程 昕 藺 杉

（東北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130024）

一、引言

邏輯回歸在二分類反應(yīng)研究中具有廣泛的應(yīng)用。Piegorsch 和West 等[1]、Peng 和Robichaud 等[2]的定量風險和風險評估，以及Carter 和Chinchilli 等[3]、Frank 和Jason 等[4]的藥物劑量反應(yīng)曲線研究的一個關(guān)鍵目標是基于邏輯回歸模型確定藥物劑量水平和藥物作用之間的關(guān)系。

關(guān)于單個有效劑量置信集的構(gòu)造最早可以追溯到Fieller[5]和Cox[6]。Li 和Zhang 等[7]、Li 和Wong[8]分別提出了在貝葉斯框架下以及利用漸近理論和自舉方法構(gòu)建多維單個有效劑量置信帶。

進一步地，研究者開始研究構(gòu)建多個有效劑量的聯(lián)合置信帶。Al-Saidy 和Piegorsch 等[9]、Nitcheva 和Piegorsch 等[10]通過轉(zhuǎn)化Scheffé 型聯(lián)合置信帶建立多個有效劑量的聯(lián)合置信帶。Li 和Nordheim 等[11]考慮用四種方法來計算多維有效劑量的置信區(qū)域。Tompstt 和Biedermann 等[12]在向量角度等權(quán)分配的情況下討論了不同有效劑量個數(shù)和置信水平的組合會對臨界值c 造成什么樣的影響。本文在前人研究的基礎(chǔ)上討論向量角度不等權(quán)分配時是否會對臨界值c 的結(jié)果產(chǎn)生影響，進而觀察向量角度不等權(quán)分配時對有效劑量的定位效果是否優(yōu)于向量角度等權(quán)分配。

二、有效劑量及聯(lián)合置信帶

將邏輯回歸模型

記為π（x）。其中，xT=（1，x1，…，xq）T=（1，xT），β=（β0，β1，…，βq）T是未知的參數(shù)向量，且p（x）=E（Y）。

記N 個響應(yīng)變量分別為Yi，i=1，…，N，相應(yīng)的協(xié)變量為xi=（xi1，…，xiq）T，利用極大似然估計來估計β，記為。假設(shè)有足夠大的N，那么漸近結(jié)果是：

其中，Nq+1是q+1 維多元正態(tài)分布。0 是q+1 維零向量，漸近協(xié)方差矩陣∑可以用NJ-1估計，J-1是β^的觀測協(xié)方差矩陣。因此，對于足夠大的N，可以用NJ-1代替未知的漸近協(xié)方差矩陣∑。所以有近似分布結(jié)果：

于是，可以構(gòu)建邏輯回歸模型的聯(lián)合置信帶：

其中，c 是臨界值，需要通過漸近分布結(jié)合置信水平1-α 求出。

定義如下的有效劑量為xp：

則有效劑量的雙邊型聯(lián)合置信帶為：

若選擇適當?shù)呐R界值c，則對于給定的k 值，Cpi的聯(lián)合概率至少為1-α 。

對于k≥3，q=1，臨界值c 滿足：

其中，-∞＜xpi＜+∞，i=1，2，…，k。當k=2 時，可以依賴于兩個Zk的獨立性求解臨界值c。但是在k≥3 時不能利用獨立性進行求解。令P2=J-1，根據(jù)公式（3），可以得到N=P-1- ）β ～N（0，I2）。定義N=（n1，n2）T的極坐標為（RN，θN），則有n1=RNcosθN，n2=RNsinθN。且RN≥，θN∈[0，2π）～U[0，2π），RN與θN相互獨立。

公式（7）中的P ｛xpi∈Cpi，i=1，2，…，k ｝可以進行如下計算：

其中，V（xp）=表示與方向向量=PxP垂直并且與原點距離小于等于c 的N=（n1，n2）T 的集合。所以V（xpi）是一個2k 邊的多邊形區(qū)域。

設(shè)任意兩個方向向量Pxpi和Pxpj的夾角為θij。如圖1 所示，P（N∈Vk）等于平行四邊形區(qū)域ABCD 的概率減去陰影區(qū)域的概率。即為：

其中l(wèi)3（i）=

如圖1 所示，以k=3 為例，計算P（N∈V3）。

圖1 向量角度等權(quán)分配

具體計算步驟為：

步驟一：令V3旋轉(zhuǎn)直到n2平分θ13，將旋轉(zhuǎn)后的圖形記為V3*，由于V3旋轉(zhuǎn)后，P（N∈V3）的值不發(fā)生改變，所以N 在V3*中概率等于N 在V3中概率。

由圖1 可以看出，四邊形ABCD 是菱形。菱形ABCD 可表示為：

則菱形ABCD 的概率等于

步驟二：計算陰影部分的概率，由于左下角陰影部分與右上角陰影部分全等，所以只需計算右上角陰影部分。

陰影部分記為△PQB。接下來計算△PQB 的概率。直線PQ 的解析式為：

其中，l3（2）=

步驟三：用步驟一得到的菱形ABCD 的概率減去步驟二得到的陰影部分的概率的二倍即為P（N∈V3）。

其中l(wèi)3（2）=

三、向量角的不等權(quán)設(shè)計與模擬

在此基礎(chǔ)上討論向量角度不等權(quán)分配是否會對臨界值c 的結(jié)果有影響。將向量角度不等權(quán)分配分為兩種情況，一種是向量角度漸近等權(quán)分配，另一種是向量角度漸遠等權(quán)分配。將第一種情況記為AS2-1 型聯(lián)合置信帶，將第二種情況記為AS2-2 型聯(lián)合置信帶。將雙邊型聯(lián)合置信帶記為AS2 型聯(lián)合置信帶。圖2-5 畫出了有效劑量個數(shù)時向量角度漸近等權(quán)分配和漸遠等權(quán)分配的示意圖。圖2 和圖3 代表漸近等權(quán)分配情況，分別記為AS2-11 和AS2-12。圖4 和圖5 代表漸遠等權(quán)分配情況，分別記為AS2-21 和AS2-22。其中，虛線表示向量角度等權(quán)分配。

圖2 向量角度漸近等權(quán)分配（a ）

圖3 向量角度漸近等權(quán)分配（b ）

圖4 向量角度漸遠等權(quán)分配（a ）

圖5 向量角度漸遠等權(quán)分配（b ）

模擬設(shè)計：由于主要討論向量角度不等權(quán)分配時是否對臨界值的結(jié)果產(chǎn)生影響，因此不考慮其他因素對臨界值的影響。所以，首先假定有效劑量個數(shù)k=3。在漸近等權(quán)分布情況下，考慮θ12從左邊趨近等權(quán)分配和從右邊趨近等權(quán)分配兩種情況，分別記為AS2-11和AS2-12；在漸遠等權(quán)分布情況下，考慮θ12趨于零和趨于θ13兩種情況，分別記為AS2-21 和AS2-22。在每種情況下，分別對三種角度進行模擬。在置信水平1-α =0.99、0.95、0.90 下，分別模擬10000 次。結(jié)果如表1、表2 所示。

表1 AS2 型聯(lián)合置信帶與AS2-1 型聯(lián)合置信帶的臨界值

表2 AS2 型聯(lián)合置信帶與AS2-2 型聯(lián)合置信帶的臨界值

如果置信帶的帶寬越小，說明該置信帶的效果越好，對有效劑量的定位就越精確。而置信帶的帶寬大小判斷可以轉(zhuǎn)化為臨界值c 的大小判斷。也就是說，臨界值越小，該置信帶對有效劑量的定位越精確。利用提升率公式來比較置信帶的優(yōu)劣，以雙邊型聯(lián)合置信帶為基準，將AS2-1 型聯(lián)合置信帶和AS2-2 型聯(lián)合置信帶與之進行比較。在1-α 置信水平下，相對于雙邊型聯(lián)合置信帶的提升率可以設(shè)為：

其中，c'表示向量角度不等權(quán)分配時的臨界值，也就是AS2-1 型和AS2-2 型聯(lián)合置信帶的臨界值；c 表示向量角度等權(quán)分配時的臨界值，也就是AS2 型聯(lián)合置信帶的臨界值。

根據(jù)提升率公式，得到表3、表4。

表3 AS2-1 型聯(lián)合置信帶的臨界值提升率

表4 AS2-2 型聯(lián)合置信帶的臨界值提升率

當有效劑量的個數(shù)k 和置信水平1-α 相同時，向量角度漸近等權(quán)分布時的臨界值c 反而比等權(quán)分布時的臨界值c 更大，說明漸近等權(quán)分布對有效劑量的定位沒能更精確。向量角度漸遠等權(quán)分布時的臨界值c對等權(quán)分布時均有提升，且AS2-22 型提升的效果明顯優(yōu)于AS2-21 型。但是，在AS2-22 型的角度逐漸接近θ13的過程中可以看到，其提升效果是有限的，到達一定限度后，提升率不會再大幅增加。

四、結(jié)論

本文提出了雙邊型聯(lián)合置信帶向量角度不等權(quán)分配時，將向量角度不等權(quán)分配的情況分為兩類，分別是向量角度漸近等權(quán)分配和向量角度漸遠等權(quán)分配。其中，向量角度漸近等權(quán)分配又分為AS2-11 和AS2-12兩種情況，向量角度漸遠等權(quán)分配又分為AS2-21 和AS2-22 兩種情況。通過模擬，對比向量角度等權(quán)分配的情況得出結(jié)論，向量角度漸近等權(quán)分配并不能使其臨界值小于等權(quán)分配的臨界值，但是向量角度漸遠等權(quán)分配時可以獲得相對等權(quán)分配時更小的臨界值，即向量角度漸遠等權(quán)分配時的雙邊型聯(lián)合置信帶對有效劑量的定位比向量角度等權(quán)分配時的雙邊型聯(lián)合置信帶更精確。并且，在漸遠等權(quán)分配的兩種情況下，AS2-22 情況有更明顯地提升，但這種提升是有限度的。