王 勇，高海燕

(廈門理工學(xué)院電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門361024)

Buck型變換器是DC-DC開關(guān)電源中最常用的電能轉(zhuǎn)換器[1]，廣泛用于計(jì)算機(jī)、精密儀器、通訊設(shè)備、工業(yè)制造、航天航空等領(lǐng)域[2-3]。傳統(tǒng)的Buck型變換器采取的控制策略大多為線性的PID控制，該方法簡單、容易實(shí)現(xiàn)。誤差積分反饋的引入，雖然提高了系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性，但閉環(huán)響應(yīng)遲鈍，容易產(chǎn)生振蕩，且存在魯棒性差、無法適應(yīng)Buck型變換器的非線性特點(diǎn)等。近年來，大量非線性控制器被應(yīng)用于Buck型變換器，如模糊PID控制[4]、自適應(yīng)控制[5]、預(yù)測控制[6]、滑?？刂芠7]等。

1 Buck型DC-DC變換器的數(shù)學(xué)模型

Buck型DC-DC變換器的電路工作原理如圖1所示。

圖1 Buck型變換器的電路工作原理Fig.1 Working principle of Buck converter circuit

Buck型DC-DC變換器有2種工作模式[15]，分別為連續(xù)工作模式(continuous conduction mode，CCM)和非連續(xù)導(dǎo)通模式 (discontinuous conduction mode，DCM)。在開關(guān)Q導(dǎo)通時(shí)，根據(jù)基爾霍夫電壓電流定律，得到如下關(guān)系：

(1)

式(1)中：Ui為Buck型變換器電路輸入電壓；L為電感值；iL為流過電感的電流；Uo為電路輸出電壓；C為電容值；R為電阻值。

當(dāng)開關(guān)Q斷開時(shí)，根據(jù)基爾霍夫電壓電流定律，得到如下關(guān)系：

(2)

在1個(gè)周期內(nèi)，將2種狀態(tài)進(jìn)行合并，得到如下關(guān)系：

(3)

式(3)中：D∈[0,1]為占空比；定義期望占空比Us=Uv/Ui(Uv為期望輸出電壓)。選取狀態(tài)變量x1=iL,x2=Uo，控制量u=D，方程(3)轉(zhuǎn)換為如下狀態(tài)方程模型：

(4)

記為

(5)

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制律，使得系統(tǒng)的輸出電壓Uo跟蹤給定參考輸出電壓值，下節(jié)將解決這一問題。

2 Buck型變換器的滑模預(yù)測控制器設(shè)計(jì)

2.1 建立滑模預(yù)測模型

將式(5)進(jìn)行離散化，可得：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) 。

(6)

設(shè)期望參考輸出信號為xd(k)，則跟蹤誤差信號為

e(k)=x(k)-xd(k)。

(7)

(8)

(9)

(10)

θ=[θ1θ2]=[θ2Kθ2]=θ2[KI]。

(11)

θ2的選取必須滿足可逆的條件，滑模面可以由式(11)計(jì)算得到，因此得到滑模預(yù)測模型：

(12)

2.2 滑模預(yù)測控制器設(shè)計(jì)

定義無窮時(shí)域代價(jià)函數(shù)J∞(k)：

(13)

式(13)中：W和M為加權(quán)矩陣。

由于式(13)涉及到無窮時(shí)域的滑模函數(shù)s(k+i|k)和控制量u(k+i|k)，i=1,2,3,…,∞，求解將難以實(shí)現(xiàn)。為解決這一問題，需要經(jīng)過一定的變換。

首先，定義二次函數(shù)：

V(e(k+i|k))=e(k+i|k)TPe(k+i|k)。

(14)

并且使其滿足以下穩(wěn)定性約束條件：

(15)

當(dāng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，s(∞|k)=0,u(∞|k)=0,將式(15)從i=0疊加到i=∞，可得到：

J∞≤V(e(k|k))≤γ。

(16)

式(16)中：γ>0為定義的無窮時(shí)域性能指標(biāo)上界。這樣，將求解無窮時(shí)域性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為求解γ的最小值，通過求解γ的最小值使J∞最小，令矩陣P=Q-1,將式(14)代入式(16)可得：

e(k|k)TPe(k|k)≤γ。

(17)

利用Schur補(bǔ)定理，可將式(17)寫成如下矩陣形式：

(18)

e(k+1)=Ae(k)+Bu(k)。

(19)

假設(shè)控制率由狀態(tài)反饋率和誤差函數(shù)共同決定，即：

u(k+i|k)=F(k)e(k+i|k),i≥0。

(20)

將式(12)和式(20)代入式(15)中，得到：

e(k+i|k)T[(A+BF)TP(A+BF)-P+λTWλ+FTMF]e(k+i|k)≤0。

(21)

要使上式成立，只要：(A+BF)TP(A+BF)-P+λTWλ+FTMF≤0成立即可，令P=Q-1,Y=FQ代入，然后根據(jù)Schur補(bǔ)定理，可轉(zhuǎn)化為如下線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)：

(22)

考慮輸入約束，同樣可以根據(jù)Schur補(bǔ)定理轉(zhuǎn)化為如下：

(23)

因此，將式(13)轉(zhuǎn)化為如下LMI求解問題：

(24)

綜上，Buck型變換器的滑模預(yù)測控制器設(shè)計(jì)過程歸納為：

1)根據(jù)給定參考信號和當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)得到跟蹤誤差，將系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)化為離散形式的簡約誤差狀態(tài)方程(9)；

2)用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)反饋增益K，選取可逆增益θ2，則簡約誤差系統(tǒng)的滑模增益為θ=θ2[KI]，得到誤差系統(tǒng)的滑模增益λ=θT;

3)求解式(24)，得到最優(yōu)解γ,X,Y,Q，狀態(tài)反饋增益矩陣為F=YQ-1；

4)將計(jì)算得到的控制量D(k)=Fe(k)+Us，施加于系統(tǒng)(9)，令k=k+1；

5)重復(fù)步驟3)和4)。

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法的可行性，在MATLAB中分別以Buck電路狀態(tài)空間模型(4)和SIMULINK中搭建的實(shí)際模型為仿真對象進(jìn)行分析。從式(4)可以看出Buck型變換器是線性的，而SIMULINK中搭建的實(shí)際模型有電容、電感、電阻、MOS管等元器件，MOS管的開和斷是非線性的，因此模型是非線性的。為驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性，將基于冪次指數(shù)趨近率的控制算法[7]、滑模預(yù)測控制算法[14]、預(yù)測控制算法[16]和本文的算法進(jìn)行對比仿真。仿真中系統(tǒng)參數(shù)取值如下：輸入電壓Ui=36 V，電阻R=10 Ω,電感L=0.75 mH，電容C=50 μF，期望輸出Uv=20 V,離散的采樣時(shí)間Ts=0.05 ms,初始狀態(tài)x(0)=[0 0]T。

輸出電壓波形、滑模面波形仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 輸出電壓波形、滑模面波形仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of output voltage waveform and sliding mode surface waveform

從圖2(a)可以看出，本文的滑模變量平滑，不存在抖動(dòng)。從圖2(b)可以看出，采用本文的方法，系統(tǒng)輸出電壓能夠以更快的速度收斂于期望值，動(dòng)態(tài)響應(yīng)好，且無超調(diào)量。從圖2(c)可以看出，本文的算法對于非線性模型也適用，且控制效果與線性模型類似，均能以更快的速度到達(dá)期望輸出電壓，到達(dá)期望輸出電壓的時(shí)間分別為：本文算法0.12 ms；文獻(xiàn)[7]中所用滑?？刂扑惴?.52 ms；文獻(xiàn)[14]中所用算法0.15 ms；文獻(xiàn)[16]中所用預(yù)測控制算法0.25 ms；調(diào)節(jié)時(shí)間更短，驗(yàn)證該算法的可行性。

為驗(yàn)證本文算法在負(fù)載突變時(shí)的魯棒性，在0.01 s時(shí)，將系統(tǒng)的負(fù)載變?yōu)? Ω，此時(shí)各算法電壓突變波形和電流突出波形仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 負(fù)載突變時(shí)電壓波形圖和電流波形圖Fig.3 Voltage waveform and current waveform in a sudden load change

從圖3可以看出，系統(tǒng)在負(fù)載突變瞬間產(chǎn)生抖動(dòng)，隨后很快到達(dá)穩(wěn)態(tài)值，且電壓調(diào)節(jié)時(shí)間為0.43 ms，電流調(diào)節(jié)時(shí)間為0.11 ms，電壓超調(diào)量為8.3%，電流超調(diào)量為3.2%，均小于其他方法，驗(yàn)證了本文方法在系統(tǒng)負(fù)載突變時(shí)的魯棒性。

4 結(jié)論

本文研究DC-DC變換器的滑模預(yù)測控制方法，該方法首先將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為誤差狀態(tài)方程，設(shè)計(jì)誤差系統(tǒng)的滑模面，然后定義滑模面和控制量的加權(quán)求和為性能指標(biāo)，最后通過Schur補(bǔ)引理，轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題。該方法將滑?？刂婆c預(yù)測控制策略相結(jié)合，融合了滑?？刂启敯粜詮?qiáng)和預(yù)測控制可以顯式處理約束的優(yōu)點(diǎn)，通過優(yōu)化性能指標(biāo)得到控制律，無需進(jìn)行控制切換，因此，消除了滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象。仿真結(jié)果表明，相較于滑?？刂啤㈩A(yù)測控制和已有的滑模預(yù)測控制方法，本文所設(shè)計(jì)的控制器調(diào)節(jié)速度分別提升76.9%、52.0%、20.0%，具有更快的調(diào)節(jié)速度；負(fù)載突變電壓恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間分別縮短0.40、0.13、0.03 ms，具有更強(qiáng)的魯棒性，且完全消除了滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象。本文研究僅考慮簡單的單相開關(guān)變換器電路，下一步考慮將本文算法推廣到其他更復(fù)雜的三相Boost、Buck-boost等變換器電路中，并進(jìn)行實(shí)際電路的樣機(jī)實(shí)驗(yàn)。