王慧敏 付書凡 畢婧

（沈陽師范大學軟件學院 遼寧沈陽 110034）

FAST是世界已經(jīng)建成的最大射電望遠鏡，它借助天然圓形溶巖坑建造，呈現(xiàn)出球形網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，可用來匯聚無線電波、供饋源接收機接收。本文通過分析FAST的工作原理，模擬出了反射面的工作原理，由此得出用旋轉(zhuǎn)拋物面作鏡面易于實現(xiàn)同相聚焦，并由相關(guān)參數(shù)建立推出拋物面的曲線方程，構(gòu)造出理想拋物面。利用最小二乘法進行檢驗優(yōu)化，得出理想拋物面，減小誤差，進而求出反射面300m 口徑內(nèi)的主索節(jié)點編號、位置坐標及各促動器的伸縮量。通過反射面的調(diào)節(jié)方案，根據(jù)計算饋源艙的接收比，得到饋源艙［1］接收反射信號和總射入電磁波的接收率，并與基準反射球面的接收作比較得出結(jié)論，調(diào)節(jié)后的反射面可以讓饋源艙對電磁波的接收效率遠遠高于基準反射球面的接收率。

1 理論及方法

1.1 針對初始理想拋物面的分析

FAST主反射面整體是固定不動的，而天體的位置是隨意變化的，相對應(yīng)的焦點也在隨之變化，F(xiàn)AST 初始狀態(tài)為球面可以方便副面移動對焦進而實現(xiàn)跟蹤觀測，因此，F(xiàn)AST的基準態(tài)反射面均為球面反射面。

射電望遠鏡的工作原理和光學反射望遠鏡十分相似，天體傳來的電磁波被鏡面反射后，可以到達公共焦點，理想拋物面的形狀要有超強的聚集電磁波的能力。常見的射電望遠鏡［2］理想的拋物面大多是旋轉(zhuǎn)的橢圓拋物面。

根據(jù)待測天體的具體位置位于基準球面的正上方，通過公式演算及題目中已經(jīng)給出的數(shù)據(jù)，以此來推斷出理想拋物面的方程。

1.2 針對理想拋物面的分析

根據(jù)得到反射面調(diào)節(jié)后的工作拋物面的中心節(jié)點和反射面板的最外層的點的節(jié)點，從而模擬建立出整個理想拋物面。

結(jié)合運動學的隨動機構(gòu)來計算節(jié)點變化位移。隨動機構(gòu)是一種反饋控制機構(gòu)，這種機構(gòu)輸出量是機械位移、速度或者加速度?？焖俑櫤蜏蚀_定位是隨動機構(gòu)的兩個重要技術(shù)指標。

最小二乘法是一種數(shù)學優(yōu)化技術(shù)，通過尋找誤差的平方和的最小值來得出數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。本文利用最小二乘法，可以找到與數(shù)據(jù)最為貼合的工作拋物面，即理想拋物面。根據(jù)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法進行檢驗優(yōu)化，得出最優(yōu)的理想拋物面，減小實際工作拋物面與理想拋物面間的誤差，進而求出反射面300m口徑內(nèi)的主索節(jié)點編號、位置坐標及各促動器的伸縮量。

2 模型實驗

2.1 針對初始理想拋物面的模型建立與求解

2.1.1 模擬FAST主動反射面工作原理

FAST主動反射面接收來自天體的電磁波，初始球面反射面是圍繞反射面中心的法線為主軸的，并且是圍繞這個軸旋轉(zhuǎn)對稱的。當α=0°、β=90°時，假設(shè)主軸與反射面接觸的點V 為頂點，在主軸上的點C 與反射面上所有點等距，稱為曲率中心。從C 到V 的距離記作曲率半徑R，當電磁波照射到主軸平行的反射鏡時，會被反射面反射出去，并聚焦在一點F，稱為反射面焦點，焦點F到頂點V的距離稱為鏡面的焦距f。

假設(shè)電磁波信號及反射信號均視為直線傳播，照射到反射面的電磁波信號均平行于主軸，并最終都聚集在焦點F上［3］。

2.1.2 理想拋物面求解

在求解理想拋物面時，根據(jù)題目描述，需要確定與基準球面中心重合的一個橢圓拋物面，該拋物面是理想拋物面。

根據(jù)題意，以工作態(tài)拋物面的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，y（x）圍繞y軸旋轉(zhuǎn)得到三維曲面，當平行的電磁波沿著與y軸平行的方向直射到反射面的入射角為θ，標記為P（x，y）；根據(jù)光的反射定律和折射定律的兩個追問反射定律可知，最后反射在y軸的F 點處，其余電磁波也相繼在焦點F處相交于坐標（0，f）。

通過簡單的幾何推理，可以求出y（x）在P 點處的導數(shù)：

當兩束電磁波平行射入時，∠FCP 的大小也為θ，根據(jù)P點的坐標可以求出焦距f為：

考慮到拋物面為橢圓拋物面，將拋物面的方程設(shè)為：

由橢圓的性質(zhì)可以推出焦距f為：

因此，可以得出結(jié)論：所有平行射入的電磁波，最后都會反射到主軸y軸的焦點上，在這種情況下不需要小角度近似。由此確定曲線y（x）是所有平行射入的電磁波必須通過f，這意味著P點的坐標和x無關(guān)，因此得出公式：

將題中給出的基準球面半徑R=300m，照明區(qū)域等數(shù)值帶入到公式就可得理想旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為：

2.2 針對理想拋物面的模型建立與求解

2.2.1 中心節(jié)點的求解

假設(shè)圖1 是一平面上的截面，圖上各點在同一平面上。

圖1 中心節(jié)點模擬圖

已知觀測天體的方位角α=36.795°和仰角β=78.169°，又已知目標天體發(fā)射出的是平行直線電磁波，可知，SO 是一條直線，由題可知，反射面半徑R=300m，則CO=R=300m，根據(jù)三角函數(shù)，得出點O的坐標為（-49.2544，36.8403，-293.6270）。

由R=300m，口徑HG=300m，且HG是OP的垂直平分線，由此推出∠HPG=120°。由于該截面屬于平面，得出∠POE=β=78.169°，則P 的坐標為（-20.5954，0，-156.7964），G 的坐標為（0，0，-300），H 的坐標為（-259.8，0，150），得出拋物面方程：

Z= 0.0067x2+ 0.0067y2- 300

2.2.2 索網(wǎng)構(gòu)造分析

由索網(wǎng)的構(gòu)造結(jié)構(gòu)可知，主索節(jié)點起著連接主索、下拉索及背架結(jié)構(gòu)的作用，這種連接方式在安裝過程中很難精確控制索端各自的預(yù)應(yīng)力。FAST 反射面都是由許多等邊三角形板組成，形成類似3-PSP 隨動機構(gòu)模型［4］的模型。

其中，每根下拉索控制一處主索節(jié)點的徑向改變，可以調(diào)節(jié)索點的切向位移，引起反射面移動形成工作拋物面。

2.2.3 隨動機構(gòu)的位置逆解

通過3-PSP 并聯(lián)機構(gòu)的封閉方程，能求得旋轉(zhuǎn)矩陣R。

以一塊三角面板單元為例，該面板與基面的夾角設(shè)為θ；面板的質(zhì)心的位置設(shè)為O；O 點坐標為[XO，YO，ZO]，設(shè)連接在一塊面板上的三條索為L1、L2、L3；設(shè)上索節(jié)點與三角板尖端節(jié)點位移差為l1、l2、l3。

通過基準態(tài)和下端點的差能夠求出基準態(tài)下索的長度，也就是L1、L2、L3。

代入公式，由此求得位移差，得到節(jié)點移動后的坐標。

2.2.4 基于最小二乘法的優(yōu)化

本文選擇最小二乘法優(yōu)化模型［5］，該模型能夠?qū)Ψ瓷涿孢M行多次計算調(diào)整，從而達到最優(yōu)拋物面，索網(wǎng)的特點如下。

每個節(jié)點由一根拉索沿著網(wǎng)面的法向與促動器相連，索網(wǎng)的索力發(fā)生相應(yīng)的變化甚至相差較大［6］。

假設(shè)拋物面的初始位置為：

經(jīng)過促動器調(diào)節(jié)后產(chǎn)生位移差：

新的位移節(jié)點可表示為：

假設(shè)某一時刻饋源照明部分的節(jié)點集合為C1，數(shù)量為m，照明部分的節(jié)點初始位置設(shè)為xc，位移的該變量設(shè)為Δuc，設(shè)全局坐標系到隨動坐標系的坐標變換矩陣為T，節(jié)點變換后有：

表示其殘量函數(shù)為：

當所有的反射到的節(jié)點都位于拋物面內(nèi)，殘量均為0，探究各節(jié)點殘量的平方和最?。?/p>

由于促動器頂端徑向伸縮量為0，其徑向伸縮范圍為-0.6～0.6m，且為了精確優(yōu)化，節(jié)點的位移量不能太大，設(shè)最大調(diào)整量為ΔLmax，由此得到位移約束條件：

綜上，可得到一線性的最小二乘優(yōu)化模型優(yōu)化模型。

在給定的范圍內(nèi)，可計算出調(diào)整量盡可能小的位移量，從而達到更為理想的拋物面。

3 模型實驗的結(jié)果分析

3.1 針對初始理想拋物面的結(jié)果分析

本文發(fā)現(xiàn)反射面的工作態(tài)只有是橢圓拋物面時才能更好地聚集天體發(fā)來的電磁波，通過模擬電磁波的傳播路徑［7］，大致推斷出反射面的運動軌跡。

通過運動軌跡，求出反射面的拋物線方程，進而求出理想的拋物面方程，通過對數(shù)據(jù)進行分析計算和公式推演，得出的理想拋物面方程更準確。

3.2 針對理想拋物面的結(jié)果分析

以主動反射面頂點為原點，建立坐標軸，計算天體和饋源艙及主動反射面三者之間的位置關(guān)系，通過對特定點進行求解，最后再代入假設(shè)的拋物線方程，由此得出理想的拋物面方程，能較好地擬合工作拋物面。通過運動學中隨動模型，進行形成拋物面節(jié)點的發(fā)生位移計算，再通過最小二乘法，尋求位移的最小程度，進而得出促動器伸縮改變量和各節(jié)點的位置。

4 結(jié)語

FAST射電望遠鏡是我國的一項里程碑工程，它的建設(shè)將推動眾多高科技領(lǐng)域的發(fā)展。主動反射面是FAST 的重大創(chuàng)新，它通過主索網(wǎng)、促動器等主要部件構(gòu)成可調(diào)節(jié)球面，通過下拉索便于實現(xiàn)對主索網(wǎng)形態(tài)的控制。根據(jù)參數(shù)，結(jié)合考慮反射面板調(diào)節(jié)因素，確定理想拋物面，并由此獲得天體電磁波反射后的最佳接收效果。

通過已知的饋源艙接收信號的相關(guān)信息，結(jié)合求得的工作拋物面的面積，計算得出調(diào)節(jié)后的饋源艙的接收比。進而將結(jié)果與基準反射球面的接收作對比，得出結(jié)論認為反射時工作拋物面相對于基準態(tài)時，饋源艙的接收率會更高。