楊英銳

語言能力，是心理生命最基礎(chǔ)的功能，沒有之一。我曾選過一門古希臘哲學(xué)，講到希臘諸神是怎么被一個一個創(chuàng)造出來的。其中阿波羅與荷米斯都兼管著一點(diǎn)兒有關(guān)語言的事務(wù)，但不是其主業(yè)。我以為哲學(xué)先賢漏造了一個專神，主司語言，這可能是因?yàn)樵焐癖驹从趯ξ粗木次?。然而語言之神與我們時時相伴，平易近人，倒使人們淡卻了敬畏之心。其實(shí)，語言與語言行為是人間，也是萬物之間最為神秘的存在，我們對其自以為熟識，實(shí)則陌生，其奧秘是最難的謎題，那豈是數(shù)學(xué)千禧謎題所能攀比，又豈是物理學(xué)中愛因斯坦統(tǒng)一場論迷徑所能項(xiàng)背。

常言道，聽話聽音，文如其人。語言最深刻地影響著人們的心理，成為心理生命賴以生存的根基，不任須暇。天下多少事，都因語言而起。從家庭瑣事到國際關(guān)系，語言可以化干戈為玉帛，也可以生出各種誤解，激化矛盾，乃至唇槍舌劍。人類心智，由語言而理性；人類心態(tài)，由語言而情緒；人類知識，由語言而積累；人類認(rèn)知，由語言而傳承；人類思維，由語言而內(nèi)容；人類信息，由語言而累積；人類交流，由語言而神往；人類交際，由語言而施行。人類個體，我語故而我在；人類社會，無言何以共享？如此種種，層層紗幔，背后面目，霧中廬山。一方面，語言無處不在；另一方面，語言行為多樣紛呈。

概言之，語言是力，波動著心理漪漣，是一種心理生命力。語言亦是力的載體，激發(fā)成粒，粒粒偶合互動，斷續(xù)著心理生命周期。語言還是一種場，場與場相互作用，揭示著心理實(shí)在的本體論承諾。語言又是一種算子，作用于心理意向，呈現(xiàn)出心智認(rèn)知的內(nèi)容。語言仍是一種能量，支撐著心理活動，反映出心理生活的質(zhì)量。最后，語言卻是一種元邏輯，可以生成自指語句，引領(lǐng)心理生命去反思與自省。

本文對于語言的討論，伴隨有三條脈絡(luò)，貫穿其中：第一條脈絡(luò)是布爾巴基結(jié)構(gòu)主義在語言及語言行為分析中的具體體現(xiàn)與新生影響；第二條脈絡(luò)是理論物理在語言及語言行為模型化中的刻畫能力與奇妙作用；第三條脈絡(luò)是維特根斯坦語言哲學(xué)的歷史遷移與新意詮釋。這三條脈絡(luò)互為經(jīng)緯，通幽跌宕，使我們得窺語言世界一些未曾披露的秘密。有趣的是，維特根斯坦的語言哲學(xué)發(fā)展軌跡，竟然可以被嵌入規(guī)范場論的框架結(jié)構(gòu)。規(guī)范場論明確地區(qū)分了全局和局域兩個層次。前期維特根斯坦語言哲學(xué)關(guān)注的是語言的全局結(jié)構(gòu)，而其后期轉(zhuǎn)而關(guān)注的是語言行為的局域分析。這般奇遇，增加了我們理解心理生命語言期的工具。

全文分為三個部分。第一部分題為“前期維氏語言哲學(xué)：均衡與全局”。討論語言，特別是科學(xué)語言的規(guī)定性、穩(wěn)定性與確定性。在前期維特根斯坦語言哲學(xué)框架下，這些性質(zhì)是其青年時期的追求與問詢。在牛頓力學(xué)框架下，這些性質(zhì)與均衡概念息息相通，并可為其所刻畫。在規(guī)范場論框架下，這些性質(zhì)與全局層面脈脈相聯(lián)，并在其上模型化。我們將討論一種最基礎(chǔ)性的特殊語言結(jié)構(gòu)，即由句法與語義構(gòu)成的“雙腿結(jié)構(gòu)“。這種雙腿結(jié)構(gòu)可以作為一種語言特征化工具，跨越邏輯語言、決策論語言、博弈論語言、量子力學(xué)語言、規(guī)范場論語言和內(nèi)稟動力學(xué)幾何化語言。

第二部分題為“維特根斯坦與哥德爾：論爭與轉(zhuǎn)折”。語言的雙腿結(jié)構(gòu)不是只用來擺姿勢照相的，而是成就了語言的運(yùn)動功能。那么，這雙腿結(jié)構(gòu)是否健全，雙腿一樣長，還是一腿長，一腿短呢？這在邏輯學(xué)里，稱為元性質(zhì)，也就是系統(tǒng)的整體性質(zhì)。對于系統(tǒng)元性質(zhì)的研究，稱為元邏輯或元數(shù)學(xué)。著名的哥德爾不完全性定理與塔斯基不可定義性定理，亦稱雙子定理，用布爾巴基結(jié)構(gòu)主義的話說，達(dá)到了構(gòu)造雙腿結(jié)構(gòu)的極致，推出了非對稱雙腿結(jié)構(gòu)，揭示出語言結(jié)構(gòu)的維納斯美。用理論物理的話說，雙子定理表現(xiàn)了語言系統(tǒng)在全局層面的自發(fā)對稱破缺機(jī)制。這是一種語言結(jié)構(gòu)的元性質(zhì)。后期維特根斯坦與哥德爾的論爭，預(yù)示了維氏語言哲學(xué)向語言系統(tǒng)的局域化轉(zhuǎn)向，表現(xiàn)了對個體語言行為的關(guān)注，揭開了行為主義語言學(xué)的新篇章。作為對句法學(xué)和語義學(xué)雙腿結(jié)構(gòu)的心智認(rèn)知協(xié)調(diào)，維氏語言哲學(xué)的這個轉(zhuǎn)向，也為語用學(xué)和心理語言學(xué)鋪墊了道路。

第三部分題為“超越維特根斯坦：結(jié)構(gòu)與模型”。語言游戲是維特根斯坦語言哲學(xué)的代表性概念，意指語言交流可被視為語言游戲，維氏甚至認(rèn)為，語言游戲本身就是語言，因?yàn)檎Z言體現(xiàn)的是生活形式。語言游戲和生活形式是通過心理游戲相互轉(zhuǎn)換的。但是，中期維特根斯坦發(fā)現(xiàn)，難以找到一組規(guī)則來完全定義語言游戲，以致他成為20世紀(jì)懷疑論哲學(xué)的領(lǐng)袖。后期維特根斯坦，轉(zhuǎn)而認(rèn)為語言游戲應(yīng)該是有規(guī)則可循的，并為之苦苦求索。筆者以為，維氏未竟全功，本文意在有所助益。

對于語言游戲的深層結(jié)構(gòu)，與語用學(xué)關(guān)系密切，其模型化超出本文范圍。本文只為其表層結(jié)構(gòu)提供若干模型化路徑。在知識論意義下，維特根斯坦與柏拉圖傳統(tǒng)有模式的不同。語言游戲，因人而異，因情而易，因景而移，結(jié)構(gòu)上局域特征明顯。惟其如此，必有因果可言，并有限定范圍，這可由狹義相對論所模型化。語言行為對順序敏感，哪句話先說，哪句話后說，效果不同。即便是字面含義，屢戰(zhàn)屢敗，屢敗屢戰(zhàn)，其意不同，曾文正也強(qiáng)調(diào)修辭順序。這就是說，對語言行為的觀測效果不滿足對易關(guān)系，而滿足非對易關(guān)系，這是量子化條件，為量子力學(xué)所模型化。其實(shí)，語言游戲本身就是一種波函數(shù)，為量子場論所刻畫。語言行為是社會化的。在語言行為社會中，個體語言能力有強(qiáng)弱可言，語言優(yōu)勢屬于稀缺資源。這就是說，語言社會是不平等的競爭性社會。于此，標(biāo)準(zhǔn)教育考試是一個典型例子。這種分析可由廣義相對論模型化。本文最后提供一個一般討論。

一、前期維氏語言哲學(xué)：均衡與全局

（一）語言的雙腿結(jié)構(gòu)

人類社會離不開語言的服務(wù)。為了支持語言服務(wù)，科學(xué)家，包括語言學(xué)家、心理學(xué)家、哲學(xué)家、認(rèn)知科學(xué)家等，長期以來做了艱苦的語言維護(hù)工作。早期的維特根斯坦師從邏輯學(xué)家羅素，做的就是一種語言維護(hù)工作，叫做語言哲學(xué)。從句法語法和語義學(xué)的區(qū)別抽象出語言雙腿結(jié)構(gòu)的概念，可以幫助我們理解為什么語言具有穩(wěn)定性和確定性。語言雙腿結(jié)構(gòu)的平衡性，相當(dāng)于牛頓力學(xué)中的均衡性概念?？梢哉f，語言的穩(wěn)定性和確定性要求，正與牛頓科學(xué)傳統(tǒng)遙相呼應(yīng)，一脈相承。我們這里所說牛頓科學(xué)傳統(tǒng)的特征，是泛指現(xiàn)象的可直接觀測性，理論的確定性和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)計(jì)鐵路橋梁，計(jì)算彈道軌跡，甚至做個桌椅板凳，都會用到牛頓力學(xué)，牛頓力學(xué)滿足了我們生活中大部分物理需求。類似地，正常的語言表達(dá)也能滿足我們大部分日常生活中的語言需求。與人平常交流，開會發(fā)言，上超市買東西，用電郵發(fā)通知，在微信上溝通，寫博客短文，甚至高考作文，都要求表達(dá)清晰，讓人聽得懂，看得明白。用心理語言學(xué)的話說，就是要求語言行為具有直接可觀測性。如果有人說話詞不達(dá)意，寫東西詞法句法語法混亂，邏輯不通，意思不明，就會被視為語言能力不足。

自然語言的穩(wěn)定性依賴于其句法和語法結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，而自然語言的確定性表現(xiàn)在其語義學(xué)的確定性?？梢?，自然語言的穩(wěn)定性和確定性是建立在的句法語法結(jié)構(gòu)與其語義學(xué)相互剝離的基礎(chǔ)上的。這種剝離是語言長期進(jìn)化進(jìn)入高級階段形成的。人們常常忽視了句法語法結(jié)構(gòu)的形成，在人類語言進(jìn)化中是一件多么神奇的事情，相當(dāng)于人類把上帝的活兒給做了。更不可思議的是，人類居然還發(fā)明了語義學(xué)，把語言表達(dá)的意思或意義都給確定了，真是巧奪天工。這使得人類在心智世界里學(xué)會了只用兩條語言之腿站立行走，這樣才能騰出兩只心智之手來做別的更復(fù)雜的事情。直立行走，是人類進(jìn)化的里程碑，也是人類語言進(jìn)化的里程碑。

我的博士導(dǎo)師，已故紐約大學(xué)心理系教授馬丁·布芮恩（Martin D.S.Brain），曾是兩個領(lǐng)域的權(quán)威學(xué)者，一個領(lǐng)域是推理心理學(xué)，另一個領(lǐng)域是發(fā)展心理學(xué)。在推理心理學(xué)領(lǐng)域，他構(gòu)建了心智邏輯理論，并發(fā)展了實(shí)驗(yàn)方法。在發(fā)展心理學(xué)領(lǐng)域，他由研究兒童語言習(xí)得而著名。心智邏輯理論認(rèn)為人們是應(yīng)用推理模式進(jìn)行推理，而這些推理模式是基于語言能力，在閱讀理解過程中被自動激發(fā)的。所以，心智邏輯理論又被認(rèn)為是一個句法推理理論。

認(rèn)知革命的先驅(qū)喬姆斯基，首先區(qū)分了語言習(xí)得的先天能力（competence）和后天表現(xiàn)（performance）。喬姆斯基認(rèn)為人類具有與生俱來的內(nèi)在語言習(xí)得配置，這種內(nèi)在配置是人類物種獨(dú)特的、長期進(jìn)化的結(jié)果。一個四歲的兒童可以用語言自由交流，不僅是四年語言習(xí)得之功，還源于其內(nèi)在語言習(xí)得功能配置。你不可能訓(xùn)練任何其他物種習(xí)得語言，因?yàn)槠錄]有所需的內(nèi)在功能配置。那么，兒童是怎么啟動其內(nèi)在配置而發(fā)生語言表現(xiàn)呢？這曾經(jīng)是一個謎題。布芮恩教授持續(xù)觀察了他自己孩子的語言發(fā)展過程。他發(fā)現(xiàn)，兒童在正式學(xué)習(xí)約定語法之前，會提前自主生成一種兒童語法以便做出語言表現(xiàn)。這種兒童語法表現(xiàn)了兒童語言的相對穩(wěn)定性，使語言交流成為可能。

我的博士后導(dǎo)師，原普林斯頓大學(xué)心理系教授菲力普·約翰遜-萊爾德（Philip Johnson-Laird），提出并發(fā)展了心智模型理論，主張人們推理是由構(gòu)造心智模型進(jìn)行的。心智模型的構(gòu)建基于推理者對于前提語句意義的理解。而這種理解，又是基于人們對語言的感知。認(rèn)知革命另一位先驅(qū)喬治·米勒（George Miller）教授也是心理語言學(xué)的開創(chuàng)者之一。米勒和約翰遜-萊爾德合著的巨著《語言與感知》（Language and Perception），我認(rèn)為其實(shí)是心智模型理論的思想前奏。關(guān)于這一點(diǎn)，20 多年前，我曾問過約翰遜-萊爾德教授，他并不認(rèn)可。學(xué)術(shù)權(quán)威的意見，只能作為參考，而不能奉若神明。比如他還說過，心智世界中沒有量子事件；我顯然無法認(rèn)同這種認(rèn)知。學(xué)術(shù)權(quán)威也有局限。同時，心智模型的形式表達(dá)與邏輯語義學(xué)具有可比性。所以，心智模型理論被認(rèn)為是一種語義推理理論。正是心智邏輯理論和心智模型理論，為推理心理學(xué)提供了語法穩(wěn)定性和語義確定性。而推理是心智的核心能力，也是其代表性的語言表現(xiàn)。在實(shí)驗(yàn)心理學(xué)中，推理實(shí)驗(yàn)任務(wù)都是使用語言任務(wù)。

由句法語法結(jié)構(gòu)及其語義學(xué)，即所謂語言的雙腿構(gòu)造所帶來的穩(wěn)定性和確定性，在形式語言與科學(xué)語言中表現(xiàn)得更為清晰。我經(jīng)常在課上告訴學(xué)生，學(xué)習(xí)一門學(xué)科，首先要熟悉其學(xué)科語言，將其句法語法結(jié)構(gòu)與其語義學(xué)先做剝離，再理解將二者結(jié)合的元性質(zhì)。在我教授的課程里，至少要講到八種這樣的科學(xué)語言雙腿構(gòu)造分析，第一種涉及邏輯學(xué)，第二種涉及決策論，第三種涉及博弈論，第四種涉及元數(shù)學(xué)，第五種涉及量子力學(xué)波函數(shù)，第六種涉及規(guī)范場論，第七種涉及集合論，而第八種涉及粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的幾何化綱領(lǐng)。

在科學(xué)語言王國中，邏輯學(xué)是率先使用語言雙腿結(jié)構(gòu)直立行走的學(xué)科。當(dāng)代形式邏輯，也叫標(biāo)準(zhǔn)邏輯或符號邏輯，是由各種形式系統(tǒng)刻畫的。一種邏輯，就是一個形式系統(tǒng)，有其特制的形式語言。對自然語言做邏輯分析，有三個基本層次：最簡單的是命題邏輯，也叫命題演算，另一個層次稱為量詞謂詞邏輯，再一個層次稱為模態(tài)邏輯。

（二）邏輯學(xué)與形式語言的標(biāo)準(zhǔn)“雙腿”結(jié)構(gòu)

1.命題邏輯與真值語義學(xué)

先看一個例句：“如果所有的珠子都是紅的，那么湯姆和一些女孩玩游戲”。在命題邏輯層次，將一個簡單語句“所有的珠子都是紅的”視為一個整體，叫做命題，而不深入分析其內(nèi)部的句法結(jié)構(gòu)。將語句聯(lián)結(jié)起來的詞叫邏輯聯(lián)結(jié)詞，也叫邏輯算子、計(jì)有合?。ú⑶遥?、析取（或者）、蘊(yùn)含（如果、則）、等價（當(dāng)且僅當(dāng)）以及否定（非）等五個。所以，在命題邏輯的詞匯表中，有可數(shù)無窮多個命題變元、五個邏輯聯(lián)結(jié)詞以及作為標(biāo)點(diǎn)符號的雙括號。有了這些以符號表示的詞匯，就可以形成無窮多的有窮符號串。為了能夠機(jī)械地判別哪些符號串是符合語法的合適公式，包括原子公式與復(fù)合公式，哪些符號串是不合語法的非合適公式，需要引入一套形成規(guī)則。形成規(guī)則也只能是歸納定義的。邏輯學(xué)研究推理，而演繹推理是從若干給定的前提出發(fā)，一步步地推出結(jié)論，而推理過程的每一步都會應(yīng)用一條推理規(guī)則，這稱為證明。如上可見，命題邏輯語言的形式句法由詞匯表、形成規(guī)則與推理規(guī)則組成。

那么，這一套命題邏輯句法的邏輯意義是什么呢？在邏輯學(xué)中，邏輯意義只有一種，那就是或真或假，叫做真值。只有那些有真假可言的句子才算是命題，這叫做命題態(tài)度。命題邏輯的語義學(xué)叫做真值語義學(xué)。命題邏輯系統(tǒng)中的命題變元叫做原子公式。真值語義學(xué)規(guī)定了如何由原子公式的真值算出具有任意復(fù)雜度的有窮復(fù)合公式的真值。真值語義學(xué)為一個真值表所規(guī)定。具體地說，一個合取式為真當(dāng)且僅當(dāng)兩個合取項(xiàng)都為真；一個析取式為假當(dāng)且僅當(dāng)兩個析取項(xiàng)均為假；一個條件式為假當(dāng)且僅當(dāng)其前件為真而后件為假；一個等價式為真當(dāng)且僅當(dāng)前后兩項(xiàng)真值相同；最后，一個公式與其否定真值相反。

不要因?yàn)槠浜唵味】戳苏嬷当?，它在現(xiàn)代科學(xué)史上起到里程碑的作用。首先，它是第一個真正意義上的科學(xué)語義學(xué)，將關(guān)于意義的理論分離出來并將其形式化。第二，它為五個邏輯聯(lián)結(jié)詞規(guī)定了其邏輯意義，而這五個聯(lián)結(jié)詞體現(xiàn)了自然語言核心表達(dá)功能。很難想象，如果失去這五個邏輯聯(lián)結(jié)詞，自然語言的表達(dá)功能會何等殘缺；同時，如果這五個邏輯聯(lián)結(jié)詞意義不清，語言表達(dá)會變得何等費(fèi)勁混亂。另外，把真值換為1，將假值換為0，真值表就變成布爾代數(shù)。布爾代數(shù)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)源，也是電路設(shè)計(jì)乃至集成電路中“與非門”的原典。

在邏輯學(xué)中有兩個中心概念，一個是前面說過的“證明”，這是一個純句法的概念；另一個“有效性”，這是一個純語義的概念。有的作者甚至認(rèn)為，邏輯學(xué)就是關(guān)于有效性的科學(xué)。有效性由一個條件句所定義：如果一個推理的所有前提都是真的，那么其結(jié)論也必須是真的。換句話說，在一個推理中，如果摻入一個或若干個假前提，那么無論其結(jié)論是真是假，這個推理總是有效的。

如此這般，一個邏輯系統(tǒng)的雙腿結(jié)構(gòu)有兩個標(biāo)準(zhǔn)組分，一個是形式句法，一個是形式語義學(xué)（也叫模型）。標(biāo)準(zhǔn)邏輯有其邏輯標(biāo)準(zhǔn)，即要求其句法結(jié)構(gòu)和其語義學(xué)是對偶等權(quán)的，而這種等權(quán)對偶關(guān)系是通過可證性和有效性之間的關(guān)系建立的。如果所有的證明都是有效的，我們說這個邏輯系統(tǒng)是語義協(xié)調(diào)的，如果所有的有效公式或推理都是可證明的，我們說這個邏輯系統(tǒng)是完全的。可見，協(xié)調(diào)性和完全性是關(guān)于邏輯系統(tǒng)的整體性質(zhì)，亦稱元性質(zhì)，就像一架雙向橋梁溝通了邏輯句法及其語義學(xué)，雖然兩者是獨(dú)立構(gòu)造出來的。命題邏輯具有協(xié)調(diào)性與完全性。

2.謂詞邏輯與賦值語義學(xué)

在命題邏輯的基礎(chǔ)上，謂詞邏輯要對語句的內(nèi)部結(jié)構(gòu)做分析。再用前面用過的例句，“如果所有的珠子都是紅的，那么湯姆和一些女孩玩游戲”：句中“是紅的”由一元謂詞（是，to be）帶一個形容詞（紅的）組成，叫做一條性質(zhì)；另外，“玩游戲”（嚴(yán)格地說是“玩”）是一個二元謂詞，表示湯姆和一些孩子之間的二元關(guān)系。珠子和孩子都是個體變元，而湯姆是一個個體常項(xiàng)；另外，“所有”是全稱量詞，而“一些”是特稱量詞；注意，在英文表達(dá)中，這個句子里還包含一個定冠詞“the”，定冠詞常起到代詞的作用。將這些句子成分增加到形式語言的詞匯表中，再制定相應(yīng)的形成規(guī)則與推理規(guī)則，就組成了謂詞邏輯的形式句法。

以上所增加的這些句法內(nèi)容，顯然超出了命題邏輯真值語義學(xué)的解釋范圍。這就需要為謂詞邏輯設(shè)計(jì)一種新的語義學(xué)，叫做賦值語義學(xué)，也就是一種新的模型。為此，首先要引入一個包羅萬象的一般個體域，即所有事物的集合，包括實(shí)在的事物和任意想象的虛物。然后對于每一個謂詞，規(guī)定一個真值條件。以一元謂詞為例，其真值條件就是個體域的一個子集。例如一個全稱語句，所有的東西都是紅的，為真當(dāng)且僅當(dāng)其真值條件集等于一般個體域。又例如一個特稱語句，有些東西是紅的，為真當(dāng)且僅當(dāng)其真值條件集是非空集，等等。1930 年，哥德爾證明了一階謂詞邏輯是完全的，即其中任意有效公式都是可證的。謂詞邏輯功能強(qiáng)大，覆蓋了大部分?jǐn)?shù)學(xué)語言。

3.模態(tài)邏輯與可能世界語義學(xué)

在標(biāo)準(zhǔn)命題邏輯和謂詞邏輯中，所研究的都是直陳句，不含模態(tài)詞（亦稱情態(tài)詞）。模態(tài)詞包括：可能、必然、必須、承諾、允許、道義、虛擬語氣、條件、時態(tài)，等等。正是這些情態(tài)詞，使自然語言變得豐富多彩，富有彈性，功能多樣，表達(dá)適當(dāng)，進(jìn)退得體，留有余地。將模態(tài)詞引入標(biāo)準(zhǔn)邏輯，增設(shè)相應(yīng)的形成規(guī)則與推理規(guī)則，就形成了模態(tài)邏輯句法結(jié)構(gòu)。

模態(tài)邏輯的語義學(xué)稱為可能世界語義學(xué)。比如，模態(tài)命題邏輯的可能世界語義學(xué)，由一可能世界與定義在其上的一種二元可及關(guān)系組成。對于不同的公理化方式，這個可及關(guān)系要滿足一些具體的性質(zhì)，如傳遞性或自返性等。這樣，一個必然語句，“必然A”，在某可能世界為真，當(dāng)且僅當(dāng)語句A 在由此可能世界可及的所有可能世界是真的。一個可能語句，“可能A”，在某可能世界為真，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個由此可能世界可及的可能世界，使得語句A 在其上為真?？赡苁澜缯Z義學(xué)也叫克里普克語義學(xué)，緣于可及關(guān)系的概念是由原普林斯頓邏輯學(xué)家克里普克引入的，并由其證明了模態(tài)邏輯的一種完全性。

在科學(xué)語言中，歷來并沒有區(qū)別句法語法結(jié)構(gòu)與其語義學(xué)的傳統(tǒng)。這樣的科學(xué)語言，就像生活在水中的美人魚，悠游優(yōu)美，觀賞性強(qiáng)但卻難以親近。你又怎么知道，那美人魚不想進(jìn)化出雙腿結(jié)構(gòu)，漫步陸上，與人類共舞呢？我都能時時聽到美人魚的幽怨，那些科學(xué)家在陸地上奔跑快活，卻把她困在水宮之中，或深海墨綠青燈昏暗，或淺洋深藍(lán)光柵迷亂，茫茫然，眼望穿，何處是人間那般。終于，有一個心理語言外科醫(yī)生，拿起柳葉刀，開創(chuàng)了為科學(xué)語言構(gòu)建雙腿結(jié)構(gòu)的手術(shù)方法。多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我，學(xué)生們更容易接受被賦予雙腿結(jié)構(gòu)的科學(xué)語言。我自己每次在學(xué)習(xí)一個新領(lǐng)域的時候，第一件事就是努力熟悉它的學(xué)科語言，并試圖找到它的雙腿結(jié)構(gòu)及其元性質(zhì)。我近年來在理解一些領(lǐng)域，例如在思考理論物理謎題中取得的進(jìn)展，正是得益于此。這是邏輯學(xué)家的本能習(xí)慣。

（三）決策論句法結(jié)構(gòu)及其效用語義學(xué)

經(jīng)典公理化決策論句法是一個三層結(jié)構(gòu)：第一層是選擇的集合，或稱選項(xiàng)；第二層是說，每一個選擇可以產(chǎn)生一可能結(jié)果點(diǎn)集合；第三層是說，每一后果由兩個性質(zhì)也僅由兩個性質(zhì)所刻畫，即欲望與可行性。要提出一個決策論問題，就要把問題置入這個句法結(jié)構(gòu)。解決一個決策論問題，要求在選擇集上建立全序的偏好關(guān)系，即對任意兩個選擇，必須偏好其一，而不能偏好“不予偏好”。偏好是一個句法概念?？梢钥吹?，經(jīng)典決策論句法的詞匯表包括五個且僅五個概念：選擇、結(jié)果、欲望、可行性與偏好，由其組成三層語法結(jié)構(gòu)與解決條件。少一個概念，不成其為一個經(jīng)典決策問題，多一個概念，說明尚未提煉出合適的決策問題。那么這個經(jīng)典決策論是什么意思，又如何建立經(jīng)典偏好關(guān)系呢？這叫做語義學(xué)問詢。

經(jīng)典決策論句法結(jié)構(gòu)是由上向下構(gòu)建的，其語義學(xué)要由下向上規(guī)定決策論意義。首先，欲望的決策論意義只有一個，那就是錢數(shù)。無論是什么欲望，在決策論的意義下，都必須折算成值多少錢。您可能聽這話不舒服，覺得這不是侮辱人嗎？拿我當(dāng)什么人了，你以為我是拜金狂嗎？我熱愛我的祖國，那是無價的！我有我的信仰，那是無條件的！這當(dāng)然可以理解。可是，人們一般不會說，我“決定”愛我的祖國，因?yàn)閻圩鎳莻惱碚擃}。人們一般也不會說，我“決定”信仰上帝，因?yàn)槟鞘亲诮陶擃}。倫理學(xué)和宗教學(xué)都超出了決策論框架。這就是決策論的邊界，沒有邊界的理論不是科學(xué)，沒有明確邊界的科學(xué)不是成熟的學(xué)科。

下一個概念是一個可能結(jié)果的可行性。你想要買一輛新車，你甚至想要買下一個汽車公司，兩者的可行性顯然不同?？尚行宰匀坏臄?shù)學(xué)刻畫是概率，可是在標(biāo)準(zhǔn)概率論中，一個單獨(dú)的獨(dú)立事件沒有概率可言。當(dāng)然，心理學(xué)中有關(guān)于主觀概率的理論，為一個孤立的獨(dú)立事件配置概率，也叫或然率，這會在其他上下文中說到，但那不宜放入標(biāo)準(zhǔn)決策論中。注意，一個選擇可以產(chǎn)生若干個甚至許多可能的結(jié)果，決策者對這些可能結(jié)果的看重程度不同，也就是所賦予的權(quán)重不同。對于一個選擇，所有可能結(jié)果被賦予的權(quán)重分布，叫做一個策略。要將這個策略轉(zhuǎn)換成一個概率分布，在數(shù)學(xué)上要做歸一化處理，也就是要求一個分布中的所有概率相加等于1。原因是，所涉可能結(jié)果都是從屬于同一個選擇，若視此選擇為最優(yōu)偏好，它即成為現(xiàn)實(shí)，而現(xiàn)實(shí)事件的概率為1。有了這個歸一化的概率分布，就可以為一個可能結(jié)果配置概率了。這樣，我們才可以說，語法可行性的決策論語義是其概率。

一個可能結(jié)果由其欲望與可行性兩種句法屬性刻畫。欲望的決策論語義是錢數(shù)，可行性的決策論語義是概率，兩者相乘，叫做效用。所以，一個句法可能結(jié)果的決策論語義就是其效用。這是決策論效用語義學(xué)得名的由來。這是第二層，稱為結(jié)果層。再往上走一層，就回到選項(xiàng)層。一個選項(xiàng)可以產(chǎn)生若干個或許多個可能結(jié)果，每個可能結(jié)果有其語義效用；這些效用的加和，叫做數(shù)學(xué)期望。所以，一個句法選項(xiàng)的決策論語義就是其數(shù)學(xué)期望。

強(qiáng)調(diào)一句，錢數(shù)是數(shù)，概率是數(shù)，兩者相乘所得效用也是數(shù)，效用相加還是數(shù)，所以，效用語義學(xué)也叫數(shù)字語義學(xué)。決策論的系統(tǒng)元性質(zhì)要求其句法結(jié)構(gòu)與效用語義學(xué)強(qiáng)度相當(dāng)，不多不少，剛剛好。這個元性質(zhì)由決策論表示定理所刻畫：對于任意兩個選項(xiàng)，偏好其中此選項(xiàng)之于彼選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)此選項(xiàng)的數(shù)學(xué)期望大于彼選項(xiàng)的數(shù)學(xué)期望?？梢钥吹剑愃七@種元性質(zhì)的要求，正是從標(biāo)準(zhǔn)邏輯模仿來的。為什么用數(shù)字語義學(xué)來解釋決策論句法結(jié)構(gòu)呢？原因是，我們不熟悉兩個選項(xiàng)之間的偏好關(guān)系是什么意思，難以確定，但我們知道兩個數(shù)之間的大于關(guān)系是什么意思，所以用后者解釋前者，這就是語義學(xué)的功能。

（四）博弈論句法結(jié)構(gòu)及其效益語義學(xué)

馮·諾依曼和摩根斯坦在其經(jīng)典著作《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》（1944）中發(fā)展了博弈論思想，不僅定義了博弈的概念，并確切地區(qū)分了合作與非合作兩類博弈，從而奠定了博弈論的基礎(chǔ)。然而，現(xiàn)代博弈論卻是在所稱納什框架（Nash framework）下才得以蓬勃發(fā)展。納什不僅用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)格定義了合作博弈與非合作博弈，還證明了其系統(tǒng)性元性質(zhì)，即納什解決與納什均衡，從而建立了博弈論研究的基本框架。

非合作博弈的句法結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，但在概念上有一個難點(diǎn)。第一，假設(shè)N 為博弈者的個數(shù)。第二，每個博弈者都有一個可能行動集合，記為Ai。這與個體決策論的情形類似，沒有認(rèn)知困難。第三，考慮一個可能行動的n元組（a1，…ai,…,an)，其中每個博弈者從自己的可能行動集中貢獻(xiàn)一個行動。這樣的n元組叫做一個情景。一種博弈，就是所有可能情景的集合，也就是所有博弈者的可能行動集的笛卡爾乘積，記為Ai。這就像一個電影的膠片，由一個個片段組成。與個體決策論有本質(zhì)區(qū)別的是，每個博弈者并不是在自己的可能行動集上建立偏好關(guān)系，而是要在所有情景的集合上建立偏好關(guān)系。這在博弈者心理上容易造成認(rèn)知困擾，因?yàn)樾闹鞘且詡€體為單位具身注冊的，所以在個體決策論中，決策者在自己的可能行動集上建立偏好關(guān)系比較自然?，F(xiàn)在，每個博弈者要在任意兩個情景問題建立偏好關(guān)系，而每個情景都涉及所有其他博弈者可能行動，這是造成認(rèn)知困擾的心理原因。據(jù)我的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把這個心理語言的困擾克服了，博弈論語言就變得舒服了。

非合作博弈的元性質(zhì)就是人們常聽說的納什均衡，這是一個純句法的性質(zhì)。納什均衡是一個特殊的情景，必須對每一個博弈者說話，所以記為(,),滿足以下條件：對于每個博弈者i，?iai，對于所有的ai∈Ai。

一個情景的博弈論意義叫做效益。與決策論情形類似，效益也是價值和概率兩者的線性函數(shù)，所以非合作博弈的語義學(xué)稱為效益語義學(xué)。注意，與決策論語言不同的是，對任一情景中的某個行動單獨(dú)賦值或賦予概率沒有意義，有意義的是為情景中所有行動同時賦予一組值和一個歸一化的概率分布。人們很少注意到一個有趣的現(xiàn)象，即博弈論語言的雙腿結(jié)構(gòu)，還表現(xiàn)在非合作博弈與合作博弈的陳述方式的區(qū)別。

合作博弈由一可能協(xié)議集合所刻畫。以二人談判為例，在討價還價過程中，開價值和砍價值形成一輪價格對，記為（u,v）也就是一個可能協(xié)議。理論上，可能協(xié)議可以有很多。合作博弈的一個重要概念叫做可談判點(diǎn)，或叫轉(zhuǎn)折點(diǎn)更通俗?？梢岳斫?，不是所有的可能協(xié)議都具有可談判的意義。如果u或v過大，即u值和v值差別過于懸殊，將使其中一方失去談判興趣。所以，應(yīng)該存在一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)來界定可談判的協(xié)議范圍。在這個范圍內(nèi)，會存在一個特殊的可能協(xié)議，叫做納什解決，使得其中兩個值的乘積最大，即大于其他可談判范圍內(nèi)可能協(xié)議的相應(yīng)兩值乘積。

以上所述就是一般博弈論教科書介紹非合作博弈和合作博弈的方式。我在課上講授這部分內(nèi)容時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象。我注意到，非合作博弈是以句法方式引入的，可能行動集和情景n元行動組和納什均衡，都是句法組分。而合作博弈，是以語義方式引入的，可能協(xié)議、價值和納什解決都是語義組分。這樣一種特別雙腿結(jié)構(gòu)，句法足踏在非合作博弈領(lǐng)土上，語義足踏在合作博弈領(lǐng)土上，使博弈論框架得以直立行走。這個現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)生活甚至在國際關(guān)系中比比皆是，有著顯著的心理后承。想象人們在打架沖突時，常常威脅說，你要是做這個，我就做那個。某國對另一國說，如果你繼續(xù)這樣做，我就制裁你。另一國反懟，你若制裁我，我就轟炸某第三國。這就是非合作博弈的行動語言話語方式。當(dāng)某一方開始開價談條件時，提到價值，就開始釋放出有意合作的信號。所以，教科書中的介紹方式，不像是巧合也不像是疏忽，而應(yīng)該是反映了這些作者對博弈論框架的心理認(rèn)知。

（五）集合論生成雙腿結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用

集合論是當(dāng)代數(shù)學(xué)的通用語言。為此，布爾巴基結(jié)構(gòu)主義學(xué)派曾作出巨大貢獻(xiàn)。作者最近提出一種從集合直接生成雙腿結(jié)構(gòu)的方法?？紤]一個集合A，其冪集是A 的所有子集的集合，記為P(A)。設(shè)a 是A 的一個任意給定元素（成員），記為a∈A，讀做：a 屬于A，符號∈表示屬于關(guān)系。另設(shè)B 是A 的一個任意給定子集，記為B?A，讀做：A 包含B，或B 含于A，符號?表示包含關(guān)系。顯然，B∈P(A)。現(xiàn)在寫出冪集的定義如下：P(A)={B}B?A，意即B∈P(A)當(dāng)且僅當(dāng)B?A。用邏輯學(xué)語言說，B∈(A)稱為(A)的外延，B?A稱為(A)的內(nèi)涵。這樣，通過關(guān)于冪集的言語分析，我們就構(gòu)造出了集合論語言的外延句法及其內(nèi)涵語義學(xué)，亦稱為“屬于句法”和“包含語義學(xué)”，分別記為∈句法和?語義學(xué)。這是一種由集合論語言內(nèi)在結(jié)構(gòu)自我生成的雙腿結(jié)構(gòu)，所以具有一般性。這樣生成的雙腿結(jié)構(gòu)，其元性質(zhì)是自明的，既完全又協(xié)調(diào)，因?yàn)閮缂拿恳粋€成員都指稱本集的一個唯一的子集。對于一個范疇，所有指稱方式的集合，在范疇論中稱為指數(shù)集。

集合論雙腿結(jié)構(gòu)具有基礎(chǔ)性意義，并在經(jīng)驗(yàn)科學(xué)統(tǒng)計(jì)語言中具有很強(qiáng)的刻畫能力。在經(jīng)驗(yàn)科學(xué)中，之所以必須用也只能用統(tǒng)計(jì)語言說話，是因?yàn)榧僭O(shè)了總體的不可觀測性。我們能夠觀測的，是隨機(jī)抽取的樣本。樣本與總體之間，是包含關(guān)系。而樣本與總體的冪集之間，是屬于關(guān)系。后者是統(tǒng)計(jì)語言的樣本句法，前者是樣本語義學(xué)。在傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)科學(xué)方法中，實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)意義在于用樣本均值預(yù)測總體均值，而樣本語言的雙腿結(jié)構(gòu)恰好刻畫了這個系統(tǒng)性特征。

集合論雙腿結(jié)構(gòu)的想法，簡略地說，在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)方法中，假設(shè)數(shù)據(jù)總體無窮大，其中每個單個事件沒有獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)意義，因?yàn)閱蝹€獨(dú)立事件沒有測度。而一個數(shù)據(jù)樣本是可測的，進(jìn)而在總體的冪集中，也就是在樣本集中，可以形成測度的密度函數(shù)，找到其概率分布。這種雙腿結(jié)構(gòu)，稱為樣本句法的測度語義學(xué)。

（六）理論物理語言中的雙腿結(jié)構(gòu)

以上介紹的幾種語言雙腿結(jié)構(gòu)，都是依附于形式科學(xué)或分析科學(xué)的。這里選擇介紹三種量子物理中局部語言的雙腿結(jié)構(gòu)，前兩種屬于比較成熟的處理，在另文中有詳細(xì)說明，這里的討論較為簡要，第三種屬于尚在研究思考中的題目，未必成熟，需要多說幾句。

1.波函數(shù)的雙腿結(jié)構(gòu)

我們知道，經(jīng)典量子力學(xué)有三個等價的版本。第一個版本是海森堡矩陣力學(xué)，用非對易關(guān)系和測不準(zhǔn)原理為原始語言說話。第二個版本是薛定諤波動力學(xué)，以波函數(shù)的漢密爾頓方程為原始語言說話。第三個版本，亦被認(rèn)為是最具一般化的版本，是狄拉克的bra-ket 形式語言，這里，bra 表示左括號，ket表示右括號。狄拉克指出：在觀測中的干擾度越高，我們所能觀測到的世界就越小。在這個意義下，量子力學(xué)是關(guān)于微觀觀測的理論。狄拉克形式語言正是抓住了這個本質(zhì)。記為φ|Ai|?。以標(biāo)準(zhǔn)教育考試為例，考生能力是一種難以直接觀測的現(xiàn)象?，所以只能給一個考試φ，用一道道試題Ai作為刺激，?會給出一個個答案作為反應(yīng)。這樣，變量?成為變量φ的函數(shù)，記為?(φ)，稱為波函數(shù)。狄拉克形式φ|Ai|?即為波函數(shù)語言的句法。

波函數(shù)有一個哥本哈根學(xué)派的概率詮釋，振幅語義學(xué)（亦稱復(fù)數(shù)語義學(xué)）。波函數(shù)的任意兩個函數(shù)值可以表達(dá)為一個復(fù)數(shù)，表示一種可能性。這個復(fù)數(shù)的模方稱為波函數(shù)的振幅，也就是其概率。用狄拉克的話說，可能性的平方等于概率。這個概率詮釋，點(diǎn)出了波函數(shù)的意義，稱為波函數(shù)的振幅語義學(xué)。我們看到，波函數(shù)的狄拉克句法與哥本哈根振幅語義學(xué)，構(gòu)成了波函數(shù)語言的雙腿結(jié)構(gòu)。

2.規(guī)范變換語言的雙腿結(jié)構(gòu)

在規(guī)范場論話語中，波函數(shù)被置于一個雙層雙級四格結(jié)構(gòu)中。雙層是指區(qū)別全局與局域兩個層次，雙級是指在全局層面和局域?qū)用?，各有?guī)范勢與規(guī)范場強(qiáng)兩級。由規(guī)范勢求規(guī)范場強(qiáng)，要對波函數(shù)應(yīng)用適當(dāng)?shù)奈⒎炙阕?。波函?shù)是變化的，其規(guī)范勢從一個狀態(tài)變換到另一個狀態(tài)，要乘上一個變換系數(shù)eiθ，即φ→φ‘ =eiθφ。相應(yīng)地，在微分算子的作用下，其規(guī)范場強(qiáng)也會做變換，即?μφ→?μeiθφ=eiθ?μφ。在全局層面，這樣的變換稱為第一類規(guī)范變換，其中，變換系數(shù)eiθ是一個任意常數(shù)。在局域?qū)用?，變換系數(shù)成為一個函數(shù)eiθ(x)，相應(yīng)的規(guī)范變換稱為第二類規(guī)范變換。綜合兩類規(guī)范變換，就構(gòu)成了規(guī)范變換的句法結(jié)構(gòu)與語法規(guī)則。

規(guī)范變換的意義在于保形。保形的意思是，保持變換系數(shù)的唯一性和前置性。前置性要求，在規(guī)范勢變換中，變換系數(shù)是前置于波函數(shù)狀態(tài)的，那么在規(guī)范場強(qiáng)的相應(yīng)變換中，變換系數(shù)也必須是前置于波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的。唯一性要求在規(guī)范場強(qiáng)的變換中，不能產(chǎn)生冗余項(xiàng)。這兩個要求，在全局層面的第一類規(guī)范變換中，沒有問題，因?yàn)樽儞Q系數(shù)是一個常數(shù)。可是，在局域?qū)用娴牡诙愐?guī)范變換中，就會產(chǎn)生冗余項(xiàng)，因?yàn)檫@時變換系數(shù)是一個函數(shù)。為了消去冗余項(xiàng)，必須引入?yún)f(xié)變導(dǎo)數(shù)和規(guī)范場這樣的語義技巧。所以，規(guī)范變換的語義學(xué)稱為保形語義學(xué)。規(guī)范變換的句法結(jié)構(gòu)與其保形語義學(xué)構(gòu)成了規(guī)范變換語言的雙腿結(jié)構(gòu)。規(guī)范變換有一條元性質(zhì)，即規(guī)范原理，內(nèi)容為：如果第一類規(guī)范變換不成立，則第二類規(guī)范變換也不成立。也就是說，雖然前者比后者簡單，但前者是后者的必要條件。

3.相位語言的雙腿結(jié)構(gòu)

當(dāng)代粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型，是由幾個動力學(xué)系統(tǒng)組成的，包括量子電動力學(xué)、量子色動力學(xué)、同位旋動力學(xué)、電弱動力學(xué)，以及希格斯機(jī)制，統(tǒng)一由規(guī)范場論語言刻畫。動力學(xué)分析是有源分析，源頭就是各種荷，比如電子載有電荷，夸克載有色荷并載有分?jǐn)?shù)電荷，等等。粒子載荷，就被賦予了內(nèi)部空間。一般所載可能荷數(shù)就是內(nèi)部空間的維數(shù)。比如電子只載有電荷，其內(nèi)部空間就是一維的，夸克可能載的色荷有三種，其內(nèi)部空間就是三維的。粒子從一個狀態(tài)變換到另一個狀態(tài)，其內(nèi)部空間就發(fā)生轉(zhuǎn)動。由這種轉(zhuǎn)動，相位就會改變。這里的相位，叫做動力學(xué)相位。相位的變化有速度大小可言，這個變化率稱為動量，也就是自旋概念的由來。在量子力學(xué)中，自旋是粒子的內(nèi)稟性質(zhì)，在牛頓力學(xué)中沒有對應(yīng)，因?yàn)槠洳患僭O(shè)粒子有內(nèi)部空間。

在量子場論中，粒子由其波函數(shù)刻畫，所以相位語言自然是波函數(shù)的母語。前文說過，在規(guī)范場論語言中，波函數(shù)被置于給定的雙層雙級四格框架中。由于微分算子的作用，要做兩類規(guī)范變換，其目的是使波函數(shù)在演變中保形，保形的目的是實(shí)現(xiàn)規(guī)范對稱，而規(guī)范對稱性是由對稱群所刻畫。對稱群是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，在此意義下，相位語言的句法結(jié)構(gòu)是代數(shù)的，稱為相位語言的代數(shù)句法。

為了使第二類規(guī)范變換保形，必須引入?yún)f(xié)變導(dǎo)數(shù)和規(guī)范場，分別寫出如下：

我們看到，協(xié)變導(dǎo)數(shù)里套著規(guī)范場，兩個狀態(tài)規(guī)范場的差別恰恰是動力學(xué)相位函數(shù)的微分。換句話說，規(guī)范場的積分也表示一種相位，叫做貝里（Berry）相位。楊振寧稱之為不可積相因子。如果說，波函數(shù)動力學(xué)相位是內(nèi)部空間相位，那么貝里相位就是外部相位。用纖維叢理論話說，貝里相位是粒子在底流形上行走的軌跡。用社會科學(xué)的話說，動力學(xué)相位刻畫的是個體心智活動和行為的變化，而貝里相位刻畫的是你在社會中造成的影響。貝里相位是一種幾何相位。規(guī)范場是用來平衡動力學(xué)相位變化的，而貝里相位與楊振寧不可積相因子的理論是粒子物理幾何化綱領(lǐng)的重要內(nèi)容。所以，這是相位語言一種幾何語義學(xué)?，F(xiàn)在我們理解了，粒子物理相位語言的雙腿結(jié)構(gòu)是由其代數(shù)句法及其幾何語義學(xué)構(gòu)成的。

二、維特根斯坦與哥德爾：論爭與轉(zhuǎn)折

在維特根斯坦與哥德爾之間，曾有過一場無解但有建設(shè)性的學(xué)術(shù)論爭。說其無解，是因?yàn)樵谝?guī)范場論框架下，論爭的本質(zhì)涉及對語言做全局性處理或局域性處理的層次分歧。說其有建設(shè)性，是因?yàn)榇苏摖幰馕吨鴮?gòu)建兩者統(tǒng)一理論框架的歷史訴求與哲學(xué)問詢。其實(shí)，在此論爭的前后，數(shù)學(xué)已經(jīng)準(zhǔn)備好了微分幾何纖維叢理論，物理學(xué)正孕育著規(guī)范場論，兩者都可以同時滿足維特根斯坦和哥德爾的語言哲學(xué)訴求。下文將分別介紹哥德爾不完全性定理、塔斯基不可定義性定理，以及維特根斯坦關(guān)于語言游戲的不完全規(guī)則性原理。粗略地說，這三者分別涵蓋語言學(xué)的三個范疇，即句法語法學(xué)、語義學(xué)和語用學(xué)。

（一）哥德爾：語言的境界

希爾伯特在1900 年國際數(shù)學(xué)家大會上提出了23 個待解決的數(shù)學(xué)猜想，包括黎曼猜想和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等，世稱希爾伯特計(jì)劃。關(guān)于數(shù)學(xué)大廈的邏輯基礎(chǔ)問題，即數(shù)學(xué)大廈的一致性問題，是23個謎題之一。對此，1931年，奧地利數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家哥德爾給出了否定性結(jié)果，他證明了一階理論的不完全性定理，世稱哥德爾不完全性定理或簡稱哥德爾定理。

哥德爾定理有著廣泛的應(yīng)用，如計(jì)算機(jī)科學(xué)中的“停機(jī)問題”即是其版本之一。哥德爾不完全性定理是一個最廣為流傳的數(shù)學(xué)定理名稱，見諸各種書中。哥德爾定理本身確是一個思想豐富引人入勝的故事，但其內(nèi)容較之其他著名數(shù)學(xué)定理與證明要簡單。本節(jié)不預(yù)設(shè)任何預(yù)備知識。我們將從介紹哥德爾定理以及塔斯基定理的概念定義、函項(xiàng)構(gòu)造及其證明技巧中，賞析其蘊(yùn)含的深刻思想和無雙智慧。

本節(jié)在敘述中，時而穿插一點(diǎn)春秋筆法，是有意為之，有認(rèn)知上的考量。知識習(xí)得不僅在于理解，還涉及注意力、記憶、品味與體會。所以教與學(xué)都要有節(jié)奏上的把握。知識論中的柏拉圖傳統(tǒng)講究求真求信求證三要素。心智力學(xué)告訴我們，對一般學(xué)人來說，三者難以同時并進(jìn)，需要遞次反復(fù)而行。哥德爾定理和塔斯基定理，不僅耐人尋味，而且品味幽深，值得作為個人的知識積淀。以下介紹理解哥德爾不完全性定理八個步驟。

1.一階理論

講哥徳爾不完全性定理，說是什么預(yù)備知識都不用也不準(zhǔn)確。唯一要預(yù)設(shè)的就是一階邏輯。一個邏輯就是一個形式系統(tǒng)，數(shù)理邏輯就是對數(shù)學(xué)語言的形式化邏輯化處理。比如，數(shù)學(xué)語言說，“A(x)，對所有的x”，邏輯的形式語言就表達(dá)為，?xA(x)。這里的符號“?”叫做全稱量詞。A(x)表示一個謂詞結(jié)構(gòu)；其中，A是一個謂詞，x是一個個體變元。當(dāng)量詞被規(guī)定只能量化個體變元時，邏輯就是一階的。當(dāng)量詞還被允許量化謂詞時，邏輯就是二階的。二階邏輯和集合論等價，再加上選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，就能描述整個數(shù)學(xué)大廈。注意，一階邏輯是完全的，這是哥德爾1930年就證明了的，叫做哥德爾完全性定理。所以哥德爾首先是一個邏輯學(xué)家。這件事，要小心別和哥徳爾1931年的不完全性定理鬧混了。

邏輯中有邏輯聯(lián)結(jié)詞，如合取、析取、蘊(yùn)含和否定，這些亦稱為邏輯算子。數(shù)學(xué)中有數(shù)學(xué)運(yùn)算，如加法和乘法。邏輯算子與數(shù)學(xué)運(yùn)算有本質(zhì)的不同，這通過以下簡單比較可以看出來。先看邏輯算子。析取，P或者非P，是重言式，可用于定義布爾代數(shù)的單位元1。用式子寫出來就有，P∨～P=T≡1。為了方便，這里的等號可表示等價或者等于。合取，P并且非P，是矛盾式，可用于定義布爾代數(shù)的單位元0。用式子寫出來就有，P∧～P=F≡0。再看數(shù)學(xué)運(yùn)算。加法，a+(-a)=0。乘法，a×a-1=1。不難看出，析取與加法，合取與乘法都是不能互相置換功能的，因?yàn)榈贸龅膯挝辉煌＿M(jìn)一步看，析取和乘法，合取與加法也都不能做功能置換。因?yàn)椋媾cQ的析取還是真，而1 乘b 卻等于b。類似的，假與Q 的合取還是假，而0 加b 卻等于b。究其原因，竟是邏輯里的單位元與數(shù)學(xué)中的單位元有本質(zhì)的不同。真是一言不合，便使邏輯與數(shù)學(xué)分家，成楚河漢界之隔。在后面第四步驟中，我們會看到以哥德爾命名的一種“配數(shù)法”，如何教一橋飛架南北，使天塹變通途。

在前述一階邏輯中加入兩個（一個不夠）數(shù)學(xué)運(yùn)算，加法和乘法，再行形式化處理為一個新的形式系統(tǒng)，即是所稱“一階理論”；其原型就是所謂皮亞諾算術(shù)，是一個公理化系統(tǒng)。哥德爾不完全性定理就是刻畫了一階理論的二條元性質(zhì)，即系統(tǒng)性性質(zhì)。另外要補(bǔ)充的是，一階理論是一個很基本但又很特殊的數(shù)學(xué)層面，哥德爾不完全性定理也表明在此層面上我們的公理化手段是有限的。往下看，一階邏輯不需要更強(qiáng)的公理化方法；往上看，如實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)等更為復(fù)雜的數(shù)域反而允許更豐富的公理化方法，其完備性定理稍后為塔斯基所證明。

另外，讀者在心里最好準(zhǔn)備區(qū)別三個庭苑，對摸清本節(jié)苑中路徑絕對有幫助。一個是普通素樸算術(shù)；這里，對于一個n元關(guān)系，只能用“是否成立”的概念說話。另一個是規(guī)定的算術(shù)結(jié)構(gòu)，在一階理論中表示語義模型；這里，對于一個n元函項(xiàng)或公式只能用“是否為真”的概念說話。最后一個是一階理論的句法形式系統(tǒng)，記為N；這里，對于一個函項(xiàng)或公式，只能用“是否可證”的概念說話。三者同門，都是自然數(shù)出身或帶有自然數(shù)血統(tǒng)，卻界限分明。在哥德爾定理中用到的可表達(dá)性概念，是在普通素樸算術(shù)與一階理論的句法形式系統(tǒng)之間說話。在塔斯基定理中用到的算術(shù)可定義性概念，是在普通素樸算術(shù)與一階理論語義模型之間說話。最后，哥德爾定理和塔斯基定理本身，又都是在一階理論語義模型與句法形式系統(tǒng)之間說話。

2.自然數(shù)與枚舉數(shù)

自然數(shù)集是個可數(shù)無窮：0，1，2，3，…，以至無窮，這誰都知道，在文獻(xiàn)中叫做直觀自然數(shù)。自然數(shù)原來除了在數(shù)論里被當(dāng)成自己人，出去到別的數(shù)學(xué)豪門中就像個灰姑娘，只能做些伺候人的活計(jì)。其主要工作就是給人當(dāng)腳標(biāo)，上標(biāo)下標(biāo)明標(biāo)暗標(biāo)還有愛因斯坦約定上下標(biāo)；張量變換中因?yàn)閬韥砘鼗氐淖邩?biāo)繁復(fù)，沒少讓學(xué)者們白眼厭煩。這灰姑娘倒是心態(tài)平衡，但看你們實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)雖然數(shù)不勝數(shù)，生態(tài)連續(xù)，極限漣漪，可微處處。不過，話說回來，游動其上的變元數(shù)總得可數(shù)吧，那就少不得我自然數(shù)沿街走標(biāo)的一口飯吃。這看似是何等的無奈。誰承想，哥德爾獨(dú)具慧眼，發(fā)現(xiàn)這自然數(shù)竟是個少林掃地僧，身懷絕技深藏不露。在后文中，一個哥德爾配數(shù)法將天下證明前后一網(wǎng)收盡，一個自指語句將世間公式內(nèi)外覆雨翻云。令人未及說此神來一筆，已是結(jié)舌當(dāng)下。

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，自然數(shù)也是要被定義構(gòu)造出來的，這樣構(gòu)造出來的自然數(shù)被定義為枚舉數(shù)。具體做法是從空集? 出發(fā)，通過后繼函數(shù)歸納定義。空集里面沒有元素，定義為第一個枚舉數(shù)0。下一個枚舉數(shù)是以空集為唯一元素的集合｛?｝，定義為第二個枚舉數(shù)1。以此類推，后面每一個枚舉數(shù)都被一個以其前面所有出現(xiàn)的枚舉數(shù)為元素的集合所定義，記為n。這個構(gòu)造方法稱為后繼函數(shù)。

不去深想，直觀自然數(shù)和枚舉數(shù)的區(qū)別不過是把自然數(shù)用集合論語言重新定義出來。不說這是花拳繡腿，充其量也就是平凡功夫?？筛绲聽柶湍軓臒o痕處發(fā)微，引出下面可表達(dá)性的概念來。

3. 可表達(dá)性

可表達(dá)性建立了算術(shù)關(guān)系與一階理論可證性之間的聯(lián)系。這里算術(shù)中的一個n元關(guān)系R對應(yīng)著一階理論中的一個n元函項(xiàng)P。要問n個自然數(shù)是否滿關(guān)系R，就相當(dāng)于問將相應(yīng)的n個枚舉數(shù)代入函項(xiàng)P后在一階理論N 中是否可證?？杀磉_(dá)性同時說了兩句話，第一句，如果R(a1,…,an)為真，則P(a1,…,an)在N中可證。第二句，若R(a1,…,an)為假，則?P(a1,…,an)在N中可證，這里“?”是否定算符。

在可表達(dá)性的兩個條件句中，交叉使用邏輯排中律，每一句中由此及彼，兩句之間非此即彼，讓讀者可能陡然產(chǎn)生強(qiáng)烈的邏輯感，感受到邏輯概念化的跨越力量，感受到邏輯處理手法的生硬與無情，讓人愛恨交織。任何一種科學(xué)抽象都是有邊界的，有所得便會有所失，這是波普爾的科學(xué)哲學(xué)思想。這在數(shù)學(xué)里叫做平凡化處理，為建立兩個不同維度，就只能舍棄某些纏繞，以使二者正交起來。

尤其是可表達(dá)性的第二句話，由R假強(qiáng)行過渡到?P在N 中可證，是一個很強(qiáng)的條件，甚至有悖直觀。這在推理心理學(xué)中，無分相互競爭的心智邏輯理論還是心智模型理論，都有不同的處理方式?？杀磉_(dá)性定義了一個由素樸算術(shù)到語法表示的歷史性轉(zhuǎn)折，其中既表現(xiàn)了似敦刻爾克大撤退的悲劇美，又預(yù)示著似諾曼底登陸的人類心智使命擔(dān)當(dāng)。

我們上面用到了“若關(guān)系為真”的語義修辭，那是為了上下文的敘述方便。等到后面續(xù)接塔斯基不可定義性定理時，就會看到，一個“謂詞真”會掀起何等波瀾。

4.哥德爾配數(shù)法

這是20 世紀(jì)人類心智的絕唱，數(shù)學(xué)美的無雙巔峰。比之愛因斯坦廣義相對論中的等效原理，哥德爾配數(shù)法異曲同工，卻不輸妙悟，勝在嚴(yán)格精密。難怪愛因斯坦說，他每天去普林斯頓高等研究院上班，就為了和哥德爾一起散步呢。哥德爾配數(shù)法可以分三步介紹。

第一步，每個符號可機(jī)械地配以一個唯一奇數(shù)。一個形式系統(tǒng)，比如一階邏輯或一階理論，其形式語言的可用符號可以無窮多，卻總是可數(shù)的。這樣，總可以安排某種機(jī)械的方式，按順序?yàn)槊總€符號配上一個唯一的奇數(shù)，稱為這個符號的哥德爾數(shù)。

第二步，每個公式是一個有窮符號串，可為每一個公式機(jī)械地配以唯一的一個合數(shù)，即其哥德爾數(shù)。生成此哥德爾數(shù)的方式非常神圣，謹(jǐn)懷敬畏之心寫出如下：

上面等式的左邊，標(biāo)明是公式L的哥德爾數(shù)。右邊是一串共n個指數(shù)的乘積，由初始素?cái)?shù)打頭排下去，第n個指數(shù)的底是第n個素?cái)?shù)，其肩膀上扛的是公式L中第n個符號的哥德爾數(shù)。

第三步，每個證明是一個有窮公式集的有序序列?？梢詾槊恳粋€證明機(jī)械地配以一個唯一的合數(shù)，即其哥德爾數(shù)。生成此哥德爾數(shù)的方式更加神圣，仍懷敬畏之心寫出如下：

上面等式的左邊，標(biāo)明是一個證明的哥德爾數(shù)，也是一個合數(shù)；Bew是德文“證明”的縮寫。右邊仍是一有窮串指數(shù)的乘積，而這次第i個素?cái)?shù)肩膀上扛的，卻換成了此證明序列中第i個公式ui的哥德爾數(shù)g(ui)。

這就是哥德爾配數(shù)法。其神奇之處在于，反過來從一個證明的哥德爾數(shù)，亦即一個合數(shù)出發(fā)，由素?cái)?shù)分解唯一性定理，可以找到產(chǎn)生這個哥德爾數(shù)的唯一指數(shù)串。同理，再由其中每個指數(shù)肩上的，關(guān)于相應(yīng)公式的哥德爾數(shù)，可以找到產(chǎn)生此哥德爾數(shù)的指數(shù)串；同理，又由其中每個指數(shù)的肩上，可以找到關(guān)于相應(yīng)符號的哥德爾數(shù)。由此，我們可復(fù)原每個符號，復(fù)原表達(dá)每個公式的符號串，直至復(fù)原表達(dá)一個證明的公式序列。這樣，我們就可以在一階理論與其算術(shù)模型之間雙向轉(zhuǎn)換了。

5.自指語句

哥德爾配數(shù)法的妙用之一是可用來生成自指語句。設(shè)P(x)是一個只含一個自由變元的公式，令其哥德爾數(shù)為n。將此哥德爾數(shù)代入x，得到一個閉項(xiàng)P(n)。P(n)就是一個自指語句，它含有其母公式的哥德爾數(shù)。假設(shè)P(n)是可證的，它應(yīng)該有一個證明，記為Bew(P(n))，這個證明也會有自己的哥德爾數(shù)。

我們現(xiàn)在可以引入一個二元算術(shù)關(guān)系，G(i,j)，這里i是一個只含有一個自由變元的母公式P(x)的哥德爾數(shù)，而j是由其生成的自指語句P(n)之證明的哥德爾數(shù)，即j=g[BewP(n)]。只要i和j滿足以上條件，G(i,j)成立，則由可表達(dá)性定義，G(i,j)在N中可證。

這看上去是很建設(shè)性的進(jìn)展，很正面啊。誰能想到哥德爾明修棧道卻暗度陳倉，在G(i,j)前加了一個否定算子，由此情勢立變，攻防逆轉(zhuǎn)。其結(jié)果是將希爾伯特之鏈上23 顆參悟佛珠中的一顆反擰，如斷臂維納斯，給后人留下無盡的哲學(xué)思辨與本體論問詢。他妙手構(gòu)造的公式P(x)明確地說：對于所有的y，并非G(x,y)，寫出來就有?y?G(x,y)?；貞浐?xiàng)G的定義，這公式明白告訴我們，任何y都不是某個證明的哥德爾數(shù)?，F(xiàn)在令公式P(x)的哥德爾數(shù)為i，即可構(gòu)造出自指語句：

此式便是哥德爾定理的主角。這個公式落落大方，既身懷母公式P(x)的自指，又手按函項(xiàng)G(i,y)的非門，卻自然而然不留違和之感。S唯一沒交代的，就是它自己的身份可有證明。哥德爾不完全性定理及其證明，就都是拿這個自指語句S的身份證明說事。

哥德爾配數(shù)法和自指語句構(gòu)造還有一層意境，那就是從美學(xué)的角度把東西方古代數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)融為一體。西方數(shù)學(xué)文化，從歐幾里得《幾何原本》溯源，有講究一般化分析的傳統(tǒng)。東方古代數(shù)學(xué)文化，講究的是用例子，但不是普通的例子，而是具有一般性的例證，比如中國的《九章算術(shù)》，又比如（現(xiàn)代）印度的拉馬努金。這個道理，已故邏輯學(xué)家沈有鼎先生曾跟我講過。一個數(shù)學(xué)證明，居然成為一個哥德爾數(shù)，這簡直是例證化到了極限。

6.協(xié)調(diào)性與ω-協(xié)調(diào)性

做了這么多的準(zhǔn)備工作和前期鋪墊，就快進(jìn)入主題了。我們說一個形式系統(tǒng)是語法協(xié)調(diào)的（亦稱一致性），是指對于任何公式來說，要么這個公式是可證的，要么這個公式的否定是可證的。既排中，又周延。哥德爾定理的證明還要用到一個缺之不可的概念，即ω-協(xié)調(diào)性。它是說，考慮任意給定的，帶一個自由變元的公式P(x)；如果對于任何n，P(n)都是可證的，那??xP(x)就是不可證的。有一條引理后面要用到；它是說ω-協(xié)調(diào)性蘊(yùn)含協(xié)調(diào)性。

7.哥德爾獨(dú)立性定理

（陳述一）若N協(xié)調(diào)，則S不可證。用反證法，設(shè)S可證，則有其證明Bew(S)，并有其證明之哥德爾數(shù)j滿足G(i,j)，由其可表達(dá)性則有G(i,j)；但由S的構(gòu)造，對所有y，?G(i,j)，這不可能。這個矛盾推翻了反證法假設(shè)，故S不可證。

（陳述二）如果N 是ω-協(xié)調(diào)的，則?S不可證。用反證法，假設(shè)?S可證。那么由引理，N 是協(xié)調(diào)的，所以，由假設(shè)推出S不可證。也就是說，不存在S的證明，所以也不存在所謂S之證明的哥德爾數(shù)。由此，對于任何j，關(guān)系G(i,j)都不成立；反過來說，就是對于任意j，關(guān)系G(i,j)，都成立，而這正符合S的公式表達(dá)：S=P(i)=?y?G(i,y)。這樣，由ω-協(xié)調(diào)性定義，S就成為可證的。前面剛由反證法假設(shè)推出S不可證，現(xiàn)在又改口說S可證，這個矛盾推翻了反證法假設(shè)，證明了?S不可證。

由陳述一和陳述二的證明，可知語句S在一階理論N 中確實(shí)是既不可證又不可否證的；我們說，它是獨(dú)立于一階理論的。這個結(jié)果被稱為哥德爾獨(dú)立性定理，亦稱為哥德爾第一定理。這是個具有一般性的結(jié)果；如果試圖把S作為公理加到一階理論N 中，還可以繼續(xù)構(gòu)造出新獨(dú)立語句來。

8.哥德爾不完全性定理

思辨一下，S的句子構(gòu)造說的是自己不可證。以上我們證明了S確實(shí)不可證，所以S說的是真的。好了，S是真的卻不可證，說明一階理論N是不完全的。這就是著名的哥德爾不完全性定理。最后，別忘了交待完全性的定義：對于N中任何語句S如果S是真的，那么S是可證的。

哥德爾不完全性定理自希爾伯特雄偉計(jì)劃出發(fā)，最終達(dá)到了一個始料未及的境界。我們前面為了敘述方便說到過：“一個關(guān)系是真的”，又說到“S是真的”。真是“真”嗎？“真”是什么意思？這在邏輯哲學(xué)上叫做真理論問詢。下面接著要講的塔斯基不可定義性定理，是哥德爾不完全性定理的姐妹篇。

（二）塔斯基：語言的層次

按當(dāng)代形式科學(xué)的要求，一個形式系統(tǒng)，如一個邏輯系統(tǒng)，有兩個標(biāo)準(zhǔn)組分，即其語法和語義學(xué)。這反映了形式語言的本質(zhì)。在系統(tǒng)的形式語法中，講究的是可證性；而在其語義學(xué)中，是用“真值”說話，真值只能為真或?yàn)榧伲桥胖械?，故又稱為命題態(tài)度。一階理論的語義學(xué)，亦稱其模型，就是一個算術(shù)結(jié)構(gòu)。語法及其語義學(xué)要等權(quán)，也就是在可證性與有效性之間要有當(dāng)且僅當(dāng)?shù)年P(guān)系，這是元邏輯關(guān)于系統(tǒng)整體性質(zhì)的要求。任意一個公式可證則其有效，稱語義可靠性。任意一個有效公式都是可證明的，稱為完全性。我們希望一個系統(tǒng)的語法和語義學(xué)是等權(quán)的。前者強(qiáng)后者弱稱為形式化不充分或模型化過分，前者弱而后者強(qiáng)則為模型化不充分或形式化過分。在決策論中，不完全性也稱為對應(yīng)非理性，非可靠性也稱為反映非理性。以下是理解塔斯基定理的四個步驟。

1.算術(shù)可定義性

前文定義了由哥德爾所引入的可表達(dá)性概念，那是講大家都知道的所謂在素樸算術(shù)中成立的關(guān)系和一階理論語法中可證性之間的聯(lián)系。塔斯基引入了算術(shù)可定義性的概念，說的是素樸算術(shù)中成立的關(guān)系與一階理論語義學(xué)（即作為模型的給定算術(shù)結(jié)構(gòu)）之間的聯(lián)系。它說，如果一個n元關(guān)系在素樸算術(shù)中成立，那么其相應(yīng)的函項(xiàng)在一階理論模型中斷言為真，由此就說關(guān)系R在此模型中是算術(shù)可定義的。

考慮只帶一個自由變元的公式A(x)，稱為母公式，并令其哥德爾數(shù)為m。將m代入x，得到一個新的公式B(m)，這是一個閉項(xiàng)（不帶自由變元），是A(x)的一個自指語句。如此，還可以再令n為B(m)的哥德爾數(shù)。認(rèn)真說來，塔斯基定理較之哥德爾定理，有一個概念上的難點(diǎn)。哥德爾定理中用到兩個哥德爾數(shù)，一個是母公式的哥德爾數(shù)，另一個是其自指語句之證明的哥德爾數(shù)，兩件事容易分開，在認(rèn)知和記憶中沒有阻礙。在塔斯基定理中也要用到兩個哥德爾數(shù)，一個是母公式的哥德爾數(shù)，另一個是其自指語句的哥德爾數(shù)，這在概念上自相纏繞，這在心理學(xué)上就需要更強(qiáng)的認(rèn)知努力以避免思維中造成記憶上的認(rèn)知堵塞。我在講課中注意到這個問題。所以，為了便于區(qū)分，我們稱一個母公式的哥德爾數(shù)為一階哥德爾數(shù)，而稱由母公式及其哥德爾數(shù)而生成的自指語句的哥德爾數(shù)為二階哥德爾數(shù)。

造出二階哥德爾數(shù)，塔斯基算是把哥德爾配數(shù)法發(fā)揮得淋漓盡致。背后的動機(jī)，是他要引入一個自然數(shù)關(guān)系，記為d(m,n)，其中m是母公式的一階哥德爾數(shù)，n是其自指語句的二階哥德爾數(shù)。進(jìn)一步，由d(m,n)，在一階理論及其模型中可算術(shù)定義一個函項(xiàng)D(m,n)，也可說后者為前者所算術(shù)定義。這又是一道怎樣的苦心，雙重自指，必有后用。值得指出的是，d(m,n)，是一個具有一般性的二元關(guān)系，對任何帶有一個自由變元的公式都成立；所以D(m,n)亦是一個具有一般性的二元謂詞函項(xiàng)。

塔斯基顯然受到哥德爾工作的影響，使用哥德爾配數(shù)法就是明證。不過，天才就是天才。哥德爾是天才，是一代語法劍圣；塔斯基也是天才，是一代語義刀魂。他們都具有數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)的學(xué)術(shù)情懷，也具備與天機(jī)唇語的使命，更身懷逢山開山遇水搭橋的本領(lǐng)。

2.真謂詞與語義模型

真值在數(shù)理邏輯中本來是個語義的概念，只在模型中說話。一日，刀魂塔斯基做天才想：如果以刀為劍，對命題態(tài)度“真”做句法處理，又該是怎樣一番意境？于是，塔斯基在原來一階理論的形式語言N 中添加了一個真謂詞T，由此，有了帶真謂詞的假想一階理論，N+=(N,T)?？删瓦@驚鴻一瞥，驟起波瀾。

注意，有了真謂詞T，就可以構(gòu)造帶有T的語句。同時，也就要為之而擴(kuò)張?jiān)心Ｐ?。真謂詞是個一元謂詞。作為動詞，中文“是”的英文就是“to be”，后面跟上一個形容詞或名詞就表示一條性質(zhì)，如“是紅的”，“是圓的”，“是塑料的”。既然如此，生造出一條性質(zhì)，“是真的”，似無不妥。

為敘述方便，先引入三個記法。首先，將閉項(xiàng)B(m)記為L。其次，既然在語法中加入了真謂詞，按理說就該有在其模型中預(yù)釋為真的真語句，記為Lt。最后，這個Lt是一個語句，它應(yīng)該有哥德爾數(shù)，記為Lg。這樣，如果X是真謂詞的一個算術(shù)模型，就會有，Lg屬于X的外延，當(dāng)且僅當(dāng)Lt在X內(nèi)涵下預(yù)釋為真。真謂詞的模型用一個集合的定義表達(dá)出來既清楚又簡單：

即X的外延是一集哥德爾數(shù)，而X的內(nèi)涵是說其中每一個都是也只能是某個在模型中解釋為真的公式的哥德爾數(shù)。

3.說謊者悖論

常有人誤以為哥德爾不完全性定理像是一個悖論，其實(shí)不是?？伤够ɡ聿煌?，它確實(shí)是世稱“說謊者悖論”的形式化翻新版。說謊者悖論起源于這樣一句話：“此話為假”。思辨一下，若視這句話為真，則可導(dǎo)出其為假；若視這句話為假，則可導(dǎo)出其為真。這就是說謊者悖論。塔斯基匠心獨(dú)具，把說謊者悖論翻寫到一階理論中，精心構(gòu)造出以下語句：對于所有的y，如果D(x,y)，則有?T(y)，寫成公式，就有：

這個公式帶有一個自由變元x，所以是一個開公式。這個式子當(dāng)然有唯一的哥德爾數(shù)，可令g(A)=m。將m取代此公式中所含的自由變元x，可得一個閉項(xiàng)B(m)。這是一個自指語句，形如：

此式便是塔斯基定理的主角。這個式子又有唯一的哥德爾數(shù)，可令g(B(m)=n)，這是一個二階哥德爾數(shù)。我們后面且看塔斯基如何用之開闔雄辯。

4.塔斯基定理

塔斯基滿懷激情地把真謂詞寫入一階理論，是何等的眼光悟性，又是何等的膽氣魄力。結(jié)果，卻發(fā)現(xiàn)為這個真謂詞找不到模型。也許有人會說，人家塔斯基的初衷沒準(zhǔn)兒就要做一個否定性結(jié)果呢。這種說法一般都是后話（post hoc saying）。很少有數(shù)學(xué)家上來就想做否定性結(jié)果的。哥德爾當(dāng)年本來也是意欲在希爾伯特計(jì)劃中建立功勛，為當(dāng)時蓬勃發(fā)展的數(shù)學(xué)大廈打下穩(wěn)固的邏輯根基，那是悲劇美背后的壯烈。

簡而言之，塔斯基定理就是說，在一階理論框架下，真謂詞沒有算術(shù)模型。其證明用的是反證法，我們還是分三步走：

第一步，用反證法，假設(shè)存在一個如前定義的模型X={Lg}Lt在X下預(yù)釋為真}；

第二步，既然存在一個如前定義的模型X，則X應(yīng)預(yù)釋Lt為真，于是應(yīng)有Lg屬于X；

第三步，既然Lg為Lt的哥德爾數(shù)，即Lg為B(m)的二階哥德爾數(shù)。由前第九訣中d(m,n)的定義，則應(yīng)有d(m,Lg)，由此可算術(shù)定義D(m,Lg) ?？墒牵貞浨懊婵坍婤(m)的條件句結(jié)構(gòu)，就可推出?T(Lg)，這說的是Lt在X下不真，所以Lg不屬于X。

由于以上第二步和第三步結(jié)果矛盾，可見第一步中的反證法假設(shè)不成立。也就是說，真謂詞還真就在一階理論框架下找不到模型，即真謂詞是不可算術(shù)定義的。這就是世稱塔斯基不可定義性定理。

塔斯基后來發(fā)展了語言層次理論，認(rèn)為關(guān)于一個給定系統(tǒng)的真謂詞是在本系統(tǒng)內(nèi)不可定義的。也就是說，關(guān)于一個給定語言層次的真理論刻畫超越了本層次規(guī)定的描述配置，需要動用更高語言層次的陳述裝置力量。哥德爾與塔斯基雙子定理，刀劍合璧。讀來波瀾壯闊，步步驚心，余味卻是經(jīng)典優(yōu)雅，銜接無痕。哥德爾在數(shù)理哲學(xué)上主張客觀唯心主義，反映了其對心智世界的本體論承諾。

（三）維特根斯坦：語言游戲

我們可以找到很多詞匯去贊美哥德爾和塔斯基，但有一項(xiàng)桂冠是屬于維特根斯坦的，他是語言研究的英雄。維氏曾師從羅素，算是學(xué)邏輯出身。在哥德爾和塔斯基的巔峰年代，研究各種數(shù)理邏輯技術(shù)是那時候的潮流，這種學(xué)術(shù)文化氛圍下，維特根斯坦勇敢地轉(zhuǎn)向研究日常語言和人們的日常語言交流，難能可貴。我以為，維特根斯坦是心理語言學(xué)和行為主義語言學(xué)的先驅(qū)。

維特根斯坦發(fā)現(xiàn)，人們使用日常語言進(jìn)行交流時，近乎是在做語言游戲。作為受過專業(yè)訓(xùn)練的邏輯學(xué)家，他當(dāng)然有學(xué)術(shù)沖動去定義這種語言游戲。可是，類似于哥德爾和塔斯基的經(jīng)歷，他進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，語言游戲居然是難以完美定義的，因?yàn)橛螒蛞幸唤M規(guī)則，但對語言游戲來說，規(guī)則似有似無，似隱似現(xiàn)，有而不全；而在他看來，這正是語言的本質(zhì)。他認(rèn)為，不存在獨(dú)立于語言游戲的語言。這個發(fā)現(xiàn)，可稱為語言游戲的規(guī)則不完全性原理。這在行為主義語言學(xué)中，是一個重要的發(fā)現(xiàn)。

語言游戲的狀態(tài)，因具體情景而變化，并因個體差異而不同。所以，在規(guī)范場論框架中語言游戲?qū)儆诰钟驅(qū)用妗８绲聽柖ɡ砗退够ɡ矶际顷P(guān)于語言的一般化處理，不涉及語言行為的個體差異，所以，屬于全局層面。我們知道，邏輯學(xué)定理是由邏輯學(xué)家創(chuàng)造的，所以，邏輯學(xué)家是邏輯學(xué)定理的規(guī)范勢。不同的邏輯學(xué)家可以證明同一個邏輯定理，叫做“多一映射”。規(guī)范場強(qiáng)就是被證明了的定理。在局域?qū)用?，即在語言博弈中，對話者的心思、語言能力、表達(dá)方式、認(rèn)知水平以及潛意識中的沖動強(qiáng)弱等，都可能是構(gòu)成規(guī)范勢的因素。而對話者的實(shí)際語言行為，則是規(guī)范場強(qiáng)。這樣，哥德爾和維特根斯坦的學(xué)術(shù)路徑，就被置于一個統(tǒng)一的規(guī)范場論四格框架結(jié)構(gòu)中了。規(guī)范場論是為研究波函數(shù)而設(shè)的。其實(shí)，語言游戲的不完全規(guī)則性，說明語言游戲就是一種波函數(shù)。這層意思，將在本文第三部分中討論。

維特根斯坦認(rèn)為語言是公共的，沒有私人語言。我認(rèn)為，這是其語言哲學(xué)的局限性，歷史原因也許是因?yàn)樗膶W(xué)術(shù)生命多半處在行為主義研究范式占主流地位的年代，這從他與維也納實(shí)證主義學(xué)派的密切關(guān)系可以想見。他剛好錯過了1950 年代中期興起的認(rèn)知科學(xué)革命，如果他有機(jī)會了解喬姆斯基語言習(xí)得理論，和福德后來關(guān)于思想語言的論證，他也許會再次改變其觀點(diǎn)。

由于發(fā)現(xiàn)了語言游戲的規(guī)則不完全性，使得維特根斯坦的語言哲學(xué)中期帶有懷疑論色彩。這里需要強(qiáng)調(diào)一個語言哲學(xué)上的分歧：我們習(xí)慣于以為，哥德爾是在一階理論的語言框架下，構(gòu)造了其定理，并在形式語言技術(shù)上，創(chuàng)造了新的語言結(jié)構(gòu)，例如自指語句；但維特根斯坦認(rèn)為預(yù)設(shè)一個語言框架沒有意義；他認(rèn)為，哥德爾定理只是哥德爾做的一個語言游戲，其語言行為本身就體現(xiàn)了一階語言，而哥德爾定理是這個語言游戲活動的融貫性（coherence）內(nèi)容。他甚至認(rèn)為，將語言形式化的任何努力都是錯誤的。筆者以為，這也許過于偏激了。問題是，在維特根斯坦與哥德爾的學(xué)術(shù)論爭中，兩者是在做各自的兩個不同的語言游戲呢，還是一個統(tǒng)一的游戲呢，抑或是三個游戲同時進(jìn)行呢？進(jìn)一步的問題是，這里涉及的是兩個還是三個融貫性標(biāo)準(zhǔn)呢？另外指出，這個語言哲學(xué)分歧，是一種知識論意義下的結(jié)構(gòu)性分歧，這些問題我們會在后文討論。

維特根斯坦的學(xué)生們后來編輯出版了他晚期的筆記，此書篇幅不長，書名為《論確定性》。其中主要收集的是他關(guān)于摩爾的外部世界存在的反懷疑論證明。維特根斯坦的后期思想提出了一種反懷疑論證明。他說，懷疑一切不是一種懷疑，你只能懷疑曾經(jīng)相信過的事情。在其書中提出了主觀確定性的概念。這提示了語言游戲不完全是沒有確定性基礎(chǔ)的。這提供了一個挑戰(zhàn)，我們可以找到一些將語言游戲結(jié)構(gòu)化并模型化的路徑嗎？在下面將提供三種這樣的路徑，分別是狹義相對論路徑、量子化路徑和廣義相對論路徑。

三、超越維特根斯坦：結(jié)構(gòu)與模型

（一）認(rèn)識論結(jié)構(gòu)

在本文第一部分中，我們通過數(shù)種語言的雙腿結(jié)構(gòu)，解釋了語言的確定性和穩(wěn)定性。在第二部分中，我們通過哥德爾與塔斯基雙子定理看到他們?nèi)绾螌⑦壿嬚Z言發(fā)揮到極致，以致揭示了語言的局限性，事情好像有些悲觀。正當(dāng)人們?yōu)榇嗣τ谧龈鞣N哲學(xué)開脫的時候，維特根斯坦為語言研究注入了新的活力。他認(rèn)為邏輯語言只是人為制造的理想語言，而日常語言的不確定性正是語言的活力所在。他提出的語言游戲不可規(guī)則化原理，正是將日常語言的不確定性視為其固有無限魅力。那么，人工語言和日常語言活動的功能區(qū)別到底是什么呢？這就要說到兩者在知識論意義下的二種路徑，即“知道路徑”（knowing path）與“作為路徑”（doing path）。

在知識論（epistemology）中，有一個柏拉圖傳統(tǒng)。它說的是，所謂你知道一條知識，記為P，意味著要同時滿足三個條件：第一，P是真的；第二，你相信P；第三，你有適當(dāng)理由（justifications）。如果其中有一個條件不滿足，你就不能認(rèn)為你知道了此條知識。所以對于一條知識的認(rèn)知，只有兩種模式，即知道與不知道。這個知道路徑，延伸地說，也就是哥德爾的邏輯路徑，考究知識的可證與否，或者塔斯基的邏輯路徑，辯證知識的真與假。這條路徑，如果以語言為標(biāo)的，則可稱為語言路徑，其攜帶的是一種雙模式知識論結(jié)構(gòu)。邏輯學(xué)語言的所謂命題態(tài)度，即真值或?yàn)檎婊驗(yàn)榧伲沁@種雙模式結(jié)構(gòu)一種表現(xiàn)。

同樣在知識論的意義下，維特根斯坦關(guān)注的不是知道，而是做事，即語言行為或語言作為。他提出，語言行為，如語言游戲，會攜帶三種模式。假設(shè)語言游戲是有規(guī)則的，其可能行為模式有三：模式1 是指遵守規(guī)則，即事情做得正確；模式2 是指違反規(guī)則，即事情做得不正確；此外，還有模式3，指的是既沒遵守規(guī)則又沒違反規(guī)則，即事情做得無正確與否可言。比如，在球類比賽中，把球隨便拋上拋下，再開個玩笑，就無對錯可言。又如，正在考試，你去一下洗手間，與答題對錯無關(guān)，也就是俗稱“跑題了”。跑題言語行為其實(shí)正是言語的活力所在。天下多少新話題，科學(xué)中的多少新發(fā)現(xiàn)，不正是由于跑題造成的嗎？這一點(diǎn)，用本文內(nèi)容就可以說明。

哥德爾不完全性定理，緣起于試圖解決希爾伯特?cái)?shù)學(xué)計(jì)劃中提出的問題之一，即數(shù)學(xué)大廈的邏輯基礎(chǔ)協(xié)調(diào)性問題。如果哥德爾做出肯定性結(jié)果，算是對應(yīng)了模式1?，F(xiàn)在哥德爾證出了意外的結(jié)果，算是對應(yīng)了模式2。那么對于解決希爾伯特問題這個語言游戲來說，維特根斯坦的語言游戲理論，在很多人看來，就應(yīng)該算是跑題了。然而，我們應(yīng)當(dāng)意識到，維氏語言游戲理論本身對應(yīng)的其實(shí)就是模式3。正是由于識別了這第三種模式，使維特根斯坦脫離了柏拉圖傳統(tǒng)，與哥德爾的邏輯路徑分道揚(yáng)鑣。也正是由于這第三種模式，使語言游戲充滿活力。這條維氏路徑，講究的是語言行為的三模式分類，以語言行為作為語言本身的本質(zhì)，可稱其為語言行為路徑，攜帶的是一種三模式知識論結(jié)構(gòu)。這樣，我們可以清楚地看到，語言路徑和言語行為路徑的知識論差異首先在于兩者所承諾的模式數(shù)不同，一個是二維模式空間，另一個是三維模式空間。

所謂超越維特根斯坦不是摒棄維特根斯坦語言哲學(xué)，而是在其概念框架內(nèi)，說出新意來。新意之一，就是將其語言概念系統(tǒng)與其他概念系統(tǒng)，如與理論物理中的概念系統(tǒng)相整合，稱為模型化。我們首先來理解維特根斯坦語言哲學(xué)的幾個概念：第一個概念是私人語言。維氏認(rèn)為沒有私人語言這回事，這當(dāng)然是有爭論的。前文我們介紹了哥德爾不完全性定理。此定理在文獻(xiàn)中大量記載，很多人知道或至少聽說過。本文在介紹中也盡量兼顧科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和文字的可讀性，作者還有意識地穿插了一些故事語言，舒緩一下一般讀者看到數(shù)學(xué)公式時的緊張感。文章是白紙黑字寫下來的文稿，準(zhǔn)備發(fā)表出來給人看的。總之，文章用的是公共語言，不是說給自己聽的自言自語。因此，這里不涉及關(guān)于有否私人語言的學(xué)術(shù)討論。

第二個概念是語言游戲。關(guān)于本文介紹哥德爾定理的內(nèi)容，敘述中有無漏洞，是否精彩，這些不是維特根斯坦主要關(guān)注的事情。他關(guān)注的是，你為什么要在此文中談到哥德爾定理。有很多文章都談到哥德爾定理，你這文章里的上下文和別人文章里的上下文有什么不同。維特根斯坦早期管這叫“哥德爾定理”這個語詞的意義，后來改稱為語言游戲。這是一個極具描述力的概念，洞見深刻，視角獨(dú)特，令人擊節(jié)。在維特根斯坦看來，哥德爾定理就是哥德爾語言游戲的內(nèi)容意義，表現(xiàn)了很高的融貫性標(biāo)準(zhǔn)。

第三個概念是語法。維特根斯坦的語法概念，有其特殊的含義，不是指我們通常理解的“事物的秩序”或“語言表達(dá)的邏輯安排”，而是所有規(guī)則的整體，或者說，是在語言游戲背后起支配作用的規(guī)則樣態(tài)。它是以顯現(xiàn)的方式向我們表明了它的存在，但我們在語言游戲中卻無法直接感受到它的存在。這類似于我們心中的概念地圖，我們無法說出為何我們會使用某個概念，但我們卻可以很好地理解和使用這個概念。例如，當(dāng)我們使用時間或空間這些概念時，我們無法明確指出這些概念究竟來自哪里以及意味著什么，但我們卻可以很好地使用這些概念。語法概念主要用于維特根斯坦的中期哲學(xué)中，到他的晚期則主要使用“生活形式“或“世界圖式”等，它們表達(dá)的是相近的意思。

任何一種語言哲學(xué)，都不會否認(rèn)語言的存在及其運(yùn)動。這是語言動力學(xué)的源頭，稱為語言荷。那么語言和語言表達(dá)到底有何異同呢？中期維特根斯坦長于辨其同，卻疏于察其異，這應(yīng)該與他當(dāng)時對形式語言的批判狀態(tài)有關(guān)。后期維特根斯坦有心察其異，遺憾的是，筆者以為，他缺乏一個理論框架使得兩者可以求同存異，熔于一爐。這個理論框架在1950年代晚期出現(xiàn)了，那就是楊振寧的規(guī)范場論。在此框架下，可以精美地構(gòu)造出語言動力學(xué)系統(tǒng)，其中語言是全局規(guī)范勢，而語言表達(dá)是全局規(guī)范場強(qiáng)。說其同，兩者同屬全局層面。說其異，前者是規(guī)范勢，而后者是規(guī)范場強(qiáng)。相應(yīng)地，在局域?qū)用?，要考慮具體語言行為者的個體差異。一個個體的語言能力是局域規(guī)范勢，而其具體的語言行為是局域規(guī)范場強(qiáng)。理解規(guī)范勢與規(guī)范場強(qiáng)最一般的路徑是微積分。任給一個不定積分公式，其中的被積函數(shù)是規(guī)范場強(qiáng)，而整個不定積分公式就是規(guī)范勢。注意，不定積分公式后面都帶著一個常項(xiàng)，稱為規(guī)范自由度。這說明，從規(guī)范勢到規(guī)范場強(qiáng)是多一映射。通過適當(dāng)?shù)奈⒎炙阕樱偪梢韵ヒ?guī)范自由度，例如，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零。更多關(guān)于社會科學(xué)動力學(xué)分析的內(nèi)容，我們將在另一篇文章（心理生命與理論物理之三）中專門介紹。

下面，圍繞語言游戲，以理論物理為模型化方法，我們引進(jìn)入三條模型化路徑，分別為狹義相對論路徑、量子化路徑與廣義相對論路徑。

（二）狹義相對論結(jié)構(gòu)

1.光錐和語言錐

我們在另文中對狹義相對論做過較詳細(xì)介紹①在本節(jié)中，凡提到“另文”之處，均指楊英銳：《心理特征期與社會——心理生命與理論物理之一》，《科學(xué)·經(jīng)濟(jì)·社會》2022年第1期。，這里為方便讀者閱讀，再簡單復(fù)習(xí)一下。狹義相對論以光速不變原理為基礎(chǔ)，引入一個不變量。所以，在任何其他領(lǐng)域要應(yīng)用狹義相對論結(jié)構(gòu)做模型，首先要引入一個具有類光性的不變量。這里，所要引入的類光性不變量，就是語言速度。雖然維特根斯坦語言哲學(xué)研究的是語言行為，他的書也必須用德語寫出來，要在世界流行，還得被翻譯成其他語言，英語漢語，皆為自然語言。

言語行為，無論寫作或說話交流，都是有內(nèi)容的，而至少其字面內(nèi)容，是用語言表達(dá)的。即使是言外之意或言下之意，也得通過字面表達(dá)或原話去體會延伸。所以語言有內(nèi)容的全覆蓋性，即使有些內(nèi)容意境一時難以表達(dá)，也得用自然語言說些諸如“難以用語言形容”這樣的表述。還記得小說《簡·愛》中有一句話：“我認(rèn)為自己無比幸?！腋５綗o法言喻。”（I hold myself supremely blest—blest beyond what language can express.）這么精彩的表述，不也得用語言表述出來嗎？在集合論中，從全集出發(fā)或從空集出發(fā)做出的公理系統(tǒng)是等價的。從語言的內(nèi)容全覆蓋性抽象出語言的可無內(nèi)容性，是自不待言的概念化手法。簡而言之，語言在語言行為世界具有類光性是因?yàn)槠渚哂袩o內(nèi)容性，正如光速最快是因?yàn)楣庾拥臒o質(zhì)量性。這里所謂的全內(nèi)容性與無內(nèi)容性，是指語言行為的字面表達(dá)，不考慮具體語境。狹義相對論的數(shù)學(xué)是閔氏空間，這是一種四維平直空間。語言的類光性是在狹義相對論的框架下說話。如果考慮具體語境，語境的變化將使語言空間彎曲，那將引領(lǐng)我們進(jìn)入廣義相對論的領(lǐng)域，其背后的數(shù)學(xué)是黎曼幾何。

由于光速最快，可以假設(shè)它以直線傳播，向四周所有方向散射。給定一個光源，其激發(fā)向下各個方向散射形成錐狀，稱為下錐；同理，向上散射亦成錐狀，稱為上錐。上下錐在光源對頂，合稱光錐。以任何軌跡，穿過下錐，過對頂點(diǎn)，再穿過上錐的曲線叫世界線，反映了事件的局域因果性。建立了語言的類光性，就可相應(yīng)地將如此這般的光錐轉(zhuǎn)換為如此那般的語言錐。內(nèi)容不同而理同，同的是結(jié)構(gòu)。

2.語言游戲的標(biāo)準(zhǔn)與錐形

在維特根斯坦看來，語言游戲表明我們的語言活動類似于游戲一樣，不存在一種脫離了游戲活動本身的語言?；蛘哒f，我們無法先假定一種語言，然后再去用這種語言去做語言游戲。相反，他認(rèn)為，當(dāng)我們從事語言活動的時候，如同我們從事其他人類活動一樣，不過是按照規(guī)則在從事一種游戲而已。因此，語言的本質(zhì)就在于語言活動，語言游戲就是語言得以存在的根據(jù)和理由。這樣，任何試圖把語言形式化并把語言的形式作為理解語言的方式的企圖，在維特根斯坦看來都是錯誤的。所以，前面說到的語言錐，就應(yīng)該是語言游戲錐。對語言游戲錐的要求就是要反映人們的生活形式。

我們說（不是維特根斯坦說），語言游戲錐（以下簡稱游戲錐）是由語言錐變通而來。所不同的是，語言錐的錐形預(yù)設(shè)了規(guī)則是完全的，而游戲錐的錐形應(yīng)該是規(guī)則不完全的，這是維特根斯坦規(guī)則不完全性原理的幾何版。何以如此，會在下文中解釋。維特根斯坦對于語言游戲是有標(biāo)準(zhǔn)要求的，稱為融貫性標(biāo)準(zhǔn)（criteria of coherence）。為敘述方便，在維氏語言哲學(xué)的演進(jìn)中，語言游戲的概念是由意義的概念演化而來。所以，游戲錐其實(shí)也是意義錐。一個語言行為，何以由點(diǎn)而錐呢？用維特根斯坦的話說，語言游戲總是會攜帶著一個更大的心理游戲錐體，下錐中的事件是語言游戲的心理誘因，上錐中的事件是語言游戲的心理后果。

在另文中，我們還較詳細(xì)地介紹了閔可夫斯基空間中的間隔概念，這里是其的公式定義：

給定一個游戲錐，錐內(nèi)事件說明一個語言行為足以滿足其融貫性標(biāo)準(zhǔn)，間隔大于零，稱為類時事件，即言語行為正確與不正確都是錐內(nèi)事件。錐外事件說明某語言行為不滿足其融貫性標(biāo)準(zhǔn)，間隔小于零，稱為類空事件。注意，維氏言語行為的第一模式和第二模式都屬于錐內(nèi)事件，而第三模式屬于錐外事件。在錐體上的事件，說明此語言行為恰好滿足融貫性標(biāo)準(zhǔn)，間隔等于零，稱為空值（null）事件。在維特根斯坦看來，語言游戲總是具體的，每個語言游戲自有其不同的融貫性標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)不同，其游戲錐體內(nèi)所能含納的事件多寡亦不同，所以或?qū)捇蛘?，其錐形無規(guī)則可言。以某語言行為做激發(fā)點(diǎn)，下錐是原因意義，上錐是結(jié)果意義，因果性就是兩者要滿足相同融貫性。一個具體的語言游戲有不同的故事因果性，且應(yīng)該允許其融貫性強(qiáng)弱各異。

3.固有錐與擬合錐

在另文中，我們介紹過，在狹義相對論中有固有時（亦稱時鐘時間）的概念。固有時與速度有關(guān)，運(yùn)行速度變快，則固有時相對變慢，成反比關(guān)系。固有時是個體化的，是典型的局域概念。在間隔概念的定義中，每一項(xiàng)都除以固有時，所得稱為動量。相應(yīng)地，假設(shè)每個游戲者都具備個體化的固有意義，即語言游戲中的固有融貫性標(biāo)準(zhǔn)，由此得到個體化的固有游戲錐。下面先討論單人固有游戲錐，再討論多人多個固有游戲錐。

語言是心智的體現(xiàn)，語言行為更是由心智的激發(fā)所支撐。而心智是個體化的，心智世界首先是以個體注冊的，這是認(rèn)知科學(xué)的常識。一個人寫文章說話做講演，都是語言行為，在維氏看來，自然是做單人語言游戲。寫文章要考慮結(jié)構(gòu)布局，每層意思的章節(jié)安排等，寫文章，不是只寫給自己看的，還有其公共意義，考慮到對讀者的公共影響。這些都是更大心理游戲的內(nèi)容。也就是說，寫文章就是做單人語言游戲。于此，游戲者自有對其語言游戲的融貫性的獨(dú)特考量。而這不是可以事先預(yù)測的。所以，單人語言游戲錐的錐形也是規(guī)則不完全的。

當(dāng)人們通過語言行為討論或交流時，就會形成多人語言游戲。維特根斯坦語言哲學(xué)假設(shè)了多人語言游戲融貫性的存在性。筆者認(rèn)為，多人語言游戲的融貫性應(yīng)該是諸游戲參與者個人游戲的某種函數(shù)。相應(yīng)地，多人語言游戲的游戲錐形，應(yīng)該是諸游戲參與者的個體游戲錐形的擬合。為什么說在言語游戲中嵌入一個錐形，就開始將其結(jié)構(gòu)化了呢？我們知道，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可簡可繁，且越簡單的結(jié)構(gòu)越基本。最簡單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是所謂的度規(guī)結(jié)構(gòu)。例如，在三維空間中，可以定義距離的概念。它是由三個平方項(xiàng)相加后再開方所得。其中，三個平方項(xiàng)都是正的。這是因?yàn)槿S空間的度規(guī)是（+，+，+），這是一個集合上被賦予的最基本代數(shù)結(jié)構(gòu)。在狹義相對論中，光錐的概念是通過間隔的概念引入的?，F(xiàn)在回去看一下間隔的定義公式中的四個項(xiàng)，你會發(fā)現(xiàn)其四維時空度規(guī)變成了（+，-，-，-）。這就是游戲錐所攜帶的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。也就是說，在語言錐的心理幾何結(jié)構(gòu)之下，還有一個代數(shù)結(jié)構(gòu)，表明言語對象之間如何進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。

（三）量子化結(jié)構(gòu)

如果說要將語言量子化，在概念上是有困難的。這困難其實(shí)就是要引入某種類似于語言游戲的概念。現(xiàn)在直接將語言游戲量子化，真是天設(shè)地造，好像量子力學(xué)是專為語言游戲量身定制一般。我們這里只討論三種量子化結(jié)構(gòu)，即非對易關(guān)系、波函數(shù)和狄拉克δ-函數(shù)。

1.非對易關(guān)系

對于一種現(xiàn)象，找到其中的某種非對易關(guān)系（簡單說，就是不滿足交換律的意思），就意味著將其量子化，學(xué)名叫正則量子化。數(shù)學(xué)中的矩陣乘法AB=BA 不成立，不滿足對易關(guān)系，而滿足非對易關(guān)系，所以最初海森堡量子力學(xué)又稱為矩陣力學(xué)。兩個語言行為，孰先孰后，顯然結(jié)果不同，對順序敏感。這里以廣為人知的“20問題游戲”為例，說明何以如此。

所謂“20 問題游戲”，是個兩人游戲。其中一人心里想定某事或某物，另一人通過順序地問些“是否”類問題。比如對方心里想定的是蘋果，你可以順序地問，是用的嗎，是活物嗎，能吃嗎，是蔬菜嗎，是水果嗎等等。顯而易見，問題的順序不同，離猜出是蘋果的遠(yuǎn)近也會不同。所以，問題序列對順序敏感，滿足非對易關(guān)系。這樣的語言游戲，當(dāng)然是一種常見的生活形式。一個小孩哭了，大人會問，是餓了嗎，要上廁所嗎，要玩具嗎，等等。最后發(fā)現(xiàn)，孩子就是想讓大人抱抱，要的是大人的注意力和安全感。20 問題游戲具有清楚明確的融貫性標(biāo)準(zhǔn)，是典型的語言游戲。在非對易關(guān)系的意義下，語言游戲是量子化的。非對易關(guān)系，是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)。換言之，語言游戲攜帶一種代數(shù)結(jié)構(gòu)。

2.波函數(shù)

波函數(shù)是量子力學(xué)和量子場論的基礎(chǔ)性概念?？梢哉f，語言游戲正可為波函數(shù)所刻畫。我們以標(biāo)準(zhǔn)教育考試，例如美國SAT考試和中國的高考，來說明這一點(diǎn)。一個考試，相當(dāng)于一個語言游戲，既是常見的生活形式，又有清晰的融貫性標(biāo)準(zhǔn)，尤其是考試的閱讀理解部分，是考查考生的語言能力。在維特根斯坦看來，語言就是語言游戲，語言游戲就是語言。所以，標(biāo)準(zhǔn)教育考試是典型的語言游戲。

一個考試，無論考題內(nèi)容是什么，只要考題內(nèi)容是用文字給出的，并要求以文字作答，用實(shí)驗(yàn)心理學(xué)的話說，就叫做語言任務(wù)（verbal task）。語言任務(wù)，考察對象并不一定是，且多半不是語言能力本身，可以是推理能力、決策能力、理解能力，或任何其他能力。這些能力都是生活形式，也都有其融貫性標(biāo)準(zhǔn)。也就是說，這些語言任務(wù)，就相當(dāng)于語言游戲。這些語言任務(wù)都帶有自不待言的規(guī)則。從心理學(xué)的角度說，正是這些規(guī)則，區(qū)分了推理任務(wù)與決策任務(wù)。

為什么要考試呢？因?yàn)榭忌哪芰κ遣豢芍苯佑^測的。假設(shè)考生能力是A，考試是b，考試一道道題給出去，考生一個個答案給出來，考生能力就成為考試的一種函數(shù)，在物理學(xué)中稱為波函數(shù)。量子力學(xué)研究的就是波函數(shù)的動力學(xué)狀態(tài)演化。所以，這里的波函數(shù)是語言游戲攜帶的一種物理學(xué)結(jié)構(gòu)。前面講過，波函數(shù)的意義是其振幅；所以，這里的語言游戲又可稱為振幅游戲。波函數(shù)的振幅是復(fù)數(shù)的模方，所以，這里的語言游戲還攜帶有數(shù)學(xué)的復(fù)數(shù)域結(jié)構(gòu)。

一般地，盡量貼近維特根斯坦的概念，語言游戲是生活形式的語言化表現(xiàn)。這其實(shí)相當(dāng)于認(rèn)為，語言游戲本身就是生活形式的波函數(shù)。生活形式不是先驗(yàn)的，而應(yīng)該是經(jīng)驗(yàn)的。所以生活形式不是確定的，例如，沒有人能預(yù)料元宇宙中所有可能的生活形式。用物理學(xué)的話說，就是對可能生活形式的觀測，尤其是未來生活形式的觀測，具有很高干擾度。但是，每當(dāng)出現(xiàn)一種可表達(dá)的生活形式，就會伴隨性地出現(xiàn)一種語言游戲。所以，語言游戲是生活形式的函數(shù)。由于在觀測中具有高干擾度，用狄拉克的話說，我們所能觀測到的，或可能經(jīng)驗(yàn)的生活形式或世界圖式只能是微觀世界。所以，語言游戲作為生活形式的函數(shù)，只能是波函數(shù)。

3.狄拉克δ-函數(shù)

假設(shè)在考試中，每道題都有正確答案。這個正確答案叫作這道題的支撐點(diǎn)。用度量理論的話說，這里，一道考題把考生能力壓縮成了一個點(diǎn)，教科書里說可以將支撐點(diǎn)想象成一條項(xiàng)鏈的墜子。按照馮諾依曼的說法，量子力學(xué)實(shí)驗(yàn)都是“是/非”類實(shí)驗(yàn)。設(shè)有一套實(shí)驗(yàn)裝置和一個粒子捕捉器。當(dāng)實(shí)驗(yàn)裝置“認(rèn)為”自己激發(fā)了一個粒子，如果這個粒子被捕捉器探測到了，則說這個粒子進(jìn)了“是門”。如果這個粒子未被捕捉到，量子物理說這個粒子進(jìn)了“非門”。而牛頓物理則說這個粒子壓根就未曾被激發(fā)，實(shí)驗(yàn)裝置不能自認(rèn)為任何事情發(fā)生或未發(fā)生。這就是兩種物理學(xué)之間的區(qū)別。這樣的“是/非”類實(shí)驗(yàn)由數(shù)學(xué)狄拉克δ-函數(shù)所刻畫，其公式表達(dá)如下：

注意，狄拉克δ-函數(shù)最初不是一個良定義的間斷函數(shù)。當(dāng)x=x0時，δ(x)=∞，可以直觀地理解為，將一把尺子的所有質(zhì)量都壓縮到一點(diǎn)，好像成為一條項(xiàng)鏈。那一點(diǎn)上的質(zhì)量被假設(shè)為無窮大。這層意思，可在數(shù)學(xué)泛函分析中找到。理論物理中的重整化方法，就是為了消去某點(diǎn)上可能出現(xiàn)的無窮大能量。這是所謂類點(diǎn)數(shù)學(xué)的一個局限性，也是發(fā)展弦論數(shù)學(xué)的動機(jī)之一。公式中的x0就是支撐點(diǎn)。注意，δ-函數(shù)由兩條公式組成，第二條公式是一個積分式，意思是說，無論在認(rèn)識論的意義下，粒子被激發(fā)后進(jìn)了是門還是非門，在本體論的意義下，我們都要承諾粒子被激發(fā)了。這就像一個考生，無論把題做對了還是做錯了，我們都承認(rèn)他確實(shí)努力解題了。用西方法哲學(xué)的話說，量子力學(xué)奉行的是無罪推論原則。我們注意到，在上面的積分公式中，δ-函數(shù)成為一個被積函數(shù)，在度量理論中稱為檢測函數(shù)。檢測函數(shù)要求存在至少一個支撐點(diǎn)。

按照維特根斯坦的說法，語言游戲總是伴隨著一個更大的心理游戲。這個心理游戲是由生活形式轉(zhuǎn)換成語言游戲的中間過程。很難想象，如果沒有了各種支撐點(diǎn)，一個心理生命還能否延續(xù)。而如果心理生命不在了，又還有什么心理游戲可言。由此可見，作為一個命題，語言游戲，至少一大類語言游戲，攜帶δ-函數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，簡稱狄拉克結(jié)構(gòu)。換句話說，當(dāng)語言游戲?yàn)榱孔恿W(xué)或量子場論模型化時，它被賦予了狄拉克結(jié)構(gòu)。再換句話說，狄拉克結(jié)構(gòu)是語言游戲的題中應(yīng)有之義。

（四）語言社會與效率

1.語言優(yōu)勢與彎曲空間

我們現(xiàn)在暫時離開語言游戲概念。也就是說，這里假設(shè)我們沒有讀過維特根斯坦語言哲學(xué)，而要直接討論我們習(xí)慣于稱之為日常語言的語言。從心理學(xué)的角度說，人們的語言能力是不同的，存在著顯著的個體差異。我們知道，無論是在日常生活中，還是在某些特定的場合，比如標(biāo)準(zhǔn)教育考試中，個體語言優(yōu)勢都是一種稀缺資源。在這個意義下，語言社會是不平等的。從幾何學(xué)說，語言社會不是平直空間，而是凹凸不平的彎曲空間。廣義相對論的數(shù)學(xué)背景是黎曼幾何，而黎曼空間是一種彎曲空間。所以在物理學(xué)中，廣義相對論被稱為物理學(xué)的幾何化綱領(lǐng)。在本節(jié)中，將應(yīng)用廣義相對論來討論語言社會的模型化。在討論中，將應(yīng)用一些經(jīng)濟(jì)學(xué)中的概念

既然語言優(yōu)勢是一種稀缺資源，就會存在競爭。這是語言社會的張力。還是用維特根斯坦的話說，語言游戲總是伴隨著更大的心理游戲。語言優(yōu)勢往往是心理優(yōu)勢的根源，語言劣勢也往往是心理劣勢的根源。有人說，語言優(yōu)勢是自信的底氣，就是這個意思。所以，語言期是心理生命的重要體征。既然存在語言優(yōu)勢的競爭，語言社會就自然會涉及語言優(yōu)勢資源的有效配置問題，也就是要涉及效率的概念，可稱之為語言經(jīng)濟(jì)學(xué)。這不是故作玄虛，想想中國高考和美國標(biāo)準(zhǔn)教育考試，你的神經(jīng)就會緊張起來了，迅速找到一種經(jīng)濟(jì)感。

在福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中，有一個重要的理論基石，叫做帕累托效率。意思是說，社會福利配置達(dá)到了這樣一個狀態(tài)，其中不能在提高某個個體福利時，而不同時降低其他個體的福利。這樣的狀態(tài)，稱為帕累托效率狀態(tài)，簡稱帕累托狀態(tài)。帕累托狀態(tài)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個基礎(chǔ)性概念。它顯然是一種理論上的理想狀態(tài)，在現(xiàn)實(shí)中難以實(shí)現(xiàn)，也從來沒有實(shí)現(xiàn)過。然而，無論在自然科學(xué)還是在社會科學(xué)中，模型化從來都意味著對現(xiàn)象的某種理想化處理。這有點(diǎn)像蒙眼摸象，要設(shè)法爭取摸到鼻子，因?yàn)橐幻奖亲泳涂膳袛喑鲞@只能是大象鼻子而不會是其他動物的鼻子。模型化同時意味著特征化。

2.語言社會的引力

現(xiàn)在，讓我們來構(gòu)造一個語言社會的帕累托狀態(tài)?？紤]一個純語言類考試，類似于美國托?；蛑袊⒄Z六級考試。假設(shè)考試測評是動態(tài)平衡的，即所有考生成績加在一起的總分?jǐn)?shù)是給定的。這樣，如果改動任何一個考生的成績，就不能不改變某個或某些其他考生的成績。這就是一個帕累托福利狀態(tài)，因?yàn)槌煽兗词歉＠Ｈ缓?，將每個考生的成績以任意方式連接起來（顯然連接方式不是唯一的），將得到一條曲線，稱其為帕累托路徑。每個考生在考前或考后，都會對自己的成績有所期待或希望有所改進(jìn)，這個意向以帕累托路徑上每點(diǎn)的切向量表示。這種切向量一般方向不同，但長度為零，因?yàn)檫@是帕累托狀態(tài)，每個考生的成績是不能變動的。長度為零的向量稱為退縮向量（isovector）。我們說，所有退縮向量都是擬平行的，所以帕累托路徑是一條最短徑，幾何上稱為測地線。然而，考生的期待或改進(jìn)意向與其在測地線上標(biāo)示的成績是有差異的。這個差異，用費(fèi)曼在其《物理學(xué)講義》里的話簡略地說，就是曲率。在廣義相對論中，愛因斯坦說引力就是曲率。這樣，我們就在不平等的語言社會中，引入了引力概念，稱其為語言引力。

語言游戲這個詞組的英文是language game，game 又可譯為博弈。在維特根斯坦的用法里，語言游戲沒有輸贏可言，沒有博弈的意思。在維氏語言哲學(xué)中，語言游戲總是伴隨著心理游戲。從上例中關(guān)于語言考試的分析中，我們先在語言游戲中引入博弈機(jī)制。這在邏輯上沒有障礙，因?yàn)樵诰S氏語言哲學(xué)中，語言是公共的，沒有私人語言?？墒?，我們知道，心理是私人的。那么，如何在心理游戲中植入博弈機(jī)制呢？下面將解釋，兩者是通過規(guī)范變換而相互聯(lián)絡(luò)的。

3.規(guī)范變換與聯(lián)絡(luò)我們通過圖1來直觀地說明什么是規(guī)范變換。這張圖坐落在一個稱為底流形（微分幾何概念）的范圍內(nèi)。如圖1所示，區(qū)域X為個體x的語言能力鄰域，區(qū)域Y 為個體y 的語言能力鄰域。分別對兩個單獨(dú)鄰域做測試沒有博弈意義。從鄰域X生出的豎線A 表示個體x 的心理規(guī)范勢，而豎線B是個體y 的心理規(guī)范勢。注意，勢點(diǎn)a 和勢點(diǎn)b 是不可直接比較的，因勢線A 與勢線B 不相交，兩者之間沒有數(shù)學(xué)運(yùn)算可言。要在個體x 和個體y 的語言能力之間做比較，就只能在X和Y兩個鄰域的交集C上給一個考試。令c點(diǎn)表示一道考題。映射α將勢點(diǎn)a 映射到考點(diǎn)c，再將其通過β逆射到勢點(diǎn)b，使得將勢點(diǎn)a 變換到勢點(diǎn)b。這種變換，gαβ=αβ-1，稱為規(guī)范變換。這里的考試，應(yīng)該是一種較復(fù)雜的投影，其內(nèi)部機(jī)制值得后續(xù)擴(kuò)充討論。

圖1

以上圖示及其概括解釋，用的是數(shù)學(xué)微分幾何中的纖維叢語言。廣義相對論的數(shù)學(xué)是黎曼幾何。黎曼空間是一種彎曲空間，在其上已經(jīng)失去了笛卡爾平直坐標(biāo)系。這就要求在每一點(diǎn)的小鄰域上建立局域標(biāo)架，還要建立局域標(biāo)架之間的聯(lián)絡(luò)。這些內(nèi)容，超出了本文范圍。要點(diǎn)是，當(dāng)在語言社會中引入競爭機(jī)制并為廣義相對論所模型化時，就在語言社會中嵌入了黎曼空間結(jié)構(gòu)。這些，當(dāng)然已經(jīng)超越了維特根斯坦語言哲學(xué)的范圍。

（五）一般討論

我們在前言中說過，本文在討論語言和語言行為的陳述中有三條脈絡(luò)。第一條脈絡(luò)是布爾巴基學(xué)派結(jié)構(gòu)主義。本文引入了語言，特別是科學(xué)語言中的句法/語義雙腿結(jié)構(gòu)，涵蓋了邏輯學(xué)、決策論、博弈論、集合論和規(guī)范場論。我們介紹了哥德爾和塔斯基雙子定理中創(chuàng)造的各種精細(xì)形式結(jié)構(gòu)和元數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們在對語言游戲的考察中，引入了語言錐結(jié)構(gòu)以及語言游戲固有錐結(jié)構(gòu)，引入了非對易關(guān)系代數(shù)結(jié)構(gòu)，代數(shù)空間的度規(guī)結(jié)構(gòu)，波函數(shù)與狄拉克δ-函數(shù)結(jié)構(gòu)，黎曼幾何局域標(biāo)架結(jié)構(gòu)，規(guī)范變換的纖維叢結(jié)構(gòu)。尤其重要的，是規(guī)范場論的雙層雙級四格結(jié)構(gòu)。

第二條脈絡(luò)是應(yīng)用理論物理對語言和語言行為的模型化。第一，我們發(fā)現(xiàn)了語言的全局性和語言行為的局域性，從而建立了兩者統(tǒng)一的規(guī)范場論模型。第二，在假設(shè)語言無內(nèi)容性的條件下，我們對語言和語言行為分別做了幾何錐化處理，從而建立了語言與語言行為的狹義相對論模型。第三，我們發(fā)現(xiàn)了語言行為的非對易關(guān)系，語言游戲的波函數(shù)本質(zhì)，以及對語言行為公共觀測的狄拉克結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，我們引入了語言和語言行為的量子化模型。第四，引入了語言優(yōu)勢的概念作為稀缺資源，注意了語言社會的不平等現(xiàn)象，從而將語言社會做了彎曲化處理。在語言游戲中引入競爭機(jī)制和帕累托效率，進(jìn)而定義了彎曲語言社會的曲率和引力。于是，引入黎曼幾何中的局域標(biāo)架與聯(lián)絡(luò)成為題中應(yīng)有之義。這是語言社會的廣義相對論模型。

第三條脈絡(luò)是維特根斯坦語言哲學(xué)的變遷與發(fā)展。首先，我們注意到了早期維特根斯坦對語言，尤其是形式語言規(guī)則化的追隨與訓(xùn)練。其次，我們還注意了中期維特根斯坦的掙扎與求索。從對形式語言的哥德爾不完性定理，悟到了語言游戲的規(guī)則不完全性原理。從語言行為提煉出語言游戲的概念，是天才的神來之筆。進(jìn)而，我們注意了后期維特根斯坦對主觀確定性的回歸，及其對語言游戲規(guī)則化的追求與信仰。最后，在語言游戲和生活形式的概念轉(zhuǎn)換之間，他終于在其世界圖式中找到了心理游戲不可或缺的位置。這樣，維特根斯坦就為我們蹚出了語言和語言行為的心理化路徑。

一個多世紀(jì)前，希爾伯特的理想是為數(shù)學(xué)大廈構(gòu)筑堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)，半個多世紀(jì)前，愛因斯坦的理想是為四種自然力建立統(tǒng)一場論，筆者的理想是鑿穿社會科學(xué)與自然科學(xué)尤其是數(shù)學(xué)物理之間的壁壘，架設(shè)兩者之間的橋梁，為知識生命追求更美好的生活。經(jīng)過努力，這個理想正在逐步實(shí)現(xiàn)。

致謝：江怡教授曾為本文涉及維特根斯坦部分提供中肯意見和有益討論。作者在美國倫斯勒理工學(xué)院的課程中講授過本文內(nèi)容，也感受到學(xué)生的鼓勵。作者感謝匿名審稿人專業(yè)中肯的修改建議。