂速度。上述研究為多關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制提供了理論基礎(chǔ)和工程應(yīng)用價(jià)值，但仍然存在跟蹤精度低、收斂速度慢、無(wú)法有效抑制抖振等問(wèn)題。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文提出了基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)超螺旋非奇異積分終端滑模(NFSTSM)軌跡跟蹤控制方法。為克服干擾帶來(lái)的不確定項(xiàng)，在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上加入自適應(yīng)算法，從而準(zhǔn)確地估計(jì)了系統(tǒng)的不確定性；為克服控制系統(tǒng)的抖振問(wèn)題，采用高階滑模面結(jié)合超螺旋算法并采用特殊冪次函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)符號(hào)函數(shù)，有效地抑制了抖振的產(chǎn)生，提高軌跡跟蹤精度。

2 機(jī)械臂數(shù)學(xué)建模

基于拉格朗日方程可以建立n關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

機(jī)械臂軌跡跟蹤的控制目標(biāo)：使得關(guān)節(jié)輸出q盡可能好的跟蹤關(guān)節(jié)角矢量。qd∈Rn為期望軌跡且是一個(gè)連續(xù)二階可微的函數(shù)。

定義系統(tǒng)跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)為:

(2)

3 滑模控制器設(shè)計(jì)

控制器的設(shè)計(jì)共分為：① 設(shè)計(jì)非奇異積分終端滑模面；② 設(shè)計(jì)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)估計(jì)帶有未知干擾的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型；③ 采用自適應(yīng)算法對(duì)逼近誤差進(jìn)行補(bǔ)償?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

3.1 滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

考慮系統(tǒng)(1)的結(jié)構(gòu)，為了確保產(chǎn)生理想的滑動(dòng)模態(tài)，加快狀態(tài)跟蹤誤差的收斂速度，消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，設(shè)計(jì)一種新的非奇異積分終端滑模面：

(3)

式中:kp1、kp2、kd、ki均為正數(shù),r1、r2、r3、r4為正奇數(shù)，1r3/r4。

當(dāng)跟蹤誤差靠近平衡點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，忽略高次項(xiàng)，故式(3)可以改寫(xiě)為：

(4)

當(dāng)?shù)竭_(dá)滑模面時(shí)，即s=0，得到誤差導(dǎo)數(shù)為：

(5)

故收斂速度遠(yuǎn)大于同參數(shù)的線性滑模面。同理可以得到當(dāng)時(shí)，收斂速度高于線性滑模面。

建立了合適的滑模面，下一步設(shè)計(jì)控制率來(lái)使系統(tǒng)到達(dá)滑模面。式(3)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得:

(6)

將式(1)和式(2)代入可以得到：

(7)

式中:f為機(jī)械臂未知非線性函數(shù)。

若機(jī)械臂未知非線性函數(shù)f精確可知?jiǎng)t可取控制律：

τ=fNN+τeq+τsmc

(8)

式中:τeq為等效控制項(xiàng)，τsmc為切換控制項(xiàng)。

將式(7)代入式(6)中

kie(t)+kd(f-τ)

(9)

得等效控制律為：

(10)

對(duì)于切換控制項(xiàng)部分，傳統(tǒng)控制系統(tǒng)由于切換控制項(xiàng)函數(shù)的不連續(xù)而產(chǎn)生抖振。本文中提出了新型超螺旋算法，將不連續(xù)項(xiàng)放入積分項(xiàng)中，使得切換控制項(xiàng)函數(shù)更為連續(xù)，以增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。設(shè)計(jì)如式(11)：

(11)

傳統(tǒng)的符號(hào)函數(shù)在邊界層處切換不光滑，會(huì)加劇抖振的產(chǎn)生，為增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。擬采用一種新型特殊冪次函數(shù)如式(12)代替?zhèn)鹘y(tǒng)符號(hào)函數(shù):

(12)

其中0<δ<1,α>0。δ為fal函數(shù)原點(diǎn)附近正負(fù)對(duì)稱線性的區(qū)間長(zhǎng)度。

故切換項(xiàng)可改寫(xiě)為：

(13)

3.2 徑向基(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

(14)

fNN=wTδ(x)

(15)

式中:f為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出；w為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)權(quán)重w*的估計(jì)；δ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)；L為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

基函數(shù)采用高斯函數(shù)，高斯基函數(shù)表達(dá)式為:

(16)

ci=[ci1,ci2,…,ciL]T

bi=[bi1,bi2,…,biL]T

式中:xi為第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量;ci為第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的中心矩陣;bi為第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基寬向量。

由式(7)可得，機(jī)械臂未知非線性函數(shù)：

(17)

(18)

(19)

3.3 穩(wěn)定性分析

對(duì)于整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，可以取Lyapunov函數(shù)V

(20)

(21)

將式(9)代入到式(20)可得

(22)

令

(23)

(24)

(25)

4 仿真

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制方法的有效性，使用一個(gè)2-DOF的機(jī)械臂結(jié)構(gòu)作為仿真對(duì)象如圖2所示。其動(dòng)力學(xué)方程如下：

圖2 二自由度機(jī)械臂結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Two-degree-freedom robotic manipulator structure diagram

(26)

(27)

(28)

(29)

利用Matlab進(jìn)行仿真，仿真時(shí)間設(shè)置為10 s，仿真采用式(8)的控制律，自適應(yīng)律采用式(18)、式(19)，系統(tǒng)仿真相關(guān)參數(shù)如表1，隱含層中心矢量c和高斯基函數(shù)b分別取為：

肥胖水腫：維生素B1、B2、B3 可減輕激素引起的各種新陳代謝反應(yīng)失常；也可減輕激素引發(fā)的副作用，如滿月臉、向心性肥胖、痤瘡、多毛癥、水腫、高血脂、高血壓、肌萎縮、骨質(zhì)疏松等。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

為說(shuō)明所設(shè)計(jì)的方法的有效性，設(shè)置以下2種控制方法對(duì)比。

控制器1：該控制器的滑模面為式(30)、控制律為式(31)，記為SMC-S-RBF。

(30)

τ=wTδ(x)+Kvs-(εN+bd)sgn(s)

(31)

控制器2：該控制器的滑模面為式(32)、控制律為式(33)，記為NET-S。

(32)

w1s+w2sr5/r6+w3sr7/r8)

(33)

圖3表示利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)帶有未知干擾的機(jī)械臂非線性函數(shù)曲線。由圖3可以看出，結(jié)合自適應(yīng)律的RBF很好地估計(jì)了非線性模型。圖4為各個(gè)方法的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線。圖5為各個(gè)方法的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差曲線。圖6為各個(gè)方法的關(guān)節(jié)控制力矩曲線。為了便于比較控制器的性能，取均方根(RMS)為性能指標(biāo)：

圖3 不確定項(xiàng)估計(jì)曲線Fig.3 Estimation of uncertainty

圖4 關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線Fig.4 Trajectory tracking curves of joints

圖5 關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curves of joints

(34)

式中:N為系統(tǒng)的總采樣數(shù)。

對(duì)比控制器1和控制器2，由圖6可以得出，控制器2產(chǎn)生了很大的抖振，這是受到建模誤差和外部干擾所影響。又由圖4、圖5可以看出，控制器2雖然產(chǎn)生很大的抖振，但收斂速度，跟蹤精度遠(yuǎn)好于控制器1。以上分析表明，控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度和跟蹤精度在于滑模面的選取。

對(duì)比本文中所設(shè)計(jì)的控制器和控制器1，兩者都采用了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，在存在建模誤差和未知干擾的情況下，兩者的控制力矩都較為光滑并且連續(xù)。說(shuō)明采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)估計(jì)系統(tǒng)模型可以大大削弱抖振的產(chǎn)生。由圖5看出，SMC-S-RBF跟蹤精度低，而由于在滑模面上選用非奇異積分終端滑模面，由表2可以看出，本文中所設(shè)計(jì)的控制器的跟蹤誤差最大值為9.287 1×10-4，遠(yuǎn)小于控制器1的最大值0.424 0。各關(guān)節(jié)的跟蹤誤差均方根分別降低了90.2%和81.2%。故本文中所設(shè)計(jì)的控制器具有更快的響應(yīng)速度與更好的跟蹤精度。綜上所述非奇異積分終端滑模面提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度和精度。

表2 控制器的性能參數(shù)Table 2 Performance parameters for controller

對(duì)比本文中所設(shè)計(jì)的控制器與控制器2，由圖4可以看出，本文中所設(shè)計(jì)的控制器的調(diào)節(jié)時(shí)間在0.2 s以內(nèi)，而控制器2的調(diào)節(jié)時(shí)間遠(yuǎn)大于0.2 s，故本文中所設(shè)計(jì)的控制器擁有良好的響應(yīng)速度。其次，由表2可以得出控制器2的跟蹤最大誤差為0.013 5，遠(yuǎn)大于本文中所設(shè)計(jì)的控制器。相比之下，本文中所設(shè)計(jì)的控制器，跟蹤誤差均方根分別降低了69.4%和61.3%。故在滑模面中引入積分項(xiàng)，能很好地消除了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。由圖6中NET-S控制器的控制力矩圖可以看出，控制器2的控制力矩產(chǎn)生劇烈的抖振。這是由于機(jī)械臂的建模誤差和切換控制項(xiàng)函數(shù)的不連續(xù)造成的，而本文中所設(shè)計(jì)的控制器采用結(jié)合自適應(yīng)律的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和新型超螺旋算法，控制力矩則更為平滑，同時(shí)控制力矩也更小。以上分析可以得出，本文中所設(shè)計(jì)的控制器能夠有效地削弱系統(tǒng)抖振和消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

仿真結(jié)果表明，本文中所提出的方法在存在建模誤差和外界干擾情況下表現(xiàn)出更好的跟蹤控制性能，提高了機(jī)械臂軌跡跟蹤的響應(yīng)速度和精度，并抑制了抖振的產(chǎn)生，增強(qiáng)了魯棒性。

5 結(jié)論

針對(duì)具有不確定性和外部干擾的多關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)，提出了徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)超螺旋非奇異積分終端滑?？刂撇呗?。在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，采用非奇異終端滑模面，加入積分項(xiàng)消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度。引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并結(jié)合自適應(yīng)律估計(jì)干擾作用下的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。采用新型超螺旋算法作為切換控制項(xiàng)，并用特殊冪次函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，抑制抖振。仿真結(jié)果表明，相比線性滑模面，本文所設(shè)計(jì)的控制器調(diào)節(jié)時(shí)間在0.2 s內(nèi)，響應(yīng)速度快，跟蹤誤差均方根分別降低了90.2%和81.2%，跟蹤精度高。本文所設(shè)計(jì)的控制器能較好地抑制系統(tǒng)的抖振，增強(qiáng)控制系統(tǒng)的魯棒性和抗干擾能力。