孫 寶,郭 娜,李占龍,張麗靜
(1.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院, 太原 030024; 2.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 太原 030024)
在實(shí)際問(wèn)題中,絕大多數(shù)優(yōu)化問(wèn)題由多個(gè)子目標(biāo)所組成,并且這些子目標(biāo)之間相互矛盾,相互沖突,一個(gè)子目標(biāo)性能的改善可能會(huì)引起其余子目標(biāo)性能的降低,這種在優(yōu)化過(guò)程中要求多個(gè)子目標(biāo)同時(shí)在指定區(qū)域內(nèi)達(dá)到最優(yōu)值的問(wèn)題即為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題及其研究,越來(lái)越多的群體智能進(jìn)化算法在自然行為的啟發(fā)下得到發(fā)展,如多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(MOPSO)、非支配排序遺傳算法(NSGAII)、多目標(biāo)分布估計(jì)算法(MOEDA)等。
APO算法是一種新的基于群體智能的隨機(jī)優(yōu)化算法。通過(guò)牛頓第二定律的啟發(fā),建立個(gè)體之間的虛擬力規(guī)則,更新個(gè)體的速度和位置,使個(gè)體移動(dòng)到最優(yōu)目標(biāo),并圍繞全局最優(yōu)收斂。APO算法已成功應(yīng)用于無(wú)約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。Wang Y等針對(duì)APO算法自身的性能,從多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題出發(fā),以虛擬力的角度分析多目標(biāo)算法中個(gè)體-優(yōu)劣,提出一種基于虛擬力排序的約束多目標(biāo)擬態(tài)物理學(xué)優(yōu)化算法。Sun B等在MOAPO算法的基礎(chǔ)上結(jié)合約束違反度的判斷準(zhǔn)則,提出一種基于序值和擁擠度的擬態(tài)物理學(xué)多目標(biāo)算法(improved constrained rank multi-objective artificial physics optimization,ICRMOAPO),但在解的篩選過(guò)程中將新的個(gè)體與archive解集中的個(gè)體進(jìn)行比較,容易將優(yōu)質(zhì)解丟失,使其無(wú)法得到一組均勻且廣泛的最優(yōu)解。
近年來(lái),對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化算法的選解機(jī)制,國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究。Sedighizadeh D等提出了一種連續(xù)空間粒子群優(yōu)化算法,通過(guò)在速度更新方程中引入新的項(xiàng),使得在搜索空間中更好地進(jìn)行搜索。Cai D等將目標(biāo)空間分解為多個(gè)子空間,并在每個(gè)子空間上保留最優(yōu)解以保持解集的分布性。Kohler M等將多樣性插入到群體中,擴(kuò)大搜索空間的覆蓋率,提高了算法的效率和收斂速度。Garcia I C等提出了一種基于超體積指標(biāo)的多目標(biāo)粒子群算法,利用外部存檔來(lái)存儲(chǔ)進(jìn)化過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的全局非支配解,為求解多目標(biāo)問(wèn)題提出了一種新的思考方向。Li F團(tuán)隊(duì)針對(duì)HV指標(biāo)難以有效權(quán)衡計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度和計(jì)算精度之間的矛盾進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)R2指標(biāo)可以替代HV指標(biāo)求解多目標(biāo)問(wèn)題,將R2指標(biāo)和PBI分解策略結(jié)合求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,提出了R2-MOPSO算法。
針對(duì)ICRMOAPO算法的不足,為了得到收斂于Pareto前沿且均勻分布的解,利用R2指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)解集的特質(zhì),提出一種基于R2指標(biāo)的擬態(tài)物理學(xué)約束多目標(biāo)優(yōu)化算法(R2-ICRMOAPO)。算法將非支配排序和R2指標(biāo)結(jié)合,并根據(jù)R2指標(biāo)的貢獻(xiàn)值對(duì)外部存儲(chǔ)集進(jìn)行更新和維護(hù),保留分布均勻的精英解。
一般地,約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可以被描述為:
min()=[(),(),…,()]
s.t.()=((),()…,())<0
()=((),()…,())=0
(1)
式中,=[,,…,]∈為決策變量,決策空間∈,
滿足邊界約束條件:≤≤,1≤≤,,分別為的上界和下界;()為目標(biāo)函數(shù);()<0為不等式約束條件,()=0為等式約束條件,約束條件決定可行域的范圍。
1pareto支配
Pareto支配,記為<,其中為支配解,為非支配解,當(dāng)且僅當(dāng)?∈{1,2,…,},()≤(),?∈{1,2,…,},s.t.()<()。
2Pareto最優(yōu)解集
對(duì)于一個(gè)約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,它的可行決策空間中所有最優(yōu)解的集合稱為Pareto最優(yōu)解集,令其為。
(2)
3Pareto前沿
Pareto最優(yōu)解集中每個(gè)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值向量組成的集合稱為Pareto前沿。
約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題就是要得到一組解集,使之逼近Pareto前沿。在目標(biāo)空間中則表示為,非支配解集覆蓋的目標(biāo)空間區(qū)域盡可能大,且與真實(shí)前沿的距離盡可能小。
擬態(tài)物理學(xué)是由美國(guó)懷俄名州立大學(xué)的Spear等人以自然物理力量為動(dòng)力所提出來(lái)的,受啟發(fā)于物理力學(xué)定律,故稱之為“擬態(tài)”,最初被應(yīng)用于機(jī)器人群體的分布式控制研究。
文獻(xiàn)[5]中利用擬態(tài)物理學(xué)的思想處理全局優(yōu)化問(wèn)題,提出一種新的優(yōu)化算法APO。該方法本質(zhì)上是通過(guò)對(duì)牛頓第二定律的模擬,將問(wèn)題可行域中采樣的個(gè)體粒子看作是物理中的質(zhì)點(diǎn),在粒子之間虛構(gòu)一種相互作用力,給出該作用力的計(jì)算規(guī)則,結(jié)合個(gè)體的速度和位移更新粒子的運(yùn)動(dòng),實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)種群的控制。
在APO算法中,種群規(guī)模為,個(gè)體在維上的速度表示為,,個(gè)體在維上位置表示為,。第個(gè)個(gè)體的質(zhì)量為(=1,2,…,),且個(gè)體的質(zhì)量隨著適應(yīng)值的改變而改變,適應(yīng)值小的個(gè)體質(zhì)量大,適應(yīng)值大的個(gè)體質(zhì)量反而小。此外個(gè)體質(zhì)量還受到種群中適應(yīng)度值最優(yōu)和最差個(gè)體的影響,進(jìn)而影響個(gè)體所受的力。所以,計(jì)算個(gè)體質(zhì)量函數(shù)定義為:
(3)
式中:、分別表示最優(yōu)、最差適應(yīng)值的位置。
由每個(gè)個(gè)體質(zhì)量,仿照萬(wàn)有引力公式,計(jì)算出各個(gè)個(gè)體所受作用力的大小,故個(gè)體在第維上所受的第個(gè)(≠)個(gè)體的虛擬力為,:
(4)
個(gè)體在第維上所受作用力合力的計(jì)算公式為:
(5)
式中,為引力因子。
個(gè)體的速度和位置更新公式為:
,(+1)=,()+,, ?≠
(6)
,(+1)=,()+,(+1), ?≠
(7)
式中:∈(0,1)為慣性權(quán)重;為分布在區(qū)間[0,1]上的一個(gè)隨機(jī)數(shù);∈[,];∈[,]。
隨著約束多目標(biāo)問(wèn)題的廣泛應(yīng)用,相應(yīng)的約束多目標(biāo)優(yōu)化算法也層出不窮。非支配解的選取是解決約束多目標(biāo)問(wèn)題的重要技術(shù)之一,直接影響算法的性能。ICRMOAPO 算法通過(guò)比較新的非支配個(gè)體和archive集中的個(gè)體來(lái)獲得新的外部存儲(chǔ)集,在一定程度上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了求解,但由于沒(méi)有嚴(yán)格地對(duì)解集進(jìn)行篩選,可能會(huì)使一些優(yōu)質(zhì)個(gè)體缺失。R2指標(biāo)可以很好地解決這一問(wèn)題,利用個(gè)體的R2指標(biāo)貢獻(xiàn)值,對(duì)個(gè)體進(jìn)行篩選,可以得到一組性能較好的解集。
R2指標(biāo)是基于效用函數(shù),區(qū)分候選解的優(yōu)劣,從而選擇效用較大的候選解,最初被用于評(píng)價(jià)2組個(gè)體的相對(duì)質(zhì)量。利用具有特定參考點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)切比雪夫函數(shù),可以用該指標(biāo)相對(duì)于參考點(diǎn)來(lái)評(píng)估單個(gè)個(gè)體集合的質(zhì)量。因R2指標(biāo)可以綜合評(píng)價(jià)種群的收斂性和多樣性,并可以通過(guò)快速計(jì)算獲得均勻分布的解集,已被應(yīng)用于求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。
在此利用加權(quán)切比雪夫函數(shù)作為R2指標(biāo)的效用函數(shù),通過(guò)一組個(gè)體(集合)和參考點(diǎn)對(duì)個(gè)體的質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià):
(8)
式中:為一組均勻的權(quán)重向量,每個(gè)權(quán)重向量=(,,…,)∈,均勻的分布在目標(biāo)空間中,1||代表每個(gè)權(quán)重向量被選擇的概率。
如果效用函數(shù)集中每個(gè)函數(shù)由于不同的權(quán)重向量而確定,則個(gè)體的R2指標(biāo)的貢獻(xiàn)值被定義為:
CR2(,,,)=R2(,,)-R2({},,)
(9)
通過(guò)R2指標(biāo)的貢獻(xiàn)值可以對(duì)種群中的個(gè)體進(jìn)行全排序,R2指標(biāo)的貢獻(xiàn)值越大說(shuō)明解集的分布性能越好,解的質(zhì)量越高,將其保留到下一代種群的概率就越大。
外部存儲(chǔ)集非支配個(gè)體的選取對(duì)算法的收斂性和分布性具有直接的影響,在算法的迭代進(jìn)化過(guò)程中,非支配解的數(shù)量也在同步增加,并且可能會(huì)超過(guò)預(yù)先設(shè)定的解集規(guī)模,因此外部存儲(chǔ)集的更新和維護(hù)對(duì)于解集的質(zhì)量起著非常重要的作用。本研究在ICRMOAPO算法的基礎(chǔ)上,將非支配排序和R2指標(biāo)結(jié)合,首先利用Pareto支配關(guān)系得到一組非支配解集,計(jì)算出非支配解集中個(gè)體的R2指標(biāo)貢獻(xiàn)值,然后將R2指標(biāo)貢獻(xiàn)值作為外部存儲(chǔ)集的更新機(jī)制,通過(guò)刪減R2指標(biāo)貢獻(xiàn)值較小的個(gè)體,實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)種群的控制,從而選擇出效用更好的候選解。針對(duì)上述思想構(gòu)造出一種R2-ICRMOAPO算法,為求解約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題提供一種新的思路。算法的關(guān)鍵要素如下:
1) 個(gè)體序值
設(shè)在第代生成的種群()由個(gè)個(gè)體所組成,()表示種群()中支配個(gè)體的所有個(gè)體數(shù)量,則個(gè)體在第代的序值定義為:
()=1+()
(10)
依據(jù)個(gè)體序值的定義,為種群中所有的支配個(gè)體,分配相對(duì)應(yīng)的序值。但若在某一代中出現(xiàn)具有相同序值的個(gè)體,則需要從其他角度對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行解決。
2) 鄰域半徑
針對(duì)序值相同的個(gè)體,下面引入鄰域半徑的定義。
定義個(gè)體的鄰域?yàn)樵搨€(gè)體半徑內(nèi)所包含的區(qū)域。為了避免算法中鄰域半徑過(guò)小,故將鄰域半徑定義為:
(11)
式中,max||為初始化時(shí)第維上個(gè)體間的最大歐式距離。
3) 鄰域擁擠度
鄰域擁擠度是指在個(gè)體間支配與被支配的作用下所計(jì)算出某個(gè)個(gè)體在對(duì)應(yīng)鄰域半徑區(qū)域內(nèi)所包含個(gè)體數(shù)量的大小。
當(dāng)出現(xiàn)序值大小相同,鄰域擁擠度也相同的個(gè)體時(shí),將鄰域半徑重新調(diào)整。若調(diào)整后,具有相同序值的個(gè)體在相應(yīng)鄰域半徑內(nèi)還包含相同的個(gè)體數(shù)量,將這些個(gè)體隨機(jī)進(jìn)行排列,分配編號(hào)即可。
4) 質(zhì)量函數(shù)
為了考慮個(gè)體間的支配關(guān)系和個(gè)體所處鄰域半徑內(nèi)的擁擠程度,并充分體現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題本身的特點(diǎn),將質(zhì)量函數(shù)定義為:
(12)
5) 引力因子
引力因子是影響算法性能的重要因素之一,在一定程度上會(huì)決定種群做收斂運(yùn)動(dòng)的個(gè)體數(shù)量。在標(biāo)準(zhǔn)APO算法中,將引力因子規(guī)定為10。R2-ICRMOAPO算法為了使引力因子隨種群的進(jìn)化而產(chǎn)生動(dòng)態(tài)的變化,將其進(jìn)行改進(jìn),令為:
(13)
式中:和為引力因子的初始值和終值,由經(jīng)驗(yàn)可知,算法中=70,迭代到最后,的終取值為=1;為迭代次數(shù);為最大迭代次數(shù)。
6) 慣性權(quán)重
慣性權(quán)重的選取影響算法的性能和效率,迭代初期較大的慣性權(quán)重使算法保持較強(qiáng)的全局搜索能力,迭代后期較小的慣性權(quán)重有利于算法進(jìn)行更精確的局部搜索。
在R2-ICRMOAPO算法中采用線性遞減的慣性權(quán)重,使慣性權(quán)重隨著迭代的進(jìn)行而動(dòng)態(tài)減?。?/p>
(14)
式中:為初始值,算法中取09;為終值,算法中取04。
7) 不可行度
不可行度可以作為一種準(zhǔn)則來(lái)判斷更新個(gè)體是否落入可行域中。
R2-ICRMOAPO算法中定義不可行度為:
(15)
式中:、分別為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的不等式約束和等式約束。當(dāng)為可行解時(shí),不可行度為0。
R2-ICRMOAPO算法流程如圖1所示。
圖1 R2-ICRMOAPO算法流程框圖Fig.1 R2-ICRMOAPO algorithm flowchart
R2-ICRMOAPO算法的主要步驟如下:
Step 1:初始化種群:種群規(guī)模,外部存儲(chǔ)集規(guī)模archivesize,權(quán)重向量,最大迭代次數(shù),隨機(jī)產(chǎn)生所有個(gè)體的初始速度和位置,初始化參考點(diǎn)。
Step 2:計(jì)算所有個(gè)體在每個(gè)目標(biāo)下的適應(yīng)度值,確定非支配個(gè)體,存儲(chǔ)于archive集。對(duì)非支配個(gè)體的序值定義為1,其余個(gè)體的序值定義為+1。
Step 3:對(duì)archive集中的非支配個(gè)體計(jì)算R2指標(biāo)貢獻(xiàn)值,按降序原則進(jìn)行排序。
Step 4:根據(jù)個(gè)體序值的定義,對(duì)種群中所有個(gè)體按照升序原則進(jìn)行排序。
Step 5:利用歐式距離計(jì)算鄰域半徑,若出現(xiàn)序值相等的個(gè)體,重新確定個(gè)體鄰域擁擠度,按升序原則對(duì)全部個(gè)體重新進(jìn)行排序。
Step 6:出現(xiàn)鄰域半徑內(nèi)包含相同個(gè)體數(shù)量的同序值個(gè)體時(shí),將該個(gè)體標(biāo)記為()=1。
Step 7:()=1時(shí),對(duì)鄰域半徑進(jìn)行調(diào)整并重新排序,對(duì)于調(diào)整后序值大小和擁擠度相等的個(gè)體,進(jìn)行隨機(jī)排序。對(duì)所有個(gè)體賦予1~的自然數(shù),作為每個(gè)個(gè)體序號(hào),記作()。
Step 8:計(jì)算每個(gè)個(gè)體的質(zhì)量,個(gè)體在第維上所受的第個(gè)(≠)個(gè)體的虛擬力,,在第維上所受作用力的合力,。
Step 9:根據(jù)式(6)、式(7)更新個(gè)體的速度和位置。
Step 10:利用不可行度的判斷準(zhǔn)則來(lái)確定所更新的個(gè)體是否落在可行域內(nèi),將未落入可行域內(nèi)的個(gè)體用最優(yōu)迭代更新的方法重新更新其位置。
Step 11:確定新的非支配個(gè)體,更新archive集,當(dāng)archive集中都是非支配個(gè)體時(shí),對(duì)所有個(gè)體計(jì)算CR2值,按照降序原則進(jìn)行排序,若個(gè)體數(shù)量超過(guò)archive集規(guī)模時(shí),將archive集中R2指標(biāo)貢獻(xiàn)值較小的個(gè)體刪除,直到個(gè)體數(shù)量滿足設(shè)定的規(guī)模,獲得新的archive集。
Step 12:若達(dá)到最大迭代次數(shù)則退出,否則返回步驟5。
為了評(píng)估R2-ICRMOAPO算法在解決約束多目標(biāo)問(wèn)題時(shí)的性能,通過(guò)R2-ICRMOAPO算法和其他四種優(yōu)化算法:基于序值與擁擠度的擬態(tài)物理學(xué)多目標(biāo)算法(improved constrained rank multi-objective artificial physics optimization,ICRMOAPO)、帶精英策略的非支配排序的遺傳算法 (non-dominated sorting genetic algorithm,NSGAII)、基于R2指標(biāo)的多目標(biāo)粒子群算法(multi-objective particle swarm optimization on R2 indicator,R2MOPSO)、ε多目標(biāo)進(jìn)化算法(epsilon multi-objective evolutionary algorithm,ε-MOEA)在標(biāo)準(zhǔn)約束多目標(biāo)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比,并將超體積(Hypervolume,HV)和反轉(zhuǎn)世代距離(inverted generational distance,IGD)作為算法的性能評(píng)價(jià)指標(biāo),從收斂性和分布性對(duì)算法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià),全面說(shuō)明算法的有效性。
本文選定的測(cè)試函數(shù)如表1所示。
表1 約束多目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Table 1 Constrained multi-objective standard test functions
實(shí)驗(yàn)中,設(shè)定種群規(guī)模和外部存儲(chǔ)集規(guī)模均為100,進(jìn)化代數(shù)為50。圖2~圖4表示算法R2-ICRMOAPO、ICRMOAPO、R2MOPSO、NSGAII、和ε-MOEA對(duì)測(cè)試函數(shù)生成的Pareto前沿和真實(shí)Pareto前沿曲線。
圖2 Binh(2)的Pareto前沿曲線Fig.2 The Pareto Frontier of Binh (2)
圖3 SRN的Pareto前沿曲線Fig.3 The Pareto Frontier of SRN
圖4 DEB的Pareto前沿曲線Fig.4 The Pareto Frontier of DEB
圖5~圖7顯示了R2-ICRMOAPO算法所求得Pareto 解集中更新個(gè)體的位置。
圖5 Binh(2)的Pareto解集中更新個(gè)體位置曲線Fig.5 The updated position of Binh(2)
圖6 SRN的Pareto解集中更新個(gè)體位置曲線Fig.6 The updated position of SRN
圖7 DEB的Pareto解集中更新個(gè)體位置曲線Fig.7 The updated position of DEB
大多數(shù)研究使用逼近實(shí)際解決方案的程度和設(shè)置解決方案的分布情況來(lái)測(cè)量多目標(biāo)優(yōu)化算法的性能。本文采用HV和IGD算法性能指標(biāo)對(duì)5種算法進(jìn)行對(duì)比。
HV指標(biāo)是一種能夠同時(shí)衡量算法的收斂性和分布性的綜合性能指標(biāo),表示非支配解集覆蓋的目標(biāo)空間區(qū)域大小。HV函數(shù)的定義為:
(16)
式中:為L(zhǎng)ebesgue測(cè)度,用來(lái)測(cè)量體積;||為非支配解的數(shù)目;為參照點(diǎn)與解集中第個(gè)解所構(gòu)成的超體積。算法求得的HV值越大則意味著解集收斂性和分布性越好。
IGD指標(biāo)是一種綜合評(píng)價(jià)解集質(zhì)量的指標(biāo),衡量的是真實(shí)前沿的個(gè)體到所求得的近似解集之間最小距離的平均值。IGD的函數(shù)定義為:
(17)
對(duì)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行了100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)后,表2~表3分別展示了5種算法關(guān)于HV和IGD性能指標(biāo)的平均值、最優(yōu)值和方差。此外,還采用統(tǒng)計(jì)學(xué)Wilcoxon秩和檢驗(yàn)來(lái)表明結(jié)果的顯著性水平,顯著性差異水平為0.05,如果值大于0.05,則表示2種算法之間沒(méi)有明顯差異。
表2 測(cè)試函數(shù)的HV指標(biāo)值Table 2 HV performance indicators on test functions
表3 測(cè)試函數(shù)的IGD指標(biāo)值Table 3 IGD performance indicators on test functions
從表2和表3可以看出,R2-ICRMOAPO算法的HV值高于ICRMOAPO算法,且IGD值低于ICRMOAPO算法。數(shù)據(jù)表明,利用R2指標(biāo)貢獻(xiàn)值對(duì)個(gè)體進(jìn)行篩選,提高了算法的收斂性和分布性。
從圖2~圖4和表2~表3可知,R2-ICRMOAPO算法在測(cè)試函數(shù)Binh(2)和SRN上對(duì)Pareto前沿產(chǎn)生了更好的近似,得到的解大部分夠收斂于真實(shí)的Pareto前沿上,在DEB函數(shù)上略差于NSGAII算法。以上數(shù)據(jù)和圖表表明,R2-ICRMOAPO算法在大多數(shù)測(cè)試問(wèn)題上優(yōu)于對(duì)比算法,說(shuō)明R2-ICRMOAPO算法在解決約束多目標(biāo)問(wèn)題方面具有很大的潛力,可進(jìn)一步推廣應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中。
在APO算法的基礎(chǔ)上,針對(duì)約束多目標(biāo)優(yōu)化算法,構(gòu)造基于R2指標(biāo)的多目標(biāo)約束優(yōu)化算法,將非支配排序和R2指標(biāo)結(jié)合,利用R2指標(biāo)貢獻(xiàn)值區(qū)分候選解的優(yōu)劣,更新最優(yōu)個(gè)體,維護(hù)外部存儲(chǔ)集;將其與4種算法在HV和IGD指標(biāo)下進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。主要得到以下結(jié)論:
1) 算法利用個(gè)體間的支配關(guān)系,考慮個(gè)體的擁擠度,對(duì)搜索空間中個(gè)體適應(yīng)值合理排序,增強(qiáng)了Pareto 解集的多樣性。
2) 設(shè)計(jì)R2指標(biāo)貢獻(xiàn)值選擇個(gè)體,對(duì)外部存儲(chǔ)集進(jìn)行維護(hù)和更新,增強(qiáng)了種群的分布,在處理約束多目標(biāo)問(wèn)題中取得較好的效果。
3) 該算法在求解約束多目標(biāo)的問(wèn)題中收斂性和分布性均得到提高,但對(duì)于提高收斂速度還需進(jìn)行研究。