江蘇太倉市良輔中學(215400)王 艷
在考題中,經(jīng)常遇到平行y軸的直線上的兩點之間的距離計算問題,利用兩點間的距離公式可計算線段的最值、圖形面積的最值、點的坐標等。下面就結合一道考題談談兩點間的距離公式的具體運用。
2022 年北京冬奧會即將召開,激起了人們對冰雪運動的極大熱情。如圖1 是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖,取某一位置的水平線為x軸,過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸,建立平面直角坐標系,圖中的拋物線C1:y=+1近似表示滑雪場地上的一座小山坡,某運動員從點O正上方4米處的A點滑出,滑出后沿一段拋物線C2:+bx+c運動。
圖1
(1)當運動員運動到離A處的水平距離為4 米時,離水平線的高度為8 米,求拋物線C2的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量x的取值范圍);
(2)在(1)的條件下,當運動員運動的水平距離為多少米時,運動員與小山坡的豎直距離為1米?
(3)當運動員運動到坡頂正上方,且與坡頂距離超過3米時,求b的取值范圍。
考題以2022 年北京冬奧會為問題背景,以二次函數(shù)為知識基礎,以解析式的確定、豎直距離、不等式為問題解決的主渠道,以待定系數(shù)法、兩點間的距離公式、不等式思想、數(shù)形結合思想為主要解題思路,體現(xiàn)“數(shù)學源于生活,同時服務生活”,實現(xiàn)學數(shù)學、用數(shù)學的雙向融合。
透過考題,我們得到如下啟示:
第一,數(shù)學學習夯實基礎是關鍵,如這里的待定系數(shù)法,是一種基本方法,解方程組是方法的核心。若是基礎不牢,連方程組都不能正確解答,后面的問題就難以解決。
第二,抓住問題的關鍵。解答時,充分利用函數(shù)的解析式,用好“橫坐標相同”這一特殊條件,表示點的縱坐標,利用豎直距離等于兩點縱坐標差的絕對值建立不等式,也體現(xiàn)了轉化思想。
第三,用活各種數(shù)學思想是解題的靈魂和指南。
(一)反比例函數(shù)中,求三角形面積的最小值
圖2
[例1]如圖2,直線y=-x+m與雙曲線y=-相交于A,B兩點,BC∥x軸,AC∥y軸,則△ABC面積的最小值為 。
(二)當線段最長時,求線段和的最小值
[例2]如圖3,拋物線y=-x2+bx+c與x軸 交于A、B兩點,與y軸交于點C,直線y=-x+2 過B、C兩點,連接AC。
圖3
(1)求拋物線的解析式;
(2)求證:△AOC∽△ACB;
(3)點M(3,2)是拋物線上的一點,點D為拋物線上位于直線BC上方的一點,過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E,點P為拋物線對稱軸上一動點,當線段DE的長度最大時,求PD+PM的最小值。
(三)當三角形的面積最大時,求倍數(shù)線段和的最小值
圖4
[例3]已知拋物線C1:y=ax2的圖像如圖4。直線l:y=點B為拋物線上的任意一點且滿足點B到點A的距離與點B到直線l的距離始終相等。
(1)直接寫出:a的值______;
(2)如圖5,若直線l2:y=mx+交拋物線于D、E兩點(點D在點E的右邊),交x軸于點F,過點E作EM⊥l于點M,過點D作DN⊥l于N,點H為MN的中點,若點H到直線l2的距離為,求m的值;
圖5
(3)如圖6,將拋物線C1向右平移2 個單位,向下平移1個單位得到拋物線C2,C2交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,點P為直線BC下方拋物線上一點,點Q為y軸上一點,當△PBC的面積最大時,求2PQ+CQ的最小值。
圖6
圖7
(2)如圖7,連接EH并延長交DN延長線于點G,連接AH,DH,∵∠EMH=∠GNH=90°,∠EHM=∠GHN,MH=NH,∴△EMH≌△GNH,∴EH=GH,EM=GN,∵EA=EM,DA=DN,∴ED=EA+DA=EM+DN=DG,∴∠EDH=∠GDH,DH⊥EG,∴△ADH≌△NDH(SAS),∴∠HAD=∠HND=90°,∴AH=
(3)∵拋物線C1向右平移2個單位,向下平移1個單位得到拋物線C2,∴C2的解析式為y=(x-2)2-1,即y=x2-4x+3,令y=0,得(x-2)2-1=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),令x=0,得y=3,∴C(0,3),
設直線BC的解析式為y=kx+3,∴3k+3=0,即k=-1,∴直線BC的解析式為y=-x+3,
如圖8,連接PB,PC,作直線BC,過點P作PW⊥x軸,交直線BC于點W,設點P的橫坐標為x,則P(x,x2-4x+3),W(x,-x+3),∴WP=-x+3 -(x2-4x+3)=-x2+3x,∴S△PBC=
圖8
點評:本題考查了拋物線的解析式、拋物線的最值、拋物線與一元二次方程的關系、三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形和垂線段最短。熟練掌握拋物線解析式的確定,三角函數(shù)性質(zhì),線段和的最值求法是解題的關鍵。