江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校（215000）彭國慶

三角形是多邊形中邊數(shù)最少的平面圖形，它和其他多邊形有著緊密的聯(lián)系，“三角形的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生學(xué)習(xí)多邊形知識(shí)的基礎(chǔ)，因而有必要深入研究“三角形的認(rèn)識(shí)”（本文中的“三角形的認(rèn)識(shí)”是廣義上的“三角形的認(rèn)識(shí)概念”），以提高“三角形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)實(shí)效。

一、三個(gè)版本教材中“三角形的認(rèn)識(shí)”的內(nèi)容編排

對(duì)江蘇教育出版社、人民教育出版社、北京師范大學(xué)出版社出版的教材（分別簡(jiǎn)稱蘇教版教材、人教版教材和北師大版教材）中“三角形的認(rèn)識(shí)”的內(nèi)容進(jìn)行整理，如表1所示。

表1

從表1中可以看出，蘇教版和人教版教材中有關(guān)“三角形的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容的編排基本一致，北師大版教材中有關(guān)“三角形的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容的編排思路與蘇教版、人教版的差異較大。

二、三個(gè)版本教材中“三角形的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容編排的相同點(diǎn)

1.利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)三角形

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)。蘇教版和人教版教材都是編排學(xué)生熟悉的、感興趣的生活場(chǎng)景，如斜拉橋、金字塔等，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)物中分別找出這些物體面上的三角形，體現(xiàn)從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意圖。北師大版教材則是從學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生對(duì)多個(gè)平面圖形和立體圖形進(jìn)行分類，在分類的過程中認(rèn)識(shí)三角形。三個(gè)版本教材的編排方式，均有效激活了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生進(jìn)一步探究三角形的特征。

2.在豐富的活動(dòng)中探究三角形的邊的關(guān)系

我國著名教育家陶行知先生認(rèn)為“行是知之始，知是行之成”。動(dòng)手操作是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方式。蘇教版教材編排了活動(dòng)情境：有5㎝、2㎝、4㎝和8㎝長(zhǎng)的四根小棒，從中任取三根小棒，嘗試圍一圍，看看有怎樣的發(fā)現(xiàn)。人教版教材則編排了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：剪出下面4組紙條（單位：㎝）“（1）6、7、8；（2）4、5、9；（3）3、6、10；（4）8、11、11”，用每組紙條擺三角形，從中你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的過程中發(fā)現(xiàn)有的組的三張紙條能擺成三角形，有的組的三張紙條不能擺成三角形。北師大版教材用了“探索與發(fā)現(xiàn)：三角形邊的關(guān)系”這樣的標(biāo)題引發(fā)學(xué)生的探究，和人教版教材類似，提供了4組小棒“（1）3、5、6；（2）3、4、6；（3）3、3、6；（4）3、2、6”讓學(xué)生擺三角形，并提出三個(gè)問題“哪組能擺成，哪組擺不成？”“想一想，怎樣的3根小棒能擺成一個(gè)三角形？”“算一算，比一比，能擺成三角形的3根小棒之間有什么關(guān)系？”引發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象探尋本質(zhì)。三個(gè)版本教材均通過探究活動(dòng)來引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、深入理解。

3.問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生探究三角形的內(nèi)角和

對(duì)于三角形的內(nèi)角和，三個(gè)版本教材非常一致地采用了問題驅(qū)動(dòng)的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。蘇教版教材的是“你知道每塊三角尺3個(gè)內(nèi)角的和是多少度嗎？”“用量角器量出每個(gè)三角形3個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，3個(gè)內(nèi)角度數(shù)的和是多少？”“你發(fā)現(xiàn)了什么？”人教版教材設(shè)計(jì)了兩個(gè)連續(xù)性問題：“畫幾個(gè)不同類型的三角形。量一量，算一算，三角形3個(gè)內(nèi)角的和各是多少度?！薄澳惆l(fā)現(xiàn)了什么？用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證一下?！北睅煷蟀娼滩南扔萌鐖D1所示的問題引發(fā)學(xué)生思考，緊接著提問“小組交流發(fā)現(xiàn)了什么？”“有什么方法能驗(yàn)證你們的想法？”三個(gè)版本教材設(shè)計(jì)的問題環(huán)環(huán)相扣，由淺入深逐步引導(dǎo)學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

圖1

三、三個(gè)版本教材中“三角形的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容編排的不同點(diǎn)

1.三角形的特征

“三角形的認(rèn)識(shí)”主要是認(rèn)識(shí)三角形的特征，其中三角形的底和高是重要內(nèi)容。蘇教版教材編排了一個(gè)畫三角形的活動(dòng)，讓學(xué)生畫三角形后說說三角形有什么特點(diǎn)，之后給出三角形的定義“三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形”，同時(shí)介紹三角形的底和高。人教版教材也是讓學(xué)生畫一個(gè)三角形，并說一說三角形有幾條邊、幾個(gè)角、幾個(gè)頂點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上給出三角形的定義“由3條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連）叫作三角形”，同時(shí)介紹三角形的底和高，之后說明可用字母A、B、C分別表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形可以表示成三角形ABC。相比之下，蘇教版教材對(duì)三角形的定義更簡(jiǎn)潔，讀起來也朗朗上口；人教版教材對(duì)三角形的定義和初中的知識(shí)，尤其是在字母表示方面銜接更加緊密。北師大版教材在“三角形的認(rèn)識(shí)”中沒有編排三角形的定義以及底和高的內(nèi)容，而是引導(dǎo)學(xué)生借助已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)圖形進(jìn)行分類，把三角形的底和高的內(nèi)容編排在了五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”中，且和平行四邊形、梯形的底和高進(jìn)行整合。北師大版教材與其他兩個(gè)版本教材的內(nèi)容編排差異較為明顯。

2.三角形的穩(wěn)定性

三角形的穩(wěn)定性是三角形的一個(gè)非常重要的內(nèi)容。蘇教版教材把三角形的穩(wěn)定性編排在了三角形的內(nèi)角和之后的“你知道嗎”欄目（如圖2）中，通過文字解釋了三角形的穩(wěn)定性“就是當(dāng)一個(gè)三角形的三條邊確定后，這個(gè)三角形的形狀和大小就不會(huì)改變”，而后引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中理解三角形的穩(wěn)定性。人教版教材則單獨(dú)編排了一個(gè)例題，讓學(xué)生用3根小棒擺三角形，用4根小棒擺四邊形（如圖3），而后引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)三角形具有穩(wěn)定性。北師大版教材創(chuàng)設(shè)問題情境（如圖4）采用動(dòng)手操作的方式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性，而后在“你知道嗎”介紹三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用。

圖2

圖3

圖4

從三個(gè)版本教材的內(nèi)容編排上可以看出，蘇教版教材揭示了三角形穩(wěn)定性的內(nèi)涵，但沒有和四邊形的不穩(wěn)定性聯(lián)系起來。人教版和北師大版教材把三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性放在一起進(jìn)行對(duì)比，通過對(duì)比突出三角形的穩(wěn)定性。北師大版教材沒有編排讓學(xué)生用小棒或者紙條拼擺三角形的活動(dòng)，而是引導(dǎo)學(xué)生在拉三角形和四邊形木框的活動(dòng)中體會(huì)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性。這樣一來，學(xué)生對(duì)于三角形的穩(wěn)定性的理解可能會(huì)更多地傾向于三角形的穩(wěn)固性，這種穩(wěn)固性更多地表現(xiàn)為三角形的物理特性，而對(duì)于三角形的形狀、大小不變的穩(wěn)定性的理解有所弱化。

3.三角形按角分類

按角對(duì)三角形進(jìn)行分類，有助于學(xué)生全面細(xì)致地研究三角形，形成系統(tǒng)、完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。蘇教版教材通過問題“下面每個(gè)三角形的3個(gè)角分別是什么角？你能根據(jù)角的特點(diǎn)把這些三角形分類嗎？”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)6個(gè)三角形進(jìn)行分類，而后呈現(xiàn)分類依據(jù)和分類結(jié)果，在此基礎(chǔ)上采用描述性的語言給出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的定義，最后提出問題“一個(gè)三角形可能有2個(gè)直角或者2個(gè)鈍角嗎？為什么？”，讓學(xué)生結(jié)合三角形的內(nèi)角和的知識(shí)理解直角三角形和鈍角三角形的定義。人教版教材沒有蘇教版教材那么細(xì)致，只是由提示語引導(dǎo)學(xué)生把三角形按照角來分類，再結(jié)合主題圖給出三角形分類的結(jié)果，沒有給出每種三角形的定義，這樣可能會(huì)造成一些學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生對(duì)銳角三角形、鈍角三角形等概念的理解較為吃力。北師大版教材提供了9個(gè)三角形讓學(xué)生進(jìn)行分類，并在呈現(xiàn)分類結(jié)果后，通過給每種分類結(jié)果起名稱引出3種不同的三角形。

比較后發(fā)現(xiàn)，蘇教版教材是把三角形按角分類放在了三角形的內(nèi)角和之后，而人教版和北師大版教材則是把三角形按角分類放在三角形的內(nèi)角和之前。從合理解釋為什么三角形中只有一個(gè)直角或者只有一個(gè)鈍角的角度來看，蘇教版教材的編排更為科學(xué)。通過比較還發(fā)現(xiàn)，人教版教材對(duì)于直角三角形的邊的內(nèi)容的編排更為細(xì)致，突出了直角邊和斜邊的介紹，并通過問題“量一量左邊這個(gè)直角三角形的直角邊和斜邊，再比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么？”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“在直角三角形中，直角邊的長(zhǎng)度都比斜邊的長(zhǎng)度短”的重要結(jié)論，而蘇教版和北師大版教材中沒有相關(guān)內(nèi)容。

4.對(duì)多邊形的內(nèi)角和的拓展程度和呈現(xiàn)方式

三角形的內(nèi)角和是研究多邊形的內(nèi)角和的基礎(chǔ)，編排多邊形的內(nèi)角和的目的就是通過對(duì)三角形內(nèi)角和的應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力和知識(shí)遷移能力。蘇教版教材在本單元內(nèi)容結(jié)束之后單獨(dú)設(shè)計(jì)了探索規(guī)律“多邊形的內(nèi)角和”這一內(nèi)容，探索多邊形的內(nèi)角和的規(guī)律并總結(jié)出多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算公式，在探究方法上采用量一量、分一分的方法。人教版教材在三角形的內(nèi)角和之后緊接著編排了四邊形的內(nèi)角和，圖6的四邊形的內(nèi)角和的研究方式延續(xù)了圖5的三角形的內(nèi)角和的探究方式，是對(duì)內(nèi)角和探究這一數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用和再積累，而后在練習(xí)中編排了求六邊形的內(nèi)角和，但是沒有給出多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算公式。北師大版教材則是在三角形的內(nèi)角和的練習(xí)中設(shè)計(jì)了一道探索四邊形內(nèi)角和的習(xí)題（如圖7），直觀形象地展示了四邊形的內(nèi)角和的探究方法，沒有過多涉及其他多邊形的內(nèi)角和的探究學(xué)習(xí)。

圖5

圖6

圖7

四、“三角形的認(rèn)識(shí)”相關(guān)內(nèi)容的編排建議

1.適當(dāng)后置三角形的部分內(nèi)容

小學(xué)階段的多邊形主要研究三角形和四邊形（長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形和梯形），雖然三角形的內(nèi)容看起來不多，但包含的知識(shí)點(diǎn)還是非常多的，如三角形的特征、三角形邊的關(guān)系、三角形分類等，而對(duì)于四邊形（如長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形和梯形等），尤其是平行四邊形和梯形包含的內(nèi)容相對(duì)少一些。三角形邊的關(guān)系、三角形的內(nèi)角和等都是三角形的基礎(chǔ)內(nèi)容。教材普遍是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的分類后再安排三角形的相關(guān)面積計(jì)算，建議可以將三角形的底和高的認(rèn)識(shí)結(jié)合圖形面積計(jì)算進(jìn)行組合編排，也就是學(xué)習(xí)三角形的特征、邊的關(guān)系、內(nèi)角和之后，緊接著編排三角形的面積計(jì)算，而不是先認(rèn)識(shí)所有的圖形再學(xué)習(xí)所有圖形的面積計(jì)算。

2.適當(dāng)調(diào)整三角形的內(nèi)角和和三角形的分類的位置

分類是認(rèn)識(shí)事物的方法之一，通過分類可以達(dá)到充分認(rèn)識(shí)并掌握?qǐng)D形的學(xué)習(xí)目標(biāo)。對(duì)于三角形，可以按照邊的特點(diǎn)或關(guān)系進(jìn)行分類，也可以按照角的特點(diǎn)進(jìn)行分類，但如果是在學(xué)生對(duì)于三角形的邊的要素以及角的要素等內(nèi)容全面學(xué)習(xí)之后安排相應(yīng)的內(nèi)容，效果會(huì)更好。也就是，先讓學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是三角形分類的前提，有了三角形內(nèi)角和的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生理解三角形的分類會(huì)更容易。

綜上，三角形的教學(xué)要基于對(duì)三角形相關(guān)內(nèi)容以及教材編寫意圖的深刻理解，通過不斷深入研究，方能有效提高教學(xué)質(zhì)量。