王幫藝，廖玉梅，曹永林，周曉琴

(貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550018)

0 引言

在確認(rèn)目標(biāo)天體定位的前提下，利用信號(hào)接收系統(tǒng)(饋源艙)對(duì)平行電磁波反射產(chǎn)生的匯聚特征，要設(shè)定一個(gè)理想拋物面，把反射平面調(diào)節(jié)為一個(gè)工作拋物面，盡量接近理想拋物面，從而獲得天體電磁波經(jīng)反射面反射后的最佳接收效果，而“FAST”主動(dòng)反射面剛好能滿足。但其在使用時(shí)會(huì)存在較大誤差，本文基于該問(wèn)題建立了尋源與跟蹤的模擬過(guò)程，能對(duì) “FAST”主動(dòng)反射面形狀進(jìn)行精準(zhǔn)調(diào)節(jié)，解決了誤差問(wèn)題，得到各種目標(biāo)天體的理想拋物面。

1 尋源與跟蹤原理

尋源與跟蹤原理如圖1。尋源與跟蹤的計(jì)算流程如下：

圖1 尋源與跟蹤原理Fig.1 Principle of source searching and tracking注：尋源過(guò)程與跟蹤過(guò)程都是將反射面調(diào)節(jié)到工作拋物面的模擬過(guò)程。

第一步：先測(cè)量太陽(yáng)照射方位及口徑內(nèi)球面索網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)至拋物面的間距；第二步：向一定口徑范圍內(nèi)的所有下拉索的下部施以強(qiáng)迫位移。但因?yàn)樗骶W(wǎng)體系的整體效應(yīng)，在結(jié)構(gòu)達(dá)到均衡狀態(tài)時(shí)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)移動(dòng)后，同樣也會(huì)有相應(yīng)的切向變化，因此割向變化量也極?。坏谌剑憾啻沃貜?fù)第一、二步，直到主索節(jié)點(diǎn)與給定拋物面之間的最大間距達(dá)到一定精確度條件，拉索與下端節(jié)點(diǎn)的每一個(gè)位置之和就是促動(dòng)器要調(diào)整的位置；第四步：如果只進(jìn)行尋源，變位過(guò)程結(jié)束，如果需要進(jìn)行跟蹤，則返回到第一步。

2 “FAST”主動(dòng)反射面模型建立

“FAST”主動(dòng)反射面形狀的調(diào)節(jié)。當(dāng)待測(cè)天體的位置為α=0°，β=90°時(shí)，根據(jù)FAST的工作原理以及反射面板的結(jié)構(gòu)，繪制被觀測(cè)天體的剖面圖。并且旋轉(zhuǎn)拋物面每次變位后，500 m口徑球面內(nèi)在拋物面和球面之間變換，都會(huì)有不同的焦點(diǎn)，且都位于焦面上，再根據(jù)初始基準(zhǔn)球面的空間結(jié)構(gòu)及球面與旋轉(zhuǎn)拋物面之間具有各向同向特征[2]旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，簡(jiǎn)化問(wèn)題，用二維平面問(wèn)題對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。

圖2 “FAST”主動(dòng)反射面模型Fig.2 Model of the active reflector of “FAST”

設(shè)p為旋轉(zhuǎn)拋物面的焦距，R=300 m為基準(zhǔn)球面半徑，h為工作拋物面頂點(diǎn)與基準(zhǔn)球面的相對(duì)位置，即拋物面頂點(diǎn)與球面頂點(diǎn)間的距離。由圓與拋物面的方程，及焦面與基準(zhǔn)球面的半徑差、拋物面的口徑，計(jì)算得旋轉(zhuǎn)拋物面的焦點(diǎn)徑比q=0.466，旋轉(zhuǎn)拋物面的焦距p=138.9。因?yàn)楸粶y(cè)天體位于球面正上方，要使指定拋物面與理想拋物面貼合度最大，確定理想拋物面時(shí)要考慮基準(zhǔn)球面與工作拋物面的相對(duì)位置大小[2]。主索節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)變位由推動(dòng)實(shí)現(xiàn)器的伸縮來(lái)調(diào)節(jié)，當(dāng)下拉索的尺寸不變，且工作拋物面在接近基準(zhǔn)球面處的球心方向?yàn)檎龝r(shí)，得到三條拋物線的表達(dá)式為：

(1)

當(dāng)h=0時(shí)，工作拋物面頂點(diǎn)與球面頂點(diǎn)重合，該種情況貼合最優(yōu)，不考慮?；谝陨戏治?，從四個(gè)方面來(lái)說(shuō)明工作拋物面與基準(zhǔn)球面的貼近情況。

當(dāng)基準(zhǔn)球面與工作拋物面的徑向位移最小時(shí)，取球面上主索點(diǎn)在x軸上的變量范圍[0，150]，分析步長(zhǎng)1 m，設(shè)L徑為主索節(jié)點(diǎn)的徑向位移，LCM為M點(diǎn)到球心的距離[2]。

L徑=R-LCM

(2)

結(jié)合h為0.6或-0.6時(shí)兩拋物線方程及圓弧方程，利用Matlab進(jìn)行數(shù)值分析，得到徑向位移的變化圖。h=0.6時(shí)，徑向位移為[-1，0.6]，促動(dòng)器的最大伸縮量為1.6 m；h=-0.6時(shí)，徑向位移為[-1，-0.6]，促動(dòng)器的最大伸縮量也為 1.6 m。選取徑向位移最短、最大伸縮量的值最小時(shí)為最好。

圖3 徑向位移變換Fig.3 Radial displacement transformation

當(dāng)基準(zhǔn)球面與工作拋物面的經(jīng)向弧長(zhǎng)最小時(shí)，在經(jīng)向方向，設(shè)球面頂點(diǎn)N，拋物線頂點(diǎn)A，M在二維球面圓弧上的坐標(biāo)為(x0，y0)，拋物線上的坐標(biāo)為(x1，y1)，則M到拋物線頂點(diǎn)的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)AM，同樣，設(shè)M到球面頂點(diǎn)N的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)NM，設(shè)θ為M點(diǎn)到y(tǒng)軸的夾角，有：

(3)

結(jié)合h為0.6或-0.6兩拋物線方程及圓弧方程，進(jìn)行數(shù)值分析，若要考慮主索網(wǎng)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)x值，增加其可靠性，則必須使弧長(zhǎng)L經(jīng)最小為1。

當(dāng)基準(zhǔn)球面與工作拋物面的緯向弧長(zhǎng)最小時(shí)，考慮緯向方向上的緯向弧長(zhǎng)[2]及其相對(duì)基準(zhǔn)球面的緯向弧長(zhǎng)變化的百分比。因?yàn)楸粶y(cè)物體位于球面球心正上方，所以求出緯向弧長(zhǎng)變化為[1.5%，37.5%]。但要確保索網(wǎng)的整體結(jié)構(gòu)不松弛，反射面必須調(diào)整到拋物面狀態(tài)時(shí)，必須使主索網(wǎng)受到最大內(nèi)力應(yīng)小于設(shè)計(jì)值，ΔL緯應(yīng)盡量小，則要滿足它們最大值和最小值的差最小。

(4)

當(dāng)基準(zhǔn)球面與工作拋物面的邊緣徑向位移最小時(shí)，因?yàn)橹魉骶W(wǎng)由短程線三角網(wǎng)格構(gòu)成，每個(gè)三角網(wǎng)格上都有一定大小的反射面板構(gòu)成，所以旋轉(zhuǎn)拋物面與球面之間的過(guò)渡不是連續(xù)的，但我們要解決主索節(jié)點(diǎn)間的疲勞問(wèn)題，則必須使它們進(jìn)行光滑過(guò)渡，即把拋物面邊緣節(jié)點(diǎn)的徑向位移為0，且球面與工作拋物面相交處的曲率相等，即它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值相等，得到：

(5)

由此可以解出x0、y0的值。再將x2=2py對(duì)x求導(dǎo)，在邊緣徑向位移最小的情況下，它們之間的導(dǎo)數(shù)差要最小。

最后對(duì)拋物面的優(yōu)化，要使基準(zhǔn)球面與工作拋物面間盡量貼合，需要滿足促動(dòng)器行程最小、徑向位移最小、緯向位移最小、交點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值最小。所以當(dāng)q=0.466時(shí)，利用蒙特卡洛法[4]在(-0.6～0.6)隨機(jī)選取h生成拋物面。基于此，建立最優(yōu)模型，為權(quán)衡主動(dòng)反射面的5個(gè)影響因子，為每個(gè)因子設(shè)置權(quán)重[2]。

min|H=aΔL徑+bΔL經(jīng)+cΔL緯+dL邊-ey′|

(6)

綜上，因?yàn)楸粶y(cè)物體位于基準(zhǔn)球面球心正上方，且-0.6≤h≤0.6，焦徑比和拋物面的口徑的大小已確定，綜合考慮眾多影響因素，得到拋物面的最優(yōu)h=0.45 m，得到理想拋物面的方程。

因?yàn)樾枰鉀Q理想拋物面的確定、它的位置的相關(guān)信息及促動(dòng)器伸縮量，所以分步實(shí)現(xiàn)。首先確定理想拋物面。當(dāng)α=0°，β=90°和α=36.795°，β=78.169°時(shí)，因?yàn)閳A弧與拋物線都具有對(duì)稱性，得到兩個(gè)反射面的位置。因?yàn)閮H改變天體的觀測(cè)方向，所以設(shè)工作拋物面和基準(zhǔn)拋物球面的相對(duì)距離為h1，其中焦距為 138.9 m，焦徑比為 0.466，h的范圍為-0.6 ～ 0.6，得到：

(7)

圖4 調(diào)節(jié)后兩個(gè)反射面的關(guān)系Fig.4 The relationship between the two reflectors after adjustment

觀察、比較發(fā)現(xiàn)拋物面與反射面間的緯度距離在減少，但緯度環(huán)比不變，所以不考慮緯徑上的變化，和它們之間的平滑過(guò)渡[5]，設(shè)M1為工作拋物面的主索節(jié)點(diǎn)，我們引用前面的模型，考慮工作拋物面與基準(zhǔn)球面的經(jīng)向方向的位移變化，再利用優(yōu)化模型，求出最優(yōu)h1，確定理想拋物面。

要確定理想拋物面的頂點(diǎn)坐標(biāo)、位置相關(guān)信息及促動(dòng)器伸縮量，通過(guò)處理相關(guān)數(shù)據(jù)，得到兩個(gè)相差無(wú)幾的空間三維球面，即可以把促動(dòng)器的伸縮量看作地面相應(yīng)促動(dòng)器間的距離變化處理。

圖5 部分反射面板的三維空間圖Fig.5 3D space view of part of the reflector panel

尋源過(guò)程與跟蹤過(guò)程都是將反射面調(diào)節(jié)到工作拋物面的移動(dòng)過(guò)程，利用其原理解決問(wèn)題，連接基準(zhǔn)球面上主索節(jié)A1，與球心過(guò)理想拋物面的另一個(gè)主索節(jié)點(diǎn)A2，設(shè)兩個(gè)主索節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的促動(dòng)器之間的距離為x，由因?yàn)锳1與A2不可能重合，交理想拋物面于A3、A4兩主索節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的促動(dòng)器的距離為x1，以此類推，得到眾多xi(i=1，2，…，n)，由促動(dòng)器的工作原理可知，xi的值即為促動(dòng)器伸縮量[5]，由于拋物線與圓弧都具有對(duì)稱性，取區(qū)間[0，150]，將拋物線下面分割成n(n=1113)個(gè)小曲邊梯形，由拋物線的對(duì)稱性，則每個(gè)小曲邊梯形的寬為ξ=0.135，設(shè)照射反射面上各節(jié)點(diǎn)到理想拋物面的距離xi，得到每個(gè)小曲邊梯形的面積Si，從而得到拋物面圍成的總面積S。

(8)

求出來(lái)的每個(gè)xi的值，即為促動(dòng)器的伸縮量，又因?yàn)閷?duì)稱性可得另一側(cè)促動(dòng)器的伸縮量，再結(jié)合數(shù)據(jù)，基于下拉索的長(zhǎng)度固定不變，利用求出來(lái)的每個(gè)xi來(lái)計(jì)算工作拋物面上主索節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，找出對(duì)應(yīng)編號(hào)。

接下來(lái)解決饋源艙及基準(zhǔn)反射球面的接收比，假設(shè)信號(hào)和電磁波的發(fā)射都是連續(xù)均勻分布的，將信號(hào)接收比轉(zhuǎn)化為整個(gè)反射區(qū)域和接收區(qū)域的大小問(wèn)題，同時(shí)將饋源艙與拋物面之間的信號(hào)反射問(wèn)題簡(jiǎn)化在二維平面上解決。

(9)

其中，φ為工作拋物面的張角，r為拋物頂點(diǎn)到口徑的垂直距離，A為圓弧形所圍成的面積，k1、k2為接受信息面積的比值。

最終利用Matlab進(jìn)行數(shù)值計(jì)算、分析得到調(diào)節(jié)前饋源艙的接受比為0.00159；調(diào)節(jié)后饋源艙的接受比為0.0526。因此，比較發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)后饋源艙的電磁波信號(hào)接收比顯著提高了，即得到天體電磁波經(jīng)反射面反射后的最佳接收效果。

3 結(jié)論與展望

通過(guò)尋源和跟蹤時(shí)“FAST”主動(dòng)反射面的形狀調(diào)節(jié)，目前已知FAST具有公里級(jí)高精度非接觸式檢測(cè)系統(tǒng)，可以實(shí)時(shí)檢測(cè)(采集頻段約為1 Hz)主索節(jié)點(diǎn)的三維位置，以及尋源和跟蹤時(shí)可以按照檢測(cè)結(jié)果調(diào)整索網(wǎng)結(jié)構(gòu)下拉索的促動(dòng)器，在天眼的工作中起到了決定性的作用。并且，尋源和跟蹤系統(tǒng)的仿真過(guò)程在人類的日常生活中也起著難以代替的作用，例如采用FPGA的紅外線雷達(dá)尋源與跟蹤系統(tǒng)小車(chē)、醫(yī)療掃描器、射電望遠(yuǎn)鏡等[5]。