劉書(shū)霞，詹華稅

(廈門(mén)理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 廈門(mén) 361024)

導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)中最基本最重要的概念[1-4]。長(zhǎng)期以來(lái)，導(dǎo)數(shù)一直受到眾多學(xué)者的不間斷的研究和討論。文獻(xiàn)[5]利用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的最值原理論證了二元函數(shù)的梯度的重要性；文獻(xiàn)[6]利用定義討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的可導(dǎo)性；文獻(xiàn)[7-8]討論了某類(lèi)分段函數(shù)的一些求導(dǎo)方法；文獻(xiàn)[9]通過(guò)一些例子展示了如何用不同的方法求分段函數(shù)的分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；文獻(xiàn)[10]研究了分段函數(shù)求導(dǎo)理論在退化拋物方程解唯一性討論中的一些具體應(yīng)用?？傮w而言，除文獻(xiàn)[11] 之外，尚未發(fā)現(xiàn)有其他學(xué)者研究?jī)H在一點(diǎn)可導(dǎo)的函數(shù)性質(zhì)。同時(shí)，尚未發(fā)現(xiàn)有關(guān)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算、反函數(shù)求導(dǎo)法、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法這些常用求導(dǎo)方法彼此間相互依存關(guān)系的研究。

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用越來(lái)越受到數(shù)學(xué)物理界、工程力學(xué)界、生物醫(yī)學(xué)界學(xué)者的廣泛關(guān)注，其在建筑學(xué)、核物質(zhì)、黏彈性材料、數(shù)學(xué)建模甚至是天氣預(yù)報(bào)、地震波的預(yù)測(cè)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[12-16]。另外，即便是經(jīng)典的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)，也還有一些理論需要補(bǔ)充和完善[17-18]。而對(duì)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的理論和應(yīng)用研究，除了Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之外，還有其他不同的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義[19]。

為此，本文針對(duì)經(jīng)典整數(shù)階導(dǎo)數(shù)研究的空白點(diǎn)，從是否存在一點(diǎn)可導(dǎo)的相關(guān)函數(shù)和求導(dǎo)法則間相互關(guān)系的視角討論函數(shù)的可導(dǎo)性問(wèn)題；在分析一元分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題和總結(jié)分段函數(shù)求導(dǎo)法的基礎(chǔ)之上，引進(jìn)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，探討分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的相容性問(wèn)題，研究次數(shù)為μ>0分?jǐn)?shù)階可導(dǎo)問(wèn)題。

1 函數(shù)的可導(dǎo)性

1.1 僅在一點(diǎn)可導(dǎo)的相關(guān)函數(shù)的構(gòu)造

注意到函數(shù)y=f(x)關(guān)于連續(xù)和可導(dǎo)都是逐點(diǎn)定義的，那么是否存在僅在一點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)？是否存在僅在一點(diǎn)可導(dǎo)的函數(shù)？下面例子給出這樣的函數(shù)的構(gòu)造。

定理1初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

關(guān)于導(dǎo)數(shù)，初等函數(shù)未必在其定義域內(nèi)都可導(dǎo)。但比定理1弱的結(jié)論有定理2。

定理2初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)幾乎處處可導(dǎo)，即除去一個(gè)零測(cè)度集外，其他點(diǎn)都可導(dǎo)。

證明只要對(duì)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算后所得到的函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)幾乎處處可導(dǎo)就可以了。

重要的是，定理2中的初等函數(shù)的條件不能減弱為連續(xù)函數(shù)，因?yàn)閃eierstrass、Waerden等已給出了處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的例子。f(x)在x點(diǎn)不可導(dǎo)，可能是f(x)在該點(diǎn)表現(xiàn)為尖點(diǎn)，所以要構(gòu)造一個(gè)處處連續(xù)但不可導(dǎo)的例子的一個(gè)方法便是不斷增加尖點(diǎn)的密度。

結(jié)合例2、例3，存在處處連續(xù)但只在一點(diǎn)可導(dǎo)的例子，只要修正例3的構(gòu)造即可。

例4可以回答以下問(wèn)題1和問(wèn)題2。

問(wèn)題1是否存在一個(gè)只有一點(diǎn)存在二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)?

1.2 求導(dǎo)法則間的關(guān)系

熟知，求導(dǎo)數(shù)的方法有四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、反函數(shù)求導(dǎo)法則、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法等。下面論述它們之間的依存關(guān)系。

就求導(dǎo)方法而言，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法更重要。理由如下：

2 分?jǐn)?shù)階可導(dǎo)問(wèn)題

2.1 一元分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

一元分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題可簡(jiǎn)單歸納為以下2點(diǎn)：1)根據(jù)可導(dǎo)必連續(xù)，不連續(xù)一定不可導(dǎo)，可先判斷是否連續(xù)，若不連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)；2)在分界點(diǎn)處連續(xù)的情況下，一般都是利用定義判斷是否可導(dǎo)。在分界點(diǎn)處連續(xù)的情況下，還可以采用另一種方法判斷可導(dǎo)性。

2)在x=2處，顯然在該點(diǎn)連續(xù)，x2+1及x+3在包含x=2的某鄰域可導(dǎo)，但是(x2+1)′|x=2=4≠(x+3)′|x=2=1，由定理3可知f′(2)不存在。

可以看出，此種方法比定義法簡(jiǎn)潔。當(dāng)然，分段函數(shù)還有其他諸多可以研究的性質(zhì)，比如，如何將一元函數(shù)的分段函數(shù)推廣到多元函數(shù)。特別需要著重指出的是，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)正是以分段函數(shù)的形式來(lái)定義的。

當(dāng)0<α<1,n=[α]+1=1時(shí)，如果f(t)在[a,t]上二階可導(dǎo)，有：

當(dāng)0<α<1,n=[α]+1=1時(shí)，如果f(t)在[a,t]上二階可導(dǎo)，有

基于以上分析可知，這2種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)都是普通導(dǎo)數(shù)的合理推廣。并且發(fā)現(xiàn)，對(duì)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，因?yàn)槭亲?、右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)分別定義的，所以考慮分段函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是沒(méi)有意義的。當(dāng)然也可以考慮以左、右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)存在且相等來(lái)定義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)的可導(dǎo)性，但目前沒(méi)有見(jiàn)到這方面的討論。另外，雖然Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)都是普通導(dǎo)數(shù)的推廣，但從定義1和定義2可以看出，Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)首先要求f(t)是可導(dǎo)的，甚至要求在二階可導(dǎo)的條件下才能推斷出它與普通導(dǎo)數(shù)的相容性。

2.2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的相容性

下面討論Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與經(jīng)典整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的相容性問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題可以直接從Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)導(dǎo)出。

3 結(jié)論

本文從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，通過(guò)研究導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及其在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣，得到了以下結(jié)論：

1)構(gòu)造出僅在一點(diǎn)可導(dǎo)的函數(shù)及其他相關(guān)函數(shù)。

2)導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算在四則運(yùn)算中最為重要，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法在求導(dǎo)方法中最重要。

3)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)都是普通導(dǎo)數(shù)的推廣；Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與經(jīng)典整數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有相容性，Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與經(jīng)典整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的相容性略差。

本文的結(jié)果有助于進(jìn)一步開(kāi)展分?jǐn)?shù)階微分方程等解的存在性、唯一性和大時(shí)間漸近等的研究工作。